非线性系统之Backstepping反步法

使 整个 系统 是 渐 近 稳 定 的 ．最 后 通 过 实 例 验 证 了 结 果 的正 确 性 ． 关 键 词 ：非 线 性 系 统 ；ｂ ｃｓ ｐ ｉｇ ａｋｔ ｐｎ ；状 态 反 馈 ；Ｌ ａｕ ｏ ｅ ｙｐ ｎｖ方法 ；渐 近稳 定 中 围分 类号 ：Ｔ ２ ３ Ｐ ７ 文 献 标 识 码 ：Ａ
第２ 期
ＶＯ ．２ １２ Ｎｏ２ ．
文 章编 号 ：１ ０ — ２ ７ ２ ０ ） ２ ０ ｌ — ７ ０ １ ４ １ （０ ７ ０ — Ｏ １ ０
基于 ｂｃ ｓ ｐ ｉｇ的一类 多输入 非线性 系统 ａｋｔ ｐｎ ｅ 的控 制设计
王 银 河 ， 史 永 杰
（ 头 大 学 数 学 系 ，广 东 汕 汕头 ５５６） １ ０ ３
作者简介：王银河（ ９ ２ ） １６ 一 ，男 ，内蒙古包头市人 ，教授 ，博士生导师．Ｅｍａ ：ｙｎ ｅ ａ ｇ ｉａｃｒ — ｉ ｉｈｗ ｎ ＠ｓ ． ｎ ｌ ｎ ｏ 基金项 目：广东省 自然科学基金资助项 日（ ｏ ３０ ５ Ｎ ：０ ２３ ）
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值得注意的是 ，这些控制设计都是针对整个系统 ，而且要求系统必须满足严格三角结
构 或 者 间接 满 足 三角 结 构 ． 由于许 多实 际 被控 系 统 的复 杂性 和 技术 原 因 ，特 别是 许 多 复杂 的大 系统 ，常 常 可 以得 到 其 某 一子 系 统 相对 精确 的模 型 ，并且 可 以对 其 进行 控 制 设 计口 一 个 有 意义 的控 制 问题 是 ：如 何 根 据 已得 到 的子 系 统控 制 器 来设 计 整个 系 统 】 ． 的控 制器 ， 目前 这 方 面 的研 究 还 很鲜 见 ．本 文对 此 类 控 制 问题 进行 了初 步 探讨 ，主要 是 运 用 ｂ ｃｓ ｐｉｇ 法 ，先设 计 出非 线 性 系统 的子 系 统控 制 器 ，再 在 该控 制 器 的基 ａｋｔ ｐｎ 方 ｅ 础 上推 导 出整 个非 线 性 系统 的 控 制器 ．

一类MIMO 系统的反演滑模控制方法研究与仿真摘 要：针对一类具有参数不确定性及外部干扰的MIMO （多输入多输出）系统，提出了一种反演滑模控制方法进行位置跟踪控制。

该控制律基于Lyaponov 定理设计，保证了系统的全局渐进稳定性，最后将此方法应用于一个2输入2输出的控制系统的设计中,仿真实例验证了该控制算法的有效性。

关键词：MIMO 系统，反演滑模控制，Lyaponov 定理Study and Simulation of Backstepping Sliding ModeControl for MIMO systemAbstract: In order to deal with the parameter uncertainties and external disturbances of MIMO system, a backstepping sliding mode control strategy is proposed. And based on Lyapunov methods, the control law can guarantee that the system is asymptotically stable. Finally, the proposed method is used for a two-in and two-out system. And numerical simulations are investigated to verify the effectiveness of the proposed scheme.Key words: MIMO system, backstepping sliding mode control, Lyaponov methods1. 引言反演法又称反推法、反步法，其基本思想是将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶数的子系统,然后为每一个子系统设计李雅普洛夫函数和中间虚拟控制量,一直回推到整个系统,直到完成整个控制律的设计，最终实现位置跟踪。

荔凡凡 ∗ ꎬ 董锋斌ꎬ 吴 奥ꎬ 王锦博
( 陕西理工大学 电气工程学院ꎬ 陕西 汉中 ７２３０００)
摘 要: 结合虚拟控制和 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 函数选取ꎬ讨论了多输入多输出系统的反步法设计步骤ꎬ给
出了具有严格参数反馈形式的多输入多输出系统设计控制向量的数学表达式ꎮ 以非线性系统
三相电压型逆变器为例ꎬ建立了逆变器模型具有参数严格反馈的标准形式ꎬ选取合适的虚拟变
器的性能ꎬ但也都存在一些问题 [２] ꎮ 文献[３] 中以单相电压型逆变器为例ꎬ比较了双闭环、滑模变结构
以及反步法控制的性能ꎬ可以清楚地看到在系统负载突变以及外加干扰的情况下ꎬ反步法控制具有明显
的优越性ꎮ 反步法( Ｂａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇ) 是一种分若干步来实现控制器的设计方法ꎬ通过在每一个步骤中选择
定义辅助误差相量 Ｅ２ 矩阵函数为
式中 ｘ２ｒｅｆ 为虚拟控制相量ꎮ 将式(４) 代入式(３) 中可得
根据误差系统ꎬ设计虚拟控制相量 ｘ２ｒｅｆ 为
式中 ｋ１ 为反馈增益对角矩阵ꎬ对角线上元素属于 Ｒ ꎬ且 Ｇ１ ( ｘ１ ) 为非奇异方阵ꎮ
＋
将式(６) 代入式(５) 得到

对于方程(７) ꎬ如果 Ｅ２ ➝０ꎬ则 Ｅ１ ➝０ꎮ
变器为例ꎬ选取合适的虚拟变量以及构造 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 函数ꎬ设计一个全局渐进稳定的控制器ꎬ来得到其反
步法控制模型ꎮ
１ 多输入多输出系统的反步法设计基本步骤
具有严格参数反馈形式的多输入多输出非线性系统的一般表达式为 [８]
̇
ìïｘ１ ＝ Ｆ１ ( ｘ１ ) ＋ Ｇ１ ( ｘ１ ) ｘ２ ꎬ
ïｘ̇ ２ ＝ Ｆ２ ( ｘ１ ꎬｘ２ ) ＋ Ｇ２ ( ｘ１ ꎬｘ２ ) ｘ３ ꎬ
２０２０ 年 ６ 月 陕西理工大学学报( 自然科学版)

