当前位置：文档之家 › 极坐标参数方程题型归纳 7种

极坐标参数方程题型归纳 7种

  • 格式：doc
  • 大小：288.47 KB
  • 文档页数：6

极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 1.(2015·广东理，14)已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ－π4＝2，点A的极坐标为A22，7π4，则点A到直线l的距离为________． [立意与点拨] 本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题．解答本题先进行极直互化，再求距离．

二、参数方程与直角坐标方程的互化 【解析】椭圆方程为：14622yx，因为1cossin22xx，令cos2sin6yx，则有 X+2y=sin6+cos4=sin166,最大值22，最小值22 三、根据条件求直线和圆的极坐标方程

四、求曲线的交点及交点距离 4．(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l

的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C的参数方程为x＝t－1t，y＝t＋1t(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________． 【解析】 直线l的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x－y＝0，曲线C的参

数方程x＝t－1t，y＝t＋1t两式经过平方相减，化为普通方程为y2－x2＝4，联立3x－y＝0，y2－x2＝4

解得x＝－22，y＝－322或x＝22，y＝322. 所以点A－22，－322，B22，322. 所以|AB|＝ －22－222＋－322－3222＝25. 5.在平面直角坐标xOy中，已知直线l的参数方程 x＝1－22t，y＝2＋22t，(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，求线段AB的长． [解析] 解法1：将l的方程化为普通方程得l：x＋y＝3， ∴y＝－x＋3，代入抛物线方程y2＝4x并整理得x2－10x＋9＝0，∴x1＝1，x2＝9. ∴交点A(1,2)，B(9，－6)，故|AB|＝82＋82＝82.

解法2：将l的参数方程代入y2＝4x中得，(2＋22t)2＝4(1－22t)， 解之得t1＝0，t2＝－82，∴|AB|＝|t1－t2|＝82.

6.(2015·陕西理，23)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 x＝3＋12t，y＝32t(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)写出⊙C的直角坐标方程； (2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

[立意与点拨] 考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t的函数，转化为函数最值求解．

[解析](1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x2＋y2＝23y，所以x2＋(y－3)2＝3. (2)设P(3＋12t，32t)，又C(0，3)，则|PC|＝3＋12t2＋32t－32＝t2＋12， 故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3,0)．

五、利用参数方程求最值( 转化与化归思想和函数思想 )

[立意与点拨](用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧) 8．(2015·新课标Ⅱ高考)在直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝tcos α，y＝tsin α(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝23cos θ. (1)求C2与C3交点的直角坐标； (2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．

【解】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0. 联立x2＋y2－2y＝0，x2＋y2－23x＝0，解得x＝0，y＝0，或x＝32，y＝32. 所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和32，32. (2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.(此题C1代表的是一条过原点的直线) 因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(23cos α，α)．

所以|AB|＝|2sin α－23cos α|＝4sinα－π3.

当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4. 9．(2015·商丘市二模)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：ρsinθ－π6＝12，曲线C的参数方程为： x＝2＋2cosα，y＝2sinα. (1)写出直线l的直角坐标方程； (2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

[解析] (1)∵ρsinθ－π6＝12，∴ρ32sinθ－12cosθ＝12，∴32y－12x＝12，即l：x－3y＋1＝0. (2)解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为(2＋2cosα，2sinα)， 所以，曲线C上的点到直线l的距离

d＝|2＋2cosα－23sinα＋1|2＝4cosα＋π3＋32≤72. 所以最大距离为72. 解法二：曲线C为以(2,0)为圆心，2为半径的圆．圆心到直线的距离为32，所以，最大距离为32＋2＝72. 10．(文)(2014·新课标Ⅰ理，23)已知曲线C：x24＋y29＝1，直线l： x＝2＋ty＝2－2t(t为参数)． (1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程； (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

[解析](1)曲线C的参数方程为 x＝2cosθ，y＝3sinθ，(θ为参数)直线l的普通方程为：2x＋y－6＝0. (2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝55|4cosθ＋3sinθ－6|. 则|PA|＝dsin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝43. (将d=|AB|sin30利用三角关系进行转化，转化化归思想，高考考点考察学生思维能力) 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为2255.

