下载文档原格式
⾃动化专业⾯试问题⾃动化⾯试题⼤全模拟电路1、基尔霍夫定理的内容是什么？（仕兰微电⼦）基尔霍夫电流定律是⼀个电荷守恒定律,即在⼀个电路中流⼊⼀个节点的电荷与流出同⼀个节点的电荷相等.基尔霍夫电压定律是⼀个能量守恒定律,即在⼀个回路中回路电压之和为零.2、平板电容公式(C=εS/4πkd)。
（未知）3、最基本的如三极管曲线特性。
（未知）4、描述反馈电路的概念，列举他们的应⽤。
（仕兰微电⼦）5、负反馈种类（电压并联反馈，电流串联反馈，电压串联反馈和电流并联反馈）；负反馈的优点（降低放⼤器的增益灵敏度，改变输⼊电阻和输出电阻，改善放⼤器的线性和⾮线性失真，有效地扩展放⼤器的通频带，⾃动调节作⽤）（未知）6、放⼤电路的频率补偿的⽬的是什么，有哪些⽅法？（仕兰微电⼦）7、频率响应，如：怎么才算是稳定的，如何改变频响曲线的⼏个⽅法。
（未知）8、给出⼀个查分运放，如何相位补偿，并画补偿后的波特图。
（凹凸）9、基本放⼤电路种类（电压放⼤器，电流放⼤器，互导放⼤器和互阻放⼤器），优缺点，特别是⼴泛采⽤差分结构的原因。
（未知）10、给出⼀差分电路，告诉其输出电压Y+和Y-,求共模分量和差模分量。
（未知）11、画差放的两个输⼊管。
（凹凸）12、画出由运放构成加法、减法、微分、积分运算的电路原理图。
并画出⼀个晶体管级的运放电路。
（仕兰微电⼦）13、⽤运算放⼤器组成⼀个10倍的放⼤器。
（未知）14、给出⼀个简单电路，让你分析输出电压的特性（就是个积分电路），并求输出端某点的rise/fall时间。
(Infineon笔试试题)15、电阻R和电容C串联，输⼊电压为R和C之间的电压，输出电压分别为C上电压和R上电压，要求制这两种电路输⼊电压的频谱，判断这两种电路何为⾼通滤波器，何为低通滤波器。
当RC<< period - setup ? hold16、时钟周期为T,触发器D1的建⽴时间最⼤为T1max，最⼩为T1min。
Lesson 1II. TranslationPut the following passages into Chinese.1. For English is a killer. It is English that has killed off Cumbric, Cornish, Norn and Manx. There are still parts of these islands where sizeable communities speak languages that were there before English. Yet English is everywhere in everyday use and understood by all or virtually all, constituting such a threat to the three remaining Celtic languages, Irish, Scottish Gaelic, and Welsh... that their long-term future must be considered... very greatly at risk.因为英语是个杀手。
正是英语造成了康瑞克、康尼施、诺恩、曼科斯等语言的消亡。
在其中一部分岛上还有相当多的人使用在英语到来之前就已存在的语言。
然而，英语在日常生活中无处不在。
所有的人或几乎所有的人都懂英语。
英语对现存的凯尔特语——爱尔兰语、苏格兰盖尔语及威尔士语的威胁是如此之大，它们的未来岌岌可危。
2. He also associated such policies with a prejudice which he calls linguisticism (a condition parallel to racism and sexism). As Phillipson sees it, leading institutions and individuals within the predominantly "white" English-speaking world, have (by design or default) encouraged or at least tolerated—and certainly have not opposed—the hegemonic spread of English, a spread which began some three centuries ago as economic and colonial expansion.同时，他认为这些政策和他称之为语言歧视（和种族歧视、性别歧视的情况类似）的偏见密切相关。
计算机测量与控制．２０２２．３０（２） 犆狅犿狆狌狋犲狉犕犲犪狊狌狉犲犿犲狀狋牔犆狅狀狋狉狅犾 ·２２２ ·收稿日期：２０２１０９３０； 修回日期：２０２１１０２６。
作者简介：苏 耀（１９９５），男，山西运城人，硕士研究生，主要从事模糊数学与人工智能方向的研究。
通讯作者：周 伟（１９８９），男，湖南益阳人，博士研究生，主要从事模式识别方向的研究。
引用格式：苏 耀，于 濂，周 伟．ＧＣＡＴ－Ｕ－Ｎｅｔ嵌入全局坐标注意力机制的遥感地块分割网络［Ｊ］．计算机测量与控制，２０２２，３０（２）：２２２２２８，２３６．文章编号：１６７１４５９８（２０２２）０２０２２２０７ ＤＯＩ：１０．１６５２６／ｊ．ｃｎｋｉ．１１－４７６２／ｔｐ．２０２２．０２．０３２ 中图分类号：ＴＰ１８３文献标识码：Ａ犌犆犃犜－犝－犖犲狋嵌入全局坐标注意力机制的遥感地块分割网络苏 耀１，于 濂１，周 伟２（１．北京师范大学数学科学学院，北京 １００８７５；２．北京师范大学互联网教育智能技术及应用国家工程实验室，北京 １００８７５）摘要：遥感影像的地块背景特征复杂，当前地块分割方法不能较好地处理模糊的边缘信息，导致分割精度不理想；文章利用注意力机制处理地块特征，提出了一种基于全局坐标注意力机制的遥感地块分割网络：ＧＣＡＴ－Ｕ－Ｎｅｔ；该方法在Ｕ－Ｎｅｔ网络基础上嵌入了全局坐标注意力机制，加强了深度神经网络对于遥感影像数据中重要特征的关注度；在公开的ＧＩＤ数据集上的实验结果表明，文章提出的模型将准确率从０．９０４１提升到了０．９２２７，比传统Ｕ－Ｎｅｔ网络提高了２百分点；结合特征自身重要性和特征位置信息的全局坐标注意力机制有助于更精确的目标定位，其输出相较于嵌入单一注意力机制，地块边界更为清晰，提升效果更为显著。
关键词：地块语义分割；注意力机制；模式识别；Ｕ－Ｎｅｔ网络；卷积神经网络犌犆犃犜－犝－犖犲狋：犚犲犿狅狋犲犛犲狀狊犻狀犵犘犾狅狋犛犲犵犿犲狀狋犪狋犻狅狀犖犲狋狑狅狉犽狑犻狋犺犌犾狅犫犪犾犆狅狅狉犱犻狀犪狋犲犃狋狋犲狀狋犻狅狀犕犲犮犺犪狀犻狊犿ＳＵＹａｏ１，ＹＵＬｉａｎ１，ＺＨＯＵＷｅｉ２（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＢｅｉｊｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １００８７５，Ｃｈｉｎａ；２．ＮａｔｉｏｎａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＬａｂｏｒａｔｏｒｙｆｏｒＣｙｂｅｒｌｅａｒｎｉｎｇａｎｄＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＢｅｉｊｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １００８７５，Ｃｈｉｎａ）犃犫狊狋狉犪犮狋：Ｔｈｅｐｌｏｔｓｂａｃｋｇｒｏｕｎｄｆｅａｔｕｒｅｓｉｎｒｅｍｏｔｅｓｅｎｓｉｎｇｉｍａｇｅｓａｒｅｃｏｍｐｌｅｘ．