读书报告
绿茵场上的流体力学
职业技术教育学院097087 蒋羽辉
摘要：稍微看过足球的人肯定对“香蕉球”这个词不陌生，它往往是一场足球比赛的亮点。通常我们总是惊呼“香蕉球”的精彩，却很少会去关注这其中蕴含的流体力学原理。看过本文的分析，我相信会解决你不少的疑问。或许，只要多加练习，你也能射出那看似不可思议的弧线球。
关键词：流体力学，伯努利，香蕉球，弧线球，压力差
对于足球爱好者来说，足球比赛中那些精彩的射门总是能让他们狂欢不止，激动不已，那些伟大的时刻已经深深映入他们的记忆深处，每每想起，总能让他们热泪盈眶。诚实的讲，我只能算是半个“足球迷”，对足球的相关知识必然没有那些专业的球迷全面透彻。因此，写这篇文章也算是对我的一种学习吧。下面，我将用自己所学有限的流体力学知识，来分析那些精彩射门中的力学原理。
众所周知，足球表面是弧形的，当人给足球的作用力有个角度（0<ａ<90）时，就可以让球发生旋转，经过一定的位移后在风等阻力的作用下球会偏离原来的运动方向，最后形成一条弧线的运动轨迹，这就是“香蕉球”的形成。在球场上，这样的射门通常会让守门员猝不及防防不胜防，最后还不可思议地进门得分，让球迷瞬间欢呼不已。
1 伯努利原理
1.1 伯努利原理
要弄清楚这个问题，就得先了解一下伯努利原理。伯努利原理认为：“在流水或气流里，如果流速小，对旁侧的压力就大，而如果流速大，对旁侧的压力就小。”不知道你有没有仔细观察，足球队员用脚踢球时只踢球的一小部分，把球“搓”起来，球受力，就会发生旋转，而当球在空中高速旋转并向前飞行时，它属于刚体的一般运动，它包括了刚体的平移、定轴转动、定点运动等。作为一般运动的刚体上的任意一点的速度，等于基点的速度与该点随刚体绕基点转动速
度的矢量和。球的两侧
一边速度大，一边速度
小，相对讲，空气在球
的两侧也就一边流速
大，一边流速小。根据
伯努利原理，球就受到
了一个横向的压力差，
这个压力差，使球向旁
侧偏离，而球又是不断
向前飞行着，在这种情况下，足球同时参与了两个直线运动，便沿一条弯曲的弧线运行了。如图所示1.2 伯努利方程式
伯努利方程式P+ρgh+(1/2)*ρv^2=常量，实际上是流体运动中的功能关系式，即单位体积流体的机械能的增量等于压力差所做的功。必须指出，伯努利方程式右边的常量，对于不同的流管，其值不一定相同。由上式可知，流速v大的地方压强P小，反之，流速小的地方压强大。在粗细不均匀的水平流管中，根据连续性方程，管细处流速大，管粗处流速小，所以管细处压强小，管粗处压强大。从动力学角度分析，当流体沿水平管道运动时，其质元从管粗处流向管细处时将加速，使质元加速的作用力来源于压力差。
1.3 伯努利原理在足球中的应用
1.3.1 伯努利原理是流体力学中的基本原理，流动速度越快，压力越小，其中的压力又是往各个方向都有的。
1.3.2 那么假设足球旋转起来，并且本身又以一定的速度作定向运动，在垂直于定向运动的方向上，足球的上半面和下半面因为速度叠加导致运动速度是不一样的，这样上下表面附近的空气相对于足球运动的速度也是不同的，运动速度快的压力小，运动速度慢的压力大，所以如果足球是旋转着被抛出的话，将至少受到两个作用力，一个是重力，向下；另一个是飘力，垂直于足球运动方向上。假设足球就是以45度角抛出的话，我们会发现这时的合力会稍稍偏离垂直方向，因此此时足球运动方向和合力的夹角就不再是45度+90度，而是偏大一点。相反
如果是以稍小于45度的角度抛出，合力方向与足球运动方向夹角就会接近于45度+90度，此时恰好对应于抛体飞行最远的条件。
当物体旋转
时，会带着与它直
接接触的那部分流
体一起旋转。这部
分流体又会对相邻
的流体产生同样的
影响，这样物体就
得到一个跟它一起
旋转的附面层。球
左边附面层中的空
气方向与气流方向相同，而右边方向则相反。这种方向的差异，导致球的两边压力不同。在左边即附面层的空气与气流方向一致的一边，会形成一个低压区域，而另一边则形成高压区域。球两边压力差的净结果是，球受到一个从右向左的合力作用，这个合力使球偏离直线运动路线。
1.4 形成香蕉球的条件
由上述可知，形成弧线球的力学条件有二：①踢球作用力（合力）不通过球体的重心——使球体产生转动；②有一定位移——在空气作用下，旋转的球体发生轨迹改变。
2 香蕉球的力学分析
2.1 香蕉球的受力分析
我们分下面几种特殊情况分析：
当运动员踢球时，作用力F通过球体重心：球体不发生旋（作用力方向即法线方向）转并沿直线方向运行，获得100%的出球力量，即 F1=F×100%。此力不能产生旋转。
当运动员踢球时，作用力F不通过球体重心：与法线成α1=30度时，偏心距 X1=5.55cm（足球竞赛规则规定，正式比赛）用球圆周为 68-77cm，切线分为
F2将产生力矩作用，使球体沿着以F2为切线的方向旋转。击球时的力矩值为：M1=F2×r=2×F×r（M为力矩，F2为切线分力并F2= F/2，r为球体半径。法线分力F1决定出球方向和远度，且 F1=0.866F，它使球沿F2方向以较小的弧度运行（理论上计算其弧度数值为π/3）。
当踢球作用力与法线成α2=90度时垂直于法线时，只产生力矩使球旋转，而不能使球位移，故不能构成脚背内侧弧线球。
运动员踢球作用力 F不通过球体重心，我们把这作用力分解为法线分力F1和切线分力F2。法线分力F2作用的结果，是使球体产生移动前进，且前进速度为 V1；切线分力F2作用的结果是使球以ω为旋转速度进行旋转。根据动力学的基本公式，经推导得：
F×t=m×V
V=Ft/m，即球的前进速度ω
F×t×x=J×ω
ω=Ftx/J，即球的转动角速度
因为球的质量和转动惯量均为常量，所以，作用于球体的力 F 和力的作用时间 t 的值越大，则球体的前进速度V和转动ω角度速度就越快，反之则越慢。而作用力的力臂 X 的值大即踢球角增大，则转动角速度ω就加快；反之ω减慢。如果我们把这两种不同的运动按照合成规律（平行四边形法）则组合起来，不难看出：前进速度V和转动角速度ω越快，那么球体的运行速度越快，且侧旋弧线曲率也增大；反之，球的前进速度V和转动角速度越慢，则足球运行速度也越慢，弧线曲率也减小。
2.2 分析结论
踢球作用力 F与法线所成角度α增大时（0<α<90），球体旋转越强烈而位移相对减小，反之，减小时，球体旋转就越缓慢而位移相对增大。
依据侧弧线球形成的力学条件，即有一定的旋转速度，又要有一定的位移，所以一般认为在踢定位球时，α角在30度左右到60度之间将产生侧旋弧线球。理想的弧线球多是借助于来球力量、重力和风力等因素，运用不同的脚法以及巧妙的技术动作形成的。
3 比赛中香蕉球的运用