当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为255. 六、直线参数方程中的参数的几何意义 方法一： 方法二：根据直线参数方程中t的几何意义，可知，弦长=|t1-t2|.

得：053154153154122tttt，方程化简，然后用韦达定理求

弦长=|t1-t2|=212214tttt=..... 13.(理)在直角坐标系xOy中，过点P(32，32)作倾斜角为α的直线l与曲线C：x2＋y2＝1相交于不同的两点M、N. (1)写出直线l的参数方程；(2)求1|PM|＋1|PN|的取值范围．

(根据直线参数方程中t的几何意义,用参数t表示所求量1|PM|＋1|PN|，然后用t的二次方程的韦达定理，转化成三角函数进而求范围，此题较难)

[解析] (1) x＝32＋tcosα，y＝32＋tsinα，(t为参数)．

(2)将 x＝32＋tcosα，y＝32＋tsinα.(t为参数)代入x2＋y2＝1中，消去x，y得，t2＋(3cosα＋3sinα)t＋2＝0， 由Δ＝(3cosα＋3sinα)2－8＝12sin2(α＋π6)－8>0⇒sin(α＋π6)>63， 1|PM|＋1|PN|＝1－t1＋1－t2

＝－t1＋t2t1t2＝3cosα＋3sinα2＝3sin(α＋π6)∈(2，3]．

七、求动点坐标、求变量的值 14.(2015·陕西理，23)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 x＝3＋12t，y＝32t(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)写出⊙C的直角坐标方程； (2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

[立意与点拨] 考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t的函数，转化为函数最值求解．

[解析] (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x2＋y2＝23y，所以x2＋(y－3)2＝3. (2)设P(3＋12t，32t)，又C(0，3)，则|PC|＝3＋12t2＋32t－32＝t2＋12，故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3,0)． (此处用参数t来表示所求距离，然后当作变量为t的二次函数，求最值) 15.(2016全国卷I)在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为,sin1,costaytaxt(为参数，)0a．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线cos4:2C． （Ⅰ）说明1C是哪一种曲线，并将1C的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线3C的极坐标方程为0，其中0满足2tan0，若曲线1C与2C的公共点都在3C上，求a．

【解析】：⑴ cos1sinxatyat （t均为参数）,∴2221xya ①

∴1C为以01，为圆心，a为半径的圆．方程为222210xyya ∵222sinxyy，,∴222sin10a 即为1C的极坐标方程

⑵ 24cosC：,两边同乘得22224coscosxyx， 224xyx

,即2224xy ②,3C：化为普通方程为2yx

由题意：1C和2C的公共方程所在直线即为3C,①—②得：24210xya，即为3C ∴210a,∴1a （圆与圆交点所在直线的求法，联立圆方程，两方程相减,可得变量的方程）

16．(文)(2015·唐山市二模)在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，l：ρcosθ－π3＝32，C与l有且仅有一个公共点． (1)求a； (2)O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB＝π3，求|OA|＋|OB|的最大值． [解析] (1)曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆； l的直角坐标方程为x＋3y－3＝0.

由直线l与圆C相切可得|a－3|2＝a，解得a＝1. (求符合条件的变量值，建立等量关系，解方程) (2)不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋π3， 则|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cosθ＋π3＝3cosθ－3sinθ＝23cosθ＋π6， 当θ＝－π6时，|OA|＋|OB|取得最大值23. (用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)

合集下载

专题12-1 参数方程与极坐标归类-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(原卷版)

专题12-1 参数方程与极坐标归类-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(原卷版)


