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「精品」高中数学第二讲证明不等式的基本方法二综合法与分析法学案含解析新人教A版选修4_5

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精品资料 值得拥有 1 二 综合法与分析法

1．综合法 (1)定义 从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或由因导果法． (2)证明的框图表示 用P表示已知条件或已有的不等式，用Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为 P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q 2．分析法 (1)定义 证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法． (2)证明过程的框图表示 用Q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为Q⇐P1→P1⇐P2→P1⇐P3

→…→得到一个明显成立的条件

用综合法证明不等式 已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求证：1＋1x·1＋1y≥9. 可将所证不等式左边展开，运用已知和基本不等式可得证，也可以用x＋y取代“1”，化简左边，然后再用基本不等式． 法一：∵x>0，y>0，∴1＝x＋y≥2xy.

∴xy≤14.

∴1＋1x1＋1y＝1＋1x＋1y＋1xy ＝1＋x＋yxy＋1xy＝1＋2xy≥1＋8＝9. 精品资料 值得拥有 2 当且仅当x＝y＝12时，等号成立． 法二：∵x＋y＝1，x>0，y>0， ∴1＋1x1＋1y＝1＋x＋yx1＋x＋yy

＝2＋yx2＋xy ＝5＋2yx＋xy ≥5＋2×2＝9. 当且仅当x＝y＝12时， 等号成立．

综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．

1．已知a，b，c∈R＋，证明不明式：a＋b＋c≥ab＋bc＋ca，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 证明：因为a>0，b>0，c>0，故有 a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立；

b＋c≥2bc，当且仅当b＝c时，等号成立；

c＋a≥2ca，当且仅当c＝a时，等号成立．

三式相加，得a＋b＋c≥ab＋bc＋ca. 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 2．已知a，b，c都是实数，求证：

a2＋b2＋c2≥13(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.

证明：∵a，b，c∈R， ∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca. 将以上三个不等式相加，得 2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，① 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.② 在不等式①的两边同时加上“a2＋b2＋c2”，得 3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2， 精品资料 值得拥有 3 即a2＋b2＋c2≥13(a＋b＋c)2.③ 在不等式②的两端同时加上2(ab＋bc＋ca)，得 (a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)，

即13(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.④

由③④，得a2＋b2＋c2≥13(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca. 用分析法证明不等式 已知x>0，y>0，求证：(x2＋y2)12>(x3＋y3)13. 不等式两边是根式，可等价变形后再证明．分析每一步成立的充分条件． 要证明(x2＋y2)12>(x3＋y3)13， 只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2， 即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6， 即证3x4y2＋3x2y4>2x3y3. ∵x>0，y>0，∴x2y2>0. 即证3x2＋3y2>2xy. ∵3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy， ∴3x2＋3y2>2xy成立．

∴(x2＋y2)12>(x3＋y3)13.

(1)当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径． (2)分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆．

3．求证：3＋7<25. 证明：分析法： ∵3＋7>0,25>0，∴要证 3＋7<25， 只需证明(3＋7)2<(25)2. 展开，得10＋221<20.即证221<10， 即证21<25(显然成立)． 精品资料 值得拥有 4 ∴3＋7<25. 4．已知a，b∈R＋，且2c>a＋b. 求证：c－c2－ab证明：要证c－c2－ab只需证－c2－ab即证|a－c|两边平方，得a2－2ac＋c2也即证a2＋ab<2ac，即a(a＋b)<2ac. ∵a，b∈R＋，且a＋b<2c，∴a(a＋b)<2ac显然成立． ∴原不等式成立. 综合法与分析法的综合应用 设a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：a＋1＋b＋1≤6. 所证不等式含有开方运算且两边都为正数，可考虑两边平方，用分析法转化为一个不含开方运算的不等式，再用综合法证明． 要证a＋1＋b＋1≤6， 只需证(a＋1＋b＋1)2≤6，即证(a＋b)＋2＋2ab＋a＋b＋1≤6.

由a＋b＝1，得只需证 ab＋2≤32，即证ab≤14.

由a>0，b>0，a＋b＝1，得ab≤a＋b22＝14，即ab≤14成立． ∴原不等式成立．

(1)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明． (2)有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系．

5．已知a，b，c都是正数， 求证：2a＋b2－ab≤3a＋b＋c3－3abc.

证明：法一：要证2a＋b2－ab≤3a＋b＋c3－3abc， 精品资料 值得拥有 5 只需证a＋b－2ab≤a＋b＋c－33abc， 即－2ab≤c－33abc. 移项，得c＋2ab≥33abc. 由a，b，c为正数，得

c＋2ab＝c＋ab＋ab≥33abc成立．

∴原不等式成立． 法二：∵a，b，c是正数，

∴c＋ab＋ab≥33cab·ab＝33abc. 即c＋2ab≥33abc.故－2ab≤c－33abc. ∴a＋b－2ab≤a＋b＋c－33abc. ∴2a＋b2－ab≤3a＋b＋c3－3abc.