2017-10-08 GaryLiu 于四川绵阳无人机的飞行控制是无人机研究领域主要问题之一。

在飞行过程中会受到各种干扰，如传感器的噪音与漂移、强风与乱气流、载重量变化及倾角过大引起的模型变动等等。

这些都会严重影响飞行器的飞行品质，因此无人机的控制技术便显得尤为重要。

传统的控制方法主要集中于姿态和高度的控制，除此之外还有一些用来控制速度、位置、航向、3D轨迹跟踪控制。

多旋翼无人机的控制方法可以总结为以下三个主要的方面。

1.线性飞行控制方法常规的飞行器控制方法以及早期的对飞行器控制的尝试都是建立在线性飞行控制理论上的，这其中就有诸如PID、H∞、LQR以及增益调度法。

1)PIDPID控制属于传统控制方法，是目前最成功、用的最广泛的控制方法之一。

其控制方法简单，无需前期建模工作，参数物理意义明确，适用于飞行精度要求不高的控制。

2)H∞H∞属于鲁棒控制的方法。

经典的控制理论并不要求被控对象的精确数学模型来解决多输入多输出非线性系统问题。

现代控制理论可以定量地解决多输入多输出非线性系统问题，但完全依赖于描述被控对象的动态特性的数学模型。

鲁棒控制可以很好解决因干扰等因素引起的建模误差问题，但它的计算量非常大，依赖于高性能的处理器，同时，由于是频域设计方法，调参也相对困难。

3)LQRLQR是被运用来控制无人机的比较成功的方法之一，其对象是能用状态空间表达式表示的线性系统，目标函数是状态变量或控制变量的二次函数的积分。

而且Matlab软件的使用为LQR的控制方法提供了良好的仿真条件，更为工程实现提供了便利。

4)增益调度法增益调度（Gain scheduling）即在系统运行时，调度变量的变化导致控制器的参数随着改变，根据调度变量使系统以不同的控制规律在不同的区域内运行，以解决系统非线性的问题。

该算法由两大部分组成，第一部分主要完成事件驱动，实现参数调整。

如果系统的运行情况改变，则可通过该部分来识别并切换模态；第二部分为误差驱动，其控制功能由选定的模态来实现。

摘要本论文将反推技术和耗散性理论结合起来，研究了复杂动态系统的控制问题，主要包括：线性多变量系统的Ⅳ。

控制的构造性设计：不确定非线性系统的Ｈ。

控制问题和自适应控制问题。

提出了一些解决问题的方法，得到了一些新的结果。

论文的研究内容和主要结果如下：（一）利用正交变换和反推技术提出了一种新的方法，并用这一方法研究了线性多变量系统的Ⅳ。

控制问题。

这一方法的主要优点是可构造性地得到Ⅳ；控制器。

（二）研究了多输入非线性串级系统的Ｈ。

控制问题。

＼证明了当第一个子系统对＼应的Ｈ。

控制问题可解时，整个系统的Ｈ；控制问题，可利用ｂａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇ递推设计方法，进行状态反馈控制设计，设计出的状态反馈控制律使闭环／系统是渐近稳定的，且满足日一性能指标。

ｆ（三）研究了不确定严格反馈多变量非线性系统的鲁棒控制问题。

附一类含有未＼建模项的多输入非线性系统，基于ｂａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇ递推设计方法，进行了状态反馈控制设计。

得到的闭环系统的所有信号是全局有界的，并且闭环系统的轨线收敛到状态空间启勺一个残集。

给出了一个仿真例子，说明了设计ｖ／过程和控制器的性能。

ｆｆ（四）研究了多输入非线性串级系统的非过参数化自适应控制问题。

陆明了一大类含有未知参数的多输入非线性串级系统，在适当的假设条件下是可全局适应稳定的。

自适应控制律的设计是基于ｂａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇ递推设计方法，得到的参数自适应律的维数等于未知参数的个数，因此该设计是非过参数化／的。

ｙ，ｆ（五）研究了含有未建模项的多输入非线性串级系统的自适应控制问题。

ｆ对一类含有未知参数和未建模项的多输入非线性串级系统，基于ｂａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇ递推设计方法，进行了非过参数化自适应控制设计，得到的闭环系统的所有信号是全局有界的，并且给出了第一子系统的状念界的一个估计。

／（六）利用反推技术和模糊自适应方法研究～类不确定非线性系统的鲁棒控制问题。

ｆ对一类带外部扰动和对象不确定性的非线性串级系统，提出了基于反推技术（ｂａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇ）的模糊自适应鲁棒控制设计方法。

非线性系统的状态反馈控制技术研究一、引言非线性系统是指系统规律不遵循线性定律的动态系统，其动态特性无法通过简单的叠加原理描述。

尽管非线性系统在现实应用中具有广泛的应用，但是其控制设计比较困难，经典的线性控制理论不再适用。

因此，非线性控制理论成为研究的重点。

二、非线性系统的状态空间表示非线性的系统常使用状态空间表示。

设动态系统的状态为x(t)，输入为u(t)，输出为y(t)，系统的数学模型可写为：f(x,u)=dx/dtg(x,u)=y其中，f表示系统的状态方程，g表示系统的输出方程。

状态方程f(x,u)通常是一个非线性函数，而输出方程g(x,u)则是一个线性函数，可以表示为：y=h(x)=Cx+Du其中，C和D为系数矩阵。

因此，状态空间表示可以写成：dx/dt=f(x,u)y=h(x)三、非线性状态反馈控制设计状态反馈控制是将系统状态x(t)作为反馈量，根据状态误差e(t)进行调节，并输出控制输入u(t)，使得系统状态和输出变量达到预定的控制目标。

