浅谈中考数学中的动点问题

２００６年第６期　

浅谈中考数学中的劬襄　湮　

高眷菊　

（天津市武清区大黄堡中学，３０ｌ７０２）　

动点问题最突出的特点为条件中的主要　

元素——点是运动的．这类题目形式多样，要　

求学生运用数形结合的思想，通过观察、猜　

想、推理、计算等一系列数学探索活动，用方　

程或函数的观点描述这些变化，进而寻求解　

题思路．　

１点在运动过程中与其他元素之间的关系　

问题　

解这类题目的关键是确定在点的运动过　

程中，图形中有关元素哪些量是变化的，哪些　

量是不变的，找到已知和未知之间的关系，运　

用方程、函数等思想方法，将它们之问的关系　建立起来．　

例１如图ｌ，在　

△Ａ　中，已知Ａ日＝　

ＢＣ＝ｃＡ＝４锄，ＡＤ上　

ＢＣ于点Ｄ，点Ｐ、Ｑ　

分别从曰、Ｃ两点同　

时出发，其中点Ｐ沿　ＢＣ向终点Ｃ运动，速　图１　

度为１　ｃｍ／ｓ，点Ｑ沿　、Ａ日向终点日运动，　

速度为２　ｃｍ／ｓ，设它们运动的时间为　８．　

（１）求当戈为何值时，　上ＡＣ；　

（２）设△ＰＱＤ的面积为ｙ　ｃｍ２，当０＜　

＜２时，求Ｙ与戈的函数关系式；　

泡电阻Ｒ．＝１２　Ｑ，标有“６　Ｖ４　Ｗ”的灯泡电阻　

Ｒ　＝９　Ｑ．根据欧姆定律可求出在口、ｂ两接　

线柱上接标有“６　Ｖ　３　Ｗ”的灯泡时，电路中的　

电流，：０．５　Ａ．　

下面的问题留给大家．应选（Ｃ）．　

综观上文，给我们的启示是有益的．当遇　

到一个新的陌生的问题时，可回顾一下，是否　

见过类似的问题，比较一下它们有何不同，试　

一下能否将一些不同的因素转化为相同因　

素．一旦转化成功，问题自然得以突破．这事　

实上给同学们提供了一种处理物理问题的重　

要方法——化生为熟．而上面的例子也说明，　

这确实是行之有效的一条捷径．当然，要将其　

应用得得心应手，就需要平时的积累，但不需　

要搞题海战术，而是要抓住一些有代表性的　

题目不放，并将其加以适当的拓展．只要养成　

这样的习惯，举一反三，触类旁通并非难事．　练习题　

１．如图４，ＲＩ＝２０Ｑ，Ｒ２＝２５　Ｑ．当开关Ｓｌ闭合、　

．ｓ　断开时，电压表的示数为２．８　Ｖ．当开关ｓ．断开、　

闭合时，电阻　消耗的功率可能是（　）ｗ．　

（Ａ）０．２　（Ｂ）０．３　（Ｃ）０．４　（Ｄ）０．５　

醇自　

图４　图５　

２．如图５，电源电压保持不变，电阻Ｒ．为ｌ０　Ｑ，　

Ｒ：为２０　Ｑ，Ｒ，的阻值不等于零．当开关．ｓ断开时。　

电压表的示数为６　Ｖ．当开关Ｓ闭合时，电雎表的示　

数可能是（　）Ｖ．　（Ａ）１１　（Ｂ）１０　（ｃ）９　（Ｄ）８　（上海市第十三届初中物理知识竞赛）　

答案：

１。ｃ　２．Ｄ　维普资讯 http://www.cqvip.com ｌ２　中学教与学　

（３）证明：当０＜　＜２时，ＡＤ平分　

△ＰＱＯ的面积；　

（４）探索：以　为直径的圆与Ａｃ的位　

置关系。请写出相应位置关系的　的取值范　

围（不要求写过程）．　

（２００５。浙江省温州市中考题）　

解：（１）当点Ｑ在加上时，显然，　不　

