重磅-最新圆与方程知识点总结典型例题

圆的方程考点一：求圆的方程1.过两点P (2,2)、Q (4,2)，且圆心在直线x －y ＝0上的圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y －3)2＝2B ．(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝2C ．(x －3)2＋(y －3)2＝ 2D ．(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝ 22.求经过点A (10,5)、B (－4,7)，半径为10的圆的方程．3. 求以A (2,2)、B (5,3)、C (3，－1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程．4. 已知A (3，－2)，B (－5,4)，则以AB 为直径的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝1005．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是( )A ．a <－2或a >23B ．－23<a <2 C ．－2<a <0 D ．－2<a <23 6.220x y x y R +-++=表示一个圆，则R 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞ B ．(),2-∞ C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 7. 已知方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求：(1)实数m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径．8.ABC ∆的三个顶点坐标分别为()()()1,5,2,2,5,5A B C ---，求其外接圆的方程．7.一圆经过点)3,4(-P ，圆心在直线012=+-y x 上，且半径为5，求该圆的标准方程。

点关于直线对称8.圆12-)1(22=+-）（y x 关于直线02=--y x 对称的圆的方程为（ ） 9.圆14)3(22=++-）（y x 关于直线0=+y x 对称的圆的方程是（ ） A.14)3(22=-++）（y x B.13)4(22=++-）（y x C.13)4(22=-++）（y x D.14)3(22=-+-）（y x10.经过两点P (－2,4)、Q (3，－1)，且在x 轴上截得的弦长为6的圆的方程．11.已知直线01=-+y x 与圆心为C 的圆4a -)1(22=+-）（y x 相交于B A ,两点，若ABC ∆为等边三角形，则实数=a （ ）A.6-B.6C.6±D.61±12.圆心在x 轴上，半径长为2，且过点），（12-的圆的方程为（ ） A.2)1(22=++y x B.2222=++）（y x C.2)3(22=++y x C.2)1(22=++y x 或2)3(22=++y x13.点P (1，－2)和圆C ：x 2＋y 2＋m 2x ＋y ＋m 2＝0的位置关系是______ 外14．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程是( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5周长最小15.圆过点)4,1(),2,1(--B A ,求：（1）周长最小的圆的方程（2）圆心在直线042=--y x 上的圆的方程。

高中数学圆的方程典型题型归纳总结类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。

常用的圆系方程有如下几种：⑴以为圆心的同心圆系方程⑵过直线与圆的交点的圆系方程⑶过两圆和圆的交点的圆系方程此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。

当时，得到两圆公共弦所在直线方程例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。

分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。

倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。

而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。

解：过直线与圆的交点的圆系方程为：，即………………….①依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得又满足方程①，则故例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。

解：圆和的公共弦方程为，即过直线与圆的交点的圆系方程为，即依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。

即，则代回圆系方程得所求圆方程例3:求证：m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过一定点P ，并求P 点坐标。

分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。

解：由原方程得m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得， ∴直线过定点P （9，－4）注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。

例4已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0.2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1，即l 恒过定点A （3，1）.∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－21， ∴l 的方程为2x －y －5=0.评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？思考讨论类型二：直线与圆的位置关系例5、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.解：∵曲线24x y -=表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范围是22<≤-m 或22=m . 变式练习：1.若直线y=x+k 与曲线x=21y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___________.解析：利用数形结合. 答案：－1＜k ≤1或k=－2例6 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123=-=-d r ．∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∵m ∈R ，∴得∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++m y x ，则1431122=++=m d ，∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．设圆9)3()3(221=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34363433221=+-⨯+⨯=d ，143163433222=+-⨯+⨯=d ．∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．类型三：圆中的最值问题例7：圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是解：∵圆18)2()2(22=-+-y x 的圆心为（2，2），半径23=r ，∴圆心到直线的距离r d >==25210，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是262)()(==--+r r d r d .例8 (1)已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：，),(y x P 为圆O 上的动点，求22y x d +=的最大、最小值．(2)已知圆1)2(222=++y x O ：，),(y x P 为圆上任一点．求12--x y 的最大、最小值，求y x 2-的最大、最小值．分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．解：(1)(法1)由圆的标准方程1)4()3(22=-+-y x ．可设圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=,sin 4,cos 3θθy x （θ是参数）．则θθθθ2222sin sin 816cos cos 69+++++=+=y x d)cos(1026sin 8cos 626φθθθ-+=++=（其中34tan =φ）． 所以361026max =+=d ，161026min =-=d ．(法2)圆上点到原点距离的最大值1d 等于圆心到原点的距离'1d 加上半径1，圆上点到原点距离的最小值2d 等于圆心到原点的距离'1d 减去半径1．所以6143221=++=d ．4143222=-+=d ．所以36max =d ．16min =d ．(2) (法1)由1)2(22=++y x 得圆的参数方程：⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2θθy x θ是参数．则3cos 2sin 12--=--θθx y ．令t =--3cos 2sin θθ， 得t t 32cos sin -=-θθ，t t 32)sin(12-=-+φθ1)sin(1322≤-=+-⇒φθt t 433433+≤≤-⇒t ． 所以433max +=t ，433min -=t ．即12--x y 的最大值为433+，最小值为433-．此时)cos(52sin 2cos 22φθθθ++-=-+-=-y x ． 所以y x 2-的最大值为52+-，最小值为52--． (法2)设k x y =--12，则02=+--k y kx ．由于),(y x P 是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值． 由11222=++--=k k k d ，得433±=k ． 所以12--x y 的最大值为433+，最小值为433-．令t y x =-2，同理两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值．由152=--=m d ，得52±-=m ．所以y x 2-的最大值为52+-，最小值为52--．例9、已知对于圆1)1(22=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围．设圆1)1(22=-+y x 上任一点)sin 1,(cos θθ+P )2,0[πθ∈ ∴θcos =x ，θsin 1+=y∵0≥++m y x 恒成立 ∴0sin 1cos ≥+++m θθ 即)sin cos 1(θθ++-≥m 恒成立．∴只须m 不小于)sin cos 1(θθ++-的最大值． 设1)4sin(21)cos (sin -+-=-+-=πθθθu∴12max -=u 即12-≥m ．说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆222)()(r b y a x =-+-上的点设为)sin ,cos (θθr b r a ++()2,0[πθ∈)．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．。

