线性代数习题4.2方阵的特征值与特征向量 (1)

1 2 2 2
4 5E A 2 2
0 1 0
1 1 0
同解方程组为
x1 x3 x2 x3
令 x 3 k3 (k3任意实数）
1 p3 1 , 1
1
2
令 x 3 k1
(k1任意实数）
当 1 2 时的基础解系为
1 k1 p1 k1 2 1 k1 0
1 p1 2 , 1
全部特征向量为
13
当 2 1 时,
0 E A 1 1 1 2 1
则 P , P2 ,, Pr1 , Q1 , Q2 ,, Qr 2 线性无关。 1
22
性质4 则 推论1
A aij
n
nn
, n 个特征值为 1 , 2 , , n ,
例3 求
1 A 1 1
0 2 3
2 1 0
的特征值与特征向量。
3 1
解方程 ( E A) X ,
3 3 1 的基础解系为 1 . 0 3 得全部特征向量为 k 2 1 , k 2 0 . 0
20
三、 特征值与特征向量的基本性质
性质1 n阶方阵A与它的转置方阵AT有相同的特征值。
证明 则
(E A) E A


E A E A


E A
得到 A 与 AT 有相同的特征多项式，
则它们的特征值相同。
21
性质2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交。

4
当 2 时, 解 2E A X

0 1
00,
1 0 0 0 0 0
得基础解系
0 0,
1
所以k(0, 0,1)T (k 0)是对应于1 2的全部特征向量.
当2 3 1时,解方程(E A)x 0.由
~ 2 1 0
EA 4 2 0
1 0 1 0 1 2,
1 0 1 0 0 0
得基础解系
1 2 ,
1
x1 x2
,
E
x
1
x
x3
定义1的等价定义
Ax x (E A)x 0
这是n个未知数 n个方程的齐次线性方程 组，
它有非零解 x的充要条件是系数行列 式
a11 a12
| E A |
a21
a22
a1n
a2n
0.
an1 an2 ann
上式是以为未知数的一元n次方程，称为方阵A的
Ax 1x, Ax 2 x 1 x 2 x
1 2 x 0,
由于1 2 0, 则x 0, 与定义矛盾 .
四、小结
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算A的特征多项式 det AE;
2. 求特征方程detE A 0的全部根1,2,
, n,就是A的全部特征值;
3. 对于特征值i ,求齐次方程组
1 A E 0
1 3
1 0
~
1 0
0 1
1 0 ,
4 1 4 0 0 0
得基础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
k p1
(k 0).
当2 3 2时,解方程2E Ax 0.由
~ 4 1 1
2E A 0 0 0
1 1 1 4 4 0 0 0 ,

证明 则
∵ (λE − A)Τ = λE − AΤ
λE − A = (λE − A)
Τ Τ
= λE− A
得到 A 与 AT 有相同的特征多项式， 则它们的特征值相同。
21
性质2 实对称矩阵的不同 不同特征值的特征向量相互正交 正交。 不同 正交
P 即设 λ1, λ2 是实对称矩阵A的两个不同的特征值， 1, P2
( 2)
x1, x2 ,⋯, xn 是齐次方程（3）的非零解。
因为X为非零向量， 则（3）有非零解
⇔ λE − A = 0
(4)
6
设 p1, p2 ,⋯, ps 是方阵 A的对应于特征值 λ 定理1 定理1 的线性无关的特征向量,则
k1 p1 + k2 p2 +⋯+ ks ps (k1, k2 ,⋯, ks 是不全为零的常数.)
列向量 X , 使方程 AX = λX
(1)
λX − AX =θ 即 (λE − A) X =θ ( 2) , （2）式说明特征向量 X 的坐标 x1, x2 ,⋯ xn 是齐次 特征向量
非零解。 方程（2）的非零解 非零解
5
（1）式也可写成 即
λX − AX =θ
(λE − A) X =θ
(λ − a11)x1 − a12x2 +⋯− a1n xn = 0 − a x + (λ − a )x +⋯− a x = 0 21 1 22 2 2n n (3) ⋯ ⋯ ⋯ − an1x1 − an2 x2 +⋯+ (λ − ann )xn = 0
−1 k2 p2 = k2 −1 1
x3 = k2
(k2任意实数）

特征向量的求法 齐次线性方程组(A i E)x0的非零解，
就是方阵A的对应于特征值i 的特征向量
单选题 10分
1 3 3
已知矩阵
A
3 6
a 6
3 b
有特征值为2 和 4，
3 3 3 3
3
3
则a=
,b=
A+2E 3 a 2 3 0 a 5 0
6 6 b 2 0 0 b 4
3 3 3
所以A的特征值为1－2 21, 34
2 2
例2.3
求矩阵
A
2
1
0 2
解 A的特征多项式为
0
2
的特征值和特征向量
0
2 2 0
E A 2 1 2 3 3 2 6 8
0 2
所以A的特征值为1－2 21, 34
对于12 解方程组(A2E)x0 得基础解系p1(1 2 2)T
所以对应于12的全部特征向量为k1 p1(k10)
自然有相同的特征值. 证 |AT E|= |AT (E)T|= | ( A E)T|= |A E|.
性质2.2 设n阶矩阵A(aij)的特征值为1 2 n 则 (1)12 na11a22 ann (2)12 n|A|
单选题 10分
(数学2，2008 )
设3阶矩阵A的特征值为 , 2 , 3, 若|2A|= 48，则 =___.
2
4
的特征值和特征向量
2 4 2
特征值为17 232
2 2 0
例2.3
求矩阵 A 02
1 2
02 的特征值和特征向量
特征值为1－2 21, 34
2 0 0
例2.4
求矩阵
A
0