《初等数论》教学大纲
课程名称：初等数论 Elementary Number Theory
课程性质：专业必修课
学分：3
总学时：48 理论学时：48
适用专业：数学与应用数学
先修课程：中学数学、高等代数、数学分析、解析几何
一、教学目的与要求：
初等数论是数学与应用数学本科专业的专业基础课。初等数论是研究整数的基本性质和方程(组)整数解的一个数学分支。数学与应用数学专业开设本课程的目的在于使学生孰悉数论的初步理论、掌握数论的最基本方法，为今后学习相关课程打下必要的基础。因此，在教学中要求：（1）对初等数论的基本内容作系统讲授；（2）注意数论与其它数学分支的联系与应用；（3）简要介绍一些数论的近代成就及我国数学家在数论方面的贡献。
二、教学内容与学时分配：
三、各章节主要知识点与教学要求：
第一章整除理论（15学时）
第一节整除定义及其基本性质
第二节最大公因数与最小公倍数
第三节素数
第四节算术基本定理
本章重点：整除、公因子、素数的概念及性质，剩余定理，求最大公因子的方法，整数的素数分解定理。最大公因数的性质及应用，算术基本定理的证明及应用。
本章难点：定理的证明处理方法，定理的灵活运用。
本章教学要求：理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质，理解剩余定理，熟练掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍数的方法。理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理，会用筛法求素数。了解函数[x]与{x}的概念、性质，n!的素数分解、组合数为整数的性质。
第二章不定方程（9学时）
1．一次不定方程
2．勾股数
3. 费尔马问题介绍
本章重点：二元一次不定方程解的形式，二元一次不定方程有整数解的条件，利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的解。
本章难点：多元不定方程有整数解的判定及求解。
本章教学要求：了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件，熟练掌握利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的方法。知道多元一次不定方程有解的条件，会求解简单的多元一次不定方程。知道不定方程整数解的形式.
第三章同余（6学时）
第一节同余的概念及基本性质
第二节剩余类、完全剩余系
第三节 Euler函数、简化剩余系
第四节 Euler定理和Fermat定理
本章重点：剩余系的判定，欧拉函数的定义及性质。
本章难点：简化剩余系及欧拉函数、欧拉定理及其应用。
本章教学要求：理解整数同余的概念及同余的基本性质，熟练掌握整数具有素因子的条件，会利用同余简单验证整数乘积运算的结果。理解剩余系、完全剩余系的概念，熟练掌握判断剩余系的方法，理解欧拉函数的定义及性质。了解欧拉定理、Fermat小定理，掌握循环小数的判定方法。
第四章同余式（6学时）
第一节一次同余式
第二节一次同余式组
第三节素数模的高次同余式的性质及解法
第四节合数模的高次同余式的性质及解法
本章重点：一次同余式有解的条件，求解同余式。中国剩余定理，中国剩余定理的应用，求解同余式方程组。
本章难点：高次同余式的解数及解法
本章教学要求：理解同余式的定义，掌握一次同余式有解的条件，熟练掌握求解一次同余式。理解中国剩余定理，掌握中国剩余定理的简单应用，掌握求解简单同余式方程组的方法。了解高次同余式解的个数的判断方法，知道解高次同余式的方法，了解模整数同余式与模素数同余式的关系，掌握求简单的（3、4次）同余式解的方法。了解素数模同余式的次数化简、Wilson定理，了解同余式的次数与解的个数的关系，知道n次同余式有n个解的条件。
第五章二次同余式与平方剩余（12学时）
1．二次同余式
2．平方剩余与平方非剩余
3．勒让得符号
*4.雅可比符号
*5.把奇素数表成二数平方和
*6.把整数表成平方和
本章重点：一般二次同余式解的情况，平方剩余、平方非剩余的定义。欧拉判别条件，素数模的简化剩余系的平方剩余与平方非剩余的个数。勒让德符号的定义，二次反转定律。
本章难点：定理的证明方法、素数的平方表示。
本章教学要求：会求一般二次同余式的解，理解平方剩余、平方非剩余的定义。会用欧拉判别条件，了解素数模的简化剩余系的平方剩余与平方非剩余的个数。会利用雅可比符号计算。掌握合数模二次同余式的计算。
四、成绩考核方式：
本课程的考核方法采用平时考核以及学期末闭卷笔试的总评形式，其中平时考核占比30%，由课堂出勤、课堂表现、平时作业构成，每次作业大概2至3题。学期末闭卷占比70% 。
五、教材与参考资料：
教材：胡典顺，徐汉文.初等数论.科学出版社，2010年6月
参考资料：
1．闵嗣鹤、严士健. 初等数论. 人民教育出版社,2003年7月
2．柯召、孙琦. 数论讲义. 高等教育出版社, 2001年1月
3．潘承洞、潘承彪. 初等数论（第3版）. 北京大学出版社, 2013年1月
4. 张禾瑞，郝炳新. 高等代数. 北京市：高等教育出版社，1999年5月（第四版）
5. 丘维声. 高等代数. 北京市：高等教育出版社，96年12月
