武汉中学高二下学期数学总复习试题(7)

湖北省武汉市高二下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分） (2019高二上·长治月考) 以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是（）A .B .C .D .2. （2分）在棱长为1的正方体中，则平面与平面间的距离（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高三上·城关期中) 甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（）A . 甲B . 乙C . 丙D . 丁4. （2分）直线与抛物线交于两点，为坐标原点，且，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分）已知A={x|x2+（P+2）x+4=0}，M={x|x＞0}，若A∩M=∅，则实数P的取值范围________．6. （1分）(2019·浙江) 复数（i为虚数单位），则|z|=________7. （1分）(2019·金华模拟) 位同学分成组，参加个不同的志愿者活动，每组至少人，其中甲乙人不能分在同一组，则不同的分配方案有________种．（用数字作答）8. （1分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次冥项的系数之和为32，则a=________ 。

9. （1分）如图，在四面体ABCD中，已知AB=2，BC=1，AD=3，CD=4且AD⊥AB，BC⊥AB，则二面角C﹣AB﹣D的余弦值为________．10. （1分） (2018高二上·武邑月考) 过点作直线交轴于点，过点作交轴于点，延长至点，使得，则点的轨迹方程为________．11. （1分）已知i是虚数单位，则i2015=________12. （1分）一组数据的方差等于零，则极差等于________一组数据的方差等于1，则标准差等于________．13. （1分） (2019高二上·城关期中) 在圆x2＋y2＝5x内，过点有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a1 ，最长弦长为an ，若公差，那么n的取值集合为________.14. （1分） (2018高二下·衡阳期末) 长方体的8个顶点都在球O的表面上，为的中点，，，且四边形为正方形，则球的直径为________.15. （1分） (2017高二下·寿光期中) 某校组织10名学生参加高校的自主招生活动，其中6名男生，4名女生，根据实际要从10名同学中选3名参加A校的自主招生，则其中恰有1名女生的概率是________．16. （1分） (2019高二下·上海期末) 对于无理数x,用表示与x最接近的整数,如 , .设，对于区间的无理数x,定义 ,我们知道,若 , 和 ,则有以下两个恒等式成立：① ；② ,那么对于正整数和两个无理数 , ,以下两个等式依然成立的序号是________；① ；② .三、解答题 (共5题；共65分)17. （10分） (2016高二上·嘉兴期中) 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M 是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：（1）AP∥平面BDM；（2）AP∥GH．18. （10分） (2015高二下·徐州期中) 已知（x+ ）n展开式的二项式系数之和为256（1）求n；（2）若展开式中常数项为，求m的值；（3）若展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的值．19. （15分） (2016高二下·辽宁期中) 公车私用、超编配车等现象一直饱受诟病，省机关事务管理局认真贯彻落实党中央、国务院有关公务用车配备使用管理办法，积极推进公务用车制度改革．某机关单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属于两个独立业务部门．为配合用车制度对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5，该地区汽车限行规定如下：车尾号0和51和62和73和84和9限行日星期一星期二星期三星期四星期五现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A，B两车出车情况相互独立．（1）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；（2）设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E（X）．20. （15分） (2018高二下·张家口期末) 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），将圆上每一个点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线 .（1）求直线的普通方程及曲线的参数方程；（2）设点在直线上，点在曲线上，求的最小值及此时点的直角坐标.21. （15分）已知数列的前n项和，其中．（1）证明：是等比数列，并求其通项公式；（2）若，求．参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共65分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。

湖北省武汉市高二下学期数学期末考试试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·佛山月考) 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点为（）A .B .C .D .2. （2分）若是向量，则“”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2019高二上·贵阳期末) 某单位为了了解用电量y度与气温x°C之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温x（°C）181310﹣1用电量（度）24343864由表中数据得线性回归方程近似为，预测当气温为﹣4°C时，用电量度数为（）A . 68B . 67C . 65D . 644. （2分）用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（）A . 3B . 4C . 6D . 125. （2分） (2017高三上·甘肃开学考) 公差不为0的等差数列{an}中，3a2005﹣a20072+3a2009=0，数列{bn}是等比数列，且b2007=a2007 ，则b2006b2008=（）A . 4B . 8C . 16D . 366. （2分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m,3)到焦点的距离为5，则抛物线方程为（）A .B .C .D .7. （2分）在中，若，则A等于（）A . 或B . 或C . 或D . 或8. （2分）已知命题p：∀x＞0，x2﹣1≥2lnx，则￢p为（）A . ∃x≤0，x2﹣1＜2lnxB . ∃x＞0，x2﹣1＜2lnxC . ∀x＞0，x2﹣1＜2lnxD . ∀x≤0，x2﹣1＜2lnx9. （2分） (2017高二上·定州期末) 任取，直线与圆相交于A,B 两点，则的概率为（）A .B .C .D .10. （2分）数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，则数列{an}的通项公式为（）A . =2n﹣1B .C .D .11. （2分）已知焦点在y轴上的椭圆，其离心率为，则实数m的值是（）A . 4B .C . 4或D .12. （2分） (2016高二下·孝感期末) 设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，且f（1）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为（）A . （﹣1，0）∪（1，+∞）B . （﹣1，0）∪（0，1）C . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D . （﹣∞，﹣1）∪（0，1）二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2017高一下·哈尔滨期末) 设x，y满足约束条件，则的最小值为________ .14. （1分） (2020高二上·兰州期末) 已知函数的图象在点M（1 ,f（1））处的切线方程是+2,则的值等于________15. （1分）若f（n）为n2+1（n∈N*）的各位数字之和，如142+1=197，1+9+7=17，则f（14）=17，记f1（n）=f（n），f2（n）=f〔f1（n）〕，…，fk+1（n）=f〔fk（n）〕，k∈N* ，则f2012（8）=________．16. （2分）抛物线y=ax2的焦点为F（0，1），P为该抛物线上的动点，则a= ________ ；线段FP中点M的轨迹方程为________三、解答题 (共7题；共60分)17. （15分） (2016高一下·随州期末) 已知数列{an}是首项为a1= ，公比q= 的等比数列，设bn+2=3an（n∈N*），数列{cn}满足cn=an•bn ．（1）求证：{bn}是等差数列；（2）求数列{cn}的前n项和Sn；（3）若cn≤ +m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．18. （10分） (2017高二上·长春期末) 某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价（百元）与日销售量（件）之间有如下关系：（1）求关于的回归直线方程；（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？相关公式：，．19. （5分）(2018·南充模拟) 汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟从2012年开始就对二氧化碳排放量超过的型汽车进行惩罚，某检测单位对甲、乙两类型品牌汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下(单位： )：甲80110120140150乙100120100160经测算发现，乙类型品牌汽车二氧化碳排放量的平均值为 .（Ⅰ）从被检测的5辆甲类型品牌车中任取2辆，则至少有1辆二氧化碳排放量超过的概率是多少？(Ⅱ)求表中，并比较甲、乙两类型品牌汽车二氧化碳排放量的稳定性.，其中，表示的平均数，表示样本数量，表示个体，表示方差)20. （5分） (2016高三上·嘉兴期末) 已知抛物线与直线交于两点，，点在抛物线上，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求点的坐标．21. （10分）已知函数f（x）=ax3﹣x2（a∈R）在处取得极值．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间．22. （10分）(2018·长春模拟) 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：，： .（1）求与的交点的极坐标；（2）设点在上，，求动点的极坐标方程.23. （5分）设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、第11 页共11 页。

