宁夏银川九中2016届高三第二次模拟考试 数学(文)Word版含答案

2016年宁夏银川二中、银川九中、育才中学联考高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知是纯虚数，则a＝（）A．B．C．2D．﹣22．（5分）已知集合U＝R，函数的定义域为M，集合N＝{x|x2﹣x≤0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N＝N B．M∩（∁∪N）＝∅C．M∪N＝UD．M⊆（∁∪N）3．（5分）某中学共8个艺术社团，现从中选10名同学组成新春社团慰问小组，其中书法社团需选出3名同学，其他各社团各选出1名同学，现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区养老院参加“新春送欢乐”活动（每位同学被选到的可能性相同），则选出的3名同学来自不同社团的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知a，b∈R，则“”是“log a b＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知，则sin2x＝（）A．B．C．D．6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．8+πB．8+2πC．8+3πD．8+4π7．（5分）执行如图所示的程序框图，则该程序运行后输出的i值为（）A．8B．9C．10D．118．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，则（﹣2）（3+4）＝（）A．B．C．D．9．（5分）已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为第（）项．A．5B．4C．4或5D．5或6 10．（5分）已知抛物线C：x2＝8y，过点M（0，t）（t＜0）可作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，若直线AB恰好过抛物线C的焦点，则△MAB的面积为（）A．2B．3C．6D．1611．（5分）函数f（x）＝3sin x•ln（1+x）的部分图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）在定义域内满足：（1）对于任意不相等的x1，x2，有x1f（x2）+x2f（x1）＞x1f（x1）+x2f（x2）；（2）存在正数M，使得|f（x）|≤M，则称函数f（x）为“单通道函数”，给出以下4个函数：①，x∈（0，π）；②g（x）＝lnx+e x，x∈[1，2]；③h（x）＝x3﹣3x2，x∈[1，2]；④φ（x）＝，其中，“单通道函数”有（）A．①③④B．①②④C．①③D．②③二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知直线l：x+3y﹣2b＝0过双曲线的右焦点F，则双曲线的渐近线方程为．14．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则的最大值为．15．（5分）已知a，b，c是△ABC的三边，若满足a2+b2＝c2，即，△ABC为直角三角形，类比此结论：若满足a n+b n＝c n（n∈N，n≥3）时，△ABC的形状为．（填“锐角三角形”，“直角三角形”或“钝角三角形”）．16．（5分）关于x的方程x3﹣x2﹣x+m＝0，至少有两个不相等的实数根，则m 的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足：．（1）记，求证：数列{b n}为等比数列；（2）求数列{na n}的前n项和S n．18．（12分）自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．19．（12分）如图，空间几何体ABCDE中，平面ABC⊥平面BCD，AE⊥平面ABC．（1）证明：AE∥平面BCD；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，DE∥平面ABC，且AD与BD，CD所成角的余弦值均为，试问在CA上是否存在一点P，使得二面角P﹣BE﹣A 的余弦值为．若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），过点M（﹣1，1）作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B，直线AB的斜率为2．（1）求抛物线的标准方程：（2）与圆（x﹣1）2+y2＝1相切的直线1，与抛物线交于P，Q两点．若在抛物线上存在点C，使＝（λ＞0），求λ的取值范围．21．（12分）已知函数．（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝﹣2，求f（x）的单调区间；（2）若x＞0时，恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为其直径，CH⊥AB于H延长后交⊙O于D，连接DB并延长交过C点的直线于P，且CB平分∠DCP．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AC＝4，BC＝3，求的值．23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（其中t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（4cosθ+3sinθ）﹣m＝0（其中m为常数）．