2010年我校参加全国大学生数学建模竞赛获全国二等奖论文A题

1 储油罐的变位识别与罐容表标定模型

【摘要】

本文针对油罐的变位识别和罐容表标定的具体问题，通过建立模型将储油分成无数个小微元，研究小微元的规律从而利用微积分的方法推导出，当纵向倾斜角度和横向偏移角度一定时，通过建立数学模型将储油罐中剩余油的体积与油位探针显示高度的函数关系表示出来，并制定罐容表标定值。

针对问题一：研究罐体变位对灌容表的影响，首先利用了逼近法计算油罐未变位前的储油体积，在MATLAB中对实际与理论数据进行拟合利用误差分析公式

真实值真实值理论值E，求得其误差E范围为034917.0E014866.0，求储油罐中储油量时将油罐分成多部分考虑，利用微元思想和积分方法求得其储油量的体积与油位探针的读数h及变位角，的函数关系,,hfV在此问中1.4,0时得出0,1.4,hfV，求出其一定h时的V。用模型求出的理论值与题目附表1中的实际值相比较，得出其误差%37.3%42.1E。并标出变位后间距为cm1罐容表。

针对问题二：对实际储油罐建立罐体变位罐容表的标定模型。在问题一的理论和方法的基础上加上球冠中的储油体积即可得到实际储油罐储油体积，并采用最小二乘法推导出所求变位参数及。并得出当及一定时油位探针的高度与剩余储油体积的关系hfV，进而制定间距为cm10罐容表标定值。

本文充分运用了数学分析、高等数学等知识对储油体积积分，并通过MATLAB软件模拟的方法对理论数据进行了误差分析，以及运用最小二乘法估计其变位参数值，。最后对模型的优缺点进行了评价，并给出了改进方向。

关键词：MATLAB数据拟合、微元法、最小二乘法、罐容表标定

2 1 问题重述

A题 储油罐的变位识别与罐容表标定

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为1.4°的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度 ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

2 模型假设

[1] 假设油浮子不会超过油位探针颈口，在要到油位探针劲口时就停止注油；

[2] 假设温度和压强对油的体积不影响；

[3] 假设油浮子，油位探针和出入油导管的体积不计；

[4] 假设问题一中的储油罐为标准的椭圆柱体，没有凹凸地方；

[5]假设储油罐只沿着题目中所示的纵向倾斜，当其沿反方向倾斜时其处理方法类似，在此题中我们不予考虑；

[6] 假设纵向倾斜变位的角度5.9。

3 符号说明

 油罐纵向倾斜的角度

 油罐横向偏转的角度 3 h 油位探针的显示高度

L 油罐的长度

V 储油的体积

a 椭圆的长半轴

b 椭圆的短半轴

4 问题的分析

本文主要研究油罐变位对罐容和罐容表的影响，首先我们利用微元思想与体积积分的算法建立油面高度与体积关系的模型。然后对问题一利用附件1的油位高度所对应的实际油量的体积与模型求出的理论油量的体积进行数据拟合。比较拟合曲线得到相应的误差范围。

在问题一里面由于椭圆柱的纵向偏离4.1°,罐容和罐容表都将受到影响。我们将倾斜的椭圆柱体分成三部分，并对每一部分通过微元和积分的思想和方法对其进行计算。从而推导纵向变位（倾斜）对罐容的影响，并标定出以1cm为间隔的罐容表。

在问题二里面我们利用第一题的思想方法，纵向倾斜为例，将球冠和圆柱都沿其轴线切截，从而油面形成弓形，利用微积分，分别对两边的球冠和倾斜的圆柱积分，从而得出储油的体积。

5模型的建立与求解

本节主要研究变位对椭圆柱油罐罐容表影响，分别对它在变位前后油罐中油体积的计算，从而推导倾斜对罐容表的影响，标定间隔为1cm的罐容表。

由于油罐是不规则容器，因此油罐中储油量的体积可用微元法的思想来求解。

微元法求几何体体积的基本原理

如图1所示的一个空间立体物体，设它在x 处截面面积为S(x)，利用极坐标下推导面积公式的思想求出它的体积？

如果纵向切把它切成薄片，则每个薄片可近似看作直柱体，其体积等于底面积乘高，所有薄片体积加在一起就近似等于该立体的体积。

在[a, b]上任取一点x，并且任给x的一个增量x，这样就得到一个非常薄的薄片，这个小薄片我们可以近似地把它看成柱体，于是这个微小的柱体体积为：

dxxAxxsdv 图1

把这些小体积加起来，就是我们要求的体积即dxxSVba

5.0油罐中理论油量与实际油量的数据拟合 a b S(x)