湖北省武汉市高二下学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·辽宁期中) 复数的虚部是（）A . iB .C . - iD . -2. （2分）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）A .B .C .D .3. （2分）(2016·海南模拟) 设f（x）= ，则 f（x）dx等于（）A . ﹣cos1B . ﹣cos1C . +cos1D . +cos14. （2分）圆与直线-3有公共点的充分不必要条件是（）A . 或B .C .D . 或5. （2分）(2018·山东模拟) 在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩服从N（80， 2）( >0)，若在(70，90)内的概率为0.8，则落在[90，100]内的概率为（）A . 0.05B . 0.1C . 0.15D . 0.26. （2分）函数在某一点的导数是（）A . 在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B . 一个函数C . 一个常数，不是变数D . 函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率7. （2分）(2018·凯里模拟) 已知复数，则（）A . 0B . 1C .8. （2分）(2018·中山模拟) 从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位（）A . 85B . 49C . 56D . 289. （2分）为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为A . 0.1%B . 1%C . 99%D . 99.9%10. （2分） (2016高二上·吉林期中) 下列语句不是命题的有（）①x2﹣3=0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3+1=5；④5x﹣3＞6．A . ①③④B . ①②③C . ①②④D . ②③④11. （2分）(2013·新课标Ⅰ卷理) 设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）B . 6C . 7D . 812. （2分）已知函数f（x）=x3+ax在[1，+∞）上是增函数，则a的最小值是（）A . ﹣3B . ﹣2C . 2D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·枣庄模拟) 在的展开式中，x的系数为________．（用数字作答）14. （1分） 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率________．15. （1分） (2018高二上·沭阳月考) 曲线在点处的切线方程为________.16. （1分） (2018高二下·龙岩期中) 某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温（如表），并求得线性回归方程为:914-1184830不小心丢失表中数据c，d，那么由现有数据知 ________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．设圆C：（θ为参数）上的点到直线l：ρcos（θ﹣）=k的距离为d．①当k=3时，求d的最大值；②若直线l与圆C相交，试求k的取值范围．18. （10分）为了解某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：千元/吨）和利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：x12345y76542（1）求y关于x的线性回归方程 = x﹣；（2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？（保留两位小数）参考公式： = = ， = ﹣．19. （10分）(2017·延边模拟) 微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2．（1）确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图；（2）为进一步了解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随积选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望．使用微信时间（单频数频率位：小时）（0，0.5]30.05（0.5，1]x p（1，1.5]90.15（1.5，2]150.25（2，2.5]180.30（2.5，3]y q合计60 1.0020. （5分）(2017·上高模拟) 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，平面AED⊥平面ABCD，AB=EA= ED，EF∥BD（I）证明：AE⊥CD（II）在棱ED上是否存在点M，使得直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．21. （5分）已知函数f（x）=x3+ax．（Ⅰ）当x=1时，f（x）=x3+ax有极小值，求a的值；（Ⅱ）若过点P（1，1）只有一条直线与曲线y=f（x）相切，求a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，判断过点A（0，3），B（2，0），C（﹣2，﹣2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切．（只需写出结论）22. （10分） (2016高三上·汕头模拟) 已知函数f（x）=xetx﹣ex+1，其中t∈R，e是自然对数的底数．（1）若方程f（x）=1无实数根，求实数t的取值范围；（2）若函数f（x）在（0，+∞）内为减函数，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、。

武汉中学高二下学期数学总复习试题(5)武汉中学 柏任俊一、选择题：1. ABCD —A 1B 1C 1D 1是单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A 动身沿棱爬行，每走完一条棱称为“走完一段”。

白蚂蚁爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i ＋2段与第i 段所在直线必须是异面直线（其中i ∈N ＋），设两蚂蚁都走完第2003段后分别停在正方体的一个顶点处，则黑白蚂蚁的距离是 （ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．02.将三棱锥P —ABC （如图甲），沿三条侧棱剪开后，展开成如图乙的形状，其中P 1、B 、P 2共线，P 2、C 、P 3共线，且P 1P 2 ＝ P 2P 3，则在三棱锥P —ABC 中，PA 与BC 所成的角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3.湖面上漂着一个球，湖面结冰后将球取出，冰面上留下一个圆面直径为24，深为8的穴，则该球的表面积为 （ ） A ．676π B ．576π C ．512π D ．256π4.()()3511x x +⋅-的展开式中3x 的系数为 （ ）A ．6-B ．6C ．9-D ．95.如图,在杨辉三角中,斜线l 的上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列： 1,3,3,4,6,5,10,……，记其前n 项和为n S ,则19S 等于 （ ） A ．129 B ．172C ．228D ．2836.从－3, －2, －1, 0, 1, 2, 3, 4这8个数中任选3个不同的数组成二次函数y=a x 2+bx+c 的系数a , b, c, 则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线有 （ ） A ．72条 B ．96条 C ．128条 D ．144条 7.设x ＝x 1+ x 2+…+ x nn， p ＝ (x 1 －x )2＋ (x 2 －x )2＋…＋ (x n －x )2， q ＝ (x 1－ a )2＋ (x 2 －a )2＋…＋ (x n －a )2，若 x ≠a ，则一定有 （ ）A ．p ＞qB ．p ＝qC ．p ＜qD ．与a 的值有关C C ABP 1 P 2 P 3 （甲）（乙）1 …8.已知样本均值＝ 5，样本方差S 2＝100，若将所有的样本观看值都乘以15 后，则新的样本均值和样本标准差S ′分别为（ ）A ．1，4B ．1，2C ．5，4D ．25，2 9.设()f x 为可导函数，且满足12)21()1(lim-=--→xx f f x ，则过曲线()y f x =上点()()1,1f 处的切线率为（ ）A ．2B ．-1C ．1D ．-2 10.函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示，则)1()1(f f +-的值一定 （ ） （A ）等于0 （B ）大于0 （C ）小于0 （D ）小于或等于2-二、填空题：11.已知四个面差不多上直角三角形的三棱锥，其中三个面展开后构成一个直角梯形ABCD ，如图AD ⊥AB ，AD ⊥DC ，AB ＝1，BC＝3，CD ＝2，则那个三棱锥的外接球的表面积是 （结果可含π）12.设二项式nxx )13(3+的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若P+S=272，则n 等于 . 13.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b,且a,b ∈{0，1，2，…..,9},若|a -b| ≤1,则称甲乙”心有灵犀”.现任意找两个人玩那个游戏,得出他们”心有灵犀”的概率为 .14.某招呼站，每天均有三辆开往省城南京的分为上、中、下等级的客车。