（1）若直线l与曲线C恰好有一个公共点，求实数m的值；（2）若m＝4，求直线l被曲线C截得的弦长．24．已知定义在R上的连续函数f（x）满足f（0）＝f（1）．（1）若f（x）＝ax2+x，解不等式；（2）若任意x1，x2∈[0，1]且x1≠x2时，有|f（x1）﹣f（x2）|＜|x1﹣x2|，求证：．2016年宁夏银川二中、银川九中、育才中学联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知是纯虚数，则a＝（）A．B．C．2D．﹣2【解答】解：＝＝，又已知是纯虚数，∴，解得：a＝．故选：A．2．（5分）已知集合U＝R，函数的定义域为M，集合N＝{x|x2﹣x≤0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N＝N B．M∩（∁∪N）＝∅C．M∪N＝UD．M⊆（∁∪N）【解答】解：∵函数的定义域为M＝{x|x≤1}，集合N＝{x|x2﹣x≤0}＝{x|0≤x≤1}，∴M∩N＝{x|0≤x≤1}＝N，M∪N＝{x|x≤1}＝M，N＝{x|x＜0，或x＞1}，∴∁∪N）＝{x|x＜0}，∴M∩（∁∪故只有A正确，故选：A．3．（5分）某中学共8个艺术社团，现从中选10名同学组成新春社团慰问小组，其中书法社团需选出3名同学，其他各社团各选出1名同学，现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区养老院参加“新春送欢乐”活动（每位同学被选到的可能性相同），则选出的3名同学来自不同社团的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设“选出的3名同学是来自互不相同社团”为事件A，则P（A）＝＝．故选：C．4．（5分）已知a，b∈R，则“”是“log a b＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：，平方可得a＞b≥1，可得log a b＜1，反之不成立，例如取a＝，b＝．∴”是“log a b＜1”的充分不必要条件．故选：A．5．（5分）已知，则sin2x＝（）A．B．C．D．【解答】解：已知＝，∴tan x＝，则sin2x＝＝＝，故选：C．6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．8+πB．8+2πC．8+3πD．8+4π【解答】解：根据三视图可知几何体是简单的组合体：上面是一个正方体，下面是半个圆柱，且正方体的棱长是2，圆柱的底面半径是1、母线长4，∴几何体的体积V＝2×2×2+＝8+2π，故选：B．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则该程序运行后输出的i值为（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：由程序框图知：程序第一次运行n＝10，i＝2；第二次运行n＝5，i＝3；第三次运行n＝3×5+1＝16，i＝4；第四次运行n＝8，i＝5；第五次运行n＝4，i＝6；第六次运行n＝2，i＝7；第七次运行n＝1，i＝8．满足条件n＝1，程序运行终止，输出i＝8．故选：A．8．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，则（﹣2）（3+4）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，∴（﹣2）（3+4）＝3+4•﹣6﹣8＝3×1×1×cos120°+4×1×1×cos120°﹣6﹣8×1×1×cos120＝﹣，故选：B．9．（5分）已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为第（）项．A．5B．4C．4或5D．5或6【解答】解：由题意可得＝，求得n＝7，故展开式第r+1项的系数为T r+1＝•（﹣1）r，故当r＝4，即第五项的系数最大，故选：A．10．（5分）已知抛物线C：x2＝8y，过点M（0，t）（t＜0）可作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，若直线AB恰好过抛物线C的焦点，则△MAB的面积为（）A．2B．3C．6D．16【解答】解：抛物线C：x2＝8y的焦点坐标为（0，2），∵抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB恰好过抛物线C的焦点，∴x2＝8×2，解得x＝±4，∴x B＝﹣4，x A＝4，∴A（4，2），B（﹣4，2），∵y＝x2，∴y′＝x，∴k AM＝×4＝1＝，解得t＝﹣2，∴|AB|＝4+4＝8，△MAB的高等于2﹣（﹣2）＝4，＝×8×4＝16，∴S△MAB（求出直线的斜率也可以这样求：设直线AM的方程为y﹣2＝k（x﹣4），由得到x2﹣8kx+8（4k+2）＝0，∴△＝64k2﹣32（4k﹣2）＝0，解得k＝1，继而求出y﹣2＝x﹣4，得到t＝﹣2，然后再求出面积）故选：D．11．（5分）函数f（x）＝3sin x•ln（1+x）的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：由f（x）＝3sin x•ln（x+1）知x＞﹣1，当x＝时，f（）＝3sin ln（+1）＝3ln（+1）＜3lne＝3，∵f′（x）＝3cos xln（x+1）+3sin x•，令f′（x）＝0，即3cos xln（x+1）+3sin x•＝0，当0＜x＜π时，ln（x+1）＞0，sin x＞0，＞0，∴cos x＜0，∴＜x＜π，∴函数的极值点在（，π），故选：B．12．