2014~2015学年度 最新 四川省仁寿县2015届高三三诊数学理科试题及答案

绵阳市高2011级第三次诊断性考试数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1==x x M ，{}x x x N ==2，则=⋃N MA.{}1B.{}1,1-C.{}1,0D.{}1,0,1-解析：{1,1},{0,1}M N =-=，{10,1}M N ⋃=-，2. 复数25-i 的共轭复数是 A.i +-2 B.i +2 C.i --2 D.i -2 解析：55(2)222(2)(2)i i i i i i +==--=----+，则共轭为2Z i =-+此题问题多出现在部分 同学没有认真分析复数的实部与虚部，思维定势造成错选 3. 执行如右图所示的程序框图，如输入2=x ，则输出的值为A.9B.9log 8C.5D.5log 8 解析：第一次运算，25,3x ≤=第二次运算35,5x ≤=，第三次运算55,9x ≤=满足条件，执行下一步，得88log 9log 81y =>=（考、 察对数函数的单调性），满足条件，输出8log 9y =4. 已知向量)1,3(-=a ，)2,1(-=b ，)1,2(=c .若),(R y x yc xb a ∈+=， 则=+y xA.2B.1C.0D.21 解析：考察向量的坐标运算（熟悉加减，数乘坐标运算）由已知可知：(,2)(2,)xb yc x x y y +=-+则有2321x y x y -+=⎧⎨+=-⎩联立解得x+y=0 5. 已知命题a x R x p ＞sin ,:∈∃，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围为 A.1＜a B.1≤a C.1=a D.1≥a解析：非命题为真（命题的否定），原命题为假，即不存在X ，使得sin x a >根据三角 函数性质得1a ≥学生容易出错的地方在于等号的取舍。

（比如题干改成sin ,1x a a ≥>） 6. 已知]2,2[-∈a ，则函数12)(2++=ax x x f 有零点的概率为A.21B.31C.41D.51 解析：二次函数有零点，可转化为二次函数图像与X 轴有交点，同时考察几何概型。

15． （5 分）记[x]表示不超过实数 x 的最大整数．设集合 A={（x，y）|x2+y2≤1}， B={（x，y）|[x]2+[y]2≤1}．则 A∪B 所表示的平面区域的面积为 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明.证明过程或推演 步骤. 16． （12 分）已知函数 值为 2，最小正周期为 8． （1）求函数 f（x）的解析式； （2）若函数 f（x）图象上的两点 P，Q 的横坐标依次为 2，4，O 为坐标原点， 求△POQ 的面积． 17． （12 分）如图是预测到的某地 5 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空 气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重 度污染，某人随机选择 5 月 1 日至 5 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2
2014-2015 学年四川省乐山市高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1． （5 分）设全集为 R，函数 A．[﹣2，2] C． （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 2． （5 分） A．60 的定义域为 M，则∁RM 为（ B． （﹣2，2） D． （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） ） D．﹣30 ）
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21． （14 分）已知函数 f（x）=ex﹣a（x+1）在 x=ln2 处的切线的斜率为 1． （e 为 无理数，e=271828…） （Ⅰ）求 a 的值及 f（x）的最小值； （Ⅱ）当 x≥0 时，f（x）≥mx2，求 m 的取值范围； （Ⅲ）求证： ＜ （i，n∈N+） ． （参考数据：ln2≈0.6931）

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=（ ） A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 【答案】A【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}- 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 【答案】C【解析】含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅=3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ）A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到4．若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ） A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 【答案】D【解析】由1100c d d c<<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a b d c< 5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+2()22x y y y ≤+-≤-≤ ∴ S 的最大值为2.6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种 【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 44A 种。