湖北省武汉市华科附中2024届高二（下）测试数学试题及答案（解析版）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设R a ∈，则“3a =-”是“直线1:210l ax y +-=与直线2:(1)20l a x ay ++-=垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.重要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线1:210l ax y +-=与直线2:(1)20l a x ay ++-=垂直则()120a a a ++=，解得0a =或3a =-，则“3a =-”是“直线1:210l ax y +-=与直线2:(1)20l a x ay ++-=垂直”的充分不必要条件.故选：A .2.若函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则000()(2)lim x f x x f x x x∆→-∆-+∆=∆（）A.2B.3C.2- D.3-【答案】D【解析】由已知可得，()01f x '=.根据导数的定义可知，()()()000Δ0Δ2Δlim 1Δ2Δx f x x f x x f x x x→--+'==--，即000()(2)1lim 13x f x x f x x x∆→-∆-+∆-=∆，所以000()(2)lim3x f x x f x x x∆→-∆-+∆=-∆.故选：D.3.已知等比数列{}n a 满足：24682820,8a a a a a a +++=⋅=，则24681111a a a a +++的值为（）A.20 B.10 C.5 D.52【答案】D【解析】在等比数列{}n a 中，由等比数列的性质可得：46288a a a a ⋅=⋅=.所以284624682468284628111120582a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=+===．故选：D4.如图，已知空间四边形OABC ，M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，点G 满足2MG GN = ，设OA a = ，OB b = ，OC c =，则OG =（）A.111333a b c++ B.111633a b c++C.111366a b c++D.111666a b c ++ 【答案】B【解析】()12122323OG OM MG OA MN OA MA AB BN =+=+=+++ ，12112322OA OA OB OA BC ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭，()12112322OA OA OB OA OC OB ⎡⎤=++-+-⎢⎥⎣⎦，111633OA OB OC =++111633a b c =++ .故选：B.5.已知圆221:1O x y +=与圆222:(2)(2)16O x y -+-=，圆I 与圆12O O 、均相切，则圆I 的圆心I 的轨迹中包含了哪条曲线（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】B【解析】由圆221:1O x y +=可得，圆心()10,0O ，半径11r =；由圆222:(2)(2)16O x y -+-=可得，圆心()22,2O ，半径24r =.又()()2212202022O O =-+-=，且1221223O O r r =<=-，所以两圆内含，又12r r <.设圆I 的半径为R .由题意结合图象可得，圆I 应与圆1O 外切，与圆2O 内切.则有1122O I R r O I r R ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，所以2112125O I O I r r O O +=+=>，根据椭圆的定义可得，圆I 的圆心I 的轨迹为椭圆.故选：B.6.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合,两曲线有一个公共点为P ,若||4PF =,则该双曲线的离心率为()A.21+ B.31+ C.31- D.2【答案】A【解析】由题知,抛物线焦准距4p =设(,)P m n ,由||4PF=,得242pm m +=+=,所以2m =不妨设点P 在第一象限,则(2,4)P 双曲线焦半距2c =,焦点是1(2,0),(2,0)F F -根据双曲线的定义12||424a PF PF =-=-,所以222a =-所以离心率221222c e a ===+-.故选:A 7.已知函数()y xf x '=的图象如图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下面四个图象中，()y f x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】由题给函数()y xf x '=的图象，可得当1x <-时，()0xf x '<，则()0f x '>，则()f x 单调递增；当10x -<<时，()0xf x '>，则()0f x '<，则()f x 单调递减；当01x <<时，()0xf x '<，则()0f x '<，则()f x 单调递减；当1x >时，()0xf x '>，则()0f x '>，则()f x 单调递增；则()f x 单调递增区间为(),1-∞-，()1,+∞；单调递减区间为()1,1-故仅选项C 符合要求.故选：C8.在数列{}n a 中，122,a a a ==，且132(2,N )n n a a n n n *+=-++≥∈，若数列{}n a 单调递增，则实数a 的取值范围为（）A.（2，52） B.（2，3） C.（52，4） D.（2，4）【答案】C【解析】因为132(2,N )n n a a n n n *+=-++≥∈，所以()21312(N )n n a a n n *++=-+++∈，328a a =-+，所以23(2,N )n n a a n n *+=+≥∈，又2a a =，328a a =-+，所以数列{}n a 的偶数项按项数从小到大排列可得一公差为3的等差数列，所以当n 为偶数时，332n a n a =+-，当n 为大于等于3的奇数时，3722n a n a =+-，因为数列{a n }单调递增，所以1n n a a -≥(2,N )n n *≥∈，所以当n 为大于等于3的奇数时，()37313222n a n a +->-+-，化简可得4a <，当n 为大于等于4偶数时，()33731222n a n a +->-+-，解得52a >，由21a a >可得，2a >，所以542a <<，故选：C .二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知方程221()169x y k R k k -=∈+-，则下列说法中正确的有（）A.方程221169x y k k-=+-可表示圆B.当9k >时，方程221169x y k k -=+-表示焦点在x 轴上的椭圆C.当169k -<<时，方程221169x y k k -=+-表示焦点在x 轴上的双曲线D.当方程221169x y k k-=+-表示椭圆或双曲线时，焦距均为10【答案】BCD【解析】对于A ，当方程221169x y k k -=+-可表示圆时，1690k k +=->，无解，故A错误.对于B ，当9k >时，22221169169x y x y k k k k -=+=+-+-，169k k +>-，表示焦点在x 轴上的椭圆，故B 正确.对于C ，当169k -<<时.221169x yk k -=+-，160k +>，90k ->，表示焦点在x 轴上的双曲线，故C 正确.对于D ，当方程221169x yk k-=+-表示双曲线时，216925c k k =++-=；当方程221169x y k k-=+-表示椭圆时，216(9)25k k c =+--=，所以焦距均为10，故D 正确.故选：BCD10.若函数21()9ln 2f x x x =-在区间[]1,1m m -+上单调，则实数m 的取值范围可以是（）A ．4m ≥B ．2m ≤C ．12m <≤D ．03m <≤【答案】AC【详解】定义域为()0,∞+，299()x f x x x x'-=-=；由()0f x '≥得函数()f x 的增区间为[)3,+∞；由()0f x '≤得函数()f x 的减区间为(]0,3；因为()f x 在区间[]1,1m m -+上单调，所以1013m m ->⎧⎨+≤⎩或13m -≥解得12m <≤或4m ≥；结合选项可得A,C 正确.故选：AC.11.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…设第n 层有n a 个球，从上往下n 层球的总数为n S ，则（）A.535S =B.1,2n n a a n n --=≥C.1(1)2n n n n S S ++-=D.1231001111200101a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】ABD【解析】由题意可得11a =，当2n ≥时，212a a -=，323a a -=，L ，1n n a a n --=，以上式子累加可得：1(1)2312n n n a n a +=+++=-- ，所以(1)2n n n a +=，当1n =时，该式也成立，所以(1)2n n n a +=.对于A 项，512345136101535S a a a a a =++++=++++=，故A 正确；对于B 项，由前面分析可知：当2n ≥时，1n n a a n --=，故B 正确；对于C 项，11(1)(2)2n n n n n S S a ++++-==，故C 错误；对于D 项，因为12112(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以12100111111112122223100101a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭120021101101⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ABD ．