【提分秘籍】
基本规律
极坐标一线两点（一般直线或射线过极点）：
| AB | |2 -1|=|B A（| 若是韦达定理型，则= 2 +1 2 -421）
【变式演练】
在平面直角坐标系中，曲线
C1
的参数方程为
x y
3 cos 2 sin
（
为参数），以
O
为极点，x
，求
AB
.
【题型二】参数方程难点 1：万能代换型消参
【典例分析】
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x
1 1
t t
2 2
，
（t
为参数）．以坐标原点
O
为极点，x
轴的
y
1
4t t
2
正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2 cos 3 sin 11 0 ．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．
三、极坐标体系弦长公式
(1)一线两点（一般直线（射线）过极点
| AB | |2 -1|=|B A（| 若是韦达定理型，则= 2 +1 2 -421）
（2）两线两点：余弦定理 | AB |2 =22 +12 -221 co（s 2 -1)
【变式演练】
在直角坐标系
xOy
中，曲线 C1 的参数方程为
l
的极坐标方程为
sin
3
2
.
(1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，经过点 P 的动直线 m 与曲线 C 交于 A，B 两点，证明： PA PB 为定值.
坐标系与参数方程(题型归纳)

坐标系与参数方程(题型归纳)

坐标系与参数方程（一）极坐标系：1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）.对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标.这样建立的坐标系叫做极坐标系.2、极坐标与直角坐标互化公式：★极坐标与直角坐标的互化公式：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x y y x θρ。

★极坐标与直角坐标的互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与x 轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。

例如：极坐标方程cos sin 11x y ρθρθ+=⇒+=（在转化成,x y 时要设法构造cos ,sin ρθρθ ， 然后进行整体代换即可）3、求极坐标方程的两种方法：★处理极坐标系中问题大致有两种思路：(1)公式互化法：把极坐标方程与直角坐标方程进行互化；(2)几何法：利用几何关系（工具如：三角函数的概念、正弦定理、余弦定理）建立ρ与θ的方程.（二）参数方程：1、参数方程的定义：如果曲线(),0F x y =中的变量,x y 均可以写成关于参数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩，那么()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 就称为该曲线的参数方程，其中t 称为参数。

2、常见的消参技巧： （1）代入法：()3()2333723x t t y x y x y t=+⎧⇒=+-⇒=-⎨=+⎩为参数（2）整体消元法：2211x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()t 为参数，由222112t t t t ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可得：22x y =+ （3）三角函数法：利用22sin cos 1θθ+=消去参数例如：22cos 3cos 3()12sin 94sin 2x x x y y yθθθθθ⎧=⎪=⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩为参数3、常见曲线的参数方程如下：（1）圆：()()222x a y b r -+-=的参数方程为：[)cos 0,2sin x a r y b r θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，，其中θ为参数，其几何含义为该圆的圆心角；（2）椭圆：()222210x y a b a b +=>>的参数方程为[)cos 0,2sin x a y b θθπθ=⎧∈⎨=⎩，，其中θ为参数，其几何含义为椭圆的离心角；（3）双曲线：()222210x y a b a b -=>>的参数方程为[)10,2cos tan x ay b θπθθ⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，，其中θ为参数，其几何含义为双曲线的离心角；（4）抛物线：()220y px p =>的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩，其中t 为参数；（5）直线：过()00,M x y ，倾斜角为θ的直线参数方程为00cos sin x x t t R y y t θθ=+⎧∈⎨=+⎩，，其中t 为参数，其中t 代表该点与M 的距离。

极坐标与参数方程题型总结

极坐标与参数方程题型总结

极坐标与参数方程题型总结极坐标是数学中被广泛应用的一种坐标系，它包含一个参数方程和一个极坐标方程。

参数方程是定义函数和曲线的常用方法，将参数t作为曲线点的标示，然后通过这个参数t求出其他坐标。

而极坐标则是一种基于圆环坐标系统的坐标系，它是将圆环上的点投影到一个平面上，从而获得极坐标系统。

参数方程主要有以下几种：一、直线的参数方程直线的参数方程一般式为：(x-x0)/a=(y-y0)/b=t其中，x0,y0是直线上的一点，a,b是直线的斜率，α是曲线的半径，t是参数。