（5分）若函数f（x）在定义域内满足：（1）对于任意不相等的x1，x2，有x1f（x2）+x2f（x1）＞x1f（x1）+x2f（x2）；（2）存在正数M，使得|f（x）|≤M，则称函数f（x）为“单通道函数”，给出以下4个函数：①，x∈（0，π）；②g（x）＝lnx+e x，x∈[1，2]；③h（x）＝x3﹣3x2，x∈[1，2]；④φ（x）＝，其中，“单通道函数”有（）A．①③④B．①②④C．①③D．②③【解答】解：（1）对于任意不相等的x1，x2，有x1f（x2）+x2f（x1）＞x1f（x1）+x2f（x2）；即不等式（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0恒成立，所以函数f（x）是定义在I上的单调减函数；（2）存在正数M，使得|f（x）|≤M，即﹣M≤f（x）≤M；对于①，f（x）＝sin（x+）+cos（x+）＝sin（x+）＝cos x，在x∈（0，π）时，f（x）是单调减函数，且|f（x）|＜≤，是“单通道函数”；对于②，g（x）＝lnx+e x，在x∈[1，2]上是单调增函数，不满足（1），不是“单通道函数”；对于③，h（x）＝x3﹣3x2，∴h′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），∴x∈[1，2]时，h′（x）≤0，h（x）是单调减函数，且h（1）＝﹣2，h（2）＝﹣4，∴﹣4≤h（x）≤﹣2，∴|h（x）|≤4，∴h（x）是[1，2]上的“单通道函数”；对于④，φ（x）＝，x∈[﹣1，0]时，φ（x）＝﹣2﹣x＝﹣是单调增函数，不满足（1），∴不是“单通道函数”．综上，是“单通道函数”的为①③．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知直线l：x+3y﹣2b＝0过双曲线的右焦点F，则双曲线的渐近线方程为y＝±x．【解答】解：由题意可设F（c，0），代入直线l：x+3y﹣2b＝0，可得：c﹣2b＝0，即c＝2b，即有a＝＝＝b，可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，即为y＝±x．故答案为：y＝±x．14．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则的最大值为9．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由得：y＝﹣x+z，显然直线过（0，2）时，z最大，z的最大值是9．故答案为：9．15．（5分）已知a，b，c是△ABC的三边，若满足a2+b2＝c2，即，△ABC为直角三角形，类比此结论：若满足a n+b n＝c n（n∈N，n≥3）时，△ABC的形状为锐角三角形．（填“锐角三角形”，“直角三角形”或“钝角三角形”）．【解答】解：∵c n＝a n+b n，∴c＞a，c＞b，即c为最大边，∴c n﹣2＞a n﹣2，c n﹣2＞b n﹣2，即c n﹣2﹣a n﹣2＞0，c n﹣2﹣b n﹣2＞0，∴（a2+b2）c n﹣2﹣c n＝（a2+b2）c n﹣2﹣a n﹣b n＝a2（c n﹣2﹣a n﹣2）+b2（c n﹣2﹣b n﹣2）＞0，即（a2+b2）c n﹣2＞c n，∴a2+b2＞c2，∴cos C＝＞0，则△ABC也是锐角三角形，故答案为：锐角三角形．16．（5分）关于x的方程x3﹣x2﹣x+m＝0，至少有两个不相等的实数根，则m的最小值为．【解答】解：若方程x3﹣x2﹣x+m＝0，则m＝﹣x3+x2+x，设f（x）＝﹣x3+x2+x，则函数的导数f′（x）＝﹣3x2+2x+由f′（x）＝0得x＝1或x＝﹣，由f′（x）＞0得﹣＜x＜1，函数f（x）单调递增，由f′（x）＞＜0得x＜﹣或x＞1，函数f（x）单调递减，则当x＝﹣时，函数f（x）取得极小值f（﹣）＝﹣（﹣）3+（﹣）2﹣＝，当x＝1时，函数f（x）取得极大值f（1）＝﹣1+1+1＝1，若方程x3﹣x2﹣x+m＝0，至少有两个不相等的实数根，则≤m≤1，故m的最小值为，故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知数列{a n}满足：．（1）记，求证：数列{b n}为等比数列；（2）求数列{na n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：数列{a n}满足：．变形为＝﹣，由，可得：b n+1＝﹣b n，其中b1＝a1﹣3＝﹣1，∴数列{b n}为等比数列，首项与公比都为﹣1．（2）解：由（1）可知：b n＝（﹣1）n，即a n＝3×2n﹣1+（﹣1）n．∴，…（6分）设，①，②①﹣②得，∴，…（8分）设，即，…（10分）∴，…（12分）18．（12分）自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．【解答】解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为…（2分）（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ， 由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有（种），其和不低于32周的选法有（14、18）、（15、17）、（15、18）、（16、17）、（16、18）、（17、18），共6种， 由古典概型概率计算公式得…（6分）②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．，，，因而ξ的分布列为所以E（ξ）＝29×0.1+30×0.1+31×0.2+32×0.2+33×0.2+34×0.1+35×0.1＝32，…（12分）19．（12分）如图，空间几何体ABCDE中，平面ABC⊥平面BCD，AE⊥平面ABC．