对于线性系统，经典的状态反馈控制器设计方法基于满足状态反馈比例-积分-微分（PID）的反馈放大器的结构。

但是非线性系统是不可线性的，因此不再使用PID控制器。

对于非线性系统，可以使用反馈线性化控制策略，将非线性系统近似为线性系统，然后设计线性控制器来控制系统。

另外，模型参考自适应控制器也是一种常用的非线性控制方法，该方法结合了自适应控制和状态反馈控制的优点。

四、反馈线性化控制器设计反馈线性化控制器是一种非线性控制器，主要是通过对非线性系统进行变量变换来使其转化为线性系统，然后使用线性控制器来控制系统。

反馈线性化控制器的基本思想是将系统通过非线性变换转换为线性系统，然后使用线性控制器来控制线性系统。

在这个过程中，如果存在不可控或不可观的状态，就无法得到等效的线性控制器。

因此，反馈线性化控制器的设计需要注意选择合适的目标变量和合适的非线性变换。

五、模型参考自适应控制器设计模型参考自适应控制器是使用一个模型参考来进行控制的控制器。

第40卷第2期2023年2月控制理论与应用Control Theory&ApplicationsV ol.40No.2Feb.2023基于扩张状态观测器和反步法的非线性超空泡航行体纵向控制秦华阳1,陈增强1,2,†,孙明玮1,周瑜1,孙青林1(1.南开大学人工智能学院,天津300350;2.天津市智能机器人重点实验室,天津300350)摘要:考虑空泡记忆效应的超空泡航行体控制难度较大,主要体现在滑行力的强非线性、模型中的时延特性以及运动中的未知扰动.对于此类多输入多输出的复杂非线性系统,利用传统反步法控制器设计思想,将其改进以适用于超空泡航行体的纵向运动控制.为了对系统模型中存在的未知扰动进行观测补偿,本文设计了线性扩张状态观测器(LESO),将扰动估计值与控制器设计相结合,使用Lyapunov方法分析系统稳定性.最后在不同条件下进行仿真,结果验证了所设计的LESO估计未知扰动的准确性,以及所提控制方法对超空泡航行体纵向控制的有效性.关键词:空泡记忆效应;超空泡航行体;非线性系统;反步控制;线性扩张状态观测器;Lyapunov分析引用格式:秦华阳,陈增强,孙明玮,等.基于扩张状态观测器和反步法的非线性超空泡航行体纵向控制.控制理论与应用,2023,40(2):373–380DOI:10.7641/CTA.2022.20085Longitudinal control of nonlinear supercavitating vehicle based on extended state observer and backstepping methodQIN Hua-yang1,CHEN Zeng-qiang1,2,†,SUN Ming-wei1,ZHOU Yu1,SUN Qing-lin1(1.College of Artificial Intelligence,Nankai University,Tianjin300350,China;2.Key Laboratory of Intelligent Robotics of Tianjin,Tianjin300350,China)Abstract:The control of a supercavitating vehicle considering the cavitation memory effect is difficult,which is mainly reflected in the strong nonlinearity of the planing force,time-delay properties in models and unknown perturbations in motion.For this kind of complex nonlinear system with multiple inputs and multiple outputs,the traditional backstepping controller is improved to be suitable for longitudinal motion control of supercavitational vehicle.In order to compensate the unknown disturbances in the system model,a linear extended state observer(LESO)is designed to combine the distur-bance estimation with the controller design,and the system stability is analyzed by using the Lyapunov method.Finally, simulations are carried out under different conditions.The results verify the accuracy of the designed LESO for estimating unknown disturbances,and the effectiveness of the proposed control method for the longitudinal control of supercavitating vehicles.Key words:cavitation memory effect;supercavitation vehicle;nonlinear system;backstepping control;linear extended state observer;Lyapunov analysisCitation:QIN Huayang,CHEN Zengqiang,SUN Mingwei,et al.Longitudinal control of nonlinear supercavitating vehicle based on extended state observer and backstepping method.Control Theory&Applications,023,40(2):373–3801引言超空泡航行体的航行状态具有特殊性.常规航行体在水下航行时受到的流体阻力远大于在空气中的阻力,因而其航行速度难以提高.为突破该限制,采用超空泡减阻技术,利用空化器形成空泡层(超空泡)将航行体表面包裹,使航行体在水中的阻力减少约90%,可以实现航行体在水下超高速运行.超空泡减阻技术大幅提高了航行体运行速度,对于军事应用的研发意义重大[1].然而,这种独特的减阻方式也增加了对超空泡航行体的控制难度,使其运动中存在滑行力的强非线性、模型中的时延特性.因此，针对该类系统的特性设计有效的控制方法对超空泡技术的发展具有重要意义.近20年来,诸多学者对超空泡航行体的控制问题展开研究.Dzielski等[2]建立了非线性的超空泡航行体基准模型,并设计了线性反馈控制律.Guo等[3]探索收稿日期:2022−01−28;录用日期:2022−09−16.†通信作者.E-mail:*****************.cn;Tel.:+86130****2991.本文责任编委:龙离军.国家自然科学基金项目(61973175,62073177,61973172)资助.Supported by the National Natural Science Foundation of China(61973175,62073177,61973172).374控制理论与应用第40卷了空化数对航行体动力学特性的影响,提供了线性反馈控制律设计依据.Mao等[4]考虑航行体的非线性控制,解决执行器饱和问题,设计了滑模控制器和线性变参数控制器.李洋等[5]建立了非全包裹超空泡航行体模型,提出了基于反步法的滑模控制律,实现了对超空泡航行体的纵向控制.Wang等[6]针对全包裹超空泡航行体提出了自适应滑模控制器,可以对模型的不确定和未知扰动做出估计.