圆的方程知识点一圆的标准方程(1)条件：圆心为C (a ，b )，半径长为r .(2)方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r 的圆的方程是x 2＋y 2＝r 2.【例1】（2015•北京）圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是()A ．22(1)(1)1x y -+-=B ．22(1)(1)1x y +++=C ．22(1)(1)2x y +++=D ．22(1)(1)2x y -+-=【例2】（2022•北京）若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则(a =)A ．12B ．12-C ．1D ．1-【例3】（2022•多选•新乐市月考）已知圆M 般方程为22860x y x y +-+=，则下列说法正确的是()A ．圆M 的圆心为(4,3)B ．圆M 被x 轴截得的弦长为8C ．圆M 的半径为5D ．圆M 被y 轴截得的弦长为6【例4】（2022•甲卷）设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为．知识点二点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M 在圆上|CM |＝r (x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2点M 在圆外|CM |>r (x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2点M 在圆内|CM |<r(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2【例5】（2020•北京）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．7【例6】（2020•新课标Ⅱ）若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为()A ．5B ．5C ．5D ．5【例7】（2022•多选•武汉月考）在平面直角坐标系中，已知圆222:()()2k K x k y k -+-=，其中0k ≠，则()A ．圆K 过定点B ．圆K 的圆心在定直线上C ．圆K 与定直线相切D ．圆K 与定圆相切【例8】（2023•多选•盐都区期中）点(1,1)在圆22()()4x a y a -++=的内部，则a 的取值不可能是()A ．2-B ．12-C ．12D ．2知识点三圆的一般方程1．圆的一般方程当D 2＋E 2－4F >0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0称为圆的一般方程．2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形【例9】（2022•乙卷）过四点(0,0)，(4,0)，(1,1)-，(4,2)中的三点的一个圆的方程为．【例10】（2023•多选•大庆市月考）若方程220x y Dx Ey F ++++=表示以(2,4)-为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是()A ．4F =B ．圆关于直线2y x =-对称C ．圆与y 轴相切D 的最大值为9知识点四直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2d <rd ＝rd >r代数法：Δ>0Δ＝0Δ<01.(1)几何法即垂径定理，当直线和圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则222 2l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(2)代数法设直线l的斜率为k，直线l与圆的两个交点分别为11(,)A x y、22(,)B x y，则圆的弦长A B A BAB x ya--=，其中的A Bx x-和A By y-，可以将直线和圆的方程联立，消去y或x，利用韦达定理进行求解．OA BCdr1l ld r d'=+O1l ld r d'=-O2l2.过圆内的一点作圆的弦及弦的最值①最长的弦显然是过该点的直径；②最短的弦是与过该点的直径垂直的弦！3.弦、弧、圆心角弦与弦所对的劣弧，以及劣弧所对的圆心角：变化规律一致，一起同大小！【例11】（2022•新高考Ⅱ）设点(2,3)A-，(0,)B a，若直线AB关于y a=对称的直线与圆22(3)(2)1x y+++=有公共点，则a的取值范围是．【例12】（2021•北京）已知直线(y kx m m=+为常数）与圆224x y+=交于M，N，当k变化时，若||MN的最小值为2，则(m=)A．1±B．C．D．2±【例13】（2020•新课标Ⅰ）已知圆2260x y x+-=，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A．1B．2C．3D．4【例14】（2022•多选•鼓楼区月考）已知直线:(1)2330l m x my m-+-+=，m R∈和圆22:(2)(1)4C x y-+-=，下列说法正确的是()A．直线l恒过定点(3,0)B．圆C被x轴截得的弦长为C ．直线被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为D ．直线被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为【例15】（2018•新课标Ⅲ）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是()A ．[2，6]B ．[4，8]C ．，D ．，4.求过某一点的圆的切线方程(1)点(x 0，y 0)在圆上．①先求切点与圆心连线的斜率k ，再由垂直关系得切线的斜率为－1k ，由点斜式可得切线方程．②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y ＝y 0或x ＝x 0.结论：①过圆222x y r +=上一点00(,)x y 的切线方程为：200xx yy r +=；②过圆222()()x a y b r -+-=上一点00(,)x y 的切线方程为：200()()()()x a x a y b y b r --+--=；③过圆220x y Dx Ey F ++++=上一点00(,)x y 的切线方程为：0000022x x y y xx yy D E F ++++++= ．注上述切线方程是利用“替换法则”得到的．(2)点(x 0，y 0)在圆外．①设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k ，也就得切线方程．②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x ＝x 0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．【例15】（2019•浙江）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r ．若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =，r =．【例16】（2020•浙江）已知直线(0)y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =，b =．【例17】(1)已知圆22(1)(2)2C x y -+-=：，求过点(2,3)P 的圆的切线方程；(2)过点(4,3)A -作圆22(3)(1)1C x y -+-=：的切线，求此切线的方程．【例18】（2023•多选•平安县期中）由点(3,3)A -发出的光线l 经x 轴反射，反射光线与圆224470x y x y +--+=相切，则l 的方程为()A ．4330x y --=B ．4330x y ++=C ．