始资料：
3机9节点系统图：
图1
支路参数：
表1
发电机参数
表2 首端
母线名 末端
母线名 电阻
（标幺值） 电 抗
（标幺值） 容纳之半
（标幺值） 变压器
非标准变比
4 5 0.010 0.085 0.088
4 6 0.017 0.092 0.079
5 7 0.032 0.161 0.153
6 9 0.039 0.170 0.179
7 8 0.0085 0.072 0.0745
8 9 0.0119 0.1008 0.1045
1 4 0.0 0.0576 1.0
2 7 0.0 0.0625 1.0
3 9 0.0 0.0586 1.0
发电机 母线名 TJ Ra Xd X’d Xq X’q T’d0 T’q0 D
1 1 47.28 0.0 0.1460 0.0608 0.0969 0.0969 8.96 0.0
2 2 12.80 0.0 0.8958 0.1198 0.8645 0.1969 6.00 0.535 0.0
3 3 6.02 0.0 1.3125 0.1813 1.2578 0.2500 8.59 0.600 0.0 27891456SL3SL1SL213.8kv230kv18kv16.5kv短路点K33
注：表中所有时间常数的单位为“S”，阻尼系数D及所有电阻、电抗均为“表幺值”。
正常运行情况下的系统潮流表：
表3
母线名 电压 发电机 负荷
幅值 相角/度 有功功率 无功功率 有功功率 无功功率
1 1.040 0.0000 0.7164 0.2705
2 1.0250 9.2800 1.6300 0.0665
3 1.0250 4.6648 0.8500 -0.1086
4 1.0258 -2.2168
5 0.9956 -3.9888 1.2500 0.5000
6 1.0127 -3.6874 0.9000 0.3000
1 第十二章 联立方程模型的识别
识别的概念：
联立方程模型是由多个方程组成。由于各个方程包含的变量之间可能存在互为因果的关系，某个方程的自变量可能是另一个方程中的因变量，所以需要对模型中的各个方程之间的关系进行严格的定义，否则联立方程模型中的系数就可能无法估计。所以在进行模型估计之前首先要判断它是否可以估计，这就是模型的识别。
关于识别的定义：就是指由简化式参数导出结构式参数的充分必要条件。识别一词的本意就是用来说明这种有简化式参数导出结构式参数的可能性的。
所谓统计形式，即方程中的变量与变量之间的函数关系式。“确定的统计形式”，也就是模型中其他方程或所有方程的任意线性组合所构成的新的方程，都不再具有这种统计形式。
第一节 模型的识别
上述识别的定义是针对结构方程而言的。模型中每个需要估计其参数的随机方程都存在识别问题。如果一个模型中的所有随机方程都是可以识别的，则认为该联立方程模型是可以识别的。反过来，如果一个模型系统中存在一个不可识别的随机方程，则认为该联立方程模型是不可识别的。 2 结构式模型的一般形式：
;gkbY+rX=μi=1,2,,gijjijjij=1j=1…………………(12.1)
矩阵形式为：
BY+ΓX=μ…………………………………… (12.2)
一、 模型识别的两种含义：
(1)从结构式参数和简化式参数的关系角度
一个结构方程可以识别是指它的全部结构式系数可以从参数关系体系的方程组求解出。
结构方程可以识别又包含两种情况：如果求解结构参数值唯一，则称恰好识别；如果求解结构参数值不唯一，则称过度识别。
(2)从结构方程的统计形式看
如果被识别方程具有确定的统计形式，则称这个结构方程可以识别，否则为不可识别。
确定的统计形式是指模型中若干个方程或全部方程以及它们的任意线性组合方程都与被识别方程含有不完全相同的变量。
只有当联立方程中每个随机结构方程都能识别，该模型才是可以识别的，否则是不可识别的。对于恒等式和制度方程，由于不含未知待定参数，均不存在识别问题。
线性代数基础知识（三）——矩阵乘法
矩阵 A ∈ Rm×n
和B ∈ Rn×p
的乘积为矩阵 ：
其中：
.