张珂等[7]应用圆柱后体的水洞试验方法,对滑行水动力进行测量实验.范春永等[8]对超空泡航行体的侧方来流对航行体的影响进行了研究,结果表明在受侧方来流冲击时,航行体的相对来流速度决定航行体所受阻力以及空泡形变大小.李洋等[9]研究了超空泡航行体的不确定性问题,基于Lyapunov分析,利用反演控制设计航行体的姿轨控制器,提出了神经网络与自适应控制相结合的控制方法.文献[10]设计了一种变增益鲁棒控制方法,通过增加松弛变量和Lyapunov函数来降低控制系统的保守性和实现系统稳定性,仿真结果表明该系统具有较强的抗干扰性能和鲁棒性.文献[11]设计了线性二次调节器和鲁棒反演控制两类控制器,并通过仿真验证了其有效性.针对模型中存在的时延问题,庞爱平等[12–13]通过对比时滞模型与非时滞模型的仿真曲线,验证了其根据非时滞设计的控制器同样适应于时滞模型.目前已有工作取得了一定效果,但考虑空泡记忆效应的超空泡航行体是涉及多参量、多输入与多输出的复杂非线性时延系统,与其他复杂非线性系统[14–15]不同,其非线性和时延特性主要体现在滑行力的计算上,尾舵与空化器偏转角作为控制输入会同时影响系统的状态,存在耦合特性.然而,控制的核心问题是抑制系统中未知扰动或者不确定性的负面作用[16].为解决此问题,Han[17]提出了自抗扰控制(active disturban-ce rejection control,ADRC),其关键思想是设计扩张状态观测器(extended state observer,ESO),从被控对象的输入或输出信号中提取未知扰动信息,并在控制中进行扰动补偿,可以明显降低扰动带来的负面影响.为便于参数整定,Gao[18]将ADRC简化为线性自抗扰控制(linear active disturbance rejection control,LAD-RC),设计了线性扩张状态观测器(linear extended sta-te observer,LESO),上述工作促进了各领域学者对ADRC的研究与应用[19–26].超空泡航行体运行过程中会受到未知扰动影响,借鉴ADRC的思想,为了估计超空泡航行体运行过程中的未知扰动,设计了基于该系统的LESO.进一步尝试采用较为简单的反步法设计控制器,通过Lyapunov 方法分析系统稳定性.通过与文献[3]中基于极点配置的线性反馈控制方法进行对比仿真,结果验证了所提方法的有效性,对于非线性超空泡航行体的纵向运动,能实现较高的控制品质.2超空泡航行体的非线性动力学模型考虑超空泡航行体在俯仰纵向平面内的运动,首先建立航行体坐标系,其原点位于航行体空化器的顶端面圆心,x轴沿航行体中心轴指向前,z轴垂直于x轴指向下,以地面系为惯性系,z为航行体深度,θ为俯仰角,w为纵向速度且沿航行体z轴方向,q为俯仰角速度,纵向平面内航行体x轴方向速度近似等于空化器的合速度V,并假设为常值,设FΛo=FΛg+FΛp[1L]T,其中FΛp为滑行力F p标准化后的值,定义如下:FΛp=−V2mL(1+h′1+2h′)[1−(R′h′+R′)2]αp,(1)FΛg=791736Lg.(2)根据Dzielski提出的经典基准模型[2],超空泡航行体的俯仰平面动力学方程如下:˙z=w−Vθ,˙θ=q,M[˙w˙q]=A[wq]+B[δfδc]+FΛo,(3)其中:A=CV1−nmL−nm+79C−nm−nLm+1736CL,B=CV2−nmL1mL−nm,M=791736L1736L1160R2+133405L2,δf为尾舵偏转角,δc为空化器偏转角,C=12C x0(1+σ)(R nR)2,(4) R′=(R c−R)/R,(5)K a=LR n(1.92σ−3)−1−1,(6)K b=[1−(1−4.5σ1+σ)K40/17a]1/2,(7) R c=R n[0.82(1+σ)σ]1/2K b.(8)第2期秦华阳等:基于扩张状态观测器和反步法的非线性超空泡航行体纵向控制375考虑空泡的记忆效应,浸入深度h ′和浸入角αp 都是含有状态时延变量的函数,设R 0=R −R c ,z ′(t,τ)=z (t )+θ(t )L −z (t −τ),根据Vanek 的文献[27],其计算公式如下:h ′= 1R [z ′(t,τ)+R ′],上壁接触,0,无接触,1R [R ′−z ′(t,τ)],下壁接触,(9)αp =θ(t )−θ(t −τ)+w (t −τ)−˙R c V,上壁接触,0,无接触,θ(t )−θ(t −τ)+w (t −τ)+˙R c V,下壁接触.(10)3种情形的判断条件为上壁接触,−R 0<z ′(t,τ),无接触,其他,下壁接触,R 0>z ′(t,τ),(11)其中:τ=L /V 表示时间延迟的值,˙Rc 表示空泡半径收缩率,表达式如下:˙R c =−2017(0.821+σσ)1/2V (1−4.5σ1+σ)K 23/17aK b (1.92σ−3).(12)采用超空泡航行体的模型参数见表1.表1超空泡航行体模型参数Table 1Supercavitating vehicle model parameters名称参数值重力加速度g 9.81(m ·s −2)航行体半径R 0.0508m 航行体长度L 1.8m密度比m 2尾翼效率n 0.5升力系数C x00.82空化器半径R n 0.0191m 空化数σ0.02413基于LESO 的反步法控制器设计与稳定性分析由第2节可知,超空泡航行体是涉及多参量,多输入与多输出的复杂非线性时延系统,其非线性和时延特性主要体现在滑行力F p 的计算上,此外,控制输入δf 和δc 会同时影响系统的状态,存在耦合特性.上述特性大大增加了对系统的控制器设计难度,利用反步法,基于Lyapunov 分析,可以在保证系统稳定性的同时有效简化控制器设计,对于系统中的未知扰动,设计LESO 进行扰动观测并补偿.在系统模型(3)中,M 为非奇异矩阵,为便于描述,令x 1=[z θ]T ,x 2=[w q ]T ,考虑系统中存在未知扰动D =[d 1d 2]T ,可将式(3)改写为{˙x 1=A 1x 1+x 2,˙x 2=A 2x 2+B 1u +F gp +D,(13)其中:A 1=[0−V00],A 2=M −1A,B 1=M −1B,u =[δf δc ]T ,F gp=M −1(F Λg +F Λp [1L]).设跟踪指令为x 1d =[z d θd ]T ,(14)跟踪误差为E 1=x 1d −x 1,对E 1求导可得˙E 1=˙x 1d −A 1x 1−x 2,(15)由于扰动项D 未知,将D 作为扩张状态x 3,有{˙x 2=A 2x 2+B 1u +F gp +x 3,˙x 3=˙D,(16)为估计未知扰动D ,构建对应的二阶LESO 如下:e 1=Z 1−x 2,˙Z 1=Z 2+A 2x 2+B 1u +F gp −β1e 1,˙Z 2=−β2e 1,(17)其中:Z 1和Z 2分别为状态变量x 2和未知扰动D 的估计值;β1=2ωo ,β2=ω2o ,ωo 为观测器带宽;假设未知扰动˙D有界,则由文献[18]可知,当t →∞时,有Z 1→x 2,Z 2→D.设虚拟指令x 2d =˙x 1d −A 1x 1+K 1E 1,(18)误差E 2=x 2d −x 2.假设˙x 1d ,¨x 1d 可获知,设计控制律u =B −11(E 1+¨x 1d +K 1˙x 1d −(A 1+K 1)˙x 1−A 2x 2−F gp −Z 2+K 2E 2),(19)其中K 1,K 2均为二阶正定矩阵.下面证明在控制律(19)下,系统(13)是渐近稳定的.证定义Lyapunov 候选函数V =12E T 1E 1+12E T2E 2,(20)则V 0,对V 求导有376控制理论与应用第40卷˙V =E T 1˙E 1+E T 2˙E 2=E T 1(˙x 1d −A 1x 1−x 2)+E T 2˙E 2=E T 1(˙x 1d −A 1x 1−x 2d +E 2)+E T 2˙E 2=−E T 1K 1E 1+E T 1E 2+E T 2˙E 2=−E T 1K 1E 1+E T 2(E 1+˙E 2)=−E T 1K 1E 1−E T 2K 2E 2<0.