3430x y +-=D ．3430x y -+=【例19】（2020•新课标Ⅰ）已知22:2220M x y x y +---= ，直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点．过点P 作M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为()A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【例20】（2021•多选•新高考Ⅰ）已知点P 在圆22(5)(5)16x y -+-=上，点(4,0)A ，(0,2)B ，则()A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，||PB =D ．当PBA ∠最大时，||PB =知识点五两圆的位置关系及其判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆连心线的长为d ，则两圆的位置关系如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d 与r 1，r 2的关系d >r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0(D 21＋E 21－4F 1>0)，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0(D 22＋E 22－4F 2>0)，2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含【例21】（2021•多选•新高考Ⅱ）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是()A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切D ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离【例22】（2022•上海）设集合{(x Ω=，222)|()()4||y x k y k k -+-=，}k Z ∈①存在直线l ，使得集合Ω中不存在点在l 上，而存在点在l 两侧；②存在直线l ，使得集合Ω中存在无数点在l 上；()A ．①成立②成立B ．①成立②不成立C ．①不成立②成立D ．①不成立②不成立【例23】（2023•多选•开福区月考）已知点(2,0)A ，圆22:(1)()1C x a y --+-=上存在点P ，满足2210PA PO +=，则a 的取值可能是()A ．1B ．1-C ．12D ．0【例24】（2022•多选•建阳区月考）已知圆22:(4)(3)1C x y -+-=和两点(0,)A a -，(0B ，)(0)a a >，若圆C 上有且只有一点P ，使得90APB ∠=︒，则a 的值为()A ．3B ．4C ．6D ．7同步训练1.（2021•上海）若22240x y x y +--=，求圆心坐标为．2．（2018•天津）在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为．3．（2022•天津）若直线0(0)x y m m -+=>与圆22(1)(1)3x y -+-=相交所得的弦长为m ，则m =．4．（2021y 轴交于点A ，与圆22(1)1x y +-=相切于点B ，则||AB =．5．（2020•天津）已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于A ，B 两点．若||6AB =，则r 的值为．6.（2021•全国）已知点P 在圆22(1)2x y ++=上，则P 到直线50x y +-=距离的最小值为()A B ．322C ．D ．7.（2022•多选•南京期末）下列方程能够表示圆的是()A ．221x y +=B ．222x y -=C ．2221x y x ++=D ．2210x y xy ++-=8.（2023•多选•红山区月考）若圆22()()1(0)x a y a a -+-=>上总存在到原点距离为3的点，则实数a 的取值可以是()A ．1B C ．2D ．39.（2023•多选•沙坪坝区月考）如图(2,0)A ，(1,1)B ，(1,1)C -，(2,0)D -， CD是以OD 为直径的圆上一段圆弧， CB是以BC 为直径的圆上一段圆弧， BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段圆弧构成曲线W ，则以下叙述正确的是()A ．曲线W 与x 轴围成的面积等于2πB ．曲线W 上有5个整点（横纵坐标均为整数的点）C ． CB所在圆的方程为：22(1)1x y +-=D ． CB 与 BA 的公切线方程为：2x y +=10.（2022•多选•泗阳县月考）已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为(0,1)M ．下列结论中正确的是()A ．实数a 的取值范围为3a <B ．实数a 的取值范围为5a <C ．直线l 的方程为10x y +-=D ．直线l 的方程为10x y -+=11.（2022•多选•常熟市月考）已知直线:10l kx y k --+=与圆22:40C x y y +-=，则下列说法正确的是()A ．圆C 的半径为4B ．直线l 过定点(1,1)C ．直线l 与圆C 的相交弦长的最小值为22D ．直线l 与圆C 的交点为A ，B ，则ABC ∆面积的最大值为212.（2021•多选•苏州期中）已知AB 为圆22:49O x y +=的弦，且点(4,3)M 为AB 的中点，点C 为平面内一动点，若2266AC BC +=，则()A ．点C 构成的图象是一条直线B ．点C 构成的图象是一个圆C ．OC 的最小值为2D ．OC 的最小值为313（2022•多选•秦淮区月考）已知点P 在圆22:(5)(5)16C x y -+-=上，点(4,0)A ，(0,2)B ，当PBA ∠最小时，记直线PB 斜率为1k ，当PBA ∠最大时，记直线PB 的斜率为2k ，则()A ．1279k k =-B ．21823k k -=C ．三角形PAB 的面积小于5D ．三角形PAB 的面积大于514．（2022•多选•岳阳月考）在平面直角坐标系中，A ，B 是圆22:(2)2C x y -+=上的两个动点，P 点坐标为(0,2)，则下列判断正确的有()A ．ABC ∆面积的最大值为1B ．APB ∠的取值范围为[0,]3πC ．若AB 为直径，则||22PA PB +=D ．若直线l 过点P ．则点A 到直线l 距离的最大值为3215.（2018•上海）如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动．同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为秒（精确到0.1)16．（2022•天山区月考）已知圆22:230C x y x ay +-++=和直线l 相切于点(2,1)P -．（1）求圆C 的标准方程及直线l 的一般式方程；（2）已知直线m 经过点P ，并且被圆C 截得的弦长为22m 的方程．17．（2022•新华区月考）已知圆M 的圆心为(a ，0)(0)a ，它过点(0,2)P -，且与直线20x y ++=相切．（1）求圆M 的标准方程；（2）若过点(0,1)Q 且斜率为k 的直线l 交圆M 于A ，B 两点，若弦AB 14，求直线l 的方程．18．（2022•渝中区月考）已知圆C 的方程为：2222(1)220()x a x y a a R --+-+=∈．（1）求实数a 的取值范围；（2）当圆C 半径最大时，点Q 在圆C 上，点P 在直线40x y --=上，求||PQ 的最大值．19.（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A ．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．。

