浅析中考数学试题中的动点问题
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浅析中考数学试题中的“动点”问题凤冈县琊川中学沙汉乾摘要：从这几年的中考数学试题来看，基本都会出现关于“动点”问题的考查.所谓“动点问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.而这类问题的出现，更多的是考查学生综合运用数学知识的能力.“动点”问题可以看作一种特殊的几何图形变换．几何变换在解决几何证明和作图问题中有广泛的应用．有了几何变换思想，思考问题就有了方向，从运动的观点来考虑几何问题，使原来静止的图形“动”起来[1]．对这类问题的思考和解决，我们必须把握问题中各种量之间的关系，找到能够使问题得以解决的方法．关键词：动点；相等；数形结合；最值；分类讨论数学是研究数量关系和空间形式的科学[2]．本文讨论的“动点”问题反映的是图形变换中在一定时间（空间）的一种直接体现，是考查学生数学能力和数学素养的重要载体．下面将就近四年贵州省各市（州）中考试题的此类问题中常见的题型及求解方法进行探讨．1 线段的长度是否发生变化的问题判定一个问题中的某一条线段的长度是否会发生变化，可以考虑用几何画板作图，采用动画的方式，就能直接的出结论．一般情况下，所判断的线段的长度是不会发生改变的，这就需要在问题中找到与线段长度不会改变的线段有直接联系的其它线段，才能使要判断的线段进行转化之后，能够得到一个固定的值．例1（2011•遵义•26）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝20cm ，AD ＝10cm ，现有两个动点P 、Q 分别从B 、D 两点同时出发，点P 以每秒2cm 的速度沿BC 向终点C 移动，点Q 以每秒1cm 的速度沿DA 向终点A 移动，线段PQ 与BD 相交于点E ，过E 作EF ∥BC 交CD 于点F ，射线QF 交BC 的延长线于点H ，设动点P 、Q 移动的时间为t （单位：秒，100<<t ）．（1）当t 为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？（2）在P 、Q 移动的过程中，线段PH 的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH 的长；如果改变，请说明理由．分析:采用几何画板作图（如图变化1和变化2），可以直接得出线段PH 的长度是不变的，并且都等于20cm ．通过作图我们还可以确定CH=BP ，只要能够求出CH=BP,那么线段PH 的变化情况就可以做出判断．在对PH 的长度是否发生变化之前，根据图形中的线段，可以先寻找CH 是否等于BP ，而根据平行线的相关性质及相似三角形中对应边之间的数量关系，我们易知CH=BP ，所以PH=PC+CH=PC+BP=BC 即PH 的长度不变． 变化1CH = 3.56厘米PB = 3.56厘米PH = 20.00厘米BC 的长度 = 20.00厘米AD 的长度 = 10.00厘米移动点PHF E Q C D A B P 变化2CH = 6.61厘米PB = 6.61厘米PH = 20.00厘米BC 的长度 = 20.00厘米AD 的长度 = 10.00厘米移动点P H FE Q C DA B P 解：（1）略；（2）∵ AD ∥BC ∴ △DEQ ∽△BEP ∴BP DQ EP QE =① 同理，由EF ∥BC,得：EPQE FH QF =② 由AD ∥BC ，得：FHQF CH DQ =③ 由①②③得：BP DQ CH DQ = ∴ CH=BP∴ PH=PC+CH=PC+BP=BC=20（cm ）∴ PH 的长度不变，为20cm ．练习（2012•遵义•26）如图,△ABC 是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A 、C 不重合），Q 是CB 延长线上一动点，与点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动（Q 不B 与重合），过P 作PE ⊥AB 于E ，连接PQ 交AB 于D.（1）当∠BQD=30°时，求AP 的长；（2）在运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果发生改变，请说明理由．2 两条线段的和最短的问题关于在几何问题中求两线段的和最短的问题，一般都是先作一点关于直线的对称点，通过这种变换，使原来与动点连接的两点处于动点所在直线（或线段）的两侧，这是求两线段和的问题就转化成为求在一直线（或线段）两侧的线段的和．根据三角形三边之间的数量关系，依据：两点之间，线段最短，连接对称点与另一点所得线段的长度，就是原来两线段的和的最小值．例2（2013•遵义•27）如图，已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,4，且与y 轴交于点C （0,2），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边）．（1）求抛物线的解析式及A ，B 两点的坐标；D A B CN M （2）在（1）中抛物线的对称轴l 上是否存在一点P ，使AP+CP 的值最小？若存在，求AP+CP 的最小值，若不存在，请说明理由；（3）在以AB 为直径的⊙M 相切于点E ，CE 交x 轴于点D ，求直线CE 的解析式．分析：对于问题（2），在（1）中，我们可知点A 和点B 关于直线l 对称，所以，只需连接BC 交直线l 于点P ，则有AP=BP ．根据勾股定理可以求出BC 的长度，这时线段BC 的长度就是AP+CP 的最小值．