12.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，1CC t =，点Q 是棱1CC 的中点，点P 在底面ABCD 内运动（包括边界），则下列说法正确的有（）A.存在点P 使得1//A P 平面11BCC B B.当2t =时，存在点P 使得直线1A P 与平面ABCD 所成的角为π6C.当2t =时，满足1A P PQ ⊥的点P 有且仅有两个D.当3t =时，满足1A P PQ ⊥的点P的轨迹长度为9【答案】AD【解析】如图建立空间直角坐标系D -xyz ，则()12,0,A t ，0,2,2t Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,0D ，()2,2,0B ，对于A ：由直棱柱的性质可知平面11//A D DA 平面11B C CB ，当P AD ∈时1//A P 平面11BCC B ，故A 正确；对于B ：当2t =时，设(),,0P x y ，[],0,2x y ∈，则()12,,2P x A y =--，显然平面ABCD 的法向量可以为()0,0,1n =，设直线1A P 与平面ABCD 所成的角为θ，则11sin P nP n A A θ⋅==⋅ 若直线1A P 与平面ABCD 所成的角为π6，则1sin 2θ=，即4=，所以()22212x y -+=，因为[],0,2x y ∈，所以()[]220,4x -∈，[]20,4y ∈，所以()[]2220,8x y -+∈，故不存在[],0,2x y ∈使得()22212x y -+=，即不存在点P 使得直线1A P 与平面ABCD 所成的角为π6，故B 错误；对于C ：由()12,,2P x A y =-- ，(),2,1PQ x y =--，因为1A P PQ ⊥，所以()()12220A P PQ x x y y ⋅=--+--=，所以()()22110x y -+-=，所以11x y =⎧⎨=⎩，即()1,1,0P ，所以满足1A P PQ ⊥的点P 有且仅有1个，故C 错误；对于D ：当233t =时，1232,0,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1232,,3A P x y ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，3,2,3PQ x y ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，因为1A P PQ ⊥，所以()()123322033P PQ x x A y y ⋅=--+--⨯，即()()224113x y -+-=33=，又[],0,2x y ∈，则圆心()1,1E ，半径为3的圆与x 轴、y轴分别交于点1,03M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、30,13N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，如下图所示：过点E 作EF AD ⊥交AD 于点F ，则33MF =，所以1sin 2MF MEF ME ∠==，则π6MEF ∠=，又π4DEF ∠=，所以π12MED DEF MEF ∠=∠-∠=，所以π26MEN MED ∠=∠=，圆弧MN的长度π639l =⨯=，所以点P的轨迹长度为9，故D 正确；故选：AD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.圆22:(1)(1)4C x y -++=上到直线:0l x y +-=的距离为1的点的个数为___________．【答案】3【解析】由圆的方程22:(1)(1)4C x y -++=，得到圆心坐标为()1,1C -，半径2r =，∴圆心到直线0x y +=的距离12d ==<，11r ∴-=，则圆上到直线:0l x y +=的距离为1的点的个数为是3．故答案为：3．14.已知数列{}n a 满足13a =，29a =，且21n n n a a a ++=-()*n ∈N ，则2023a =___________．【答案】3【解析】由已知当1n =时，有321936a a a =-=-=，依次可求出43a =-，59a =-，66a =-，73a =，89a =.经过观察可得，数列{}n a 具有周期性，其周期6T =.又202333761=⨯+，所以202313a a ==.故答案为：3.15.若函数()324132x a f x x x =-++在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是___________.【答案】(4，5)【详解】 函数()324132x a f x x x =-++，'2()4f x x ax ∴=-+，若函数()f x 在区间(1,4)上不单调，则()'240f x x ax =-+=在(1,4)上存在变号零点，由240x ax -+=得4a x x =+，令4()g x x x =+，(1,4)x ∈，'2(2)(2)()x x g x x +-=，()g x ∴在()1,2递减，在()2,4递增，而()422+42g ==，()411+51g ==，()444+54g ==，所以45a <<.故答案为：()45，.16.已知点P 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上任意一点，C 的离心率为e ，若圆222:O x y b +=上存在点,A B ，使得150APB ∠=︒，则2e 的最大值为______．【答案】234-【解析】连接OP ，当P 不为C 的上、下顶点时，设直线PM ，PN 分别与圆O 切于点M ，N ，设OPM θ∠=，由题意知150MPN ∠︒≥，即7590θ︒<︒≤，所以sin sin 75θ︒≥，连接OM ，所以||sin||||OM bOP OP θ==624，所以||OP ，又因为max ||OP a =，所以有a 4b a +≥，结合222a b c =+得2222314b e a =-≤．故答案为：234．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.某公司招聘考试分笔试与面试两部分进行，每部分成绩只记“合格”与“不合格”，两部分成绩都合格者则被公司录取.甲、乙、丙三人在笔试部分合格的概率分别为45，23，34，在面试部分合格的概率分别为12，23，35，所有考试是否合格相互之间没有影响.（1）假设甲、乙、丙三人都同时参加了笔试和面试，谁被录取的可能性最大?（2）当甲、乙、丙三人都参加了笔试和面试之后，不考虑其它因素，求三人中至少有一人被录取的概率.【解析】【小问1详解】记甲、乙、丙三人被录取分别为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C 相互独立，则()412525P A =⨯=，()224339P B =⨯=，()3394520P C =⨯=，()()()P A P B P C << ，∴丙被录取的可能性最大.【小问2详解】记三人中至少有一人被录取为事件D ，则D 与A B C 互为对立事件，()()()()()24949111111592060P D P C P P P C A B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=----=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .18.已知数列{}n a 满足12122,log log 1n n a a a +==+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求{}(31)n n a -的前n 项和n S ．【解析】【小问1详解】在数列{}n a 中，因12122,log log 1n n a a a +==+，则12212log log log 1n n n na a a a ++=-=，于是得12n na a +=，因此数列{}n a 是首项为12a =，公比为2的等比数列，所以()1222n n n a n -*=⨯=∈N ．【小问2详解】由（1）知，()()31312nn n a n -=-⨯，则()()231225282342312n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，于是得()()23412225282342312nn n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，两式相减得：()231)43222312(nn n S n +-=+⨯+++--⨯ ()()()1121223312843212n n n n n ++-=-+⨯--⨯=-+-⋅-，所以()18342n n S n +=+-⋅.19.已知函数()e 4=-xf x a x ，a ∈R ．(1)若()f x 在0x =处的切线倾斜角为π4，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间．【解析】（1）()e 4xf x a '=-，令()π04tan14f a '=-==，解得5a =，所以()5e 4xf x x =-，()5e 4xf x ='-，()15e 4f =-，()5e 14f '=-；故切线方程为(54)(54)(1)y e e x --=--，即(54)0e x y --=.（2）因为()e 4xf x a '=-，x ∈R ，①0a ≤时，()0f x '<恒成立，故()f x 是(),-∞+∞上的减函数；②0a >时，令()0f x '=得4ln x a=，由()0f x '<得4lnx a <，()0f x ¢>得4ln x a>，故()f x 的单调减区间为4,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为4ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．综上所述，0a ≤时，()f x 的单调减区间为(),-∞+∞；0a >时，()f x 的单调减区间为4,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为4ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．