Ｔｈｅｃｕｒｒｅｎｔｐｌｏｔｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｃａｎｎｏｔｐｒｅｆｅｒａｂｌｙｈａｎｄｌｅｔｈｅｆｕｚｚｙｅｄｇｅｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｓｏｔｈｅｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎａｃｃｕｒａｃｙｉｓｎｏｔｉｄｅａｌ．Ｔｈｅａｔｔｅｎ ｔｉｏｎｍｅｃｈａｎｉｓｍｉｓｕｓｅｄｔｏｐｒｏｃｅｓｓｔｈｅｌａｎｄｐａｒｃｅｌｆｅａｔｕｒｅｓ，ａｎｄａｒｅｍｏｔｅｓｅｎｓｉｎｇｌａｎｄｐａｒｃｅｌｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎｎｅｔｗｏｒｋｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｇｌｏｂａｌｃｏｏｒｄｉｎａｔｅａｔｔｅｎｔｉｏｎｍｅｃｈａｎｉｓｍｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｅｍｂｅｄｓｔｈｅｇｌｏｂａｌｃｏｏｒｄｉｎａｔｅａｔｔｅｎ ｔｉｏｎｍｅｃｈａｎｉｓｍｏｎｔｈｅｂａｓｉｓｏｆＵ－Ｎｅｔｎｅｔｗｏｒｋ，ｗｈｉｃｈｓｔｒｅｎｇｔｈｅｎｓｔｈｅｄｅｅｐｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋ ｓａｔｔｅｎｔｉｏｎｔｏｉｍｐｏｒ ｔａｎｔｆｅａｔｕｒｅｓｉｎｒｅｍｏｔｅｓｅｎｓｉｎｇｉｍａｇｅｄａｔａ．ＴｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓｏｎｔｈｅｐｕｂｌｉｃＧＩＤｄａｔａｓｅｔｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｍｏｄｅｌｐｒｏｐｏｓｅｄｉｎｔｈｅａｒｔｉｃｌｅｉｎｃｒｅａｓｅｓｔｈｅａｃｃｕｒａｃｙｆｒｏｍ０．９０４１ｔｏ０．９２２７，ｗｈｉｃｈｉｓ２％ｈｉｇｈｅｒｔｈａｎｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌＵ－Ｎｅｔｎｅｔｗｏｒｋ．Ｔｈｅｇｌｏｂａｌｃｏｏｒｄｉｎａｔｅａｔｔｅｎｔｉｏｎｍｅｃｈａｎｉｓｍｔｈａｔｃｏｍｂｉｎｅｓｔｈｅｆｅａｔｕｒｅｉｍｐｏｒｔａｎｃｅｉｔｓｅｌｆａｎｄｔｈｅｆｅａｔｕｒｅｌｏｃａｔｉｏｎｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｉｓｈｅｌｐｆｕｌｆｏｒｍｏｒｅａｃｃｕｒａｔｅｔａｒｇｅｔｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇ．Ｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｔｈｅｅｍｂｅｄｄｅｄｓｉｎｇｌｅａｔｔｅｎｔｉｏｎｍｅｃｈａｎｉｓｍ，ｔｈｅｐａｒｃｅｌｂｏｕｎｄａｒｙｉｓｍｏｒｅｃｌｅａｒｅｒａｎｄｔｈｅｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔｅｆｆｅｃｔｉｓｍｏｒｅｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ．犓犲狔狑狅狉犱狊：ｐａｒｃｅｌｓｅｍａｎｔｉｃｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ；ａｔｔｅｎｔｉｏｎｍｅｃｈａｎｉｓｍ；ｐａｔｔｅｒｎｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ；Ｕ－Ｎｅｔｎｅｔｗｏｒｋ；ｃｏｎｖｏ ｌｕｔｉｏｎｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋ投稿网址：ｗｗｗ．ｊｓｊｃｌｙｋｚ．ｃｏｍCopyright©博看网 . All Rights Reserved.第２期苏 耀，等：ＧＣＡＴ－Ｕ－Ｎｅｔ嵌入全局坐标注意力机制的遥感地块分割网络·２２３ ·０ 引言耕地的数量和质量是保持农业可持续发展的关键，利用高分辨率的卫星遥感影像［１］可以识别并获取耕地区域，准确的耕地分布能够为国家决策部门提供重要支撑。
《人工智能》课程习题第一章绪论1-1. 什么是人工智能？试从学科和能力两方面加以说明。
1-2. 在人工智能的发展过程中，有哪些思想和思潮起了重要作用？1-3. 为什么能够用机器（计算机）模仿人的智能？1-4. 现在人工智能有哪些学派？它们的认知观是什么？1-5. 你认为应从哪些层次对认知行为进行研究？1-6. 人工智能的主要研究和应用领域是什么？其中，哪些是新的研究热点？第二章知识表示方法2-1状态空间法、问题归约法、谓词逻辑法和语义网络法的要点是什么？它们有何本质上的联系及异同点?2-2设有3个传教士和3个野人来到河边，打算乘一只船从右岸渡到左岸去。
该船的负载能力为两人。
在任何时候，如果野人人数超过传教士人数，那么野人就会把传教士吃掉。
他们怎样才能用这条船安全地把所有人都渡过河去?再定义描述过河方案的谓词：L-R(x, x1, y, y1,S)：x1个修道士和y1个野人渡船从河的左岸到河的右岸条件：Safety(L,x-x1,y-y1,S’)∧Safety(R,3-x+x1,3-y+y1,S’)∧Boat(L,S)动作：Safety(L,x-x1,y-y1,S’)∧Safety(R,3-x+x1,3-y+y1,S’)∧Boat(R,S’)R-L (x, x1, y, y1,S)：x2个修道士和y2个野人渡船从河的左岸到河的右岸条件：Safety(R,3-x-x2,3-y-y2,S’)∧Safety(L,x+x2,y+y2,S’)∧Boat(R,S)动作：Safety(R,3-x-x2,3-y-y2,S’)∧Safety(L,x+x2,y+y2,S’)∧Boat(L,S’)(2) 过河方案Safety(L,3,3,S0)∧Safety(R,0,0,S0)∧Boat(L,S0)L-R(3, 1, 3, 1,S0) L-R(3, 0, 3, 2,S0)Safety(L,2,2,S1)∧Safety(R,1,1,S1)∧Boat(R,S1)Safety(L,3,1,S1’)∧Safety(R,0,2,S1’)∧Boat(R,S1’)R-L (2, 1, 2, 0,S1) R-L (3,0, 1, 1,S1’)Safety(L,3,2,S2)∧Safety(R,0,1,S2)∧Boat(L,S2)L-R(3, 0, 2, 2,S2)Safety(L,3,0,S3)∧Safety(R,0,3,S3)∧Boat(R,S3)R-L (3, 0, 0, 1,S3)Safety(L,3,1,S4)∧Safety(R,0,2,S1)∧Boat(L,S4)L-R(3, 2, 1, 0,S4)Safety(L,1,1,S5)∧Safety(R,2,2,S5)∧Boat(R,S5)R-L (1, 1, 1, 1,S5)Safety(L,2,2,S6)∧Safety(R,1,1,S6)∧Boat(L,S6)L-R(2, 2, 2, 0,S6)Safety(L,0,2,S7)∧Safety(R,3,1,S7)∧Boat(R,S7)R-L (0, 0, 2, 1,S7)Safety(L,0,3,S8)∧Safety(R,3,0,S8)∧Boat(L,S8)L-R(0, 0, 3, 2,S8)Safety(L,0,1,S9)∧Safety(R,3,2,S9)∧Boat(R,S9)R-L (0, 1, 1, 0,S9)Safety(L,1,1,S10)∧Safety(R,2,2,S10)∧Boat(L,S10)2-3利用图2.3，用状态空间法规划一个最短的旅行路程：此旅程从城市A开始，访问其他城市不多于一次，并返回A。