由于直线的特殊性，直线的参数方程的结果会比较简单，计算量小。

二、圆的参数方程圆的参数方程一般式为：x=x0+αcos(t) y=y0+αsin(t)其中，x0,y0是圆心坐标，α是曲线的半径，t是参数。

三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程一般式为：x=x0+a*cos(t) y=y0+b*sin(t)其中，x0,y0是椭圆的中心坐标，a,b是椭圆的长短轴的长度，t 是参数。

四、抛物线的参数方程抛物线的参数方程一般式为：x=x0+at^2 y=y0+bt其中，x0,y0是抛物线的准线上的一点，a,b是抛物线的准线斜率，t是参数。

五、双曲线的参数方程双曲线的参数方程一般式为：x=x0+acosh(t) y=y0+bsinh(t)其中，x0,y0是双曲线的一点，a,b是双曲线的离心率，t是参数。

极坐标主要有以下几种：一、圆的极坐标方程圆的极坐标方程是：r=α其中，α是圆的半径，t是参数。

二、椭圆的极坐标方程椭圆的极坐标方程是：r=α*cos(θ)其中，α是椭圆的离心率，θ是极角，t是参数。

三、双曲线的极坐标方程双曲线的极坐标方程是：r=α*sec(θ)其中，α是双曲线的离心率，θ是极角，t是参数。

总结：参数方程主要有直线、圆、椭圆、抛物线和双曲线五种，极坐标也分为圆、椭圆和双曲线三种。

参数方程和极坐标方程都是数学中常见的类型，都是用来描述曲线的方程。

极坐标与参数方程经典题型(附含详细解答)

极坐标与参数方程经典题型(附含详细解答)