20.如图，线段1AA 是圆柱1OO 的母线，ABC 是圆柱下底面O 的内接正三角形，13AA AB ==．（1）劣弧BC 上是否存在点D ，使得1O D ∥平面1A AB ？若存在，求出劣弧BD 的长度；若不存在，请说明理由．（2）求平面1CBO 和平面1BAA 夹角的余弦值．【解析】【小问1详解】如图过点O 作AB 的平行线OD 交劣弧BC 于点D ，连接1OO ，1O D ，因为1OO ∥1AA ，1AA ⊂平面1AA B ，1OO ⊄平面1AA B ，则1OO ∥平面1AA B同理可证OD ∥平面1AA B ，1OO OD O = ，且1OO ⊂平面1OO D ，OD ⊂平面1OO D所以平面1AA B ∥平面1OO D ，又因为1O D ⊂平面1OO D ，所以1O D ∥平面1A AB故存在点D 满足题意.因为ABC 为底面O 的内接正三角形，所以3BAC π∠=，即6ABO BOD π∠=∠=，又因为3AB =，所以O的半径为32sin3π=，所以劣弧BD的长度为6226πππ⨯=.【小问2详解】如图取BC 的中点为M ，连接MA ，以MB 为x 轴，MA 为y 轴，过M 作1OO 平行线为z 轴，建立空间直角坐标系，又因为13AA AB ==，设AB 中点为N .故()0,0,0M ，3,0,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，330,,02A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,0,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，30,,02O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，130,,32O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,,044N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，易知平面1AA B的法向量3,,044ON ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面1CBO 的法向量为(),,n x y z =，又因为10,,32MO ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，3,0,02MB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故1·0·0n MO n MB ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即3302302y z x +=⎪⎨⎪=⎪⎩，令y =()0,1n =- 易知平面1CBO 和平面1BAA 夹角为锐角，所以平面1CBO 和平面1BAA 夹角的余弦值为339213n ON n ON⋅==⋅21.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足对任意n *∈N ，都333212n n a a a S +++= ．（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若()2(1)n n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】【小问1详解】证明：当1n =时，322111a S a ==，10a >，所以11a =.当2n ≥时，有333212n n a a a S +++= ，33321211n n a a a S --+++= ，两式相减得()()()3221111n n n n n n n n n n a S S S S S S a S S ----=-=-+=+，所以21n n n a S S -=+，则211n n n a S S ++=+，两式相减得2211n n n n a a a a ++-=+，即()()111n n n n n n a a a a a a +++-+=+，因为数列{}n a 各项均为正数，所以有11n n a a +-=，又2n =时，则()2331212a a a a +=+，即()232211a a +=+，整理可得22220a a --=，解得22a =或21a =-（舍去），所以22a =，满足211a a -=.所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列.【小问2详解】解：由（1）可得，()111n a n n =+-⨯=，所以2(1)n n b n =-⋅.所以，当n 为偶数时，()22111(11)12()n n n n b b n n n --+=⋅--=-+⋅-.当n为偶数时，()()()12341n n n T b b b b b b -=++++++ 22124121n =⨯-+⨯-++- ()()4212222nn n n n ++=-=；当n 为奇数时，()()()()211121122n n n n n n n T T b n +++++=-=-+=-.综上所述，()()1,21,2n n n n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩为偶数为奇数.22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且124A A =，椭圆C 的一条以11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦所在直线的方程为3240x y +-=.（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 为直线4x =上一点，且P 不在x 轴上，直线1PA ，2PA 与椭圆C 的另外一个交点分别为M ，N ，设12PA A △，PMN 的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最大值，并求出此时点P 的坐标.【解析】【小问1详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得，()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=，所以2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=--+，即2222AB y b k x a ⋅=-中中即223122b a-⋅=-，∴2234b a=又1224A A a ==，所以2a =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=.【小问2详解】设()()4,0P t t≠，()11,M x y ，()22,N x y 则1PA ：()26ty x =+，2PA ：()22t y x =-联立22623412x y tx y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，消去x 得()2212182718027t t y ty y t +-=⇒=+同理，联立22223412x y tx y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去x 得()222263603t t y ty y t -++=⇒=+所以121212121sin 0021sin 2PA PA P PA PA S t t S PM PN t y t y PM PN P ∠--==⋅=⋅--∠()()()22222222731869273t t t t t t t t t t ++==-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.令299m t =+>，则()()2212221861210811110812109m m S m m S m m m m m +-+-⎛⎫⎛⎫===-++<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当()112110,2108189m ⎛⎫=-=∈ ⎪⨯-⎝⎭，即18m =，即3t =±时，12S S 取得最大值43.综上所述，当()4,3P ±时，12S S 取得最大值43.。

湖北省武汉市部分重点中学2014- 2015学年高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（x﹣2y）7的展开式中的第4项为（）A．﹣35x4y3B．280x4y3C．﹣280x4y3 D．35x4y3考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：直接利用二项式定理求解即可．解答：解：（x﹣2y）7的展开式中的第4项为：T4==﹣280x4y3．故选：C．点评：本题考查二项式定理的应用，基本知识的考查．2．（2010•江苏模拟）如果随机变量ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则p等于（）A．B．C．D．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：因为ξ服从二项分布，由二项分布的期望和方差公式Eξ=np，Dξ=np（1﹣p）解出p即可．解答：解：如果随机变量ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=np（1﹣p）又Eξ=7，Dξ=6，∴np=7，np（1﹣p）=6，∴p=．点评：本题考查二项分布的期望和方差公式，属基本题型基本方法的考查．3．（2015春•武汉校级期末）已知随机变量x服从二项分布x～B（6，），则P（x=2）等于（）A．B．C．D．考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．专题：概率与统计．分析：随机变量x服从二项分布x～B（6，），表示6次独立重复试验，每次实验成功概率为，P（x=2）表示6次试验中成功两次的概率．解答：解：随机变量x服从二项分布x～B（6，），则P（x=2）==故选：A．点评：本题考查独立重复试验中事件的概率及二项分布知识，属基本题．4．（2010•陕西模拟）在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：①对所求出的回归直线方程作出解释；②收集数据（x i，y i），i=1，2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可形性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是（）A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③①考点：可线性化的回归分析．