解：（1）略；（3）略；（2）连接BC 交直线l 于点P ，因为A 、B 关于l 对称，则AP=BP∵ B （6，0），C （0，2）∴ OB=6，OC=2根据勾股定理，得 102262222=+=+=OC OB BC∴ 102BC CP BP CP AP ==+=+即AP+CP 的最小值为102；练习 如图，正方形ABCD 的边长为8，点M在DC 上，且DM=2，N 是AC 上一动点，求△DMN的周长的最小值.3 面积的最值问题这类问题主要有两种考查方式：一是求出图形面积的最大值（或最小值）；二是已知一个图形面积的最大值（或最小值），求点得坐标（或者函数解析式）．解决这类问题的关键是要常把面积表示为二次函数的形式，根据二次函数解析式的结构特点，利用顶点式对所求问题作出正确判断并得出合理的结论．例3（2011•遵义•27）已知抛物线)0(32≠++=a bx ax y 经过A(3，0), B(4，1)两点，且与y 轴交于点C ．（1）求抛物线)0(32≠++=a bx ax y 的函数关系式及点C 的坐标；（2）如图（1）,连接AB ，在题（1）中的抛物线上是否存在点P ，使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2）,连接AC ，E 为线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合）经过A 、E 、O 三点的圆交直线AB 于点F ，当△OEF 的面积取得最小值时，求点E 的坐标．分析：因为A(3，0)，C （0,3），故OC=OB ，则∠OAE=45°.根据A(3，0), B(4，1)可知∠OAF=45°.根据圆弧所对圆周角之间的关系可以得到：∠OEF=∠OFE=45°,则有OE=OF, ∠EOF=90°.此时就能假设E )3,(+-x x ,把△OEF 的面积表示成关于x 的二次函数的形式，利用顶点式做出判断.解：（1）略；（2）略；（3）∵∠OAE=∠OAF=45°,而∠OEF=∠OAF=45°, ∠OFE=∠OAE=45°, ∴∠OEF=∠OFE=45°,∴OE=OF, ∠EOF=90°设E )3,(+-x x ，则222)3(+-+=x x OE =9622+-xx ∴OF OE S OEF ⋅=∆21 =)962(212122+-=x x OE =49)23(2+-x ∴当23=x 时, OEF S ∆取最小值, 此时233233=+-=+-x ,即⎪⎭⎫ ⎝⎛23,23E ． 练习（2013•遵义•26）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4cm ，BC=3cm ．动点M ，N 从点C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA 、CB 向终点A ，B 移动，同时动点P 从点B 出发，以每秒2cm 的速度沿BA 向终点A 移动，连接PM ，PN ，设移动时间为t （单位：s ，0＜t ＜2.5）．（1）当t 为何值时，以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？（2）是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由． 4 动点变化过程中与图形构成相关的问题这类问题的主要考查方式是：判断在动点变化过程中形成的图形的形状（平行四边形、直角三角形，等腰三角形、等腰梯形等，2013新审定人教版教材中删除了关于等腰梯形的内容）时，求有关点的坐标或者是求出函数的解析式.解决这类问题的是关键是假设这个图形形状已经确定，倒回去准确找到边与边之间的数量关系，然后根据这 些关系求出与问题有关的量并作出判断.例4（2013•铜仁•25）如图，已知直线33-=x y 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线c bx x y ++=2经过A 、B两点，点C 是抛物线与x 轴的另一个交点(与A 点不重合)．(1)求抛物线的解析式：(2)求△ABC 的面积；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使△ABM 为等腰三角形?若不存在，请说明理由：若存在，求出点M 的坐标.分析：要使△ABM 为等腰三角形，要分三种情况进行讨论：①MA=AB ；②MB=BA ；③MB=MA ．根据不同的情况，把能够表示三边之间长度的式子结合起来，主要建立一元二次方程求解即可．解：（1）略；（2）略；（3）抛物线的对称轴为：1-=x ，假设存在),1(m M -使△ABM 为等腰三角形①当MA=AB 时,10222=+m解得：6±=m ∴ )61(),61(21---，，M M②当MB=BA 时,10)3(122=++m解得：60-==m m 或∴ )61(),01(43---，，M M③当MB=MA 时，2222)3(12++=+m m解得：1-=m（27题图）∴ )11(5--，M∴共存在五个点)61(),61(21---，，M M ，)61(),01(43---，，M M ，)11(5--，M ，使△ABM 为等腰三角形例5(2010•遵义•27)如图，已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为()1,2-Q ，且与y 轴交于点()3,0C ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．分析：分类讨论，不遗漏每一种可能.解：（1）略；（2）分两种情况：①当点P 1为直角顶点时,点P 1与点B 重合(如图)设0=y , 得0342=+-x x解得11=x , 32=x∵点A 在点B 的右边, ∴B(1,0), A(3,0)∴P 1(1,0)②当点A 为△AP 2D 2的直角顶点是(如图)∵OA=OC, ∠AOC= 90, ∴∠OAD 2=45当∠D 2AP 2= 90时, ∠OAP 2= 45, ∴AO 平分∠D 2AP 2又∵P 2D 2∥y 轴, ∴P 2D 2⊥AO, ∴P 2、D 2关于x 轴对称.