初二数学-最值问题拓展训练

2019初中数学因式分解的应用拓展创新题型专项训练二（附答案详解）

1．观察下列一组等式：

（a+1）（a2﹣a+1）=a3+1

（a+2）（a2﹣2a+4）=a3+8

（a+3）（a2﹣3a+9）=a3+27

（1）以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空．

①（x﹣3）（x2+3x+9）=_____；

②（2x+1）（ ）=8x3+1；

③（ ）（x2+xy+y2）=x3﹣y3．

（2）计算：（a2﹣b2）（a2+ab+b2）（a2﹣ab+b2）．

2．阅读材料：若，求、的值.

解：∵，∴，

∴∴

∴，

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）已知求、的值；

（2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的最大边的值.

3．材料阅读：若一个整数能表示成a2＋b2(a、b是正整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”；再如：因为a2＋2ab＋2b2＝(a＋b)2＋b2(a、b是正整数)，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美数”．

(1)请你写出一个大于20小于30的“完美数”，并判断53是否为“完美数”；

(2)试判断(x2＋9y2)·(4y2＋x2)(x、y是正整数)是否为“完美数”，并说明理由．

4．阅读材料：把代数式x2﹣6x﹣7因式分解，可以如下分解：

x2﹣6x﹣7

=x2﹣6x+9﹣9﹣7

=（x﹣3）2﹣16

=（x﹣3+4）（x﹣3﹣4）

=（x+1）（x﹣7）

（1）探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2﹣8x+7因式分解；

（2）拓展：把代数式x2+2xy﹣3y2因式分解：

当________________时，代数式x2+2xy﹣3y2=0．

5．阅读下列解答过程：

若二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值.

解：设另一个因式为x+a

则x2-4x+m=(x+3)(x+a)=x2+ax+3x+3a=x2+(a+3)x+3a，

1 初中数学思维拓展题训练及答案

一、选择题

1、若一次函数y=kx+1与两坐标轴围成的三角形面积为3，则k为（C）

A、16 B、-16 C、±16 D、±13

2、若11mn=3，2322mmnnmmnn的值是（B）

A、1.5 B、35 C、-2 D、-75

3、判断下列真命题有（C）

①任意两个全等三角形可拼成平行四边形②两条对角线垂直且相等的四边形是正方形③四边形ABCD，AB=BC=CD，∠A=90°，那么它是正方形④在同一平面内，两条线段不相交就会平行⑤有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形

A、②③ B、①②④ C、①⑤ D、②③④

4、如图，矩形ABCD中,已知AB=5,AD=12,P是AD上的动点,PE⊥AC，E,PF⊥BD于F,则PE+PF=（B）

A、5 B、6013 C、245 D、5512

5、在直角坐标系中，已知两点A（-8，3）、B（-4，5）以及动点C（0，n）、D(m,0)，则当四边形ABCD的周长最小时，比值为 mn （B）

A、-23 B、-32 C、-34 D、34

二、填空题

6、当x= 负数 时，||3xx与3xx互为倒数。9、已知x2-3x+1=0，求（x-1x ）2 = 5

7、一个人要翻过两座山到另外一个村庄，途中的道路不是上山就是下山，已知他上山的速度为v，下山的速度为v′，单程的路程为s．则这个人往返这个村庄的平均速度为 (2vvv v)

8、将点A（4，0）绕着原点O顺时针方向旋转30°角到对应点A，则点A的坐标是 (23,2)

9、菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程(X-3)(X-4)=0的解，则菱形ABCD的周长为 16

2025年高考数学一轮复习-三角中的最值、范围问题-专项训练

一、基本技能练

1.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象关于直线x＝π

3对称，且

fπ

12＝0，则ω

的最小值为()

A.2B.4

C.6D.8

2.将函数y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移π

3个单位长度，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为()

A.π

12B.π

6

C.π

3D.5π

6

3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinA＋2csinC＝2bsinCcos

A，则角A的最大值为()

A.π

6B.π

4

C.π

3D.2π

3

4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a－c

b＝cosC

cosB，b＝4，

则△ABC的面积的最大值为()

A.43B.23

C.2D.3

5.若函数f(x)＝cos

2x＋sin2x＋π

6在(0，α)上恰有2个零点，则α的取值范围为()A.5π

6，4π3B.5π

6，4π3

C.5π

3，8π

3D.5π

3，8π

3

6.已知函数f(x)

＝cos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为π，且对x∈R，f(x)≥fπ

3恒成立，若函数y＝f(x)在[0，a]上单调递减，则a的最大值是()

A.π

6B.π

3

C.2π

3D.5π6

7.已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间－π

3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围

是________.

8.已知函数f(x)＝cosωx＋sinωx＋π

6(ω>0)在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零

点，则ω的取值范围是________.

9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC

的角平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________.

10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A≠π

2，c＋bcosA－

acosB＝2acosA，则b

a＝________；内角B的取值范围是________.

11.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角.

补上一课 平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题

知 识 拓 展

1.极化恒等式：a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2]

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.

2.平行四边形PMQN，O是对角线交点.则：

(1)PM→·PN→＝14[|PQ|2－|NM|2](平行四边形模式)；

(2)PM→·PN→＝|PO|2－14|NM|2(三角形模式).

3.平面向量中的最值(范围)问题

(1)向量数量积投影、向量的模、夹角的最值(或范围)；

(2)向量表达式中字母参数的最值(或范围).

题 型 突 破

题型一 极化恒等式的应用

【例1】 (1)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB→·AC→＝________.

(2)已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则PA→·PB→的取值范围是________.

解析 (1)因为M是BC的中点，由极化恒等式得：AB→·AC→＝|AM|2－14|BC|2＝9－14×100＝－16.

(2)取AB的中点D，连接CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝23.

又由极化恒等式得：

PA→·PB→＝|PD|2－14|AB|2＝|PD|2－3，

因为P在圆O上，所以当P在点C处时，|PD|max＝3，

当P在CO的延长线与圆O的交点处时，|PD|min＝1，

所以PA→·PB→∈[－2，6].

答案 (1)－16 (2)[－2，6]

【训练1】 (1)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·DA→的值为________.

(2)若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为( )

A.2 B.3 C.6 D.8