专题：极坐标与参数方程1、已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为14cos 24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 经过定点(3,5)P ，倾斜角为3π. （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||||PA PB 的值.2、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos C ρθθ=，过点(2,1)P -的直线2cos 45:1sin 45x t l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 交于,M N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）求22||||PM PN +的值.3、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线：23cos 3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(cos sin )6ρθθ-=.（1）求曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值；（2）与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，若||2AB =，求1l 的方程．4、在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数），曲线 2C 的极坐标方程为cos 2sin 40ρθρθ--=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求||PQ 的最小值．5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线2C 是圆心为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为1的圆.（1）求曲线1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；（2）设M 为曲线1C 上的点，N 为曲线2C 上的点，求||MN 的取值范围.6. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），曲线2C ：2220x y y +-=，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，射线():0l θαρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于,A B （均异于原点O ）.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）当02πα<<时，求22||||OA OB +的取值范围.7. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参数方程为212x a ty t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与2C 交于,A B 两点，且||2||PA PB =，求实数a 的值.8. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )43ρθθ+=，若射线6πθ=，3πθ=，分别与l 交于,A B两点.（1）求||AB ；（2）设点P 是曲线2219y x +=上的动点，求ABP ∆面积的最大值.极坐标与参数方程——练习1.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数),椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，求线段AB 的长.2.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数,t≠0),其中0≤α＜π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ＝2sin θ,C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值.3.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.4.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R ).(1)写出C 的极坐标方程,并求l 与C 的交点M,N 的极坐标； (2)设P 是椭圆x 23＋y 2＝1上的动点,求△PMN 面积的最大值.5.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为(1＋sin 2θ)ρ2＝2. (1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程.(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若点P 为(1,0),求1|PA |2＋1|PB |2的值.6. 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为325:45x t C y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=． （1）若2a =，求圆C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； （2）设直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值．7. 在直角坐标系xOy 中，直线1C ：y =，曲线2C 的参数方程是cos 2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程和2C 的普通方程； （2）把1C 绕坐标原点沿顺时针方向旋转3π得到直线3C ，3C 与2C 交于A ，B 两点，求||AB ．8.将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.极坐标与参数方程参考答案1.【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得曲线C的普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16；∵直线l经过定点P（3，5），倾斜角为，∴直线l的参数方程为：，t为参数．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，设t1、t2是方程的两个根，则t1t2=﹣3，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=3．2．【解答】解：（1）曲线C：ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；直线l：（t为参数），消去t，可得直线l的普通方程x﹣y﹣3=0；（2）将直线l：代入曲线C的标准方程：y2=2x得：t2﹣4t﹣6=0，∴|PM|2+|PN|2=|t1|2+|t2|2=（t1﹣t2）2+2t1t2=32．3、【解答】（1）直线l ：(cos sin )6ρθθ-=化成普通方程为60x y --=．曲线化成普通方程为22(2)3x y -+=∴圆心(2,0)C 到直线l 的距离为d ==∴曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值为（2）设直线1l 的方程为0x y λ-+=， (2,0)C 到直线1l 的距离为d === ∴或∴直线1l 的方程为或4.【解答】（1）由曲线C 1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C 1的普通方程得+=1．由ρcos θ﹣ρsin θ﹣4=0得，曲线C 2的直角坐标方程为x ﹣y ﹣4=0…（2）设P （2cos θ，2sin θ），则点P 到曲线C 2的距离为d==，当cos （θ+45°）=1时，d 有最小值0，所以|PQ|的最小值为0.5．【解答】解：（1）消去参数φ可得C1的直角坐标方程为+y2=1，∵曲线C2是圆心为（3，），半径为1的圆曲线C2的圆心的直角坐标为（0，3），∴C2的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=1；（2）设M（2cosφ，sinφ），则|MC2|====，∴﹣1≤sinφ≤1，∴由二次函数可知2≤|MC2|≤4，由题意结合图象可得|MN|的最小值为2﹣1=1，最大值为4+1=5，∴|MN|的取值范围为[1，5]6.【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线C1的极坐标方程为，∵x2+y2﹣2y=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ；（2）由（1）得，|OB|2=ρ2=4sin2α，∴∵，∴1＜1+sin2α＜2，∴，∴|OA|2+|OB|2的取值范围为（2，5）．7．【解答】解：（1）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．综上所述，实数a的值为或．8．【解答】解：（1）直线，令，解得，∴，令，解得ρ=4，∴又∵，∴，∴|AB|=2．（2）∵直线，曲线，∴=当且仅当，即时，取“=”，∴，∴△ABP面积的最大值为3．极坐标与参数方程——练习参考答案1．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．2．【解答】解：（1）曲线C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①C 3：ρ=2cosθ，则ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，②由①②得或，即C2与C3交点的直角坐标为（0，0），（，）；（2）曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx，则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．所以|AB|=|2sinα﹣2cosα|=4|sin（α）|，当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．3．【解答】解：（1）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（2）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．4．【解答】解：（1）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的直角坐标方程为y=x，联立方程组，解得或，所以点M，N的极坐标分别为（0，0），（，）．（2）由（1）易得|MN|=因为P是椭圆+y2=1上的点，设P点坐标为（cosθ，sinθ），则P到直线y=x的距离d=，所以S△PMN==≤1，当θ=kπ﹣，k∈Z时，S△PMN取得最大值1．5．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t得直线l的普通方程为x﹣y﹣=0，曲线C的极坐标方程ρ2+ρ2sin2θ=2，化成直角坐标方程为x2+2y2=2，即+y2=1．（2）将直线l的参数方程代入曲线C：x2+2y2=2，得7t2+4t﹣4=0．设A，B两点在直线l的参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣，t1t2=﹣，∴+=+==．6．【解答】解：（1）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y﹣8=0 （2）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a﹣16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．7．【解答】解：（1）∵直线，∴直线C1的极坐标方程为，∵曲线C2的参数方程是（θ为参数），∴消去参数θ，得曲线C2的普通方程为．（2）∵把C1绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线C3，∴C3的极坐标方程为，化为直角坐标方程为．圆C2的圆心（，2）到直线C3：的距离：．∴．8．【解答】解：（1）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（2）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+ =0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．。