6．已知a>0，b>0，n∈N*，求证：an＋1＋bn＋1an＋bn≥ab. 证明：先证an＋1＋bn＋1an＋bn≥a＋b2， 只要证2(an＋1＋bn＋1)≥(a＋b)(an＋bn)， 即要证an＋1＋bn＋1－anb－abn≥0， 即要证(a－b)(an－bn)≥0. 若a≥b，则a－b≥0，an－bn≥0，所以(a－b)(an－bn)≥0；

若a0，综上所述，(a－b)(an－bn)≥0.从而an＋1＋bn＋1

an＋bn

≥a＋b2. 因为a>0，b>0，所以a＋b2≥ab，所以an＋1＋bn＋1an＋bn≥ab.

课时跟踪检测(七)

1．设a，b∈R＋，A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是( ) A．A≥B B．A≤B C．A＞B D．A＜B 精品资料 值得拥有 6 解析：选C A2＝(a＋b)2＝a＋2ab＋b，B2＝a＋b，所以A2>B2.又A＞0，B＞0，∴A＞B. 2．a，b∈R＋，那么下列不等式中不．正确的是( )

A.ab＋ba≥2 B.b2a＋a2b≥a＋b

C.ba2＋ab2≤a＋bab D.1a2＋1b2≥2ab 解析：选C A项满足基本不等式；B项可等价变形为(a－b)2(a＋b)≥0，正确；B选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab得到的，正确．

3．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，那么a，b，c的大小关系是( ) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a

解析：选B 由已知，可得出a＝422，b＝47＋3，c＝46＋2， ∵7＋3>6＋2>22，∴b4．设13<13b<13a<1，则( ) A．aa解析：选C ∵13<13b<13a<1，

∴01， ∴ab0， ∴aba<1，∴aa5．若1a＜1b＜0，则下列不等式： ①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④ba＋ab＞2， 其中正确的有________(填序号)． 解析：∵1a＜1b＜0，∴b＜a＜0.

∴ a＋b＜0，ab＞0，|b|＞|a|.故①正确，②③错误． ∵a，b同号且a≠b，∴ba，ab均为正，

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高中数学第二章证明不等式的基本方法2.2综合法与分析法试题新人教A版选修4_5

高中数学第二章证明不等式的基本方法2.2综合法与分析法试题新人教A版选修4_5

二综合法与分析法课后篇巩固探究1.求证.证明:因为都是正数,所以要证,只需证()2>()2,展开得5+2>5,即2>0,显然成立,所以不等式.上述证明过程应用了()A.综合法B.分析法C.综合法、分析法混合D.间接证法解析分析法是“执果索因”,基本步骤:要证……只需证……,只需证……,结合证明过程,证明过程应用了分析法.故选B.答案B2.下面对命题“函数f(x)=x+是奇函数”的证明不是运用综合法的是()A.∀x∈R,且x≠0有f(-x)=(-x)+=-=-f(x),则f(x)是奇函数B.∀x∈R,且x≠0有f(x)+f(-x)=x++(-x)+=0,∴f(x)=-f(-x),则f(x)是奇函数C.∀x∈R,且x≠0,∵f(x)≠0,∴=-1,∴f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数D.取x=-1,f(-1)=-1+=-2,又f(1)=1+=2.f(-1)=-f(1),则f(x)是奇函数解析D项中,选取特殊值进行证明,不是综合法.答案D3.若1<x<10,下面不等式正确的是()A.(lg x)2<lg x2<lg(lg x)B.lg x2<(lg x)2<lg(lg x)C.(lg x)2<lg(lg x)<lg x2D.lg(lg x)<(lg x)2<lg x2解析因为1<x<10,所以0<lg x<1,于是0<(lg x)2<lg x,lg x2=2lg x>lg x>0.又lg(lg x)<0,所以lg(lg x)<(lg x)2<lg x2.答案D4.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证a”,索的“因”应是()A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0解析由a>b>c,且a+b+c=0可得b=-a-c,a>0,c<0.要证a,只要证(-a-c)2-ac<3a2,即证a2-ac+a2-c2>0,即证a(a-c)+(a+c)(a-c)>0,即证a(a-c)-b(a-c)>0,即证(a-c)(a-b)>0.故求证a,索的“因”应是(a-b)(a-c)>0.答案C5.设a,b∈R+,A=,B=,则A,B的大小关系是()A.A≥BB.A≤BC.A>BD.A<B解析∵()2=a+2+b,∴A2-B2>0.又A>0,B>0,∴A>B.答案C6.导学号26394035设x1,x2是方程x2+px+4=0的两个不相等的实数根,则()A.|x1|>2,且|x2|>2B.|x1+x2|<4C.|x1+x2|>4D.|x1|=4,且|x2|=16解析由方程有两个不等实根知Δ=p2-16>0,所以|p|>4.又x1+x2=-p,所以|x1+x2|=|p|>4.答案C7.等式“”的证明过程:“等式两边同时乘得,左边==1,右边=1,左边=右边,故原不等式成立”,应用的证明方法是.(填“综合法”或“分析法”)答案综合法8.若a>c>b>0,则的符号是.解析===,因为a>c>b>0,所以a-b>0,a-c>0,b-c<0,abc>0.因此<0.答案负9.导学号26394036已知a,b是不相等的正数,且a3-b3=a2-b2.求证1<a+b<.证明∵a,b是不相等的正数,且a3-b3=a2-b2,∴a2+ab+b2=a+b.∴(a+b)2=a2+2ab+b2>a2+ab+b2=a+b.∴a+b>1.要证a+b<,只需证3(a+b)<4,只需证3(a+b)2<4(a+b),即3(a2+2ab+b2)<4(a2+ab+b2),只需证a2-2ab+b2>0,只需证(a-b)2>0,而a,b为不相等的正数,∴(a-b)2>0显然成立.故而a+b<成立.综上,1<a+b<.10.导学号26394037在△ABC中,已知△ABC的面积为,外接圆的半径为1,三边长分别为a,b,c,求证.证明设外接圆的半径为R,△ABC的面积为S.∵S=,R=1,S=,∴abc=1,且a,b,c不全相等,否则a=1与a=2R sin 60°=矛盾,∴=bc+ac+ab.又bc+ac≥2=2,ca+ab≥2=2,bc+ab≥2=2,∵a,b,c不全相等,∴上述三式中“=”不能同时成立.∴2(bc+ac+ab)>2(),即bc+ac+ab>.因此.。