垂直于Ａｃ．当点Ｑ在Ａｃ上时。设ＢＰ＝　。则　

ｃＱ＝２ｘ．ＰＣ＝４一　．　

如图ｌ，若即上ＡＣ，则　ＱＰＣ＝３０￣．　

所以。ＰＣ＝２ＣＱ。即　＝Ｗ叶．　

（２）当０＜　＜２时，点Ｐ在ＢＤ上。点Ｑ　

在ＡＣ上．　

如图ｌ。过点Ｑ作衄上日Ｇ于点　．　

因为ｐ　＝ＱＣｓｉｎ　６ｃｙＤ＝√３聋，ＰＤ＝２一　，　

．　所以．Ｙ＝＋ＰＤ－Ｑ　＝一　＋　．　

证明：（３）当０＜　＜２时，　

ＨＣ：　１　ＱＣ＝　，所以。ＰＤ＝ＤＨ．　

因为ＡＤ／／ＱＨ，所以，ＯＰ＝ＯＱ．　

故ＡＤ平分△ＰＱＯ的面积．　

（４）当　：　或　时。以ＰＱ为直径的圆　

与ＡＣ相切．　

当Ｏ≤　＜　４域　４＜　＜．１５６一．￣１ｓ６＜　≤４时，　

以尸ｐ为直径的圆与ＡＧ相交．　

评析：本题中，Ｐ、Ｑ两点是运动的。线段　

、户ｃ、ｃ　、　是随点Ｐ、Ｑ运动变化的，而　

△ＡＢＣ中的边、角是不变的．本题综合了等　

边三角形的性质、解直角三角形、求三角形面　

积以及方程等知识．运用了数形结合、分类讨　

论等数学思想．　

例２如图２，ＡＢ是０　０的蛊径。Ｇ是　

延长线上　

一点，ＣＤ切　０　Ｄ于点Ｄ，ｃ　

弦ＤＥ／／ＢＣ，　

Ｑ是ＡＢ上　罔２　一动点，　＝ｌ。ｃＤ是０　０半径　的　倍．　

（１）求００的半径Ｒ；　

（２）在点Ｑ从点Ａ到点Ｂ运动的过程　

中，图中阴影部分的面积是否发生了变化？　

若发生了变化，请你说明理由；若没有发生变　

化。清你求出阴影部分的面积．　

解：（１）由（√３　）　＝ｌ×（１＋２Ｒ）。得　＝１．　

（２）如图２，联结ＯＤ、ＯＥ．　

因为腑∥　，则ｓ△　＝ｓ　。所以，　

ｓ　＝．ｓ扇　＝詈．　

评析：第（１）问欲求００的半径Ｒ，根据　

切割线定理易得．第（２）问所求阴影部分的面　

积是由弓形和△ＤＱＳ＂组成的．当点Ｑ在船　

上运动时。所得到的三角形的面积都是同底　

等高的。即阴影部分的面积是不变的．所以，　

解题关键是准确把握阴影部分的组成．　

２点在运动过程中的存在性问题　

存在性问题是中考的热点问题。此类问　

题若加上动点的条件。会使题目变得更加复　

杂、灵活、多样．解证此类题目的方法是先假　

设欲解证的数学对象存在，然后从题设和假　

设出发，进行数式运算和几何变换．如果推出　

矛盾，则否定存在；如果不出现矛盾，则肯定　

存在．同时。根据被探索点的位置的不同。需　

用分类讨论的思想，防止漏解．　

例３　如　

图３，在直角坐　

标系中，ｏ是原　

点。Ａ、Ｂ、Ｃ三　

点的坐标分别　

为Ａ（１８，０）、　

日（１８，６）、Ｃ（８。６），四边形ＯＡＢＣ是梯形．点　

Ｐ、Ｑ同时从原点出发。分别作匀速运动。其　

中点Ｐ沿　向终点Ａ运动，速度为每秒　

１个单位；点Ｑ沿０６＂、ＣＢ向终点　运动．当　

这两点有一点到达自己的终点时。另一点也　

停止运动．　

（１）求直线ＯＣ的解析式及经过０、Ａ、Ｃ　维普资讯 http://www.cqvip.com ２００６年第６期　

三点的抛物线的解析式：　（２）试在（１）中的抛物线上找一点ＪＤ，使　

得以０、Ａ、Ｄ为顶点的三角形与ＡＡＯＣ全　

等，请直接写出点Ｄ的坐标；　（３）设从出发起，运动了ｔ　ｓ，如果点ｐ　

的速度为每秒２个单位，试写出点Ｑ的坐　

标，并写出此时ｔ的取值范围．　

（４）设从出发起，运动了ｔ　ｓ，当Ｐ、Ｑ两　

点运动的路程之和恰好等于梯形ＯＡＢＣ周长　

的一半时，直线即能否把梯形的面积也分　

成相等的两部分？如有可能，请求出ｌ的值；　

如不可能，请说明理由．　

（２００５，湖北省黄冈市中考题）　

解：（１）ＯＣ的解析式为Ｙ＝丢　；抛物线　

的解析式为Ｙ＝一面３　。＋葡２７　。　

（２）Ｄ（１０，６）．　

（３）当点ｐ在ＯＣ上运动时，可设　

Ｑ【ｍ．　ｍ）．贝ＩＪ　

ｍ　＋【詈’ｍ）＝（２ｆ）　．　

解得／７１，＝詈￡．　

所以，Ｑ（了８　ｆ，　６－ｆ）（０≤ｆ≤５）．　

当点ｐ在∞上运动时，其所走的路程　

为２ｆ，横坐标为２ｆ—ｌ０＋８＝２ｔ一２．　

故ｐ（２ｔ一２，６）（５≤ｔ≤１０）．　

（４）因为梯形ＯＡＢＣ的周长为４４，当点Ｑ　

在ＯＣ上时，点Ｐ运动的路程为ｔ，则点ｐ运　

动的路程为２２一ｔ．　

所以，　＿＼，哪＝专ｓ梯形　，１１１１　

ｔ（２２一１）×　３＝８４　ｘ　１．　

整理得ｔ　一２２ｔ＋１４０；０．　

由△＜０。知这样的ｔ不存在．　

当点Ｑ在ＪＢＧ上时，其走过的路程为　

２２一ｔ．ｃｑ＝２２一ｔ一１０＝１２一ｔ．所以，　

ｓ梯形，ｘ　＝专×６×（２２一ｔ一１０＋ｔ）　＝３６＃８４×　１．　

这样的ｔ亦不存在．　

评析：由于点Ｐ、ｐ是运动的，速度不　

同，则线段ＤＰ、　、Ｄｐ、ＱＣ是变化的，０ｌＡ、　

０Ｇ、Ｂｃ是不变的．而点ｐ走的是一条折线，　

所以，在第（３）问中，求点ｐ的坐标。分点Ｑ　

在ＯＣ上和凹上两种情况求解．本题用到了　

函数、勾股定理、一元二次方程、梯形等知识　

及分类讨论的思想和数形结合的思想．　

例４如图　

４，已知直线Ｙ＝　

缸＋ｂ经过点　

Ａ（０。１）、Ｂ（一３，０），　Ｐ是这条直线上　蹦４　

的一个动点，以点Ｐ为圆心的圆与　轴相切　

于点Ｃ．　

（１）求直线他的解析式；　

（２）设点Ｐ的横坐标为ｔ．若０Ｐ与Ｙ轴　

相切，求ｔ值；　

（３）是否存在点Ｐ，使０Ｐ与Ｙ轴两交点　

问的距离恰好等于２７若存在，求出点Ｐ的　

坐标；若不存在，请说明理由．　

（２００５，广西壮族自治区南宁市中考题）　

解：（１）把点Ａ、　的坐标分别代人Ｙ＝　

＋ｂ，可得ｋ＝　１，ｂ＝ｌ，故Ｙ＝专　＋１．　

（２）因为０Ｐ与Ｙ轴相切，且点Ｐ在Ａ日　

上运动。所以，０Ｐ有可能在第．一一象限，也有　

可能在第二象限．　又因为０　Ｐ既和　轴相切，又和Ｙ轴相　

切．即横、纵坐标均相等．设Ｐ（ｆ，吾ｚ＋Ｉ），　

则有ｔ＝・｝ｔ＋ｌ或一ｔ：｛ｔ＋１．　

故ｆ＝　或　一言．　

（３）设０Ｐ与Ｙ轴交于点Ｃ、Ｄ．根据勾股　

定理有　

ｌ　＋ｚ２＝（了１…）　．

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