《圆》基础测试
（一）选择题（每题2分，共20分）
1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有………………（ ）
（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个
【提示】若三点在一条直线上，则不能作出过这三点的圆，故②不对．【答案】B ．
【点评】本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念，其中第②个命题不对的原因在于忽视了过三点作图的条件．
2．下列判断中正确的是………………………………………………………………（ ）
（A ）平分弦的直线垂直于弦（B ）平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
（C ）弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧（D ）平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
【提示】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦，因此平分弦所对的两条弧．【答案】C ．
3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB ＝∠A ′OB ′＝60°，则………………（ ）
（A ）＝（B ）＞ （C ）的度数＝的度数 （D ）的长度＝的长度
【提示】因为在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，
而∠AOB ＝∠A ′OB ′，所以的度数＝的度数．【答案】C ．
4．如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，
的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC 等于………………………………………………………………………（ ）
（A ）60° （B ）100° （C ）80° （D ）130°
【提示】连结BC ，则∠AEC ＝∠B ＋∠C ＝21×60°＋2
1×100°＝80°．
【答案】C ．
5．圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数比是2︰3︰6，则∠D 的度数是（ ）
（A ）67.5° （B ）135° （C ）112.5° （D ）110°
【提示】因为圆内接四边形的对角之和为180°，则∠A ＋∠C ＝∠B ＋∠D ＝180°．又因为∠A ︰∠B ︰∠C ＝2︰3︰6，所以∠B ︰∠D ＝3︰5，所以∠D 的度数为85×180°＝112.5°．【答案】C ． 6．OA 平分∠BOC ，P 是OA 上任一点，C 不与点O 重合，且以P 为圆心的圆与OC 相离，那么圆P
与OB 的位置关系是………………………………………………（ ）
（A ）相离 （B ）相切 （C ）相交 （D ）不确定
【提示】因为以点P 为圆心的圆与OC 相离，则P 到OC 的距离大于圆的半径．又因为角平分线上的一点到角的两边的距离相等，则点P 到OB 的距离也大于圆的半径，故圆P 与OB 也相离．【答案】A ．
7．△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为（ ）
（A ）21（a ＋b ＋c ）r （B ）2（a ＋b ＋c ）（C ）3
1（a ＋b ＋c ）r （D ）（a ＋b ＋c ）r 【提示】连结内心与三个顶点，则△ABC 的面积等于三个三角形的面积之和，所以△ABC 的面积为21a ·r ＋21b ·r ＋21c ·r ＝2
1（a ＋b ＋c ）r ．【答案】A ． 8．如图，已知四边形ABCD 为圆内接四边形，AD 为圆的直径，直线MN 切圆于点B ，DC 的延长线交MN 于G ，且cos ∠ABM ＝2
3，则tan ∠BCG 的值为……（ ） （A ）33 （B ）2
3 （C ）1 （D ）3
【提示】连结BD ，则∠ABM ＝∠ADB ．因为AD 为直径，所以∠A ＋∠ADB ＝90°，所以cos ∠ABM ＝23＝cos ∠ADB ＝sin A ，所以∠A ＝60°．又因四边形ABCD 内接于⊙O ，所以∠BCG ＝∠A ＝60°．则tan ∠BCG ＝3． 【答案】D ．
9．在⊙O 中，弦AB 和CD 相交于点P ，若P A ＝3，PB ＝4，CD ＝9，则以PC 、PD
的长为根的一元二次方程为…………………………………………………………（ ）
（A ）x 2＋9 x ＋12＝0 （B ）x 2－9 x ＋12＝0（C ）x 2＋7 x ＋9＝0 （D ）x 2－7 x ＋9＝0
【提示】设PC 的长为a ，则PD 的长为（9－a ），由相交弦定理得3×4＝a ·（9－a ）．所以a 2－9 a ＋12＝0，故PC 、PD 的长是方程x 2－9 x ＋12＝0的两根．【答案】B ．
10．已知半径分别为r 和2 r 的两圆相交，则这两圆的圆心距d 的取值范围是………（ ）
（A ）0＜d ＜3 r （B ）r ＜d ＜3 r （C ）r ≤d ＜3 r （D ）r ≤d ≤3 r
【提示】当两圆相交时，圆心距d 与两圆半径的关系为2 r －r ＜d ＜2 r ＋r ，即r ＜d ＜3 r ．【答案】B ．
（三）填空题（每题2分，共20分）
11．某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为_____．
【提示】如图，AB 为弦，CD 为拱高，则CD ⊥AB ，AD ＝BD ，且O 在CD 的延长线上．连结OD 、OA ，则OD ＝22AD OA -＝221213-＝5（米）．所以
CD ＝13－5＝8（米）． 【答案】8米．
12．如图，已知AB 为⊙O 的直径，∠E ＝20°，∠DBC ＝50°，则∠CBE ＝______．
【提示】连结AC ．设∠DCA ＝x °，则∠DBA ＝x °，所以∠CAB
＝x °＋20°．因为AB 为直径，所以∠BCA ＝90°，则∠CBA ＋
∠CAB ＝90°．
又 ∠DBC ＝50°，∴ 50＋x ＋（x ＋20）＝90．
∴ x ＝10．∴ ∠CBE ＝60°．【答案】60°．
13．圆内接梯形是_____梯形，圆内接平行四边形是_______．
【提示】因平行弦所夹的弧相等，等弧所对的弦相等，所以圆内接梯形是等腰梯形．同理可证圆内接平行四边形是矩形．【答案】等腰，矩形．
14．如图，AB 、AC 是⊙O 的切线，将OB 延长一倍至D ，若∠DAC ＝60°，则∠D ＝_____．
【提示】连结OA ．∵ AB 、AC 是⊙O 的切线，∴ AO 平分∠BAC ，且
OB ⊥AB ．又 OB ＝BD ，∴ OA ＝DA ．∴ ∠OAB ＝∠DAB ．
∴ 3∠DAB ＝60°．∴ ∠DAB ＝20°．∴ ∠D ＝70°．
15．如图，BA 与⊙O 相切于B ，OA 与⊙O 相交于E ，若AB ＝
5，EA ＝1，则⊙O 的半径为______．
【提示】延长AO ，交⊙O 于点F ．设⊙O 的半径为r ．
由切割线定理，得AB 2＝AE ·AF ．∴ （5）2＝1·（1＋2 r ）．
