现在和前一法相同写出边界条件：
（在x=0处）(9)
(10) (在x=a处) (11)
(12)
（9）（10）相除得
(13)
（11）（12）相除得
(14)
写出（13）（14）的反正切关系式，得到：
或
前述两法的结果形式不同，作为一种检验，可以用下述方法来统一。试将第二法所得的量子化条件，等号左右方取其正切：
左方
此结果与第一法相同。
#
［3］设质量为ｍ的粒子在下述势阱中运动：
求粒子的能级。
（解）本题是在半区中的一维谐振子，它的薛定谔方程式
在ｘ＞０的半区内与普通谐振子的相同，在负半区中。
一般谐振子的函数ψ（x）满足薛氏方程式：
（1）
作自变量变换（）
并将波函数变换：
得u的微分方程：（2）
但
（3）
设（2）的解是级数：（4）
将（4）代入（2）知道，指标s的值是s=1或s=0。
此外又得到相同的二个未定系数之间的关系有二种：
s=0时，（5）
s=1时，（6）
为了使波函数ψ（x）满足标准条件，级数（4）必需中断。此外由于本题情形中应满足边界条件（波函数连续性），x=0时ψ（x）=0，即u（0）=0。因而必需取s=1，它的递推式是（6），因此如果级数（4）中断，而（4）的最高幂是n=2m，在（4）式中取s=1，，，则在（6）式中取n为最高幂时：
由（3）得
(7)
式中的m=0,1,2,3,4,……
（7）式即我们需求的粒子的能级。
本题的波函数是
但
是归一化常数，是奇阶数厄米多项式。
#
［4］考虑粒子在下列势阱壁（ｘ＝０）处的反射系数。（解）本题中设想粒子从左侧入射。
在（x〈0〉区中有入射反射波
（1）
在（x>0区）中仅有透射波
(2)
但
考虑在原点0（x=0）处波函数（x）和一阶倒数（x）的连接性，有：
即(3) 即(4)
因按题意要计算反射系数Ｒ，
同理(5)
，若求比值，可从（３）（４）消去Ｃ，得到：
#
［5］试证明对于任意势垒，粒子的反射系数Ｔ满足Ｒ＋Ｔ＝１。
（解）任意的势垒是曲线形的，如果Ｖ（x）没有给定，则（x）不能决定，因而无法计算各种几率流密度。但如果附图所示Ｖ（x）满足二点特性：
(1)
(2)
我们近似地认为当时波函数的解是
时波函数的解是
但由于粒子几率流的守恒（V（x）是实数函数）：在数量上入射几率流密度应等于反射的和透射的的和，即：
(1)
仿前题的算法，不必重复就可以写出：
(2) 这里的（1）（2）是等效的，将（1）遍除得：
即得证
将（2）式遍除得另一种形式：
#
［6］设在一维无限深势阱中运动的粒子的状态用：
描述，求粒子能量的可能植及相应的几率。
（解）（甲法）一维无限深势阱的本征态波函数是
（1）
题给波函数可用本征函数展开：
因此是非本征态，它可以有二种本征态，处在
态上的几率是。这时能量是，处在
态上的几率是，这时能量是。
（乙法）可以运用叠加原理的展开式的系数的决定法来求C，其余同。按一般原理，将已知函数展开成算符的分立本数谱时，有
在本题中，有
按罗比达法则最后一式只有有贡献相当于m=1，或3。
，其余与甲法同。
#
［7］设一谐振子处于基态，求它的并验证测不准关系：（解）由对称性知道，同理也由对称性知道对谐振子而言，应先写出归一化波函数：
但（1）
于是（2）
为了计算这个积分，利用厄米多项式不同阶间的递推式：
（3）
此式作为已知的，不证。将前式遍乘ξ，重复用公式
（4）
将此式代入（2）
此式最后一式第一项。第三项都和的正交化积分式成比例，都等于零。第二项和归一化积分成比例；可以简化
再计算，这可以利用波函数满足的微分方程式：
（是振子质量）
将此遍乘对积分