（1）证明：AE∥平面BCD；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，DE∥平面ABC，且AD与BD，CD所成角的余弦值均为，试问在CA上是否存在一点P，使得二面角P﹣BE﹣A 的余弦值为．若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：如图，过点D作直线DO⊥BC交BC于点O，连接DO．因为平面ABC⊥平面BCD，DO⊂平面BCD，DO⊥BC，且平面ABC∩平面BCD ＝BC，所以DO⊥平面ABC，因为直线AE⊥平面ABC，所以AE∥DO，因为DO⊂平面BCD，AE⊄平面BCD，所以直线AE∥平面BCD；（2）连接AO，因为DE∥平面ABC，所以AODE是矩形，所以DE⊥平面BCD．因为直线AD与直线BD，CD所成角的余弦值均为，所以BD＝CD，所以O为BC的中点，所以AO⊥BC，且．设DO＝a，因为BC＝2，所以，所以．在△ACD中，AC＝2．所以AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，即，即．解得a2＝1，a＝1；以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则．假设存在点P，连接EP，BP，设＝λ，即有＝+λ（﹣），则．设平面ABE的法向量为＝{x，y，z}，由＝（0，0，1），＝（，﹣1，0），则，即，取x＝1，则平面ABE的一个法向量为．设平面PBE的法向量为＝{x，y，z}，则，取x＝1+λ，则平面PBE的一个法向量为＝（1+λ，﹣λ，﹣2λ），设二面角P﹣BE﹣A的平面角的大小为θ，由图知θ为锐角，则cosθ＝＝＝，化简得6λ2+λ﹣1＝0，解得λ＝或（舍去），所以在CA上存在一点P，使得二面角P﹣BE﹣A的余弦值为．其为线段AC的三等分点（靠近点A）．20．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），过点M（﹣1，1）作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B，直线AB的斜率为2．（1）求抛物线的标准方程：（2）与圆（x﹣1）2+y2＝1相切的直线1，与抛物线交于P，Q两点．若在抛物线上存在点C，使＝（λ＞0），求λ的取值范围．【解答】解：（1）设切线的斜率为k1，k2，设过点M（﹣1，1）作抛物线E的切线的方程为x+1＝k（y﹣1），即x＝ky﹣k ﹣1，代入y2＝2px，可得y2﹣2pky+2pk+2p＝0，△＝（﹣2pk）2﹣4（2pk+2p）＝0，∴pk2﹣2k﹣2＝0，k1+k2＝，∵A，B的纵坐标分别为pk1，pk2，∴A，B的横坐标分别为pk12﹣k1﹣1，pk22﹣k2﹣1，∴直线AB的斜率为＝＝2，∴p＝2∴抛物线的标准方程：y2＝4x（2）设直线l：x＝my+b，由题意可得，＝1∴m2＝2b+b2…①，∵，∴y2﹣4my﹣4b＝0，△＝（﹣4m）2+16b＞0②，由①②可知，b∈（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）；设P（x1，y1），Q（x2，y2），C（x，y）；则y1+y2＝4m，x1+x2＝4m2+2b，∵＝（λ＞0），∴x＝λ（x1+x2），y＝λ（y1+y2），则λ2（y1+y2）2＝4λ（x1+x2），即λ＝1+；∴λ∈（，1）∪（1，）．21．（12分）已知函数．（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝﹣2，求f（x）的单调区间；（2）若x＞0时，恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由已知得，则f'（1）＝0，而，∴函数f（x）在x＝1处的切线方程为．则，解得a＝2，那么，由，得或x＞1，因则f（x）的单调递增区间为与（1，+∞）；由，得，因而f（x）的单调递减区间为．（2）若，得，即在区间（0，+∞）上恒成立．设，则，由h'（x）＞0，得，因而h（x）在上单调递增，由h'（x）＜0，得，因而h（x）在上单调递减．∴h（x）的最大值为＝，因而，从而实数a的取值范围为．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为其直径，CH⊥AB于H延长后交⊙O于D，连接DB并延长交过C点的直线于P，且CB平分∠DCP．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AC＝4，BC＝3，求的值．【解答】（1）证明：连接OC，由已知AB为⊙O的直径，CH⊥AB，则∠CAB＝∠DCB，且∠CAO＝∠ACO…（2分）又CB平分∠DCP，∠DCB＝∠PCB，因而，即OC⊥CP，所以PC是⊙O的切线…（5分）（2）解：AC＝4，BC＝3，则AB＝5，CH＝＝，CD＝，BD＝BC＝3，因为PC是⊙O的切线，所以∠PCB＝∠PDC，所以△PCD～△PBC，…（8分）所以，…（10分）23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（其中t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（4cosθ+3sinθ）﹣m＝0（其中m为常数）．（1）若直线l与曲线C恰好有一个公共点，求实数m的值；（2）若m＝4，求直线l被曲线C截得的弦长．