请注意，矩阵A的列数应该与矩阵B的⾏数相等，这样才存在矩阵的乘积。有很多种⽅式可以帮助我们理解矩阵乘法，这⾥我们将通过⼀些
例⼦开始学习。
2.1向量的乘积
给定两个向量x，y ∈ Rn
，那么xT y的值，我们称之为向量的内积或点积。它是⼀个由下式得到的实数：
.
可以发现，内积实际上是矩阵乘法的⼀个特例。通常情况下xT y = yT x。
对于向量x ∈ Rm
， y ∈ Rn
（⼤⼩不必相同），xyT ∈ Rm×n
称为向量的外积。外积是⼀个矩阵，其中中的每个元素，都可以由 得到，也就是
说，
.
我们举个例⼦说明外积有什么⽤。令1 ∈ Rn
表⽰所有元素都是1的n维向量，然后将矩阵 A ∈ Rm×n
的每⼀列都⽤列向量x ∈ Rm
表⽰。使⽤
外积，我们可以将A简洁的表⽰为：
.
2.2矩阵-向量的乘积
对于⼀个矩阵A ∈ Rm×n
和向量x ∈ Rn
，他们的乘积为向量 y = Ax ∈ Rm
。理解矩阵向量乘法的⽅式有很多种，我们⼀起来逐⼀看看。
以⾏的形式书写A，我们可以将其表⽰为Ax的形式：
.
也就是说，y第i⾏的元素等于A的第i⾏与x的内积 .
咱们换个⾓度，以列的形式表⽰A，我们可以看到：
.
换⾔之，y是A列的线性组合，线性组合的系数就是x的元素。
上⾯我们看到的是右乘⼀个列向量，那左乘⼀个⾏向量嘞？对于A ∈ Rm×n
，x ∈ Rm
， y ∈ Rn，这个式⼦可以写成yT = xT A 。向之前那
样，我们有两种⽅式表达yT
，这取决于表达A的⽅式是⾏还是列。第⼀种情况是把A以列的形式表⽰：
这个式⼦说明yT
第i列的元素等于向量x与A的第i列的内积。
我们也⼀样可以把A表⽰成⾏的形式，来说明向量-矩阵乘积。
我们可以看到yT
是A的⾏的线性组合，线性组合的系数是x的元素。
2.3矩阵-矩阵乘积
基于以上知识，我们可以看到如之前所定义的矩阵-矩阵乘法C=AB有四种不同（但是等价）的理解⽅法。
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线性方程组解题方法技巧与题型归纳
题型一 线性方程组解的基本概念
【例题1】如果α1、α2是方程组1231312332312104xxaxxxxaxx的两个不同的解向量，则a的取值如何？
解： 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量,故方程组有无穷多解，r(A）= r(Ab）＜3，
对增广矩阵进行初等行变换：
21131132031022352104002314510aaaaaaa
易见仅当a=—2时，r(A)= r(Ab）=2＜3，
故知a=—2。
【例题2】设A是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2,0，0，0）T, 3α1+α2= （2，4，6,8）T,求方程组Ax=b的通解。
解:因为r（A）= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成，
又因为(α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T, 是Ax=0的解,
即其基础解系可以是（0，2，3，4）T，
由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b知1/4 (α1+α2+2α3）是Ax=b的一个解,
故Ax=b的通解是1,0,0,00,2,3,42TTk
【例题3】已知ξ1=（—9，1，2，11）T，ξ2=(1，- 5,13，0）T，ξ3=(-7,-9，24，11)T是方程组12234411223441234432332494xaxxaxdxbxxbxxxxcxd的三个解，求此方程组的通解.
分析：求Ax=b的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r（A)的秩.
解：A是3×4矩阵， r(A)≤3，由于A中第2，3两行不成比例，故r（A)≥2，又因为
