计算机控制系统 北航自动化 第2章-2 数学描述解剖

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1.1 学习本教学模块所需掌握的基础知识
熟悉
1、连续系统的s传递函数模型
2、连续系统的稳定性分析问题
掌握
1、z变换与z反变换方法 2、零阶保持器的作用特性
1.2 本教学模块解决的问题
被控对象—数学模型 控制器设计 控制系统—性能指标
• 系统的稳定性 • 系统的稳态指标 • 系统的暂态指标
1.3 关于被控对象的模型表达
传递函数模型 （外部描述）
1、连续 s 传递函数 2、离散 z 传递函数
状态空间模型 （内部描述）
1、连续状态空间模型 2、离散状态空间模型
1.4 关于系统的稳定性
一个系统稳定是指该系统在平衡状态下（其输出量为
不随时间变化的常数或零），受到外部扰动作用而偏 离平衡状态，当扰动消失后，经过一段时间，系统能 够回到原来的平衡状态（这种意义下的稳定通常称为 渐进稳定）。 如果不能回到原平衡状态，则该系统不稳定。 线性系统的稳定性是由系统本身固有的特性决定的，
· 教学单元一结束·
而与系统外部输入信号的有无和强统稳定的充要条件是： 系统的特征方程的所有特征根，亦即系统传递 函数的所有极点都分布在s平面的左半平面，s平面的 虚轴为稳定边界。
关于系统的稳定性
连续系统稳定性判断方法： （1）代数判据：劳斯判据，胡尔维茨判据等 （2）根轨迹方法 （3）频率域方法：奈奎斯特判据，波特图法等
计算机控制系统
教学模块3 计算机控制 系统数学描述与性能分 析
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本教学模块内容:
教学单元1-模块导学 教学单元2-脉冲传递函数模型的建立


教学单元3-计算机控制系统的稳定性分析
教学单元4-计算机控制系统的稳态与暂态

假频现象在时域中有清楚的物理意义。


两个信号在所有采样时刻都具有相同的采样值。 采样信号频谱在以下两种情况下，将产生频率混叠现象： ----连续信号的频谱带宽有限，但采样频率太低, 如s <2m (m ---信号中的最高频率)。
图2-9两个余弦信号的采样信号值(T=1s)
----连续信号的频谱是无限带宽。
例2-2 两个频率为f1=1/8Hz 、f2=7/8Hz的余弦信号被采 样频率为fs=1Hz的采样开关采样。试研究其频谱及时 域特性。 连续余弦信号的频谱为位于相应频率处的脉冲，如图 （a）、 (c) 所示。
图2-8两个余弦信号采样信号频谱
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2.1.1 采样过程数学描述及特性
2

2.1 计算机控制系统信号

本节主要内容
2.1.1 采样过程数学描述及特性 2.1.2 采样定理 2.1.3 信号的恢复与重构 2.1.4 信号的整量化
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3
2.1.1 采样过程数学描述及特性
1.采用过程

采样器就是不同形式的“开关” p----采样时间，采样所得的脉冲宽度 T----采样周期，采样开关相邻2次闭合之间的间隔时间， 单位为s
F ( j )
1
m
n 1
0 (a）
m
*

n 1
F ( j )
s
2
1/T
s
2
图2-7 m >s /2时 频谱响应产生混叠
(s m )
s
m (s m ) 0 (s m ) m
(b)
s
(s m )

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st

0
1 2 st t e dt 2
1 1 2 st t e s 2
t est dt 0 1 1 1 0 0 2 3 s s s
0
4.指数函数e-at 数学表达式为
e f() t 0
第二章 控制系统的数学模型 系统的 数学模型 是描述系统输入、输出 变量以及内部各个变量之间关系的数学 表达式。 描述各变量动态关系的表达式称为 动态 数学模型。 常用的数学模型为微分方程。
建立系统数学模型的方法，一般采用 解 析法和实验法 。 所谓解析法，即依据系统及元部件各变量 之间所遵循的物理、化学定律列写出变量 间的数学表达式，并经实验验证，从而建 立系统的数学模型。
-s t 0
称其为函数 f(t)的拉普拉斯变换，并记作
Fs ( ) Lf [ () t]
F(s)称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函 数，由象函数求原函数的运算称为拉氏反变 换，记作
f( t)L [ Fs () ]
1
二、几种典型函数的拉氏变换
1.单位阶跃函数1(t)
数学表达式为
其拉氏变换为
a t
t 0 ( a 为 实 数 ) t 0

F(s) L e e e d t 0 1 (sa)t e dt 0 s a
at at st
5.正弦函数sint 正弦函数定义为
s in t t 0 s in t t 0 0 其拉氏变换为 F ( s ) L[sin t ] sin te st dt 0
t
其拉氏变换为
F ( s ) Lt [( ) ] ( te ) d t 1

T 1
eT z 1 1
，级数收
z

z z eT
例3.2 求单位脉冲 (t )函数的Z变换 ∵ 采样信号的表达式为
f * (t ) f (0) (t ) f (T ) (t T ) f (2T ) (t 2T )
当 f (t ) (t ) 函数时，意味着 f * (t ) 只有一项组成， 即 f * (t ) f (0) (t ) 且 f (0) 1 ，所以
z ( s si ) F ( s ) z e sT s si i r 1
n
例3.4 仍以 F ( s)
s2
2
s 个单根， 3 0 ， s4 3
s( s 1) ( s 3) 解： ( s ) 有一个重根 s1 1 ，阶数为 r 2 。此外，有2 F
F ( z ) L[ (t )] f (kT ) z k f (0) z 0 1
k 0

（2）部分分式展开法 将 F (s) 分解成最简单形式，然后查Z变换表，得 F ( z ) 。
F (s) 的一般形式：
B(s) b0 s m b1s m1 bm1s bm F ( s) n A(s) s a1s n1 an1s an
s s1
例3.3 已知
s2 F ( z) ? F ( s) ，求 2 s(s 1) ( s 3) c3 c2 c1 c4 F ( s) 2 ( s 1) s s3 ( s 1)
s2 c2 ( s 1) s( s 1)2 ( s 3)
3. Z变换的基本性质
为了计算方便起见，引入Z变换的基本性质。 （1）线性定理