(21)故V 满足李雅普诺夫定理,系统(13)渐近稳定.证毕.图1为系统的控制原理框图.图1控制原理框图Fig.1Control block diagram4仿真结果为测试所提反步法控制律(19)和LESO(17)观测未知扰动的有效性,使用Simulink 进行仿真,设计不同情形的未知扰动D =[d 1d 2]T ,与文献[3]中的极点配置线性反馈法进行对比,该方法对应本文模型的控制律如下:u =−(B T B )−1B T (C +Ax d )−K f ˜x ,其中:x d =[z d θd 00]T ,˜x =x −x d ,反馈矩阵K f使用极点配置法计算得到,仿真中将极点配置为−2,−3,−4,−5.预设系统(13)的状态变量初值[z 0θ0w 0q 0]T =[0030.02]T ,跟踪指令x 1d =[z d θd ]T =[10]T ,考虑实际中舵角的限幅特性,仿真设定尾舵偏角δf 和空化器转角δc 的范围均为±25◦,根据经验选取观测器带宽ωo =10,K 1=[30080],K 2=[800015].情形1未知扰动D =[00]T .理想情况下,模型中不存在未知扰动,此时仿真结果如图2–6所示.图2中,由于系统状态初值较大,出现了大小约为500N 的非线性滑行力,在控制器作用下,该滑行力快速消失,4种状态均可在2s 内收敛并稳定至期望值(见图3),控制过程中尾舵偏角和空化器转角都能保证在限幅范围内(见图4–5).图6中,LESO 所估计未知扰动的量级在10−6,接近于0,这与未知扰动为0的情形符合,此时,有无LESO 的反步法控制效果几乎一致,而极点配置线性反馈法存在超调现象.图2情形1–滑行力变化曲线Fig.2F plane curves of Case1(a)深度(b)俯仰角(c)纵向速度(d)俯仰角速度图3情形1状态变化曲线Fig.3State curves of Case 1第2期秦华阳等:基于扩张状态观测器和反步法的非线性超空泡航行体纵向控制377图4情形1–δf 变化曲线Fig.4δf curves of Case1图5情形1–δc 变化曲线Fig.5δc curves of Case1Z 2图6情形1–LESO 估计未知扰动Fig.6Z 2curves of Case 1情形2未知扰动D =[103]T .将模型中的未知扰动设置为常数值,仿真结果如图7–11所示.由于此时极点配置线性反馈法控制下的系统失稳发散,因此仅在图7(a)中绘制了失稳状态下的深度曲线.图8中,由于系统初值和未知扰动的存在,导致滑行力初值达到600N,在反步法控制作用下,非线性滑行力会快速消失.由图7和图11可知,系统状态仍能在2s 内收敛,利用所设计的LESO 可以准确估计未知扰动,加入LESO 补偿未知扰动的反步法控制器可以消除由扰动引起的稳态误差,使系统状态更精确地达到期望值.将图9–10与情形1中的图4–5对比可知,要抵消扰动的作用需要更大的舵角变化范围,由于扰动为常数值,当系统达到稳态时,控制量也会稳定于常值,这与经验相符.对比结果表明,所提方法具有较好的鲁棒性.(a)深度(b)俯仰角(c)纵向速度(d)俯仰角速度图7情形2–状态变化曲线Fig.7State curves of Case2图8情形2–滑行力变化曲线Fig.8F plane curves of Case 2情形3未知扰动D =[10sin t 3sin t ]T .将模型中的未知扰动设置为随时间变化的正弦信号,仿真结果如图12–16所示.378控制理论与应用第40卷图13中,滑行力在控制器作用下,能从较大的初值500N 快速衰减至0.对照图12–16可知,LESO 可以较为准确地估计未知时变扰动,加入扰动补偿后的反步法控制效果更好,可以明显减弱由谐波扰动带来的振荡现象,能使系统在2s 内达到稳态.此外,结合情形1–2不难发现,空化器转角对航行体的俯仰角影响较大,尾舵偏角主要作用于航行体的升降运动,与实际情况相符.而对比方法控制下的系统无法抑制正弦扰动带来的影响,未能将系统状态收敛至期望值.图9情形2–δf 变化曲线Fig.9δf curves of Case2图10情形2–δc 变化曲线Fig.10δc curves of Case2Z 2图11情形2–LESO 估计未知扰动Fig.11Z 2curves of Case2(a)深度(b)俯仰角(c)纵向速度(d)俯仰角速度图12情形3–状态变化曲线Fig.12State curves of Case3图13情形3–滑行力变化曲线Fig.13F plane curves of Case3图14情形3–δf 变化曲线Fig.14δf curves of Case 3第2期秦华阳等:基于扩张状态观测器和反步法的非线性超空泡航行体纵向控制379图15情形3–δc 变化曲线Fig.15δc curves of Case3Z 2图16情形3–LESO 估计未知扰动Fig.16Z 2curves of Case 3综合3种情形下的对比仿真结果可知,所设计基于LESO 的反步控制方法可以精确估计并补偿系统中存在的未知扰动,对于非线性超空泡航行体的纵向运动,能够实现较高的控制品质.5结论考虑非线性超空泡航行体的纵向控制问题,主要难点:空泡记忆效应产生滑行力的强非线性、耦合特性以及模型中存在的未知不确定性.为了降低控制难度,设计了基于LESO 的反步法控制器,使用李雅普诺夫方法分析系统稳定性.在不同的未知扰动情形下进行对比仿真,结果验证了所提方法的有效性.未来工作可以考虑:优化所提控制器的参数,以达到更优的控制效果;将所提控制器改进完善并应用于其他复杂非线性系统.参考文献:[1]PANG Aiping,HE Zhen,WANG Jinghua,et al.H ∞state feedbackdesign for supercavitating vehicles.Control Theory &Applications ,2018,35(2):146–152.(庞爱平,何朕,王京华,等.超空泡航行体H ∞状态反馈设计.控制理论与应用,2018,35(2):146–152.)[2]DZIELSKI J,KURDILA A.A benchmark control problem for super-cavitating vehicles and an initial investigation of solutions.Journal of Vibration and Control ,2003,9(7):791–804.[3]GUO J,BALACHANDRAN B,ABED E H.Dynamics and control ofsupercavitating vehicles.Journal of Dynamic Systems,Measurement,and Control ,2008,130(2):021003.[4]MAO X,WANG Q.Nonlinear control design for a supercavitatingvehicle.IEEE Transactions on Control Systems Technology ,2009,17(4):816–832.[5]LI Yang,LIU Mingyong,YANG Panpan,et al.Modeling andattitude-orbit control 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Control,2007,13(2):159–184.作者简介:秦华阳硕士研究生,目前研究方向为超空泡航行体建模与控制、自抗扰控制、智能控制;陈增强教授,博士生导师,目前研究方向为智能控制、预测控制、自抗扰控制,E-mail:*****************.cn;孙明玮教授,博士生导师,目前研究方向为飞行器制导与控制、自抗扰控制;周瑜硕士研究生,目前研究方向为超空泡航行体建模与控制;孙青林教授,博士生导师,目前研究方向为自抗扰控制、自适应控制、嵌入式控制系统、柔性飞行器建模与控制.。