人工智能原理 练习题-2从习题中选择自己感兴趣的题目进行思考和解答，任何尝试都是有益的。
必要时，仔细阅读教科书当中的某些章节。
对于加星号的习题，应该编写程序来完成。
第3章 逻辑与推理1 对于下列每对原子语句，请给出最一般合一者，如果存在的话：a. (,,),(,,)P A B B P x y zb. (,(,)),((,),)Q y G A B Q G x y yc. ((),),((),)Older Father y y Older Father x Johnd. ((),),(,)Knows Father y y Knows x x2 写出下列语句的逻辑表示，使得它们适合应用一般化分离规则：a. 马、奶牛和猪都是哺乳动物。
b. 一匹马的后代是马。
c. Bluebeard 是一匹马。
d. Bluebeard 是Charlie 的父亲。
e. 后代和双亲是逆关系。
f. 每个哺乳动物都有一个双亲。
3 请根据第二章列出的任务环境特征描述wumpus 世界。
1，42，43，44，41，3 w ！2，33，34，31，2 S OK 2，2OK3，24，21，1 V OK 2，1B V OK3，1 P ！4，1A图7.4（a ） 智能体取得进展的两个后续函数。
（a ）第三步移动之后，感知为[Stench,None,None,None];A = AgentB = BreezeG = Gllitter,GoldOK = Safe squareP = PitS = StenchV = Visited W= WumpusA4 假定智能体已经前进到图7.4（a）（如上图）所示的位置，感知到的情况为：[1，1]什么也没有，[2，1]有微风，[1，2]有臭气。
它现在想知道[1，3]、[2，2]和[3，1]的情况。
这3个位置中的每一个都可能包含陷阱，而最多只有一个可能有wumpus。
按照图7.5的实例，构造出可能世界的集合。
第一章绪论1-1. 什么是人工智能？试从学科和能力两方面加以说明。
从学科角度来看：人工智能是计算机科学中涉及研究、设计和应用智能机器的一个分支。
它的近期主要目标在于研究用机器来模仿和执行人脑的某些智能功能，并开发相关理论和技术。
从能力角度来看：人工智能是智能机器所执行的通常与人类智能有关的功能，如判断、推理、证明、识别、感知、理解、设计、思考、规划、学习和问题求解等思维活动1-2. 在人工智能的发展过程中，有哪些思想和思潮起了重要作用？控制论之父维纳1940年主张计算机五原则。
他开始考虑计算机如何能像大脑一样工作。
系统地创建了控制论，根据这一理论，一个机械系统完全能进行运算和记忆。
帕梅拉·麦考达克(Pamela McCorduck)在她的著名的人工智能历史研究《机器思维》(Machine Who Think,1979)中曾经指出：在复杂的机械装置与智能之间存在着长期的联系。
著名的英国科学家图灵被称为人工智能之父,图灵不仅创造了一个简单的通用的非数字计算模型，而且直接证明了计算机可能以某种被理解为智能的方法工作。
提出了著名的图灵测试。
数理逻辑从19世纪末起就获迅速发展；到20世纪30年代开始用于描述智能行为。
计算机出现后，又在计算机上实现了逻辑演绎系统。
1943年由生理学家麦卡洛克(McCulloch)和数理逻辑学家皮茨(Pitts)创立的脑模型，即MP模型。
60-70年代，联结主义，尤其是对以感知机(perceptron)为代表的脑模型的研究曾出现过热潮，控制论思想早在40-50年代就成为时代思潮的重要部分，影响了早期的人工智能工作者。
到60-70年代，控制论系统的研究取得一定进展，播下智能控制和智能机器人的种子。
1-3. 为什么能够用机器（计算机）模仿人的智能？物理符号系统的假设：任何一个系统，如果它能够表现出智能，那么它就必定能执行输入符号、输出符号、存储符号、复制符号、建立符号结构、条件性迁移6种功能。
美国还是老大 看看CWUR的世界大学500强排名吧 著名调查机构盖洛普日前发布了《世界领导者评分》，就美国、德国、欧盟、中国和俄罗斯五个国家和地区的全球领导力进行评定，结果显示，美国依然是评分最高的国家，受调查的世界人民认为，美国更适合作为全球领导人，这是美国连续第三年排名第一。其次是德国、欧盟、中国和俄罗斯。值得一提的是，俄罗斯是这五个全球势力中唯一一个否定率高于支持率的国家。
世界人民依然认可美国当领导，作为全球超级大国，美国的经济实力和军事实力仍是世界之最，文化力量高居全球上游。
近日，Center For World University Rankings(简称CWUR)根据学校教育品质、毕业生就业情况、师资力量、出版物、影响力等八大指标评选了1000所2015年全球最好的大学2015年CWUR世界大学排行榜(附1000所学校表格)，全美一百五十余所高校入围2015CWUR世界大学500强，一百三十余所高校入围2015CWUR世界大学400强，一百一十五所高校入围2015CWUR世界大学300强，八十余所高校入围2015CWUR世界大学200强，五十余所高校入围2015CWUR世界大学100强，33所高校入围2015CWUR世界大学50强，22所高校入围2015CWUR世界大学30强，8所高校入围2015CWUR世界大学10强，哈佛大学高居2015CWUR世界大学排名榜首。
2015CWUR美国大学世界排名500强一览表 世界大学排名 学校中文名 学校英文名 1 哈佛大学 Harvard University 2 斯坦福大学 Stanford University 3 麻省理工学院 Massachusetts Institute of Technology 6 哥伦比亚大学 Columbia University 7 加州大学伯克利分校 University of California, Berkeley 8 芝加哥大学 University of Chicago 9 普林斯顿大学 Princeton University 10 康奈尔大学 Cornell University 11 耶鲁大学 Yale University 12 加州理工学院 California Institute of Technology 14 宾夕法尼亚大学 University of Pennsylvania 15 加州大学洛杉矶分校 University of California, Los Angeles 16 约翰霍普金斯大学 Johns Hopkins University 18 纽约大学 New York University 19 密歇根大学安娜堡分校 University of Michigan, Ann Arbor 21 加州大学圣地亚哥分校 University of California, San Diego 22 西北大学 Northwestern University 25 威斯康星大学麦迪逊分校 University of Wisconsin–Madison 26 加州大学旧金山 University of California, San Francisco 28 杜克大学 Duke University 29 洛克菲勒大学 Rockefeller University 30 得克萨斯大学奥斯汀分校 University of Texas at Austin 31 华盛顿大学-西雅图 University of Washington - Seattle 33 伊利诺伊大学香槟分校 University of Illinois at Urbana–Champaign 40 北卡罗莱纳大学教堂山分校 University of North Carolina at ChApel Hill 41 维吉尼亚大学 University of Virginia 43 