近年-高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.2综合法与分析法高效演练新人教A版选修4-5(2021

近年-高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.2综合法与分析法高效演练新人教A版选修4-5(2021

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2。

2 综合法与分析法[A级基础巩固]一、选择题1．若实数x，y满足不等式xy＞1，x＋y≥0，则（)A．x＞0，y＞0 B．x＜0，y＜0C．x＞0，y＜0 D．x＜0，y＞0解析：因为xy＞1＞0,所以x，y同号．又x＋y≥0，故x＞0，y＞0.答案：A2．设x，y＞0，且xy－（x＋y）＝1,则（)A．x＋y≥2（错误!＋1）B．xy≤错误!＋1C．x＋y≤2（错误!＋1）2D．xy≥2（错误!＋1)解析：因为x，y＞0，且xy－（x＋y）＝1,所以（x＋y）＋1＝xy≤错误!错误!。

所以(x＋y）2－4（x＋y)－4≥0,解得x＋y≥2（2＋1)．答案:A3．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是( )A．sin(α＋β）＞sin α＋sin βB．sin(α＋β）＞cos α＋cos βC．cos（α＋β)＞sin α＋sin βD．cos(α＋β)＜cos α＋cos β解析：因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos（α＋β）．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos（α＋β）．答案:D4．设错误!＜错误!错误!＜错误!错误!＜1，则( ）A．a a＜a b＜b a B．a a＜b a＜a bC．a b＜a a＜b a D．a b＜b a＜a a解析：因为13＜错误!错误!＜错误!错误!＜1，所以0＜a＜b＜1，所以错误!＝a a－b＞1，所以a b＜a a，a ab a＝错误!错误!。

