概率论与数理统计期末复习公式总结
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概率论与数理统计期末复习重要知识点
第二章知识点:
1.离散型随机变量:设X 是一个随机变量,如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个,则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布:
(1)两点分布(0-1分布):
若一个随机变量X 只有两个可能取值,且其分布为
12{},{}1(01)
P X x p P X x p
p ====-<<,
则称X 服从
12
,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布:12{},{}1(01)
P X x p P X x p
p ====-<<
两点分布的期望:()E X p =;两点分布的方差:()(1)D X p p =-
(2)二项分布:
若一个随机变量X 的概率分布由式
{}(1),0,1,...,.
k k
n k n P x k C p p k n -==-=
给出,则称X 服从参数为n,p 的二项分布。记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布:{}(1),0,1,...,.
k k
n k n P x k C p p k n -==-=
二项分布的期望:()E X np =;二项分布的方差:()(1)D X np p =-
(3)泊松分布:
若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...
!
k
P X k e
k k λ
λλ-==>=,则称X 服从参
数为λ的泊松分布,记为X~P (λ)
泊松分布的概率分布:{},0,0,1,2,...
!
k
P X k e
k k λ
λλ-==>=
泊松分布的期望:
()E X λ=;泊松分布的方差:()D X λ=
4.连续型随机变量:
如果对随机变量X 的分布函数F(x),存在非负可积函数
()f x ,使得对于任意实数x ,有
(){}()x
F x P X x f t dt
-∞
=≤=⎰
,则称X 为连续型随机变量,称
()f x 为X 的概率密度函数,
简称为概率密度函数。 5.常用的连续型分布:
(1)均匀分布:
若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,
0,1)(b
x a a b x f ,则称X 在区间(a,b )上服
从均匀分布,记为X~U(a,b)
均匀分布的概率密度:⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,
0,1
)(b x a a b x f 均匀分布的期望:()2a b
E X +=
;均匀分布的方差:
2()()12b a D X -= (2)指数分布:
若连续型随机变量X 的概率密度为
00
()0x
e x
f x λλλ-⎧>>=⎨
⎩,则称X 服从参数为
λ的指数分布,记为X~e (λ)
指数分布的概率密度:
00
()0x
e x
f x λλλ-⎧>>=⎨
⎩
指数分布的期望:1
()E X λ=
;指数分布的方差:
21
()D X λ=
(3)正态分布:
若连续型随机变量X
的概率密度为
22
()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞
则称X 服从参数为μ和2
σ的正态分布,记为X~N(μ,2σ)
正态分布的概率密度:
22
()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞
正态分布的期望:()E X μ=;正态分布的方差:
2
()D X σ=
(4)标准正态分布:
2
0,1μσ==
,2
22
2
()()x t x
x x e dt
ϕφ--
-∞
=⎰
标准正态分布表的使用: (1)
()1()x x x φφ<=--
(2)
~(0,1)
{}{}{}
{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-
(3)
2~(,),~(0,1),
X X N Y N μ
μσσ
-=
故
(){}{
}()X x x F x P X x P μμμ
φσσσ---=≤=≤=
{}{
}(
)(
)
a b b a P a X b P Y μ
μμ
μ
φφσ
σσσ
----<≤=≤≤
=-
定理1: 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μ
σ-=
6.随机变量的分布函数: 设X 是一个随机变量,称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
分布函数的重要性质:
12212112120()1
{}{}{}()()()()()1,()0
F x P x X x P X x P X x F x F x x x F x F x F F ≤≤<≤=≤-≤=-<⇒<+∞=-∞=
7.求离散型的随机变量函数、连续型随机变量函数的分布
(1)由X 的概率分布导出Y 的概率分布步骤: ①根据X 写出Y 的所有可能取值; ②对Y 的每一个可能取值
i
y 确定相应的概率取值;
③常用表格的形式把Y 的概率分布写出
(2)由X 的概率密度函数(分布函数)求Y 的概率密度函数(分布函数)的步骤: ①由X 的概率密度函数()
X f x 随机变量函数Y=g(X)的分布函数
()
Y F y
②由
()
Y F y 求导可得Y 的概率密度函数
(3)对单调函数,计算Y=g(X)的概率密度简单方法: 定理1 设随机变量X 具有概率密度
()
(,)
X f x x ∈-∞+∞,又设y=g(x)处处可导且恒
有'()0g x >(或恒有'()0g x <),则Y=g(X)是一个连续型随机变量,其概率密度为
'[()]|()|,()0
Y f h y h y y f y αβ
⎧<<=⎨
⎩;其中
()x h y =是y=g(x)的反函数,且
min((),()),max((),())g g g g αβ=-∞+∞=-∞+∞
练习题:
2.4 第7、13、14
总习题 第3、6、9、10、11、13、14、17、18、19
第三章重要知识点:
1.离散型二维随机变量X 与Y 的联合概率分布表: