2013年真题理-高考-湖北卷理科数学试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

（湖北卷）

一、选择题

1、在复平面内，复数21izi（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【解析与答案】211izii，1zi。

故选D

【相关知识点】复数的运算

2、已知全集为R，集合112xAx，2|680Bxxx，则RACB（ ）

A.|0xx B.

C. |024xxx或 D.|024xxx或

【解析与答案】0,A，2,4B，0,24,RACB。

故选C

【相关知识点】不等式的求解，集合的运算

3、在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）

A.pq B. pq C. pq D.pq

【解析与答案】“至少有一位学员没有降落在指定范围”

即：“甲或乙没有降落在指定范围内”。

故选A。

【相关知识点】命题及逻辑连接词

4、将函数3cossinyxxxR的图像向左平移0mm个长度单位后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是（ ）

A. 12 B. 6 C. 3 D. 56

【解析与答案】2cos6yx的图像向左平移0mm个长度单位后变成

2cos6yxm，所以m的最小值是6。故选B。

【相关知识点】三角函数图象及其变换

5、已知04，则双曲线22122:1cossinxyC与222222:1sinsintanyxC的（ ）

A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D. 离心率相等

【解析与答案】双曲线1C的离心率是11cose，双曲线2C的离心率是222sin1tan1sincose，故选D

【相关知识点】双曲线的离心率，三角恒等变形

6、已知点1,1A、1,2B、2,1C、3,4D，则向量AB在CD方向上的投影为（ ）

A. 322 B.3152 C. 322 D.3152

【解析与答案】2,1AB，5,5CD，1532252ABCDCD，故选A。

【相关知识点】向量的坐标运算，向量的投影

7、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25731vttt（t的单位：s，v的单位：/ms）行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m）是（ ）

A. 125ln5 B. 11825ln3 C.

425ln5 D. 450ln2

【解析与答案】令 257301vttt，则4t。汽车刹车的距离是402573425ln51tdtt，故选C。

【相关知识点】定积分在实际问题中的应用

8、一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V，2V，3V，4V，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，

则有（ ）

A. 1243VVVV B. 1324VVVV

C. 2134VVVV D. 2314VVVV

【解析与答案】C 由柱体和台体的体积公式可知选C

【相关知识点】三视图，简单几何体体积

9、如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值为EX

A. 126125 B. 65 C. 168125 D. 75

第9题图

【解析与答案】三面涂有油漆的有8块，两面涂有油漆的有36块，一面涂有油漆的有54块，没有涂有油漆的有27块，所以8365463211251251255EX。故选B。

【相关知识点】古典概型，数学期望

10、已知a为常数，函数()lnfxxxax有两个极值点1212,()xxxx，则（ ）

A. 121()0,()2fxfx B. 121()0,()2fxfx

C. 121()0,()2fxfx D. 121()0,()2fxfx

【解析与答案】令()12ln0fxaxx得021a，ln21(1,2)iixaxi。

又102fa，121012xxa。222111111111()ln210fxxxaxxaxaxaxx，222222211()11122fxaxxxaxaxaa

故选D。

【相关知识点】函数导数与极值，函数的性质

二、填空题

（一）必考题

11、从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示。

（I）直方图中x的值为 ；

（II）在这些用户中，用电量落在区间100,250内的户数为

。

第11题图

【解析与答案】0.0060.00360.002420.0012501x，0.0044x

0.00360.0060.00445010070

【相关知识点】频率分布直方图

12、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i 。

【解析与答案】5 程序框图运行过程如表所示：

i 1 2 3 4

5

a 10 5 16 8

4

【相关知识点】程序框图

13、设,,xyzR，且满足：2221xyz，2314xyz，则xyz 。

【解析与答案】由柯西不等式知222222212323xyzxyz，结合已知条件得123xyz，从而解得1412314xyz，3147xyz。

【相关知识点】柯西不等式及其等号成立的条件）

14、（2013湖北卷，14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为2111222nnnn。记第n个k边形数为否

1ii ?4a 10, 1ai 开始

是

结束 a是奇数?

31aa 2aa 是 否

输出i

,Nnk3k，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

三角形数 211,322Nnnn

正方形数 2,4Nnn

五边形数 231,522Nnnn

六边形数 2,62Nnnn

…

可以推测,Nnk的表达式，由此计算10,24N 。

【思维导图】观察列出的三角形数、正方形、五边形数、六边形数所具有的特点→观察2n和n前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列→归纳、猜想出10,24N

【解答过程】观察2n和n前面的系数，可知一个成递增的等差数列，另一个成递减的等差数列，由归纳推理可知： 221(,)(4)22kNnknnk,所以10,24N224211010(244)1100100100022。

【答案】1000

（二）选考题

15、如图，圆O上一点C在直线AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E。若3ABAD，则CEEO的值为 。

ODEBA第15题图 C

【解析与答案】由射影定理知2222812ADABADCECDADBDEOODOAADABAD

【相关知识点】射影定理，圆幂定理

16、在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为cossinxayb0ab为参数，。在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为2sin42mm为非零常数与b。若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为

。

【解析与答案】直线l的方程是xym，作出图形借助直线的斜率可得2cb，所以2222cac，63e

【相关知识点】极坐标与直角坐标的转化，椭圆的几何性质，直线与圆

三、解答题

17、在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c。已知cos23cos1ABC。

（I）求角A的大小；

（II）若ABC的面积53S，5b，求sinsinBC的值。

【解析与答案】（I）由已知条件得：cos23cos1AA

22cos3cos20AA，解得1cos2A，角60A

（II）1sin532SbcA4c，由余弦定理得：221a，222228sinaRA

25sinsin47bcBCR

【相关知识点】二倍角公式，解三角函数方程，三角形面积，正余弦定理

18、已知等比数列na满足：2310aa，123125aaa。

（I）求数列na的通项公式；

（II）是否存在正整数m，使得121111maaa？若存在，求m的最小值；若不存在，