专题：常规题型．分析：首先收集数据（x i，y i），i=1，2，…，n；根据所搜集的数据绘制散点图．观察散点图的形状，判断线性关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后对所求出的回归直线方程作出解释．解答：解：对两个变量进行回归分析时，首先收集数据（x i，y i），i=1，2，…，n；根据所搜集的数据绘制散点图．观察散点图的形状，判断线性关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后对所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是②⑤④③①故选D．点评：本题考查可线性化的回归分析，考查进行回归分析的一般步骤，是一个基础题，这种题目若出现在大型考试中，则是一个送分题目．5．（2015春•武汉校级期末）在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：年龄23 27 39 41 45 49 50 53 56 58 60 脂肪9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 31.4 33.535.2通过计算得到回归方程为=0.577x﹣0.448，利用这个方程，我们得到年龄37岁时体内脂肪含量为20.90%，那么数据20.90%的意义是（）A．某人年龄37岁，他体内脂肪含量为20.90%B．某人年龄37岁，他体内脂肪含量为20.90%的概率最大C．某人年龄37岁，他体内脂肪含量的期望值为20.90%D．20.90%是对年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量所作出的估计考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：由回归分析的几何意义可知：x=37时，y的预报值为20.901，即20.90%是对年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量所作出的估计．解答：解：利用回归方程为=0.577x﹣0.448，可得x=37时，=20.901，即我们到年龄37岁时体内脂肪含量约为20.90%，故20.90%是对年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量所作出的估计，故选：D．点评：本题考查的知识点是线性回归方程，熟练掌握并正确理解回归分析的实际意义，是解答的关键．6．（2015春•武汉校级期末）已知随机变量ξ服从正态分布，则N（1，4），则P（﹣3＜ξ＜1）=（）参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．A．0.6826 B．0.3413 C．0.0026 D．0.4772考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据随机变量ξ服从正态分布，则N（1，4），可得P（﹣3＜ξ＜1）=P（1﹣4＜ξ＜1+4），即可得出结论．解答：解：∵随机变量ξ服从正态分布，则N（1，4），∴P（﹣3＜ξ＜1）=P（1﹣4＜ξ＜1+4）=0.9544=0.4772，故选：D．点评：本题考查概率的计算，考查正态分布曲线的特点，考查学生的计算能力，比较基础．7．（2014•安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（）A．24对B．30对C．48对D．60对考点：排列、组合及简单计数问题；异面直线及其所成的角．专题：排列组合．分析：利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果．解答：解：正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有=66条，同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，不满足题意的共有：3×6=18．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有：66﹣18=48．故选：C．点评：本题考查排列组合的综合应用，逆向思维是解题本题的关键．8．（2015春•武汉校级期末）某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，求不同安排方案的种数，现有四位同学分别给出下列四个结果①；②26﹣7；③，其中正确的结论是（）A．①B．②与③C．①与②D．①②③考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：由排列组合的知识易得，直接法，C62+C63+C64+C56+C66种，间接法，26﹣（C60+C61）=26﹣7种，可得答案．解答：解：6间电脑室至少开放2间即开放2间或3间或4间或5间或6间，共有C62+C63+C64+C56+C66种方案，故②正确；间接法，总的情况共26种，不合题意的有C60+C61种，故共有26﹣（C60+C61）=26﹣7种方案，故③也正确，故选：B．点评：本题考查简单的排列组合问题，属基础题．9．（2015•聊城二模）将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（）A．80 B．120 C．140 D．50考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：本题是一个分步计数问题，首先选2个放到甲组，共有C52种结果，再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置，每组至少一人，共有C32A22，相乘得到结果，再表示出甲组含有3个人时，选出三个人，剩下的两个人在两个位置排列．解答：解：由题意知本题是一个分步分类计数问题，首先选2个放到甲组，共有C52=10种结果，再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置，每组至少一人，共有C32A22=6种结果，∴根据分步计数原理知共有10×6=60，当甲中有三个人时，有C53A22=20种结果∴共有60+20=80种结果故选A．点评：本题考查排列组合及简单计数问题，本题是一个基础题，解题时注意对于三个小组的人数限制，先排有限制条件的位置或元素．10．（2015春•武汉校级期末）假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1﹣p，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可成功飞行，要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则P的取值范围是（）A．（，1）B．（，1）C．（0，）D．（0，）考点：相互独立事件的概率乘法公式；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：由题意知各引擎是否有故障是独立的，4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，4引擎飞机可以正常工作的概C43p3（1﹣p）+p4，2引擎飞机可以正常工作的概率是p2，根据题意列出不等式，解出p的值．解答：解：每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1﹣p，不出现故障的概率是p，且各引擎是否有故障是独立的，4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；4引擎飞机可以正常工作的概率是C43p3（1﹣p）+p4，2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可成功飞行，2引擎飞机可以正常工作的概率是p2要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，依题意得到C43p3（1﹣p）+p4＞p2，化简得3p2﹣4p+1＜0，解得＜p＜1．故选B点评：本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，考查一元二次不等式的解法，是一个综合题，本题也是一个易错题，注意条件“4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行”的应用．11．（2015春•武汉校级期末）一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是（）A． B． C．D．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：先由条件求得灯不亮的概率，再用1减去此概率，即得所求．解答：解：开关C断开的概率为，开关D断开的概率为，开关A、B至少一个断开的概率为1﹣=，开关E、F至少一个断开的概率为1﹣=，故灯不亮的概率为=，故灯亮的概率为1﹣=，故选：B．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，等可能事件的概率，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．12．（2015春•武汉校级期末）执行某个程序，电脑会随机地按如下要求给图中六个小圆涂色．①有五种给定的颜色供选用；②每个小圆涂一种颜色，且图中被同一条线段相连两个小圆不能涂相同的颜色．若电脑完成每种涂色方案的可能形相同，则执行一次程序后，图中刚好有四种不同的颜色的概率是（）A． B．C． D．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：分别讨论满足条件的涂色的总数，以及刚好有四种不同的颜色的数目，利用概率公式进行求解即可．解答：解：分两步来进行，先涂A、B、C，再涂D、E、F．①若5种颜色都用上，先涂A、B、C，方法有种；再涂D、E、F中的两个点，方法有种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有••2=720种．②若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有种；先涂A、B、C，方法有种；再涂D、E、F中的1个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有••3•3=1080种．