普渡大学西拉法叶分校 Purdue University, West Lafayette 44 达特茅斯学院 Dartmouth College 46 匹兹堡大学-匹兹堡校区 University of Pittsburgh - Pittsburgh Campus 47 宾州州立大学公园校区 Pennsylvania State University, University Park 48 明尼苏达大学双城分校 University of Minnesota, Twin Cities 49 俄亥俄州立大学哥伦布分校 Ohio State University, Columbus 50 罗格斯大学新布伦瑞克分校 Rutgers University-New Brunswick 51 南加州大学 University of Southern California 52 圣路易斯华盛顿大学 Washington University in St. Louis 53 加州大学戴维斯分校 University of California, Davis 54 科罗拉多大学博尔德 University of Colorado Boulder 60 佛罗里达大学 University of Florida 61 卡内基梅隆大学 Carnegie Mellon University 64 加州大学圣芭芭拉分校 University of California, Santa Barbara 66 波士顿大学 Boston University 68 亚利桑那大学 University of Arizona 69 范德堡大学 Vanderbilt University 70 犹他大学 University of Utah 72 马里兰大学帕克分校 University of Maryland, College Park 75 德克萨斯大学西南医学中心 University of Texas Southwestern Medical Center 77 圣母大学 University of Notre Dame 80 佐治亚理工学院 Georgia Institute of Technology 81 罗彻斯特大学 University of Rochester 83 布朗大学 Brown University 84 埃默里大学 Emory University 89 加州大学尔湾分校 University of California, Irvine 90 德州大学安德森癌症中心 University of Texas MD Anderson Cancer Center 95 塔夫斯大学 Tufts University 97 亚利桑那州立大学 Arizona State University 102 德州农工大学学院站 Texas A&M University, College Station 105 凯斯西储大学 Case Western Reserve University 106 印第安纳大学-布卢明顿 Indiana University - Bloomington 113 乔治敦大学 Georgetown University 118 密歇根州立大学 Michigan State University 120 莱斯大学 Rice University 121 贝勒大学医学院 Baylor College of Medicine 127 科罗拉多大学丹佛 University of Colorado Denver 137 迈阿密大学 University of Miami 138 石溪大学 Stony Brook University 139 德克萨斯大学达拉斯 University of Texas at Dallas 141 爱荷华大学 University of Iowa 142 南卫理公会大学 Southern Methodist University 143 伊坎在西奈山医学院 Icahn School of Medicine at Mount Sinai 146 伯明翰阿拉巴马大学 University of Alabama at Birmingham 154 加州大学圣克鲁斯 University of California, Santa Cruz 157 辛辛那提大学 University of Cincinnati 159 维克森林大学 Wake Forest University 164 印第安纳州立大学普渡大学 Indiana University-Purdue University Indianapolis 166
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回2024-2025学年辽宁省沈阳市高三上学期12月联考数学质量监测试题.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集{}1,2,3,5,7U =，集合{}{}U 1,2,7,3,5A a A =-=ð，则a 的值是（ ）A. 4B. 5C. 7D. 9【答案】A 【解析】【分析】根据补集运算以及集合相等解方程可得结果.【详解】由{}1,2,3,5,7U =以及{}U 3,5A =ð可得{}1,2,7A =；即{}{}1,2,71,2,7A a ==-，所以22a -=，解得4a =.故选：A2. 对于非零向量,,a b a ∥b 是30a b -= 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据共线向量的条件，以及充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】因为30a b -=3a b ⇒=//a b ⇒，反之//a b不能推出30a b -=所以//a b 是30a b -= 必要不充分条件.故选：B.3. 已知11b a>>，则（ ）A. 1ab < B. 224a b +>C. log 2log 2a b > D. b aa b >【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质、基本不等式、指数和对数函数单调性依次判断各个选项即可.【详解】由11b a>>得：10b a >>>；对于A ，1b a>，0a >，1ab ∴>，A 错误；对于B，22a b +≥=≥ a b =时取等号），又1ab >，224a b ∴+>=，B 正确；对于C ，222log log 10log a b <=< ，22110log log a b∴<<，即log 2log 2a b <，C 错误；对于D ，01b a a <= ，01a b b >=，b a a b ∴<，D 错误.故选：B.4. 已知等差数列{}n a 的公差为1,1d a =，若137,,a a a 成等比数列，则d 等于（ ）A.12B. 2C. 0或12D. 0或2【答案】C 【解析】【分析】依题意，有2317a a a =，利用等差数列通项公式求公差为d 的值.【详解】137,,a a a 成等比数列，则有2317a a a =，等差数列{}n a 的公差为1,1d a =，所以()()212116d d +=⨯+，得22d d =，解得0d =或12d =.故选：C.5. 函数()f x 在区间ππ(,22-上的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A. ()()tan sin f x x = B. ()()tan cos f x x =C. ()()ln sin f x x = D. ()()ln cos f x x =【答案】D 【解析】【分析】根据取特殊值排除A,B,C 三个选项，利用函数的定义域,奇偶性和单调性可确定D 正确.