非线性系统的收缩自适应反步控制
胡超芳;张志鹏
【摘要】在收缩理论结构下展开对一般非线性参数严反馈不确定系统的研究，并
提出了一种收缩自适应反步控制方法。

本方法根据各阶子系统的连接方式设计了虚拟及实际控制输入，确保了系统的收缩性，并利用收缩自适应引理分别设计各阶子系统不确定参数的自适应估计律。

本方法不但可保证系统输出渐近收敛到期望轨迹，而且能确保自适应估计值的有界性，数值仿真验证了本方法的有效性。

【期刊名称】《制造业自动化》
【年(卷),期】2015(000)020
【总页数】5页(P47-50,55)
【关键词】参数严反馈系统;收缩理论;自适应;反步控制
【作者】胡超芳;张志鹏
【作者单位】天津大学电气与自动化工程学院，天津 300072;天津大学电气与自
动化工程学院，天津 300072
【正文语种】中文
【中图分类】TP273。

小型四旋翼飞行器的滑模控制王辰璐;陈增强;孙明玮【摘要】A sliding mode control scheme was proposed for a 6 degree of free quadrotor model to improve the robustness of the quadrotor control system. Firstly, the quadrotor model was divided into two parts which included a fully-actuated subsystem and an under-actuated subsystem. The fully-actuated subsystem was composed of two independent loops with altitude and yaw angle, while the under-actuated subsystem had four state variables and two control variables. Secondly, a backstepping based on sliding mode controller and furthermore a finite time terminal sliding mode controller were proposed to the fully-actuated subsystem, and then a cascade sliding mode controller was designed to control the under-actuated subsystem which was transformed into a cascade standard form. Thirdly, the stability of the designed control system was proved by using Lyapunov stability theorem. The results show that the proposed quadrotor control scheme is effective, it not only has good robustness and fast tracking dynamic performance, but also has the ability to restrain buffeting.%针对1种六自由度四旋翼模型,设计滑模控制器来提高控制系统的鲁棒性.首先将四旋翼模型划分为全驱动和欠驱动2部分,全驱动子系统由高度和偏航角2个独立回路组成,而欠驱动子系统则包含4个被控量和2个控制量.然后针对全驱动系统的2个回路设计了基于反步法(Backstepping)的滑模控制,并进一步推导出有限时间终端滑模控制器.将欠驱动子系统写成一种级联标准型,并给出一种欠驱动级联形式的滑模控制器.采用Lyapunov稳定性理论证明所设计的滑模控制系统的稳定性.研究结果表明:所提出的四旋翼控制器是有效的,它不仅具有良好的鲁棒性和快速跟踪动态性能,而且能够有效地抑制抖振现象.【期刊名称】《中南大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(048)004【总页数】6页(P1006-1011)【关键词】四旋翼飞行器;欠驱动系统;滑模控制;终端滑模控制;反步法【作者】王辰璐;陈增强;孙明玮【作者单位】南开大学计算机与控制工程学院,天津,300350;天津市智能机器人技术重点实验室,天津,300350;南开大学计算机与控制工程学院,天津,300350;天津市智能机器人技术重点实验室,天津,300350;南开大学计算机与控制工程学院,天津,300350;天津市智能机器人技术重点实验室,天津,300350【正文语种】中文【中图分类】TP272四旋翼飞行器具有机动性强、控制灵活的特点，可以实现垂直起降、定点悬停等飞行姿态，因而被广泛应用于勘测、航拍、监控、侦查等活动中，近年来已经成为军事、民用领域的研究热点。

摘
（ 天津大学 电气与 自动化工程学院 ，天津 ３ ０ ０ ０ ７ ２ ） 要 ：在收缩理论结构下展开对一般非线性参数 严反 馈不 确定系统的研究 ，并提出了一种收缩自适应
反步控制方法。本方法根据各阶子系统的连接方式设计了虚拟及实际控制输入 ，确保了系统 的 收缩 性 ，并利 用收缩 自适应 引理分别设 计各 阶子 系统不确 定参数 的自适应估 计律 。本方法 不但 可保证系 统输出 渐近 收敛到 期望轨迹 ，而且 能确保 自适应估计 值的有界 性 ，数值 仿真验
０ 引言
近年来，收缩理论Ⅲ 作为一种非线性系统稳定性研 究的新方法被提出并得到了广泛应用 。收缩分析是通过
采 用虚 位 移 的概念 来 研 究系 统稳 定性 ，即如 果存 在 一个
区域 ，而且在该 区域 内系统 的初始条件 能够被遗 忘 ，或者 说系统 的最终行 为与初始条 件无关 ，那 么这个系 统就是稳
推 广 到更 一般 的 非线 性参 数严 反馈 系 统 中 。从系统 轨 迹 收 敛性 角 度 出发 ，利 用收 缩分 析 过程 中不 依赖 系 统平 衡
点具体信息的特点展开研究。即根据子系统的不同连接
方 式对 虚 拟及 实 际控 制输 入进 行 了设 计 ；采 用收缩 自适 应 引理 设计 了不 确 定参 数 的 自适 应 估计 律 。本方 法 通过 闭环 系 统 的收缩 性 确保 了输 出跟 踪 的收 敛性 ，并保 证 了 白 适 应估 计 的有 界性 。
收稿日期：２ ０ １ ５ － ０ ８ － ０ ４ 基 金项目：天津市 自然科学基 金项 目 （ １ ２ Ｊ Ｃ Ｚ Ｄ Ｊ Ｃ ３ ０ ３ ０ ０ ）；国家留学 基金 作者简介：胡超芳 （ １ ９ ７ ３一 ），男，副教授 ，博士 ，主要从事飞行 器 自主控制 、 自适应控制和 非线性控 制等研 究。