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程可化为直线坐标方程：4x+3y﹣m＝0，曲线C的参数方程可化为普通方程：y2＝4x，由，可得y2+3y﹣m＝0，因为直线l和曲线C恰好有一个公共点，所以△＝9+4m＝0，所以；（2）当m＝4时，直线l：4x+3y﹣4＝0恰好过抛物线的焦点F（1，0），由，可得4x2﹣17x+4＝0，设直线l与抛物线C的两个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则，故直线l被抛物线C所截得的弦长为．24．已知定义在R上的连续函数f（x）满足f（0）＝f（1）．（1）若f（x）＝ax2+x，解不等式；（2）若任意x1，x2∈[0，1]且x1≠x2时，有|f（x1）﹣f（x2）|＜|x1﹣x2|，求证：．【解答】解：（1）f（0）＝f（1），即a+1＝0，得a＝﹣1，所以不等式化为|﹣x2+x|＜﹣x+．①当x＜0时，不等式化为，所以；…（2分）②当0≤x≤1时，不等式化为﹣x2+x＜﹣x+，所以；…（3分）③当x＞1时，不等式化为，所以x∈∅…（4分）综上所述，不等式的解集为，…（5分）（2）由已知任意x1，x2∈[0，1]且x1≠x2，则不妨设x2＞x1，则当时，，…（7分）当时，则，且，…（8分）那么…（10分）。

2016届高三第一次大联考
文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共
12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的
. 1.已知集合2|120,2,1,3,0,1,3,4U
x Z x x A B ，则()C A B （
）A ．0,2,4 B ．0,1,4 C ．0,4 D ．1,3
2.已知201621i
z i i （是虚数单位），则z =（）
A ．2
B ．4
C ．10
2 D ．5
2
3.“4a ”是“方程2
0x ax a 有两个负实数根”的（）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4.已知半径为1的圆
1O 是半径为R 的球O 的一个截面，若球面上任一点到圆面1O 的距离的最大值为
54R ，则球O 的表面积为（）A ．16
15 B ．64
15 C ．15
4 D ．15
2
6.在
ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1sin 2sin ,cos 4A B C ，则c a
（）A ．6 B ．6
2 C ．
3 D ．3
2
7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表。

银川九中2016届高三第一次模拟考试 数学试卷（文科）（本试卷满分150分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合2{|20}A x x x =-≤，{0,1,2,3}B =，则AB = （ ）(A) {12}， (B) {012}，， (C) {1} (D) {123}，， 2．已知i为虚数单位，若复数i z i ⋅=，则||z = （ ）（A ）1（B（C（D ）23．若方程()20f x -=在区间(0,)+∞有解，则函数()y f x =的图象可能是（ ）4.若双曲线2222:1x y C a b-=（0a >,0b >）的渐近线方程为12y x =±，则C 的离心率为（ ）（A ）2（B（C（D5. 某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标系xoy 中，以(,)x y 为坐标的点落在直线21x y -=上的概率为（ ）（A ）112（B ）19（C ）536（D ）166. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为4，则输出S 的值为 （ ） （A ）20 （B ）40 （C ）77（D ）546 7. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2312a a a ⋅=，且412a 与7a 的等差中项为58，则4S = （ ）（A ）32 （B ）31 （C ）30 （D ）298. 函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=+>>的图象与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象 （ ） （A ）向左平移6π个单位长度 （B ）向左平移3π个单位长度 （C ）向右平移6π个单位长度 （D ）向右平移3π个单位长度 9. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 （ ）（A ）172π （B ）9π（C ）192π（D ）10π10. 设函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，则2((log 12))f f = （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）411. 已知变量x ，y 满足约束条件20170x y x x y ，-+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则x y y +的取值范围是（ ）（A ）7(,]6-∞（B ）714[,]69（C ）14[,7]9（D ）14[,)9+∞12．若关于x 的方程24sin sin 10x m x -+=在(0,)π内有两个不同的实数解,则实数m 的取值范围为（ ）(A) 4m >或4m <- (B)45m << (C)48m << (D)5m >或4m =二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13. 