⊿x 4 如图2所示建立坐标系，设截面椭圆的方程为12222bYaX,椭圆弓形的高为h，图2（储油截面图）中带阴影部分为储油截面，用定积分求椭圆的体积。设弓形的面积为S(h)则

abbbhbbhbbhdyybbahbhbarcsin122S222 (1)

设11,20xbhbbhx可知由油罐的长为L，储油的体积为xV，可得abLxxxxVarcsin122 (2)

图2 储油截面图

利用公式（2）所求的结果和附件1的油面高度得到对应的储油量体积，将这些点拟合得到理论的储油量变化曲线，并与题目给出的实际的储油量的拟合曲线比较，如图3所示。

图3 无变位时的数据拟合图 0200400600800100012001400-500050010001500200025003000350040004500

理论数据理论拟合曲线实验数据实验拟合曲线 5 由图像可知理论值大于实际数据，利用相对误差实际值实际值理论值E表示它们的误差，计算出误差E的范围为：034917.0E014866.0。产生误差的原因可能是：

(1)油浮子，探针，以及油的出入管道的体积

(2)由于油的出入导致罐内压强改变，从而导致理论数据与实际数据的误差

(3)进出油环境温度不一致

5.1模型的建立与求解

如图以椭圆柱底线为Y轴，过椭圆心，垂直于Y轴的直线为Z轴，过椭圆左端面的最低点垂直于YOZ面为X轴，其空间坐标的圆心为椭圆左端面的最低点。当椭圆柱形油罐纵向倾斜时，我们将油罐的体积分为三个阶段。

图4 倾斜的椭圆柱

1.求每一截面的面积建立的坐标系如图4，设1h为椭圆柱端截面与油面的交线与Z轴的交点为A，则该点的坐标为A（0，1h）。油面与椭圆柱面的交线与Y轴的交点为B，则该点的坐标为B（0,tan1h）。由A，B两点可得油面的方程为：

tan1yhZ

我们沿平行于XOZ面切截椭圆柱，则所切截面均为椭圆。

沿着平行于XOZ面切截椭圆柱，其横截面必为椭圆，其椭圆的表达式为：

12222bbzax

油面与z轴的交点即油面的高为1h，由图5和题意可知切截椭圆面中的油面所对应的Z轴坐标即为椭圆中储油的高，我们设其对应的高为11h则储油部分的 6 面积为：dzbbzh110212S，由于tan1yhZ，所以 tan111yhh

图5 变位椭圆柱的切截图

2.求每一对应液面高度的体积

2.1当油面与斜放的椭圆柱的下柱面相交时即：tan1Lh

此时我们对每一个切截面的油面积从tan0121hyy到进行积分，其积分结果即为储油量的体积。

dzdybzbbadzdybzbbaVyhyyhyytan0222102221111122

图 6油面上升立体图

2．2当油面交于椭圆柱两端面时

即2.1tanL1h此时油面方程不变仍为：tan1yhz,tan111yhh

同理对其切截面及积分可得其体积，但对油面积分的上限变为了L，即：

dzdybzbbaVyhtan022L0212

7

图7油面淹没左端面最高点示意图

2.3当油面对斜椭圆柱的上柱面和端面相交时如图7

即tan22b1Lbh，由油面的方程可得：设其右端面油面的高为1h则tan11Lhh

设2h为油面与右端面交线到椭圆柱顶部的高：

112tan22hLbhbh

由图7可知上下两阴影部分的体积相等。

所以油的体积3V=椭圆柱体总体积-对右上角没油部分对称的左下部分的体积。

对其右上没油部分的体积由对称性可将2h代入式子1V中计算。又因为椭圆柱体的体积为abL，所以tan022tan03222hhdzdybzbbaabLV

代入12tan2hLbh得

dzdybzbbaabLVyhLbhLbtantan2022tantan203112

设其油位探针的显示高度为h，则由几何关系可得tan4.01hh。将此关系带入)(1hfV可得变位后探针高度与储油体积的关系如下

(1)当tan4.0tanLh时

dzdybzbbaVyhyytan4.00222112

（2）当tan4.02.1tan0.4L1h时