【详解】对于A ，当π4x =时，πsin 4=，(0π4f =>，与图象矛盾，故A 错误；对于B ，当0x =时，cos 01=，则(0)tan10f =>，与图象矛盾，故B 错误；对于C ，当0x =时，sin 00=，ln(|sin 0|)无意义，故C 错误；对于D ，因()()ln cos f x x =，ππ(,22x ∈-则cos 0x >，由()ln[cos()]=ln(cos )=()f x x x f x -=-知函数()()ln cos f x x =为偶函数，图象关于y 轴对称；且当π2x =±时，cos 0x =，()ln cos x 无意义；当π(0,2x ∈时，()sin tan 0cos xf x x x -==-<'，即函数()()ln cos f x x =在π(0,)2上单调递减，故在π(,0)2-上单调递增，该图象均符合，即D 正确.故选：D.6. 已知,,αβγ是三个不同的平面，,,l m n 是三条不同的直线，下列结论正确的是（ ）A. 若m ∥,n n α⊂，则m ∥αB. 若α∥,,m n βαβ⊂⊂，则m ∥n C. 若,αγβγ⊥⊥，则α∥βD. ,,l m n αββγαγ⋂=⋂=⋂=，则三条交线,,l m n 的交点个数为0或1【答案】D 【解析】【分析】根据线面平行性质可判断A 错误，B 错误，再根据面面垂直性质可得C 错误，由线面平行以及交线性质可得D 正确.【详解】对于A ，若m ∥,n n α⊂，则也可能为m α⊂，即A 错误；对于B ，若α∥,,m n βαβ⊂⊂，则m ∥n 也可能,m n 是异面直线，即B 错误；对于C ，若,αγβγ⊥⊥，也可以是αβ⊥，即C 错误；对于D ，当,,αβγ分别为三棱柱的三个侧面时，此时,,l m n 两两平行，交点为0；当,,αβγ分别为正方体共顶点的三个侧面时，此时,,l m n 交于同一点，交点为1；即可得D 正确.故选：D7. 已知椭圆22:13616x y C +=上一点P 到左焦点F 的距离为8,O 为坐标原点，若点M 满足OM OP OF =+，则OM = （ ）A. 6B. 4C.52D. 2【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆定义以及向量加法的平行四边形法则，利用中位线的性质即可得出结果.【详解】设椭圆右焦点为2F ，连接2,PF PF ，取PF 的中点为N ，如下图所示：由椭圆定义可知2212PF PF a +==，又8PF =，可得24PF =；易知2OM OP OF ON =+=，所以2OM ON = ，又因为O 为2FF 的中点，所以2ON PF //，且2122ON PF ==，可得4OM =.故选：B8. 已知函数()2sin tan 4f x a x cx x =+++，且()()1003lg log 56f =，则5log 3lg 100f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A. 6-B. 2- C. 2 D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据正弦函数、幂函数、正切函数的奇偶性可得()2sin tan 4f x a x cx x -=--+，从而有()()8f x f x +-=，再根据对数运算化简运算可得所求.【详解】因为()2sin tan 4f x a x cx x =++，其定义域为|,Z 2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，则()2sin tan 4f x a x cx x -=--+，故有()()8f x f x +-=，又()()()()1003333lg log 5lg 100log 5lg100lg log 52lg log 5==+=+，则()()32lg log 56f +=，因为()()5533log 31lglg log 3lg100lg 2lg log 52100log 5=-=-=--，所以()()()()332lg log 5lg log 528f f ++--=，即()()1003lg log 5f +5log 3lg 8100f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()()1003lg log 56f =，所以5log 3lg 2100f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知*n ∈N ，下列选项能正确表示数列1,0,1,0,1,0, 的公式有（ ）A. 11(1)2n n a +--=B. 111,1n n a a a +=+=C. ()1πcos2n n a -= D. 1,0,n n a n ⎧=⎨⎩是奇数是偶数【答案】BD 【解析】【分析】ACD 项根据给定的通项公式求出前几项判断是否符合已知数列各项；B 项根据递推关系可推得2n n a a +=，再由121,0a a ==可得.【详解】对A ，当n 为奇数时，1102n a -=，不符合数列1,0,1,0,1,0, ，故A 错误；对B ，由111,1n n a a a +=+=，可得2110a a =-=，由11n n a a ++=可得121n n a a +++=，故2n n a a +=，由11a =，可知当n 为奇数时，1n a =；由20a =，可知当n 为偶数时，0n a =.故该递推公式111,1n n a a a +=+=符合数列1,0,1,0,1,0, ，故B 正确；对C ，当3n =时，3cos π1a ==-，不符合数列1,0,1,0,1,0, ，故C 错误；对D ，当n 为奇数时，1n a =，当n 为偶数时，0n a =，符合数列1,0,1,0,1,0, 的通项公式，故D 正确.故选：BD.10. 已知函数()2e xf x ax a =-+，下列说法正确有（ ）A. 对R a ∀∈，函数()1f a a ≥+B. 若函数()f x 与()lng x x =的图象关于直线y x =对称，则0a =C. 对R a ∀∈，函数()0f x ≥D. 若()201lim0x f x a x∆→∆--=∆，则1a =【答案】ABD 【解析】【分析】构造函数()()1h a f a a =--，根据导数判断函数单调性与最小值，即可判断A 选项；由对称可得2e e x x ax a -+=，即可得0a =，判断B 选项；当1a =-，求导，判断函数单调性，可得()20f -<，即可判断C 选项；根据导数的定义式可得()00f '=，即可判断D 选项.【详解】A 选项：设()()1e 1ah a f a a a =--=--，则()e 1ah a '=-，当(),0a ∈-∞时，()e 10ah a '=-<，()h a 单调递减；当()0,a ∈+∞时，()e 10ah a '=->，()h a 单调递增；的所以()()00h a h ≥=，即()1f a a ≥+，A 选项正确；B 选项：与()ln g x x =的图象关于直线y x =对称的图象的对应的函数是e x y =，即()2e e xxf x ax a =-+=，则0a =，B 选项正确；C 选项：若1a =-，函数()e 1xf x x =++在R 上是增函数，且()2212e 2110e f --=-+=-<，C 选项错误；D 选项：()()()()201limli 000mx x f x x a f xf f x∆→∆→+∆∆--'==∆∆-，又()e xf x a '=-，所以()00e 10f a a '=-=-=，即1a =，D 选项正确；故选：ABD.11. 