命题:(0,)()02p x f x ，π∀∈<，则p ⌝: .14. 已知()f x 是R 上的奇函数，(1)1f =，且对任意x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，则(2015)(2016)f f += ．15．如图2，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则被截 去部分的几何体的表面积为 ．16．数列{}n a 的通项公式(1)2cos()nnn a n n π=-⋅+⋅，其前正视图俯视图9第（）题图1Bx时间（分钟）0.003608040201000.002频率/组距0.025图4 n项和为nS，则10S等于.三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. （本小题满分12分）已知,,a b c分别是ABC∆内角,,A B C sin cosA a C=.（I）求C的值；（II）若c，b=ABC∆的面积．18．（本小题满分12分）某中学随机抽取50名高一学生调查其每天运动的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图3），其中运动的时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）定义运动的时间不少于1小时的学生称为“热爱运动”，若该校有高一学生1200人，请估计有多少学生“热爱运动”；（Ⅲ）设,m n表示在抽取的50人中某两位同学每天运动的时间，且已知,[40,60)[80,100]m n∈⋃，求事件“||20m n->”的概率.19．（本小题满分12分）如图4，在三棱柱ABC -A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB中点．(Ⅰ)求证：BC1∥平面A1CD；(Ⅱ)若四边形CB B1C1是正方形，且1A D=求多面体11CAC BD的体积.20. （本小题满分12分）图3图4OEBD C PA 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴的长为4，离心率等于2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若椭圆C 在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值． 21．（本小题满分12分） 已知函数(1)()ln ,b x f x a x x+=+曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 2.y = （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）当0x >且1x ≠时，求证：(1)ln ().1x xf x x +>-请考生在第（22），（23），（24）题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分。

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学(银川一中第三次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．集合{}{}2,1,0,1xA y R yB =∈==-，则下列结论正确的是A ．{}0,1AB ⋂=B ．),0(+∞=⋃B AC ．()(),0R C A B ⋃=-∞D ．(){}1,0R C A B ⋂=-2．欧拉公式x i x e ixsin cos +=（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2ie 表示的复数在复平面中位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知向量)3,1(),32,0(=-=，则向量在方向上的投影为侧（左）视图421俯视图2正（主）视x－2yO2 31 65 A ．3-B ．3-C ．3D ．34．两个相关变量满足如下关系：x 2 3 4 5 6 y25●505664根据表格得回归方程：ˆ9.49.2yx =+，表中有一数据模糊不清，推算该数据是 A ．37 B ．38．5 C ．39 D ．40．55．已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的图象（部分）如图所示，则()f x 的解析式是 A ．()2sin()6f x x π=π+ B ．()2sin(2)6f x x π=π+C ．()2sin()3f x x π=π+D ．()2sin(2)3f x x π=π+6．已知点),(y x 在ABC ∆所包围的阴影区域内（包括边界）， 若有且仅有)2,4(B 是使得y ax z -=取得最大值的最优 解，则实数a 的取值范围为 A. 11<<-a B. 11≤≤-a C.11<≤-aD. 11≤<-a7．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个 半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是 A ．π3 B ．310πC ．311πD ．π48．执行如图所示的程序框图，输出20152016s =， 那么判断框内应填（ ）A ．2015?k ≤B ．2016?k ≤C ．2015?k ≥D ．2016?k ≥9．已知圆222410x y x y +-++=和两坐标轴的公 共点分别为A ，B ，C ，则C ∆AB 的面积为 A ．