高中数学 第二讲 讲明不等式的基本方法 2.2 综合法与

高中数学 第二讲 讲明不等式的基本方法 2.2 综合法与

综合法与分析法课时提升作业七一、选择题(每小题6分,共18分)1.(2016·淄博高二检测)已知p:ab>0,q:+≥2,则p与q的关系是( )A.p是q的充分而不必要条件B.p是q的必要而不充分条件C.p是q的充要条件D.以上答案都不对【解析】选C.若ab>0,则>0,>0,所以+≥2=2,当且仅当a=b时等号成立.反之,若+≥2,即≥2,所以ab>0. 综合上述,p是q的充要条件.2.(2016·商丘高二检测)设<<<1,则( )A.a a<a b<b aB.a a<b a<a bC.a b<a a<b aD.a b<b a<a a【解析】选C.由<<<1,可得0<a<b<1,根据指数函数、幂函数性质,有a b<a a<b a.3.设a>b>0,m=-,n=,则( )A.m<nB.m>nC.m=nD.不能确定【解析】选A.因为a>b>0,所以>,所以->0,>b.(-)2-()2=a+b-2-(a-b)=2(b-)<0.所以(-)2<()2.所以-<,即m<n.二、填空题(每小题6分,共12分)4.设y=-,x=-,则x,y的大小关系是________.【解析】y=-=,x=-=,因为+>+>0,所以x>y.答案:x>y5.已知a>0,b>0且a+b=1,则++与8的大小关系是________.【解析】因为a>0,b>0且a+b=1,所以1=a+b≥2>0,进而得≥2,于是得≥4.又因为++===2·≥8.故++≥8.答案:++≥8三、解答题(每小题10分,共30分)6.(2016·德州高二检测)已知x>0,y>0,x+y=1,求证:≥9.【证明】因为x>0,y>0,x+y=1,所以===5++≥5+2=9,当且仅当x=y时等号成立.所以≥9.7.设a>0,b>0,c>0.证明:(1)+≥.(2)++≥++.【证明】(1)因为a>0,b>0,所以(a+b)≥2·2=4.所以+≥.(2)由(1)知+≥,同时,+≥,+≥,三式相加得:2≥++,所以++≥++.8.(用分析法或者综合法证明)已知a>6,求证:-<-. 【证明】要证-<-,只需证明:+<+,只需证明:<,只需证明:(a-3)(a-6)<(a-4)(a-5),只需证明:a2-9a+18<a2-9a+20,只需证明:18<20,显然成立,所以a>6时,-<-.【补偿训练】已知a>0,->1,求证:>.【证明】要证明>,只需证>1,即(1+a)(1-b)>1.只要证a-b-a b>0成立.因为a>0,->1.所以a>0,b>0,>0,所以a-b-ab>0成立.故>成立.一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知x>0,y>0,则下列关系式成立的是( )A.(x2+y2>(x3+y3B.(x2+y2=(x3+y3C.(x2+y2<(x3+y3D.(x2+y2≤(x3+y3【解析】选A.(x2+y2>(x3+y3成立,下面证明:要证明(x2+y2>(x3+y3,只需证(x2+y2)3>(x3+y3)2,即证x6+3x4y2+3x2y4+y6>x6+2x3y3+y6,即证3x4y2+3x2y4>2x3y3.因为x>0,y>0,所以x2y2>0,即证3x2+3y2>2xy.因为3x2+3y2>x2+y2≥2xy,所以3x2+3y2>2xy成立.所以(x2+y2>(x3+y3.2.(2016·青岛高二检测)设a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是( ) A.a2+b2+c2≥2 B.(a+b+c)2≥3C.++≥2D.abc(a+b+c)≤【解析】选B.因为a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥3(ab+bc+ca)=3.当且仅当a=b=c时取等号.二、填空题(每小题5分,共10分)3.设a=-,b=-,c=-,则a,b,c的大小顺序是________.【解析】用分析法比较,a>b⇔+>+⇔8+2>8+2.同理可比较得b>c.所以a>b>c. 答案:a>b>c4.当c>0,m=-,n=-时,m,n的大小关系是________.【解析】由<=,得+<2,即-<-,即m<n.答案:m<n三、解答题(每小题10分,共20分)5.若不等式++>0在条件a>b>c时恒成立,求实数λ的取值范围.【解析】不等式可化为+>.因为a>b>c.所以a-b>0,b-c>0,a-c>0,所以λ<+恒成立.因为+=+=2++≥2+2=4.所以λ<4.故实数λ的取值范围是(-∞,4).6.(2016·成都高二检测)已知a,b是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞).求证:+≥,指出等号成立的条件.【证明】+-==≥0.当且仅当ay=bx时等号成立.。

高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.2综合法与分析法a45a高二45数学

高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.2综合法与分析法a45a高二45数学


12/9/2021
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因为 abc＝2， 所以 a，b，c 不能同时取 1， 所以“＝”不同时成立． 所以(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8 abc＝8 2. 故(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8 2.
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类型 2 分析法证明不等式
1
[典例 2] 已知 x＞0，y＞0，求证：(x2＋y2)2＞(x3＋
b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．b＞c＞a
解析：由已知，可得出a＝ 242 ，b＝
4 7＋
3 ，c＝
4 6＋
， 2
因为 7＋ 3＞ 6＋ 2＞2 2，所以b＜c＜a.
答案：B
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第十二页，共三十四页。
5．若a＞b＞c，则
1 b－c
与
1 a－c
的大小关系为
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[变式训练] 已知 a＞0，b＞0，c＞0，且 abc＝2. 求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8 2. 证明：因为 a＞0，b＞0，c＞0， 所以 1＋a≥2 a，当且仅当 a＝1 时，取等号， 1＋b≥2 b，当且仅当 b＝1 时，取等号， 1＋c≥2 c，当且仅当 c＝1 时，取等号．
内容(nèiróng)总结
第二(dìèr)讲 证明不等式的基本方法。执果索因
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2．分析法就是从求证的不等式出发，执果索因，不 等式成立的充分条件，直至能肯定所需条件已经具 备．证明的关键是推理的每一步都必须可逆．