如图，曲线C 称为“双纽线”，其对称中心在坐标原点O ，且C 上的点满足到点1(,0)F a -和()2,0F a 的距离之积为定值2a ，则（ ）A. 若1a =，点)在曲线C 上B. 若1a =，曲线C 的方程为()222222x y x y +=-C. 若2a =，曲线C 上点的纵坐标的最大值为1D. 若点()00,x y 在C 上，则00y x ≤【答案】ACD 【解析】【分析】A 项设曲线与x 轴正半轴相交于(),0,0t t >，可题意C 上的点满足到点1(,0)F a -和()2,0F a 的距离之积为1，化简求解可得t =；B 项设曲线上任一点，坐标代入可得方程1=，然后化简即可判断； C 项若2a =，可得方程()422422480x y x y y +-++=，由264640y ∆=-+≥得1y ≤验证可得最值；D 项设点求曲线方程，由()()22222220x y a x y +=-≥可得00y x ≤成立.【详解】由图可知，原点在曲线上，则212a OF OF =⋅.选项A ，若1a =，则12(1,0),(1,0)F F -，21a =，由图可设曲线与x 轴正半轴相交于(),0,1t t >，则由121OF OF ⋅=可得()()111t t +-=，解得 t =，故A 正确；选项B ，若1a =，则12(1,0),(1,0)F F -，设曲线C 上任一点坐标为(),x y ，1=，两边平方得2222(12)(12)1x y x x y x +++++-=，即()2222141x y x ++-=，所以 ()()222222240x y x yx +++-=，即()2222222x y x y +=-，故 B 错误；选项C ，若2a =，则12(2,0),(2,0)F F -，设曲线C 上任一点坐标为(),x y ，4=，同理化简得()2222288x yx y +=-，得()422422880x y x y y +-++=，由方程有解可得()()22422Δ284864640y y y y =--+=-+≥，所以 21y ≤，则1y ≤，又令1y =，解得23x =，即当x =时，max 1y =，故C 正确；选项 D ，由12(,0),(,0)-F a F a ，设曲线C 上任一点坐标为(),x y ，2a =，同理化简可得()()22222220x y a x y +=-≥，由图可知20a >，所以x y ≥，即若点()00,x y 在C 上，恒有00y x ≤成立，故D 正确．故选：ACD.【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于利用“设点、写关系、代坐标、化简”的步骤，求出曲线方程并化简.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 设 i 为虚数单位，若复数()()1i 1i a -+是纯虚数，则实数a 的值为___________．【答案】1-【解析】【分析】由复数的乘法公式和纯虚数的定义计算即可求解.【详解】由题意知，(1i)(1i)(1)(1)i a a a -+=++-，又(1i)(1i)a -+为纯虚数，所以1010a a +=⎧⎨-≠⎩，解得1a =-.故答案为：-113. 《九章算术》第五章“商功”问题十七：今有羡除【注】，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺.问积几何？大意是：今有墓道（如图②，平面ABCD ⊥平面DCEF ），下宽（AB 长）6尺，上宽（CD 长）1丈（1丈10=尺），深（AB 与CD 距离）3尺，末端宽（EF 长）8尺，无深，长（EF 与CD 距离）7尺.它体积是__________立方尺.【注】羡除：墓道，此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为三角形的五面体.【答案】84【解析】【分析】把几何体分成四棱锥F ABCD -和三棱锥B CEF -，求体积之和即可.【详解】如图，连接FC ，FB ，所求体积为四棱锥F ABCD -和三棱锥B CEF -体积之和，()116103732F ABCD B CEF V V --+=⨯⨯+⨯⨯+11873562884.32⨯⨯⨯⨯=+=故答案为：84.14. max{(,)}x Af x y ∈表示函数(),f x y 当自变量x A ∈时的最大值，min{(,)}x A f x y ∈表示函数(),f x y 当自变的量x A ∈时的最小值，已知函数()()5,523f x y xy x y =-++-，则[][]{}{}0,10,1min max (,)x y f x y ∈∈ =_________.【答案】139-##419-【解析】【分析】根据一次函数的性质可得[]0,11011,333min 512,33x x x x x ∈⎧⎫⎧--≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎪⎪⎪⎩⎩⎭，再结合分段函数性质分析求解.【详解】由题意得[]{}[]()[]0,10,10,1m 32ax (,555552)ma 3x 3x ma y y y xy x y x y f x y x ∈∈∈⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎛⎫-++--++- ⎭⎩⎪⎝⎭1011,333512,33x x x x ⎧--≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，所以[][]{}{}[][]()0,10,10,10,1min max (,)min m 552ax 3x x y y f x y xy x y ∈∈∈∈⎧⎫⎧⎫=⎭-+-⎨⎨⎬⎬⎩⎭⎩+[][]0,10,15552n 3mi max 3x y x y x ∈∈⎛⎫-++- ⎪⎝⎭⎧⎫⎧⎫=⎨⎨⎬⎬⎩⎭⎩⎭[]0,11011,333min 512,33x x x x x ∈⎧⎫⎧--≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎪⎪⎪⎩⎩⎭，由于当13x ≤时，10133x --的最小值为1011133339-⨯-=-，当13x >时，55113223339x ->⨯-=-，故[]0,11011,13333min 5192,33x x x x x ∈⎧⎫⎧--≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎪⎪⎪⎩⎩⎭，故答案为：139-四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知函数()()()121ln 1a a f x x a x x-=----，其中a ∈R .（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处与x 轴相切，求a 的值；（2）若3是函数()f x 的极小值点，求a 的值.【答案】（1）1a = （2）3a =【解析】【分析】（1）由题意可得()()1010f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，解方程即可得出答案.（2）对()f x 求导，分10a -≥，10a a -<<和0a <，讨论()f x 的单调性，结合极小值的定义即可得出答案.【小问1详解】因为()y f x =的定义域为R ，所以()()()21211a a a f x x x'--=+-，因为曲线()y f x =在点()()1,1f 处与x 轴相切，所以()()1010f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，所以()23201110a a a a ⎧-+=⎪⎨---=⎪⎩，则1201a a a a ==⎧⎨==⎩或或，解得：1a =.