4 B ．2 C ．23 D 310．已知1sin cos 63παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．518 B ．518- C ．79 D ．79-11．已知抛物线24y x =，圆22:(1)1F x y -+=，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点,,,A B C D （如图所示）， 则AB CD ⋅的值正确的是 A ．等于4 B ．最小值是1C ．等于1D ．最大值是412．已知)(x f 对任意[)+∞∈,0x ，都有)(1x f x f -=+）（，且当[)1,0∈x 时，x x f =)(，若函数)10)(1(log )()(<<+-=a x x f x g a 在区间[]40，上有2个零点，则实数a 的取值范围是 A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3141，B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3141，C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3151，D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3151，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数()()1,03,0xx f x f x x ⎧⎛⎫>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-<⎩，则31log 6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．14．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C 的一条渐近线倾斜角为3π， 则双曲线C 的离心率为 ．15．三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =，C C 23A =B =，14AA =，则这个球的表面积为 ．16．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题：O◆142◆◆◆◆◆412 10 6 8 各分数段人数 ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤ 67a a >． 其中正确命题的是 ．三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）在△ABC ，角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 已知.cos 2sin ,31cos B A C == （1）求B tan 的值；（2）若,5=c 求△ABC 的面积. 18．（本小题满分12分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”. 已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60,70)的概率；（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a b c ，，，且分别在[70,80)，[80,90)，[90,100]三组中，其中a b c ∈N ，，．当数据a b c ，，的方差2s 最大时，写出a b c ，，的值.（结论不要求证明）（注:2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数）19．（本小题满分12分）在下图所示的几何体中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平 面ABCD ，//EC PD ，且22PD AD EC ===，N 为线段PB 的中点．(1)证明：NE ⊥PB ；(2)求四棱锥B CEPD -的体积． 20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，它的一个顶点恰好是抛物线242x y =的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线2x =与椭圆交于P,Q 两点，P 点位 于第一象限，A,B 是椭圆上位于直线2x =两侧的 动点.当点A,B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠， 问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由. 21．（本小题满分12分）已知函数2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈，e 为自然对数的底数．（1）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程是()11y e x =--，求实数a 及b 的值； （2）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[]0,1上的最小值.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22．（本小题满分10分） 选修4 - 1：几何证明选讲如图，EF 是⊙O 的直径，AB ∥EF ，点M 在EF 上，AM 、 BM 分别交⊙O 于点C 、D 。