苏教版 高中 必修四 平面向量教案(知识讲解+例题+巩固练习+答案)

第6课时 向量的坐标表示（2）【学习目标】1、 进一步掌握向量的坐标表示；2、 理解向量平行坐标表示的推导过程；3、 提高运用向量的坐标表示解决问题的能力。

【预习指导】1、 向量平行的线性表示是_____________________________2、向量平行的坐标表示是：设),(11y x = ，))(,(22≠=y x ，如果∥ ，那么_________________，反之也成立。

3、已知A ，B ，C ，O 四点满足条件：OC OB OA =+βα ，当1=+βα ，则能得到 ________________________________________【典型例题选讲】例1：已知A （)0,1- ，)1,3(-B ,)2,1(C ,并且BC BF AC AE 31,31== ,求证：∥AB 。

例2：已知)1,2(,)0,1(==b a ，当实数k 为何值时，向量b a k -与b a 3+平行？并确定此时它们是同向还是反向。

例3：已知点O , A , B , C , 的坐标分别为（0，0），（3，4），（－1，2），（1，1），是否存在常数t ，OC OB t OA =+成立？解释你所得结论的几何意义。

【课堂练习】1. 已知),,6(),3,2(y b a ==且a ∥b ，求实数y 的值。

2. 已知，平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (2, 1)， B (－1,3) ， C (3,4)， 求第四个顶点的D 坐标。

3. 已知A (0, －2)，B (2, 2)，C (3, 4)，求证：A ，B ， C 三点共线。

4. 已知向量)4,3(--=，求与向量同方向的单位向量。

5. 若两个向量)4,(,),1(x b x a -=-=方向相同，求b a 2-。

【课堂小结】。

跟 踪 训 练 2 如 图 ， 在 正 方 形 ABCD 中 ， P 为 对 角 线 AC 上 任 一 点 ， PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连结DP，EF，求证：DP⊥EF.
证明
类型三 向量在物理学中的应用 命题角度1 向量的线性运算在物理中的应用 例3 (1)在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧， 与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉 力的大小.
∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J.
解答
(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功. 解 W＝F·A→B＝(F1＋F2)·A→B ＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J). ∴合力F对质点所做的功为－102 J.
跟踪训练3 河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方 向航行，小船在静水中的速度为10 3 km/h，求小船的实际航行速度.
解答
命题角度2 向量的数量积在物理中的应用 例4 已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点 A(20，15)移动到点B(7，0). (1)求力F1，F2分别对质点所做的功； 解 A→B＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)， W1＝F1·A→B＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)， W2＝F2·A→B＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J).
解 由已知得点D(－1，1)，E(－3，－1)，F(2，－2)， 设 M(x，y)是直线 DE 上任意一点，则D→M∥D→E. D→M＝(x＋1，y－1)，D→E＝(－2，－2). ∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0， 即x－y＋2＝0为直线DE的方程. 同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.

苏教版高中数学必修四：第2章平面向量2.2.2课时作业（含答案）----14573d1c-6ebb-11ec-97cb-7cb59b590d7d苏教版高中数学必修四：第2章-平面向量2.2.2课时作业（含答案）2.2.2矢量减法课时目标1.了解向量减法的原理及其几何意义。

2可以使用定律及其几何意义来正确区分两个向量向量的减法（1）定义：如果B+x=a，向量x称为a和B之间的差，记录为a-B。

求两个向量之间的差的操作称为向量减法→→（2）方法：取平面上的任意点O为OA=a，OB=B，然后取向量a-B=______如图所示(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为→→__________，被减向量的终点为__________的向量．例如：oa－ob＝__________.一、填空→→→1.如果OA=a，OB=B，那么AB=____2．若a与b反向，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|＝________.→→→→3．化简(ab－cd)－(ac－bd)的结果是________．4.→→→→→如图所示，在梯形abcd中，ad∥bc，ac与bd交于o点，则ba－bc－oa＋od＋da＝________.5.如图所示，已知从O到平行四边形三个顶点a、B和C的向量分别为a→，B，C，然后od=_____________________→→→6.在钻石ABCD中，∠ DAB=60°，|ab |=2，然后|BC+DC |=_______→→→→7.假设OA=a，OB=B，OC=C，OD=D，并且四边形ABCD是平行四边形，那么a-B+C-D=___→→→8.如果| ab |=5和|AC |=8，则| BC |的值范围为___→→9.在边长为1的正三角形ABC中，|ab bc |的值为___10．已知非零向量a，b满足|a|＝7＋1，|b|＝7－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|＝________.二、解答题11.→→→如图所示，o是平行四边形abcd的对角线ac、bd的交点，设ab＝a，da＝b，oc＝c，→求证：b＋c－a＝oa.12.→→→如图所示，已知正方形abcd的边长为1，ab＝a，bc＝b，ac＝c，试作出下列向量并分别求出其长度（1） a＋b＋c；（2）a－b＋c。