Backstepping设计方法及应用
王莉;王庆林
【期刊名称】《自动化博览》
【年(卷),期】2004(21)6
【摘要】Backstepping设计方法是针对不确定性系统的一种系统化的控制器综合方法,是将Lyapunov函数的选取与控制器的设计相结合的一种回归设计方法.它通过从系统的最低阶次微分方程开始,引入虚拟控制的概念,一步一步设计满足要求的虚拟控制,最终设计出真正的控制律.本文介绍了Backstepping设计方法在线性系统和非线性系统中的具体实现,并对它的应用做了简单的综合介绍.
【总页数】5页(P57-61)
【作者】王莉;王庆林
【作者单位】北京理工大学自动控制系,北京,1000081;北京理工大学自动控制系,北京,1000081
【正文语种】中文
【中图分类】TP13
【相关文献】
1.Integral Backstepping法在四旋翼飞行器抗干扰研究中的应用 [J], 程素平;刘祚时;胡智元
2.无人机密集编队Backstepping控制器设计方法研究 [J], 李继广;董彦非;屈高敏;岳源;魏佳豪;唐家坤
3.非线性Backstepping算法在船舶动力定位系统控制的应用 [J], 牛兴霞;章小丹
4.Backstepping设计方法在船舶航向控制器中的应用 [J], 李晓荣;刘志强
5.非线性Backstepping算法在舰船航行控制器的应用研究 [J], 段芃芃;刘锂因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

