江苏省淮阴中学2013-2014学年高一上学期期末考试 数学 Word版含答案

江苏省淮阴中学2013-2014学年度第一学期期末考试

高三数学试题

一、填空题

1.若复数z 满足)4i z i =，则z =

2.已知非零向量,a b ,满足||||1a a b =+=|,a 与b 夹角为120°,则向量b 的模为___

3．双曲线

22

1916

y x -=的焦点到渐近线的距离为________ 4．不等式112-≥-x a x 对任意的R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ______

5. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且10

10

3cos ,21tan =

=B A ．则tan C 的值=________

6.已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足：2010201120122a a a +=，若的最小值为

7. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：

①若m β⊂，αβ⊥，则m α⊥； ②若m//α，m β⊥，则αβ⊥； ③若αβ⊥，αγ⊥，则βγ⊥； ④若m α

γ=，n βγ=，m//n ，则//αβ．

上面命题中，真命题．．．的序号是 （写出所有真命题的序号）． 8. 在ABC ∆中,2,3

b B π

==,sin 2sin()sin A A C B +-=,则ABC ∆的面积为 _____

9．已知,x y 2

3

y x --的取值范围是 10．若函数)4(log )()3(2+=-ax x f a 在[－1,1]上是单调增函数，则实数a 的取值范围是

11.锐角ABC ∆的三边c b a ,,和面积S 满足条件22

()4c a b S k

--=,又角C 既不是ABC

∆

的最大角也不是ABC ∆的最小角,则实数k 的取值范围是

12.已知椭圆C:22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的左右焦点为1,2F F , 若椭圆C 上恰好有6个不同

的点P ，使得12F F P 为等腰三角形，则椭圆Ｃ的离心率的取值范围是 13. 对于函数)(x f y =，若存在区间[],,a b 当[],x a b ∈时的值域为[],(0),ka kb k >则称

)(x f y =为k 倍值函数，若()ln 2f x x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是

14. 定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，()1|2|f x x =--；②(3)3()f x f x =.设关于x 的函数()()F x f x a =-的零点从小到大依次为12,,

,,

n x x x .，若(1,3)a ∈，则

122014x x x +++=_________

二、解答题：

15. 已知p ：

|2|4x +<，:q 关于x 的不等式22210x x a -+-≤，若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.

16. 如图，在四面体ABCD 中,,BC AC AD BD ==,E 是AB 的中点． (1)求证:⊥AB 平面CDE ；

(2)设G 为ADC ∆的重心,F 是线段AE 上一点,且2AF FE =.求证://FG 平面CDE .

17.某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米． 现在准备新建造一个荷塘，分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，建造△DEF

连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF 为正三角形，设求△DE F 边长的最小值．

18.已知椭圆C :22

221x y a b

+=(0a b >>)

P 是椭圆C 上一动

点，其到点()0,2M 距离的最大值为3.

(1)求椭圆C 的方程；

（2）已知点N （5,0），设不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A,B ，若x 轴是ANB ∠的角平分线，证明直线l 过定点.

A D E F

19. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}

2

n a 的前n 项和为n T ，且

()

2

234,n n S T n N *-+=∈.

⑴证明：数列{}n a 是等比数列，并写出通项公式；

⑵若2

0n n S T λ-<对n N *

∈恒成立，求λ的最小值；

⑶若12,2,2x y n n n a a a ++成等差数列，求正整数,x y 的值.

20.设0a >，两个函数()ax

f x e =，g()ln x b x =的图像关于直线y x =对称.

（1）求实数b a ,满足的关系式；

（2）当1=a 时，在),2

1(+∞上解不等式2

)()1(x x g x f <+-．

（3）试指出函数()()()h x f x g x =-在1(0,]e

的零点个数，并给出证明．

江苏省淮阴中学2013-2014学年度第一学期期末考试

高三数学试题参考答案

1. 1)-+

2.1 3． 4 4． ]2,(--∞ 5. -1 6. 83 7.② 8.3

9．12[0,

]5 10．)4,2()3,2( -- 11.1,1) 12.111

(,)(,1)322

13. (

)

12,2e

+

14. 10076(31)-

15.解：|2|462x x +<⇔-<<

22210[(1)][(1)]0x x a x a x a -+-≤⇔---+≤

（1）0a ≥时16

112a a a ->-⎧⇒<⎨+<⎩

，01a ∴≤<

（2）0a <时12

116

a a a -<⎧⇒>-⎨+>-⎩，10a ∴-<<

实数a 的取值范围为（-1,1）.

16.证明:(1)由 BC AC CE AB AE BE =⎫

⇒⊥⎬=⎭

,同理，D E

A ⊥,又∵

C E

D E =,,CE DE ⊂平面CDE ,∴AB ⊥平面CDE

(2)连接AG 延长交CD 于点O,连接EO.因为G 为ADC ∆重心,∴2AG GO =,又2AF FE =,所以//FG EO 又EO CDE ⊂面,FG CDE ⊄面,所以//FG 平面CDE 17.