2．3 向量的坐标表示2．3.1 平面向量基本定理情景：“神舟”十号宇宙飞船在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度．在力的分解的平行四边形法则中，我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力的和．思考：平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？1．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使________．这个定理叫________________．答案：a＝λ1e1＋λ2e2平面向量基本定理2．不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________．答案：基底3．基底的特征是________、________．答案：两个向量不共线平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．向量的正交分解：一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解．重点诠释：对平面向量基本定理的理解主要体现在以下几个方面：(1)基底不唯一，关键是两基底不共线；(2)由定理可将任一向量a在给出基底e1，e2的条件下进行分解；(3)基底给定时，分解形式唯一；(4)以共线向量为基础，通过把一个向量在其他两个向量上分解，就可以揭示出该定理的本质，由此定理可以得到一个常用结论：若e1，e2不共线，则λ1e1＋λ2e2＝0⇔λ1＝λ2＝0.基础巩固1．e1，e2是平面内的一组基底，则下面四组向量中，不能作为一组基底的是( ) A．e1和e1＋e2B．e1－2e2和e2－2e1C．e1－2e2和4e2－2e1 D．e1＋e2和e1－e2答案：C2．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的说法是________(填序号)．答案：②③3．已知向量a，b不共线，且c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1＝________．答案：04．若3x＋4y＝a且2x－3y＝b，其中a，b为已知向量，则x＋y＝________(用a，b表示)．答案：517a ＋117b能力升级5．向量OA →，OB →，OC →的终点A 、B 、C 在一条直线上，且AC →＝－3CB →，设OA →＝p ，OB →＝q ，OC →＝r ，则以下等式成立的是( )A ．r ＝－12p ＋32q B ．r ＝－p ＋2qC ．r ＝32p －12q D ．r ＝－q ＋2q解析：由AC →＝－3CB →，得OC →－OA →＝－3(OB →－OC →)，2OC →＝－OA →＋3OB →，OC →＝－12OA →＋32OB →，即r ＝－12p ＋32q .答案：A6．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么AO →＝________AD →.解析：由D 为BC 边中点可得： OD →＝12(OB →＋OC →)，又2OA →＋OB →＋OC →＝0，所以2OA →＋2OD →＝0.故AO →＝OD →，从而AO →＝12AD →.答案：127．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________．解析：CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，故λ＝23.答案：238．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________．解析：依题意可知M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于点D ，则AM →＝23AD →.①因为AD 为中线，所以AB →＋AC →＝2AD →＝mAM →，即2AD →＝mAM →.② 联立①②解得m ＝3.答案：39．用向量证明三角形的三条边的中线共点．证明：设AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线．设AC →＝a ，BC →＝b ，AG →＝23AD →，则AB →＝a －b ，AD →＝a －12b ，BE →＝－12a ＋b .设AD 与BE 交于点G 1， 并设AG 1→＝λAD →，BG 1→＝μBE →， 则AG 1→＝λa －λ2b ，BG 1→＝－μ2a ＋μb .又因为AG 1→＝AB →＋BG 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－μ2a ＋(μ－1)b .所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1－μ2，－λ2＝μ－1，解得λ＝μ＝23，即AG 1→＝23AD →.再设AD 与CF 交于点G 2，同理可得AG 2→＝23AD →，故点G 1与点G 2重合，即AD 、BE 、CF 相交于一点．所以三角形的三条边的中线共点．10．如右下图，在△ABC 中，M 是边AB 的中点，E 是CM 的中点，AE 的延长线交BC 于点F ，MH ∥AF.求证：BH →＝HF →＝FC →.证明：设BH →＝a ，BM →＝b .则BA →＝2b ，MH →＝a －b ，AF →＝2MH →＝2a －2b ，BF →＝AF →＋BA →＝2a －2b ＋2b ＝2a . 所以HF →＝BF →－BH →＝a .因此BH →＝HF →. 同理可证：HF →＝FC →. 因此结论成立．11．如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为60°，OA →与OC →，OB →与OC →的夹角都为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →，求λ＋μ的值．解析：过点C 分别作CN ∥OA ，交射线OB 于点N ，作CM ∥OB ，交射线OA 于点M ，则OC →＝OM →＋ON →＝λOA →＋μOB →.所以OM →＝λOA →，ON →＝μOB →.由已知，|OA →|＝|OB →|＝1， 在平行四边形OMCN 中， ∠MOC ＝∠NOC ＝∠NCO ＝30°， 所以△NOC 为等腰三角形． 所以ON ＝NC ＝OM .所以平行四边形OMCN 为菱形．连接MN 交OC 于点H ，则OC ⊥MN ，且H 为O C 中点．在Rt △OHM 中， cos ∠HOM ＝OH OM ＝12OC OM，即cos 30°＝3OM＝32，解得OM ＝2，所以ON ＝2.所以λ＝|OM →||OA →|＝2，μ＝|ON →||OB →|＝2.故λ＋μ＝4.12．在一个平面内有不共线的三个定点O 、A 、B ，动点P 关于点A 的对称点为Q ，Q 关于点B 的对称点为R.已知OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示PR →.解析：如右图所示．方法一 由题意知A 为PQ 的中点，B 为QR 的中点， ∴PR ∥AB 且PR ＝2AB .∴PR →＝2·AB →＝2(OB →－OA →)＝2(b －a )． 方法二 PR →＝OR →－OP →， 在△OQR 中，B 为QR 的中点， ∴2OB →＝OR →＋OQ →.∴OR →＝2OB →－OQ →. 同理有2OA →＝OP →＋OQ →，∴OP →＝2OA →－OQ →.则PR →＝2OB →－OQ →－(2OA →－OQ →)＝2b －OQ →－2a ＋OQ →＝2b －2a .。