2015届高三第四次模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上. 1已知全集为{}1,0,|01x R A x B x x x -⎧⎫=≤=>⎨⎬+⎩⎭,则()R C A B =A.(,0](1,)-∞+∞B.(,0][1,)-∞+∞C.(,1)-∞-D.(,1]-∞-2．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是 A.62B.1C.22D.643．下列函数中，既是奇函数，又在),(+∞-∞上为增函数的是A. xy 3= B. xy 1=C. 3y x = D.x y tan = 4．某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用2×2列联表计算得918.32≈k 。

附表：P (2k ≥k )0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过 A. %95 B. %5 C. %5.97 D.%5.2 5．设函数)32sin()(π+=x x f 的图象为M ，下面结论中正确的是A.图象M 可由x y 2sin =的图象向左平移6π个单位得到 B ．函数()f x 的最小正周期是π4 C ．图像M 关于直线3π=x 对称D ．函数)(x f y =在区间)6,65(ππ-上是增函数 6. 有下列四个命题,其中正确命题的个数是①.“2x ∀≥，2320x x -+≥”的否定．．是“20<∃x ，使023020<+-x x ”. ②. 已知0>a 且1≠a ，则“0log >b a ”是“0)1)(1(>--b a ”的充要条件. ③. 采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，若已知学号为5,16,38,49的同学被选出，则被选出的另一个同学的学号为27.④.某学校决定从高三800名学生中利用随机数表法抽取50人进行调研，先将800人按001,002，…,800进行编号；如果从第8行第7列的数开始从左向右读，则最先抽取到的两个人的编号依次为165,538（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 83926301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 44391326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931A. 1个B. 2个C. 3个D.4个7. 北京某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有A ．2465A A ⨯种 B.246A 5⨯种 C.2465C A ⨯种 D.246C 5⨯8.ABC ∆的外接圆圆心为O ,半径为2，0=++AC AB OA ,且OA AB =,CB CA 在方向上的投影为A.3-B.3-C.3D.3 9..执行如图所示的程序框图,若将判断框内“100S >”改为关于n 的不等式“0n n ≥”且要求输出的结果不变,则正整数0n 的取值 A.是4 B.是5 C.是6 D.不唯一10．.若函数|2|2y x =--的定义域为集合{|22}A x R x =∈-≤≤,值域为集合B ,则 A.A B = B.A B ⊂ C.B A ⊂ D.AB =∅第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:.11. 函数)0(1213)(2>++=x x x x f 的最小值为 . 12. 设不等式组 110330530x y x y x y 9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D ，若指数函数y=xa 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 13. 若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足CA CB CM 2131+=，则=⋅MB MA .14．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对R x ∈，都有)2()2(+=-x f x f ，且当[]02，-∈x时，1)21()(-=xx f ，若在区间]62(，- 内关于x 的方程)1(0)2(log )(>=+-a x x f a 恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 .15．设数列{a n }满足：a 1=1，a 2=4，a 3=9，a n =a n-1+a n-2-a n-3 （n=4,5, ……）,则a 2015 = 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c ，已知23cos cos 23sin sinC 2cos B C B A +=+.(I)求角A 的大小；(II)若b ＝5，sin B sin C=57,求△ABC 的面积S17. (本小题满分12分)某家电产品受在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每件的利润与该产品首次出现故障的时间有关．某厂家生产甲、乙两种品牌，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌家电中各随机抽取50件，统计数据如下：品牌 甲乙首次出现故障时间x (年) 0<x ≤1 1<x ≤2 x >20<x ≤2 x >2数量(件) 2 3 45 5 45 每件利润(百元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(I)从该厂生产的甲、乙品牌产品中随机各抽取一件，求其至少有一件首次出现故障发生在保修期内的概率；(II)若该厂生产的家电均能售出，记生产一件甲品牌的利润为X 1，生产一件乙品牌家电的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(III)该厂预计今后这两种品牌家电销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的家电．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的家电？说明理由． 