【小问2详解】因为()y f x =的定义域为R ，所以()()()()()()()222212121111a a a x a x a a x a x a f x x xx x ----+---+=+-=='，若10a -≥，则1a ≥，令()0f x '>，可得：x a >或01x a <<-，令()0f x '<，可得：1a x a -<<，所以()f x 在()1,a a -上单调递减，在()0,1a -，(),a ∞+上单调递增，所以()f x 在x a =处取的极小值，所以3a =；若10a a -<<，则01a <<，令()0f x '>，可得：x a >，令()0f x '<，可得：0x a <<，所以()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a ∞+上单调递增，所以()f x 在x a =处取的极小值，所以3a =，不符合题意；若0a ≤，则()f x 在()0,∞+上单调递增，无极小值，综上：3a =.16. 如图，在四边形ABCD 中，2ADC ABC ∠=∠，且2AD CD ==，cos sin cos ADC CAD CAD ∠∠∠=-.（1）求ACD 面积；（2）若BC =，求AB 的长.【答案】（1）2 （2+【解析】【分析】（1）设π,0,2CAD αα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，根据等腰三角形可得π2ADC α∠=-，利用条件结合倍角公式可得cos sin αα=，即可得到π4CAD ∠=，ACD 为等腰直角三角形，可求面积.（2）根据（1）得π4ABC ∠=，利用余弦定理可求AB 的长.【小问1详解】∵AD CD =，∴CAD DCA ∠=∠.的设π,0,2CAD αα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则π2ADC α∠=-.由cos sin cos ADC CAD CAD ∠∠∠=-得，()cos π2sin cos ααα-=-，∴cos2sin cos ααα-=-，即22sin cos sin cos αααα-=-，整理得()()sin cos sin cos 10αααα-+-=，∵πsin cos 114ααα⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴ππ3π,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故πsin 4α⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦π104α⎛⎫+-≠ ⎪⎝⎭，即sin cos 10αα+-≠，∴sin cos 0αα-=，即sin cos αα=，∴π4α=，ππ22ADC α∠=-=，∴ACD 的面积为12222⨯⨯=.【小问2详解】由（1）得，π2ADC ∠=，AC ==.∵2ADC ABC ∠=∠，∴π4ABC ∠=.ABC V 中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠，即28122AB AB =+-´，解得AB =17. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的长轴长是4，D 为右顶点，P ，Q ，M ，N 是椭圆E 上异于顶点的任意四个点，当直线PQ 经过原点O 时，直线PD 和QD 的斜率之积为14-.（1）求椭圆E 的方程；（2）当直线MD 和ND 的斜率之积为定值2-时，直线MN 是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=在（2）直线MN 过定点14,09⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由已知2a =，设点P ，Q 坐标，结合斜率乘积可得21b =，即可得椭圆方程；（2）①当直线MN 斜率不存在时，设直线方程及点M ，N 坐标，结合2MD ND k k ⋅=-，解方程可得直线方程；②当直线MN 斜率存在时，可设直线方程为()0y kx t k =+≠，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与斜率公式列方程，化简可得2t k =-或149t k =-，代入直线方程可得解.【小问1详解】由已知24a =，即2a =，所依椭圆方程为22214x y b+=，当直线PQ 过原点时，设(),P m n ，则(),Q m n --，所以22214m nb+=，所以22214m n b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又()2,0D ，所以2PD n k m =-，22QD n nk m m -==--+，所以222222141224444PD QDm b n n n b k k m m m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-=--+--，则21b =，所以椭圆方程为2214x y +=；【小问2详解】①当直线MN 斜率不存在时，设直线方程为0x x =，点()00,M x y ，()00,N x y -（022x -<<），则002MDy k x =-，002ND y k x -=-，且220014x y +=，即220014x y =-，所以()()2020002200001422222MDNDx y y y kk x x x x --⋅=⋅=-=-=-----，解得0149x =，即此时直线方程为149x =；②当直线MN 斜率存在时，由题可设直线方程为()0y kx t k =+≠，舍M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程2214x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x ktx t +++-=，则()()()()22222Δ84144416410kt ktk t =-+-=-+>，即2241t k <+，且122814kt x x k +=-+，21224414t x x k -=+，又112MD y k x =-，222ND y k x -=-，则()()2212121212121212122222224MD NDk x x kt x x t y y kx t kx t k k x x x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅==------++，即()()()2212122480k x x kt x x t ++-+++=，即()()2222244824801414t kt k kt t k k--++-++=++，化简可得22932280t kt k ++=，解得2t k =-或149t k =-，当2t k =-时，直线方程为y =kx−2k =k (x−2)，过点()2,0D ，不成立；当149t k =-时，直线方程为141499y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，过定点14,09⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上所述直线MN 恒过定点14,09⎛⎫⎪⎝⎭.18. 