初三数学周周练1 比例线段、相似三角形判定

知识必备08相似三角形（公式、定理、结论图表）

考点一、比例线段1. 比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是

，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项.

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.2、比例的性质（1）基本性质：①a：b=c：dad=bc ②a：b=b：c.（2）更比性质（交换比例的内项或外项） （交换内项）

（交换外项）

（同时交换内项和外项）

（3）反比性质（交换比的前项、后项）：

（4）合比性质：

（5）等比性质：

3、黄金分割把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，

点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB.

典例1：（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡

杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放

在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜

衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 1.2　倍．

【分析】根据比例的性质解决此题．

【解答】解：由题意得，5m被称物＝6m砝码．

∴m被称物：m砝码＝6：5＝1.2．故答案为：1.2．

【点评】本题主要考查比例，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．

典例2：（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于

下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕

线段比例与相似三角形

线段比例与相似三角形是几何学中重要的概念。在这篇文章中，我们将探讨线段比例与相似三角形之间的关系，并解释它们在几何学中的应用。

一、线段比例的定义与性质

线段比例是指两个线段之间的长度关系。假设有两个线段AB和CD，它们的长度分别为a和b。如果这两个线段之间存在比例关系，即a:b为一个确定的数值k，那么我们可以记作AB：CD = a：b = k。

线段比例具有以下性质：

1. 如果线段AB与CD之间存在比例关系，那么它们与其他平行线段的任意两个对应部分也满足比例关系。

2. 如果线段AB与CD之间存在比例关系，那么它们与其他平行线段的任意两个相似三角形的对应边也满足比例关系。

3. 如果线段AB与CD之间的比例关系为a：b = k，且线段BC与DE之间的比例关系为b：c = k，那么线段AC与DE之间的比例关系为a：c = k。

二、相似三角形的定义与性质

相似三角形是指具有相似形状但不一定相等的三角形。两个三角形相似的条件为它们对应角相等，并且对应边成比例。如果有两个相似三角形ABC和DEF，我们可以记作ΔABC ∽ ΔDEF。 相似三角形具有以下性质：

1. 相似三角形的对应边成比例，即AB：DE = BC：EF = AC：DF。

2. 相似三角形的对应角相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

3. 如果两个三角形的两个角相等，并且一对对应边成比例，那么它们是相似三角形。

4. 相似三角形的比例因子等于两个相似三角形任意两对成比例边的比值。

三、线段比例与相似三角形的关系

线段比例与相似三角形之间存在紧密的联系。当两个线段之间满足比例关系时，它们所在的三角形也是相似的。

具体而言，如果两条平行线段AB和CD之间的线段比例为a：b =

k，那么通过连接这两个线段与CD的两个端点，我们可以构成两个相似三角形ABC和CDE，其中∠A = ∠C，∠B = ∠D。这个性质也被称为对应角的性质。

初中数学知识归纳相似三角形的判定方法

相似三角形是数学中重要的概念之一，它们具有相同的形状但是尺寸不同。在初中数学中，我们经常需要判断两个三角形是否相似。本文将归纳总结相似三角形的判定方法，以帮助初中生更好地理解和应用这一知识。

（正文部分）

相似三角形的判定方法有以下几种：

1. AAA相似判定法

首先，AAA相似判定法是最基本的判定方法之一。如果两个三角形的对应角度相等，那么它们就是相似三角形。例如，若∠A₁=∠A₂，∠B₁=∠B₂，∠C₁=∠C₂，那么三角形ABC与三角形A₂B₂C₂相似。

2. AA相似判定法

在某些情况下，我们只能通过两个角的对应关系来判定三角形的相似性。如果两个三角形中有两个对应角度相等，那么它们就是相似三角形。例如，若∠A₁=∠A₂，∠B₁=∠B₂，那么三角形ABC与三角形A₂B₂C₂相似。

3. 比例判定法

有时候我们需要借助于三角形的边长来判定它们的相似性。如果两个三角形的对应边长成比例，那么它们就是相似三角形。例如，若AB/A₂B₂＝BC/B₂C₂＝CA/C₂A₂，那么三角形ABC与三角形A₂B₂C₂相似。

4. 弦割定理判定法

在某些情况下，我们需要利用弦割定理来判定三角形的相似性。该定理规定，如果两个三角形的两边分别平行，那么它们就是相似三角形。例如，若AB平行于A₂B₂，并且BC平行于B₂C₂，那么三角形ABC与三角形A₂B₂C₂相似。

5. 斜线判定法

最后，斜线判定法是一种特殊的相似三角形判定方法。该方法适用于当两个三角形有公共一个顶点，并且它们的底边平行时。例如，若顶点A₂与顶点A重合，并且线段BC平行于线段B₂C₂，那么三角形ABC与三角形A₂B₂C₂相似。

总结：

相似三角形的判定方法有AAA相似判定法、AA相似判定法、比例判定法、弦割定理判定法和斜线判定法。通过掌握这些方法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似，从而在解题过程中灵活应用相似三角形的性质和定理。

ACA

DFEC

FHFF

初三数学相似三角形

（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：

1。 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割.

2.

会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。

3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。

4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题

本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。

本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。

相似三角形是平面几何的主要内容之一,在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题,题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题,形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。

（二）重要知识点介绍：

1。 比例线段的有关概念：

在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，abcdabcdadbcac()

b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。

把线段AB分成两条线段AC和BC,使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。

2. 比例性质:

①基本性质：abcdadbc

②合比性质：±±abcdabbcdd

③等比性质：……≠……abcdmnbdnacmbdnab()0

3。 平行线分线段成比例定理：

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。

则，，，…ABBCDEEFABACDEDFBCACEFDF ACA DFEC

FHFF

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例。