18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC ABC ⊥平面； （Ⅱ）求二面角B AP C --的的余弦值 . 19.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+- (I)求函数分f(x)在[],2t t + （t>0）上的最小值；(II)对一切()0,x ∈+∞，2(()f x g x ≥）恒成立，求实数a 的取值范围； (III)证明：对一切()0,x ∈+∞都有12ln x x e ex>-成立20. (本小题满分13分)已知椭圆222:1x y aγ+=（常数1a >）的左顶点为R ，点(,1),(,1)A a B a -，O 为坐标原点．（Ⅰ）若P 是椭圆γ上任意一点，OP mOA nOB =+，求22m n +的值； （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆γ上的两个动点，满足OMON OA OB k k k k ⋅=⋅，试探究OMN ∆的面积是否为定值，说明理由．21. (本小题满分13分)ACBDP已知a R ∈，函数()ln 1af x x x=+-，()(ln 1)x g x x e x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值；（Ⅱ）是否存在实数0(0,]x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直？若存在，求出0x 的值，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：*11111(1)ln[(1)(2)]()ln ()234!n n k e k k k n n N n n =++++⋅++>-⋅∈∑理科数学参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案A A CB A B DC C A二、填空题11、10； 12. (1,3] 13. 89- 14. (34,2) 15. 8057 三、解答题16. 【解】 (I)由23cos cos 23sin sinC 2cos B C B A +=+，得 2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0.----2分 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．----4分因为0<A <π，所以A ＝π3.-----6分(II)由又由正弦定理，得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2·sin 2A ＝＝57.—8分由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,又b ＝5，所以c ＝4或25.4c =----10分 S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53或1253.8S =----12分 17. 【解】 (I)设“甲、乙品牌家电至少有一件首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝45451915050100-⋅=.----4分 (II)依题意得，X 1的分布列为X 1 1 2 3 P125350910X 2的分布列为X 2 1.8 2.9 P110910--------------8分 (III)由(II)得E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(百元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(百元)．-----------12分因为E (X 1)>E (X 2)，所以应生产甲品牌家电． 18. 证明：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，．AP BP =，PD AB ∴⊥．AC BC =，CD AB ∴⊥．PD CD D =， AB ∴⊥平面PCD ．----3分PC ⊂平面PCD ，PC AB ∴⊥，又∵PC AC ⊥，∴PC ABC ⊥平面-----6分解：（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -．则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，．设(00)P t ，，．---8分 22PB AB ==，2t ∴=，(002)P ，，．----9分 取AP 中点E ，连结BE CE ，．AC PC =，AB BP =，CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．(011)E ，，，(011)EC =--，，，(211)EB =--，，，---10分23cos 326EC EB BEC EC EB∴∠===．∴二面角B AP C --的余弦值为33．--12分ACBPz x y E19. 解：(I)f (x)=lnx+1’，''110,,0,.(,),0,x y y x y y e e⎛⎫∈<↓∈+∞>↑ ⎪⎝⎭---2分当102t t e <<+<时不可能； 当min 11102,0,()();t t t f x f e e e e <<<+<<==-即当[]min 112,(),2,()()ln t t t f x t t f x f t t t e e≤<+≥+↑==即 11,0()1ln ,t e ef x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩；----5分(II)可化为332ln ,()2ln (0)a x x h x x x x x x≤++=++>设 '2(3)(1)()x x h x x+-=，当0<x<1时，''()0,(),1()0,()h x h x x h x h x <>>递减当，递增， 所以h(x)最小=h(1)=4，对一切x>0， 4a ≤------9分(III)问题等价于证明()2ln 0x x x x x e e>-> ，由（1）知()ln ,(0)f x x x x =>的最小值是1e -，当且仅当1x e =时取到等号，设m(x)='21(0),()x x x x x m x e e e-->=，易知m(x)最小等于m(1)1e =-，当且仅当x=1时取到，从而对一切()0,x ∈+∞都有12ln x x e ex>-成立----12分20解：（Ⅰ）(),OP mOA nOB ma na m n =+=-+，得(),P ma na m n -+…………2分将P 代入椭圆1222=+y a x 得1)()(2222=++-n m an m a 化简得2212m n +=……………………5分 （Ⅱ）法一：①当MN 的斜率不存在时，不妨设),(11y x M ，),(11y x N -且01>x ，01>y由221211ak k x y k k OB OA ONOM -=⋅=-=⋅ 化简得 21221x a x =，联立椭圆方程解得)22,22(a M ，)22,22(-a N 故222221221aa y x S OMN =⋅⋅=⋅⋅=∆（为定值）……………………6分②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx t =+由()()22222222211210x y a k x kta x a t a y kx t ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩由1122(,),(,)M x y N x y ，可得()2221212222212,11a t kta x x x x a k a k --+==++…………7分 ()()()2222212121212221t a k y y kx t kx t k x x kt x x x t a k -=++=+++=+又 122121OM ON y y k k x x a⋅==-，可得22221t a k =+ ……………………9分 因为2121MN k x x =+⋅-， 点O 到直线MN 的距离21t d k=+………………………………10分12122OMNt S MN d x x ∆=⋅⋅=⋅-()2121242t x x x x =⋅+-()()222222241221a a k t t aa k +-=⋅=+ 综上：OMN ∆的面积为定值2a………………………………13分 解法二：由条件得，122121y y x x a=- ……………………6分 平方得224222222121212()()x x a y y a x a x ==--, 即22212x x a += …………7分122112OMN S x y x y ∆=-………………………………8分 222212*********x y x y x x y y =+-=22222221121222221(1)(1)2x x x x x x a a a-+-+ 2212122ax x =+=………………………………12分 故OMN ∆的面积为定值2a………………………………13分21解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞∵ ()ln 1a f x x x =+- ∴2()x a f x x -'= 令2()0x af x x a x-'==⇒=① 若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在区间(0,]e 上单调递增，此时，()f x 无最小值； ② 若0a e <<，则当(0,)x a ∈时，()0f x '<，当[,]x a e ∈时，()0f x '>， ∴()f x 在区间(0,]a 上单调递减，在区间(,]a e 上单调递增， ∴当x a =时，()f x 有最小值ln a ；③ 若a e ≥，则()0f x '≤，()f x 在区间(0,]e 上单调递减， ∴当x e =时，()f x 有最小值a e． 综上：()00mina f x lna ,a e a ,a e e⎧⎪≤⎪=<<⎨⎪⎪≥⎩不存在，…………4分 （Ⅱ） ∵ ()(ln 1)x g x x e x =-+ ∴ 1()(ln 1)1xg x x e x'=+-⋅+由（Ⅰ）可知：当1a =时，1()ln 1f x x x=+-在区间(0,]e 上有最小值ln10= ∴1()ln 10f x x x =+-≥∴当0(0,]x e ∈时，00001()(ln 1)10x g x x e x '=+-⋅+> ∵曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于：方程0()0g x '=有实数解， 而 0()0g x '> 即方程0()0g x '=无实数解，故不存在实数0(0,]x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直……8分 （Ⅲ）由（1）可知：当1a =时，1()ln 10f x x x=+-≥ 对[0,)x ∀∈+∞恒成立， 即 当1x ≥时，恒有11ln x x≥- ．．．．．．．．（＊） 取*()x n n N =∈，得11ln n n≥- ∴()()1111123!23!ne n ln ln ln lnn n ln n ln nn ++++≥-++++=-=故111123!ne ln n n ++++≥(n ∈*N ) …………………………10分 又 在（*）式中，取()()12x k k k =++(k ∈*N )，得：()()()()()()()11111211121122ln k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤++≥-=--⋅⎢⎥⎣⎦+++++⎣⎦∴11111ln[(1)(2)][]()22(1)(2)4nk k k k n n n n =++≥-⋅->-++∑ 故()()11111112234n n k e ln k k k n ln n n!=⎛⎫⎛⎫⎡⎤++++⋅++>-⋅ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭∑(n ∈*N )………13分或：又 在（＊）式中，取*(1)(2)()x k k k k N =++∈， 得：ln[(1)(2)]ln 6ln 1k k k e ++≥>= ∴11ln[(1)(2)]()4nk k k k n n =++≥>-∑故11111(1)ln[(1)(2)]()ln 234!nn k e k k k n n n =++++⋅++>-⋅∑(n ∈*N )…………13分。