山东轻工业学院 08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A 试卷
（本试卷共4页）
说明：本次考试为开卷考试，参加考
试的同
学可以
携带任何资料，可以使用计算器，但上述物品严禁相互借用。 一、简答题（本题满分16分，每小题8分） 1、在§录像机计数器的用途中，仔细推算一下（1）式，写出与（2）式的差别，并解释这个差别；
2、试说明在§中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产费用，在什么条件下可以不考虑它；
二、简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、对于§传染病的SIR 模型，叙述当σ10>
s 时)(t i 的变化情况
并加以证明。
2、在§捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度E 的减函数， 即)0,0(,>>-=b a bE a c ，请问如何达到最大经济效益
三、简答题（本题满分16分，每小题8分） 1、在§ 随机存储策略中，请用图解法说明为什么s 是方程)()(0S I c x I +=的最小正根。
2、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的能力
四、（本题满分20分）
某中学有三个年级共1000名学生，一年级有219人，二年级有 316人，三年级有465人。现要选20名校级优秀学生，请用下列办
法分配各年级的优秀学生名额：（1）按比例加惯例的方法;（2）Q
值法。另外如果校级优秀学
生名额增加到21个，重新进行分配，并按照席位分配的理想化准则分析分配结果。
五、（本题满分16分）
业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个
就业岗位可供选择。层次结构图如图，已知准则层对目标层的成对比较矩阵
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/15/1213/1531A ，方案层对准则层的成对比较矩阵分别为
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1272/1147/14/111B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=13/17/1313/17312B ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/16/1214/16413B 。 请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。
六、（本题满分16分） 某保险公司欲开发一种人寿保险，投保人需要每年缴纳一定数的额
保险费，如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止（退
保）。 保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估，从而制定合适
的投保金额和理赔金额。各种状态间相互转移的情况和概率如图。试建立马氏链模型分析
选择就业岗位
收入 发展 声誉 岗位1 岗位2 岗位3
山东轻工业学院 08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A 试卷解答
一、简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、 答：由（1）得vt m m mr =++2
)1(22πωπ， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 将kn m =代入得)2(22
ωππω++=r v kn
n v k t ， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
因为ω>>r 所以r r 22≈+ω，则得（2）。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
2、答：假设每件产品的生产费用为3c ，则平均每天的生产费用为r c 3，每天的平均费用是 r c rT c T c T C 31211112
)(++=， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 下面求1T 使)(11T C 最小，发现
dT T dC dT T dC )()(111=，所以 r
c c T T 2112==，与生产费用无关，所以不考虑。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 二、简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、答：由（14）),1(-=s i dt
di σμ若σ10>s ， 当01
s s <<σ时，
)(,0t i dt di >增加; 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 当σ
1=s 时，)(,0t i dt di =达到最大值m i ； 当σ1
)(,0t i dt di <减少且由1.知0=∞i 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 2、 答：E bE a S )(-=，则E bE a pEx S T R )(--=-=， 。。。。。。。。。。。。。。2分 将)1(0r E N x -=代入，得 2)()()(E r
pN b E a pN E R -+-=，。。。。。。。。。。。。。。5分 令0='R 得pN rb pN a r E R --⋅=
2。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 三、简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、由于方程（4）左边随着S 的增加单调递增，因此)(u J 有唯一驻点x S u -=且为最小值点。从而)(u J 是下凸的。而由)(u J 和)(x I 的表达式的相似性知)(x I 也是下凸的，而且在S x =处达最小值
)(S I 。 。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 记)}()({0S I c x I x A +≤=， )}()({0S I c x I x B +>=则集合A 与B 的分界点即为订货点s ，此即方程)()(0S I c x I +=的最小正根 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
2、答：（回答要点）培养想象力和洞察力。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
四、（本题满分20分）
解：20个席位：（1）、38.4201000219=⨯，32.6201000316=⨯，30.9201000
465=⨯因此比例加惯例分配结果为5、6、9个。（2）三方先分得4、6、9个，=⨯=5421921Q ，=⨯=7
63162
2Q =⨯=10
94652
3Q ，3Q 最大，按Q 值法分配结果为4、6、10个。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 21个席位：（1）599.4211000219=⨯，636.6211000316=⨯，765.9211000
465=⨯因此比例加惯例分配