③若5种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有种；先涂A、B、C，方法有种；再涂D、E、F，方法有2种，故此时方法共有••2=120 种．综上可得，不同涂色方案共有 720+1080+120=1920 种，则图中刚好有四种不同的颜色的概率是=．故选：A点评：本题主要考查古典概型的概率的计算，利用排列组合的基础知识与分类讨论思想是解决本题的关键．难度较大．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．（2015春•武汉校级期末）二项式（1+sinx）6的展开式中二项式系数最大的一项的值为，则x在内的值为．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：由条件利用二项展开式的通项公式求得sinx=，由此在内，求得x的值．解答：解：二项式（1+sinx）6的展开式中二项式系数最大的一项的值为•sin3x=，∴sin3x=，sinx=，在内，x=，故答案为：．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，根据三角函数的值求角，属于基础题．14．（2015春•武汉校级期末）对有关数据的分析可知，每一立方米混凝土的水泥用量x（单位：kg）与28天后混凝土的抗压度y（单位：kg/cm2）之间具有线性相关关系，其线性回归方程为=0.30x+9.7．根据建设项目的需要，28天后混凝土的抗压度不得低于90.7kg/cm2，每立方米混凝土的水泥用量最少应为270 kg．考点：线性回归方程．专题：函数的性质及应用．分析：28天后混凝土的抗压度不得低于90.7kg/cm2，代入线性回归方程为=0.30x+9.7，从而可求出x的范围，从而求出所求答案．解答：解：∵每立方米混凝土的水泥用量x（单位：kg）与28天后混凝土的抗压强度y （单位：kg/cm2）之间具有线性相关关系，其线性回归方程为=0.30x+9.7，以及某个建设项目的须要，28天后混凝土的抗压强度不得低于90.7kg，∴=0.30x+9.7≥90.7，解得x≥270，即每立方米混凝土的水泥用量最少应为270kg．故答案为：270．点评：本题考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，用来预报当自变量取某一个数值时对应的y的值，属于基础题．15．（2015春•武汉校级期末）某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮四级以上风的概率为，既刮四级以上风又下雨的概率为，设事件A为下雨，事件B为刮四级以上的风，那么P（B|A）= ．考点：条件概率与独立事件．专题：计算题；概率与统计．分析：确定P（A）=，P（B）=，P（AB）=，再利用条件概率公式，即可求得结论．解答：解：由题意P（A）=，P（B）=，P（AB）=，∴P（B|A）==．故答案为：．点评：本题考查概率的计算，考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（2015春•武汉校级期末）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0﹣1三角数表、从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第2n﹣1行；第62行中1的个数是32 ．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据图中三角形是将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，结合杨辉三角我们易得到第1行，第3行，第7行，…全都是1，则归纳推断可得：第n次全行的数都为1的是第2n﹣1行；由此结论我们可得第63行共有64个1，逆推即可得到第62行中1的个数解答：解：由已知中的数据第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 1 1…全行都为1的是第2n﹣1行；全行都为1的是第2n﹣1行；∵n=6⇒26﹣1=63，故第63行共有64个1，逆推知第62行共有32个1，故答案为：32．点评：本题考查了归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质，（2）从已知某些相同性质中推出一个明确表达的一般性命题三、解答题（本大题共6个题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2014•芙蓉区校级模拟）从4名男生，3名女生中选出三名代表，（1）不同的选法共有多少种？（2）至少有一名女生的不同的选法共有多少种？（3）代表中男、女生都有的不同的选法共有多少种？考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题．分析：（1）根据题意，要从7人中选出3名代表，由组合数公式可得答案；（2）至少有一名女生包括3种情况，①、有1名女生、2名男生，②、有2名女生、1名男生，③、3名全是女生，由组合数公式可得每种情况的选法数目，由分类计数原理计算可得答案；（3）由（1）可得，从7人中选出3人的情况有C73种，从中排除选出的3人都是男生的情况与选出的3人是女生的情况，即可得答案．解答：解：（1）根据题意，共有7人，要从中选出3名代表，共有选法种；（2）至少有一名女生包括3种情况，①、有1名女生、2名男生，有C31C42种情况，②、有2名女生、1名男生，有C32C41种情况，③、3名全是女生，有C33种情况，则至少有一名女生的不同选法共有种；（3）由（1）可得，从7人中选出3人的情况有C73种，选出的3人都是男生的情况有C43种，选出的3人是女生的情况有C33种，则选出的3人中，男、女生都要有的不同的选法共有种．点评：本题考查排列、组合的运用，注意灵活运用分类计数原理，关键是明确事件之间的关系．18．（2015春•武汉校级期末）已知（+2x）n．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：（1）第k+1项的二项式系数为C n k，由题意可得关于n的方程，求出n．而二项式系数最大的项为中间项，n为奇数时，中间两项二项式系数相等；n为偶数时，中间只有一项．（2）由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n的方程，求出n．而求展开式中系数最大的项时，可通过解不等式组求得，假设T k+1项的系数最大，T k+1项的系数为r k，则有解答：解：（1）∵C n4+C n6=2C n5，∴n2﹣21n+98=0，∴n=7或n=14．当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，∴T4的系数=C73（）423=，T5的系数=C74（）324=70．当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T8．∴T8的系数=C147（）727=3432．（2）由C n0+C n1+C n2=79，可得n=12，设T k+1项的系数最大．∵（+2x）12=（）12（1+4x）12，∴∴9.4≤k≤10.4，∴k=10，∴展开式中系数最大的项为T11．T11=（）12C1210410x10=16896x10．点评：本题考查二项展开式中二项式系数和与系数和问题，难度较大，易出错．要正确区分这两个概念．19．（2015春•武汉校级期末）某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计学习积极性高18 7 25学习积极性一般 6 19 25合计24 26 50（1）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（2）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？说明理由．附：P（x2≥k）0.05 0.01k 3.841 6.635考点：独立性检验．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）根据古典概型的概率公式计算概率即可；（2）计算观测值x2的值，对照表中数据得出统计结论．解答：解：（1）随机抽查这个班的一名学生，有50种不同的抽查方法，由于积极参加班级工作的学生有18+6=24人，所以有24种不同的抽法，因此由古典概型的计算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是P1==，又因为不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是P2=．（2）由x2统计量的计算公式得x2=≈11.538，由于11.538＞10.828，所以可以有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系”．点评：本题考查了古典概型的应用问题，也考查了两个变量线性相关的应用问题，是基础题目．20．（2014•襄城区校级模拟）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；（3）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．专题：概率与统计．分析：（1）利用古典概率计算公式结合排列组合知识，能求出至少两次试验成功的概率．（2）根据乙小组在第四次成功前共有三次失败，可知乙小组共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，所以各种可能的情况数为=12种，由此能求出结果．（3）由题意ξ的取值为0，1，2，3，4，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出ξ的期望．解答：解：（1）甲小组做了三次试验，至少两次试验成功的概率为：P（A）==．（2）根据乙小组在第四次成功前共有三次失败，可知乙小组共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，所以各种可能的情况数为=12种，所以所求的概率为P（B）=12×=．（3）由题意ξ的取值为0，1，2，3，4，P（ξ=0）==，P（ξ=1）=+=，P（ξ=2）=++=，P（ξ=3）=+=，P（ξ=4）=•=，∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 4PEξ==．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．