考点三、与圆有关的轨迹问题【例1】动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16【例2】方程y =表示的曲线是（）A. 一条射线B. 一个圆C. 两条射线D. 半个圆【例3】在ABC ∆中，若点,C B 的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线AD 的长度是3，则点A 的轨迹方程是（）A. 223x y += B. 224x y +=C. ()2290x y y +=≠ D. ()2290x y x +=≠【例4】已知一曲线是与两个定点O (0,0)，A (3,0)距离的比为12的点的轨迹．求这个曲线的方程，并画出曲线．【变式1】 方程1x -= ）A. 一个圆B. 两个圆C. 一个半圆D. 两个半圆【变式2】动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16【变式3】如右图，过点M (－6,0)作圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋9＝0的割线，交圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点P 的轨迹．【变式4】如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．方法总结：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： （1）直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简．(2)定义法：根据直线、圆等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．考点四：与圆有关的最值问题【例1】已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________【例2】已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．【例3】已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95B ．1 C.45D.135【例4】已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．【变式1】P (x ，y )在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，则x 2＋y 2的最小值为________． 【变式2】由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)【变式3】已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．【变式4】已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．（1）求圆M 的方程；（2）设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．方法总结：解决与圆有关的最值问题的常用方法（1）形如u ＝y －bx －a 的最值问题，可转化为定点(a ，b )与圆上的动点(x ，y )的斜率的最值问题（2） 形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题； （3）形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题． （4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值：d r ±（其中d 为圆心到直线的距离）2.在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（）.A.45π B.34πC.(6-πD.54π 3.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（）.二、填空题A.B.C.D.1.直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于.2.直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________.3.在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆()()22214x y -++=截得的弦长为． 4.若圆C 的半径为1，其圆心与点()1,0关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______. 5.设点()0,1M x ，若在圆O ：221x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是.6.已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆()()2214x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC △为等边三角形，则实数a =_________.。