根据题意可得：直线AC 的函数关系式为3+-=x y∵ D 2在3+-=x y 上, P 2在342+-=x x y 上,∴ 设D 2(x ,3+-x ), P 2(x ,342+-x x )∴ (3+-x )+(342+-x x )=0化简得：0652=+-x x , ∴ 21=x , 32=x (舍)当x =2时, 342+-=x x y =32422+⨯-=-1∴ P 2的坐标为P 2(2,-1)(即为抛物线顶点)∴ P 点坐标为P 1(1,0), P 2(2,-1)（3）由题(2)知,当点P 的坐标为P 1(1,0)时,不能构成平行四边形当点P 的坐标为P 2(2,-1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交x 轴于点E,交抛物线于点F.当AP=FE 时,四边形PAFE 是平行四边形∵ P(2,-1), ∴可令F(x ,1)∴ 1342=+-x x 解得: 221-=x , 222+=x ∴ F 点有两点,即F 1(22-,1), F 2(22+,1)练习（2013•六盘水•25）已知．在Rt △OAB 中，∠OAB=90°， ∠BOA=30°，OA=32，若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内，将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处．（1）求经过点O ，C ，A 三点的抛物线的解析式．（2）求抛物线的对称轴与线段OB 交点D的坐标．（3）线段OB与抛物线交与点E，点P为线段OE上一动点（点P 不与点O，点E重合），过P点作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：在线段OE上是否存在这样的点P，使得PD=CM？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．5 函数中因动点而产生的相似三角形问题一般情况下，函数中因动点而产生的相似三角形的问题主要有一下三种解题途径：（1）求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形．根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论．（2）或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小．（3）若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求[3]】．例6（2013•黔西南•26）如图10，已知抛物线经过)3，，--BA2(，(3)0及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作xPM⊥轴，垂足为M，是否存在点P，使得以AP,,为顶点的三角形与BOCM∆相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．分析：对于问题（1），根据（1）（2）的结论，易知BOC∆为直角11 三角形且︒=∠90BOC 以及3=OCOB ,但是由于没有告诉对应点，所以分两种情况讨论：（1）△AMP ∽△BOC ，（2）PMA ∽△BOC ，根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P 的坐标． xy图10A CBO解：（1）略；（2）略；（3）存在．如解（3）图：∵B （﹣3，3），C （﹣1，﹣1），根据勾股定理得：182=BO ,22=CO ,202=BC∵ 222BC CO BO =+， ∴ △BOC 是直角三角形，假设存在点P ，使以P ，M ，A 为顶点的三角形与△BOC 相似， 设),(y x P ,由题意知,0,0>>y x 且x x y 22+=①若△AMP ∽△BOC ，则CO PMBO AM =，即)2(322x x x +=+解得：)(2,3121舍-==x x 当97,31==y x 时，即⎪⎭⎫⎝⎛97,31P②若△PMA ∽△BOC ，则BO PMCO AM=，即)2(322+=+x x x解得：)(2,321舍-==x x 当15,3==y x 时，即()15,3P所以，符合条件的点P 有两个，分别是⎪⎭⎫⎝⎛97,31P 或()15,3P12练习（2013•毕节•27）如图，抛物线y=ax 2+b 与x 轴交于点A 、B ，且A 点的坐标为（1，0），与y 轴交于点C （0，1）．（1）求抛物线的解析式，并求出点B 坐标；（2）过点B 作BD ∥CA 交抛物线于点D ，连接BC 、CA 、AD ，求四边形ABCD 的周长；（结果保留根号）（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在点P ，过点P 作PE 垂直于x 轴，垂足为点E ，使以B 、P 、E 为顶点的三角形与△CBD 相似？若存在请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．纵观近四年的贵州省各市（州）的命题趋势来看：“动点”问题是近几年中考命题的热点，它与一次函数、二次函数等知识综合，构成中考试题的压轴题.动点试题大致分为点动、线动、图形动三种类型.动点试题要以静代动的解题思想解题.只要把握好分类讨论和利用好数形结合，抓住问题的本质，真正让“动点”问题中的点“动”起来就不难解决了．参考文献[1] 刘影 程晓亮.《数学教学论》.北京大学出版社，2009年2月第1版[2] 义务教育数学科课程标准（2011年版）.人民教育出版社[3] 中考数学动点问题专题讲解/view/31ecdbe8b8f67c1cfad6b80d[4] 2010——2013全省各市（州）中考数学试题。