非线性系统控制方法的反演技术研究摘要：随着科技的进步和应用范畴的扩大，非线性系统控制日益成为研究的热点。

然而，非线性系统的复杂性和不确定性给控制带来了很大的挑战。

为了克服这些困难，反演技术作为一种有效的非线性控制方法被广泛应用于工业过程和自动化系统。

本文将研究非线性系统的反演方法，包括基于模型的反演和自适应反演方法，并提出了未来研究的方向。

1. 引言非线性系统的控制一直是控制理论研究的重点和难点之一。

非线性系统存在着复杂的动力学特性、参数不确定性和外部扰动等问题，传统的线性控制方法难以满足实际需求。

因此，需要发展新的、有效的非线性控制方法来提高系统的稳定性、性能和鲁棒性。

2. 反演技术的基本原理反演技术是一种基于系统模型的非线性控制方法，通过将系统模型反演，从而实现输出与期望输出的一致性。

它的基本原理是通过反演算子将系统的输出映射到控制输入空间，实现对系统的逆向控制。

3. 基于模型的反演方法基于模型的反演方法是利用已知系统模型进行反演控制的一种方法。

通过建立系统的数学模型和特性方程，可以利用数学方法推导出反演控制器。

这种方法的优点是可以实现对系统的精确控制，但对系统模型的准确性和完备性有一定要求。

4. 自适应反演方法自适应反演方法是一种可以自动调整反演控制器参数的方法。

通过利用适应性算法来实现反演器参数的在线调整，可以在不完全了解系统内部动态特性的情况下实现鲁棒控制。

这种方法适用于系统模型未知或参数变化较大的情况。

5. 非线性系统的反演技术在实际应用中的研究进展非线性系统的反演技术已经在许多实际应用中得到了广泛的应用。

例如，在工业过程中，非线性系统的反演技术可以实现对复杂工艺过程的精确控制；在自动化系统中，反演技术可以用于控制机器人的动力学行为。

这些应用表明非线性系统的反演技术在实际控制中具有很大的潜力。

6. 非线性系统的反演技术研究的未来方向尽管非线性系统的反演技术已经取得了一些重要的进展，但在实际应用中仍然存在一些挑战和不足之处。

基于障碍李雅普诺夫函数非线性系统的死区补偿控制作者：***来源：《南京信息工程大学学报（自然科学版）》2018年第06期摘要本文集中在带有部分状态约束的非线性单输入单输出系统的自适应控制器设计上.考虑了非对称死区的非线性输入特性，选取障碍李雅普诺夫函数用来阻止部分受约束的状态违反约束条件.根据障碍李雅普诺夫函数反步法，解决了该类系统的输出跟踪问题，同时也处理了死区非线性带来的影响.针对下三角结构的非线性系统，设计了自适应控制器，证明了闭环系统所有信号都是有界的，同时保证了系统输出可以跟踪上参考信号.最后，仿真结果表明了所提方法的有效性.关键词约束控制;障碍李雅普诺夫函数;死区非线性输入;反步法中图分类号 TP13文献标志码 A0 引言受约束的系统普遍存在于现实中的许多物理系统中.例如在静电微驱动机构中，可移动电极的速度和位移必须受到约束以防止该电极触碰到固定电极.实际控制系统中，为保证系统的安全运行，对系统中的各变量进行恰当的约束变得十分有必要.通常而言，系统的超调量不能过大，否则会导致系统的运行状态非常不理想甚至会导致系统不稳定.如何快速有效地处理控制系统中的约束问题也是工业过程控制中一个很重要的工作.基于障碍李雅普诺夫函数（BLF）的控制设计方法能有效处理一类约束问题.其基本思想是当自变量的值趋于某些区域边界时，BLF的值趋于无穷大.通过保证BLF的有界性，可以达到限制系统状态的目的.具体而言，基于BLF的控制方法大致可以总结为三类：输出约束控制、全状态约束控制和部分状态约束控制.输出约束控制要在系统稳定性分析的基础上确保系统的输出保持在一定的约束范围之内.文献[1]解决了严格反馈系统的输出约束问题，分别利用传统的BLF以及对称BLF，基于backstepping方法，提出了相应的自适应控制策略.全状态约束控制需要在确保系统稳定的同时保证所有的状态都满足一定的约束条件.文献[2]针对一类带有参数不确定的随机非线性系统，利用对称BLF和非对称BLF，提出了两类自适应控制算法，确保了系统的稳定性.文献[3]提出了严格反馈系统的自适应全状态约束控制方案，解决了控制方向未知的问题.部分状态约束控制是解决控制系统里只有一部分状态需要满足一些特定的约束条件（且保证系统的稳定性）的方法.事实上，输出约束控制和全状态约束控制可以看成是部分状态约束控制的特殊形式[4] .虽然约束控制的研究日趋成熟，但是，很多已有成果都忽略了死区非线性输入的现象[5-6] .死区是一种典型的非线性输入形式.由于执行器物理限制、机械设计和制造等方面原因，死区输入特性不可避免地存在于实际控制系统中，并且会造成闭环控制系统的性能下降，甚至导致系统不稳定.因此，近年来关于具有死区非线性输入特性的动态系统的研究受到广泛重视，并且取得了一些研究成果[7-8] .文献[9]利用死区特性里斜率有界的性质，提出了基于小增益定理和状态观测器的鲁棒模糊自适应输出反馈死区补偿控制策略，并确保系统里所有的信号都是半全局一致最终有界的.然而，以上成果都是针对存在对称死区的执行器进行探讨的，而许多实际的机械系统中经常存在不对称死区机构，为了克服这一局限性，文献[10]详细给出了非對称死区的具体模型，针对三角结构的互联非线性系统，提出了分散式自适应镇定控制器的设计方法.不过，这些已有方法[8-10] 并没有考虑状态约束问题.当系统的部分状态也必须满足一定的约束条件时，如何设计有效的自适应控制器来补偿死区现象仍未解决.本文在障碍李雅普诺夫函数的基础上，针对一类带有部分状态约束的非线性系统，设计自适应死区补偿控制器，解决该类系统的输出跟踪问题.通过稳定性分析，证明了系统所有的信号都是有界的.与现有结果对比，本文在部分状态约束控制问题中，引入非线性死区特性，结合自适应辅助信号，克服了传统部分状态约束控制中难以补偿死区的难点.最后，数值仿真结果验证了所提方法的有效性.1 问题描述考虑如下严格反馈单输入单输出系统在此仿真中，初值选取为x 1（0）=0.2，x 2（0）=0.15.相关设计参数为μ 1=10，μ 2=20，γ=0.5，k 1=2.2，k b 1 =2.图1—4为仿真结果.图1为系统的跟踪曲线，很显然，系统的输出能跟踪上参考信号，并且保证系统的第一个状态 x 1在其给定的约束界以内.图2给出了η 2的轨迹，表明η 2 是有界的.另外，图3给出的是控制器的图象.图4描绘的是本仿真中的相位图.通过图1—4，可以看出这些信号都是有界的.4 结论本文提出了基于障碍李雅普诺夫函数方法的非线性单输入单输出系统的自适应部分状态约束控制器，并对非对称死区设计了补偿控制策略，有效解决了该类系统的输出跟踪问题.根据障碍李雅普诺夫反步法，通过稳定性分析，证明了闭环系统内所有信号都是有界的.该方法建立了下三角结构系统的部分状态约束控制方案，实现了该类系统的死区补偿控制.最后，通过仿真算例验证了本文所提方法的有效性.参考文献References[ 1 ]Tee K P，Ge S S，Tay E H.Barrier Lyapunov functions for the control of output-constrained nonlinear systems[J].Automatica，2009，45（4）：918-927[ 2 ] Liu Y J，Lu S M，Tong S C，et al.Adaptive control based Barrier Lyapunov functions for a class of stochastic nonlinear systems with full state constraints[J].Automatica，2018，87：83-93[ 3 ] Liu Y J，Tong S C.Barrier Lyapunov functions for Nussbaum gain adaptive control of full state constrained nonlinear systems[J].Automatica，2017，76：143-152[ 4 ] Tee K P，Ge S S.Control of nonlinear systems with partial state constraints using a Barrier Lyapunov function[J].International Journal of Control，2011，84（12）：2008-2023[ 5 ] Liu L，Wang Z，Zhang H.Adaptive fault-tolerant tracking control for MIMO discrete-time systems via reinforcement learning algorithm with less learning parameters[J].IEEE Transactions on Automation Science and Engineering，2017，14（1）：299-313[ 6 ] Li Y，Tong S，Li posite adaptive fuzzy output feedback control design for uncertain nonlinear strict-feedback systems with input saturation[J].IEEE Transactions on Cybernetics，2015，45（10）：2299-2308[ 7 ] Tong S，Li Y.Adaptive fuzzy output feedback control of MIMO nonlinear systems with unknown dead-zone inputs[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2013，21（1）：134-146[ 8 ] Liu L，Liu Y J，Chen C L P.Adaptive neural network control for a DC motor system with dead-zone[J].Nonlinear Dynamics，2013，72（1/2）：141-147[ 9 ] Li Y，Tong S，Liu Y，et al.Adaptive fuzzy robust output feedback control of nonlinear systems with unknown dead zones based on a small-gain approach[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2014，22（1）：164-176[10] Yoo S J，Park J B，Choi Y H.Decentralized adaptive stabilization of interconnected nonlinear systems with unknown non-symmetric dead-zone inputs[J].Automatica，2009，45（2）：436-443Barrier Lyapunov function based compensation control for aclass of nonlinear systems with dead zoneLIU Lei 11 College of Science，Liaoning University of Technology，Jinzhou 121001Abstract An adaptive controller design for a class of nonlinear single-input single-output systems with partial state constraints is presented in this paper.The approach adopted is to consider the asymmetric dead zone of the non-linear systemsand employ the barrier Lyapunov function（BLF） to prevent partial states from transgressing the ing a BLF-based backstepping technique，a good tracking performance is obtained and the non-linearity of the dead zone is addressed.For the triangular system，an adaptive controller is designed.It is shown that all the signals in the resulting closed-loop system are bounded，and the system output can track the reference signal.The simulation results show the effectiveness of the proposed method.Key words constrained control;barrier Lyapunov function;dead zone nonlinearinput;backstepping method。