21．（2015•山东一模）2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：福娃名称贝贝晶晶欢欢迎迎妮妮数量 1 1 1 2 3从中随机地选取5只．（Ⅰ）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；（Ⅱ）若完整地选取奥运会吉祥物记10分；若选出的5只中仅差一种记8分；差两种记6分；以此类推．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据排列组合知识得出P=运算求解即可．（Ⅱ）确定ξ的取值为：10，8，6，4．分别求解P（ξ=10），P（ξ=8），P（ξ=6），P（ξ=4），列出分布列即可．解答：解：（Ⅰ）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率P===，（Ⅱ）ξ的取值为：10，8，6，4．P（ξ=10）==，P（ξ=8）=，P（ξ=6）==，P（ξ=4）==ξ的分布列为：ξ10 8 6 4P﹣Eξ==7.5．点评：本题综合考查了运用排列组合知识，解决古典概率分布的求解问题，关键是确定随机变量的数值，概率的求解，难度较大，仔细分类确定个数求解概率，属于难题．22．（2015•山东一模）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣ax﹣x2．（Ⅰ）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）讨论f（x）在定义域上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意正整数n，ln（n+1）＜2+．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（I）由，f′（1）=0，知，由此能求出a．（Ⅱ）由，令f′（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞），讨论两个根及﹣1的大小关系，即可判定函数的单调性；（Ⅲ）当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，由此能够证明ln（n+1）＜2+．解答：解：（1）因为，令f'（1）=0，即，解得a=﹣4，经检验：此时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，∴f（x）在x=1处取极大值．满足题意．（2），令f'（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞）①当，即a≥0时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；②当，即﹣2＜a＜0时，若x∈（﹣1，，则f'（x）＜0，f（x）递减；若，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f （x）递减；③当，即a=﹣2时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣1，+∞）内递减，④当，即a＜﹣2时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＜0，f（x）递减；若x∈（0，，则f'（x）＞0，f（x）递增；若，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；（3）由（2）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，∵，∴，i=1，2，3，…，n，∴，∴．点评：本题考查函数极值的意义及利用导数研究函数的单调性，证明：对任意的正整数n．解题时要认真审题，注意导数的合理运用，恰当地利用裂项求和法进行解题．。

湖北省武汉市第七中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知点()1,0A ，()3,1B ，若直线AB 与直线10x my -+=垂直，则m =（ ） A ．2-B ．12-C ．12D ．22．设f (x )是可导函数，且()013(1)li 2m x f x f x∆→-∆-=∆，则()1f '=（ ）A ．2B ．23-C ．-1D ．-23．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5985a a a +=+，117a =，则16S =（ ） A ．64B ．80C ．96D ．1204．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是（其中O 为坐标原点）（ ） A ．OM OA OB OC =--u u u u r u u u r u u u r u u u rB ．111532OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u rC ．0OM OA OB OC +++=u u u u r u u u r u u u r u u u r rD ．0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r5．若()f x 在R 上可导，()()23522f x x f x =-'-，则()2f '=（ ）A ．1B ．－1C ．－2D ．26．函数()f x 的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）A ．()()()()12210f f f f <<-'<'B ．()()()()22110f f f f '<'<-<C ．()()()()12120f f f f '<'<-<D ．()()()()21120f f f f '<'-<<7．下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形，A 、B 是多边形的顶点，椭圆过(A B 和）且均以图中的12F F 、为焦点，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为123e e e 、、，则（ ）A ．123e e e >>B ．312e e e >>C ．123e e e <<D ．132e e e <<8．已知函数()23ln af x x x x x=-+，若m ∀，()0,n ∈+∞，且m n ≠时，都有()()220nf m mf n m n n m->-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),16-∞-B ．(],16-∞-C ．(),2-∞-D ．(],2-∞-二、多选题9．下列命题正确的有（ ）A ．已知函数()f x 在R 上可导，若()12f '=，则()()12Δ1lim 2Δx f x f x∆→+-=B ．2cos sin cos x x x x x x '+⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．已知函数()()ln 21f x x =+，若()01f x '=，则012x =D ．设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()232ln f x x xf x '=++，则()924f '=-10．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）A ．若向量a r ，b r 与空间任意向量都不能构成基底，则a r ∥b r；B ．若非零向量a r ，b r ，c r 满足a b ⊥r r，b c ⊥r r ，则有a r ∥c r ；C ．若OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，则A ，B ，C ，D 四点共面；D ．若a r ，b r ，c r 是空间的一组基底，则向量a b +r r ，b c +r r ，c a +r r也是空间一组基底； 11．设定义在R 上的可导函数()f x 和()g x 满足()()f x g x '=， ()()g x f x '=， ()f x 为奇函数，且()01g =. 则下列选项中正确的有（ ）A ．()g x 为偶函数B ．()f x 为周期函数C ．()g x 存在最大值且最大值为1D ．()()()()()g x y g x g y f x f y +=+三、填空题12．已知集合{}|12M x x =+≤，{}21xN x =>，则M N ⋂=13．已知函数()2ln 2f x x x =-在点()()1,1f 处的切线过点(),,0,0a b a b >>，则13a b+的最小值为.14．若P ，Q 分别是抛物线2x y =与圆()2231x y -+=上的点，则PQ 的最小值为．四、解答题15．已知圆C 的方程为x 2﹣2x +y 2﹣3＝0． (1)求过点（3，2）且与圆C 相切的直线方程；(2)若直线y ＝x +1与圆C 相交于A ，B ，求弦长|AB |的值．16．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．在如图所示的“阳马”P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面ABCD ，2AB AD PA ===．记PAD V 的重心为G ．(1)求点G 到平面PBC 的距离．(2)求平面GBD 与平面PBC 夹角的大小． 17．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>过点(2,1)P ，且离心率e =(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求PAB V 的面积的最大值．18．已知各项均不为零的数列{}n a 满足11a =，其前n 项和记为n S ，且222*12,2,n n nS S n n n a --=≥∈N ，数列{}n b 满足*1,n n n b a a n +=+∈N ． (1)求23100,,a a S ；(2)求数列{}3nn b ⋅的前n 项和n T ．19．设函数()e xf x ax =-，a ∈R ．(1)当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程； (2)讨论函数()f x 的单调性；(3)若()f x x ≥在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．。