如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面1//,ABCD AB 平面11,CDD C AD111//,222=====BC AB AD CD AA A B .（1）求证：11AD B C =；（2）求平面11CDD C 与平面11BAA B 所成角的正弦值；（3）求点A 关于平面1A BC 的对称点M 到平面11CDD C 的距离.【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）连接1C D ，根据线面平行的性质定理得四边形11AB C D 为平行四边形可得答案；（2）做AH BC ⊥交BC 与点H ，以点A 为原点，1,,AH AD AA 所在的直线分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面11BAA B 、平面11CDD C 的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案；（3）求出平面1A BC 的一个法向量、点A 到平面1A BC 的距离1d ，设()222,,x y z M ，根据OM 与h共线得())222,,λ=x y z ，再由点M 到平面1A BC 的距离1d 求出λ，最后再求点M 到平面11CDD C 的距离.【小问1详解】连接1C D ，因为11//BC B C ，//AD BC ，所以11//B C AD ，所以11,,,B C A D 四点在同一平面11B C DA 上，又因为1//AB 平面11CDD C ，平面11 B C DA 平面111=C D DC C D ， 所以11//AB C D ，可得四边形11AB C D 为平行四边形，所以11AD B C =；【小问2详解】因为112==AD B C ，1124==B C BC ，2AB CD ==，//AD BC ，所以四边形ABCD 是等腰梯形，做AH BC ⊥交BC 与点H，可得1,BH AH ==，所以60ABC ∠= ，且11112A B AB ==，以点A 为原点，1,,AH AD AA 所在的直线分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()1110,0,0,0,0,1,,12⎫-⎪⎪⎭A AB ，()())10,2,0,0,1,1,D D C，111,02A B ⎫=-⎪⎪⎭ ，()10,0,1AA =，)DC = ，()10,1,1=-DD ，设向量(),,n x y z =r 为平面11BAA B 的一个法向量，则11100A B n AA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1020y z -=⎪=⎩，令x =3y =，所以)n =，设向量(),,m a b c=为平面11CDD C 的一个法向量，则100DC m DD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00b b c +=-+=⎪⎩，令a =3,3b c =-=-，所以)3,3m =--，cos ,n m n m n m ⋅===⋅，设平面11CDD C 与平面11BAA B 所成角的为()0,180θθ⎡⎤∈⎣⎦，所以sin θ==；【小问3详解】由（2）建立的空间直角坐标系，得()10,0,1A，))1,0,BC-，))111,1,1=--=- A B A C，)AC = ，设()111,,h x y z =为平面1A BC 的一个法向量，则1100A B h A C h ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111111030y z y z --=+-=，令1x =，得113,0==z y ，所以)h =，则点A 到平面1A BC 的距离为1cos ,AC h d AC AC h h⋅==== 设()222,,x y z M ，则()222,,=x y M z A ，因为AM 与h共线，())222,,λ=x y z，可得2220,3,λ===x y z，),3,3λ=- MC ，所以点M 到平面1A BC 的距离为2cos ,d MC MC = ，解得12λ=，或0λ=（舍去），此时32⎫⎪⎪⎭=M，32⎫=-⎪⎪⎭MC ，所以点M 到平面11CDD C的距离3cos ,d MC MC = .【点睛】关键点点睛：第三问解题的关键点是利用向量共线求出点M 的坐标.19. 如图，已知点列4(,)n n nP x x 与(,0)n n A a 满足1,n n x x +>11n n n n P P A P ++⊥ 且11n n n n P P A P ++=，其中*1,n x ∈=N（1）求1n x +与n x 的关系式；（2）证明：222222123124446n n n x x x x n n +++≤++++≤+ .【答案】（1）114n n n x x x ++-= （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式计算推得12116n n n nx a x x ++-=，再由向量数量积的运算律化简11n n n n P P A P ++= 得22221111444()(()()n n n n n n n x x x a x x x ++++-+-=-+，两式联立，化简即得114n n n x x x ++-=；（2）由（1）结论推得114n n n x x x ++-=，两边平方整理后可得2218n n x x +-<，又由11()4n n n x x x ++-=变形后放缩推得2214n n x x +->，即得22148n n x x +<-<，对n 进行赋值累加，即得214282n n x n ++<<+，最后利用等差数列求和公式分别两边求和，即可证得结论.【小问1详解】依题意，111111444(,),(,),n n n n n n n nn n n x x x a x x A x P P P ++++++=--=- 因11n n n n P P A P ++⊥ ，则11111114()4()()0n n n n n n n n n n n n n P x P A x x x x x a P x x +++++++-⋅=--+⨯= ，因10,n n x x +>>则得12116n n n nx a x x ++-=（*）因11n n n n P P A P ++= ，则得22221111444()(()(n n n n n n n x x x a x x x ++++-+-=-+，将（*）式代入此式，可得2122222111161616()(1)(1)n n n n n n nx x x x x x x ++++-+=+，即得212116()n n n x x x ++-=，则114n n n x x x ++-=；【小问2详解】由114n n n x x x ++-=，将1x =代入，解得2x =由114n n n x x x ++-=可得114n n n x x x ++-=，两边取平方，22121168n n n x x x +++-=，即221211688n n n x x x ++-=-<，又114n n n x x x ++-=，故11()4n n n x x x ++-=，因10,n n x x +>>则221114()n n n n n x x x x x +++=-<-，即22148n n x x +<-<，故得22148n n x x +<-<，22148n n x x -<-<，L ，222148x x <-<，将以上n 个不等式左右分别相加，可得221148n n x x n +<-<，即得214282n n x n ++<<+.下面证明：222222123124446n n n x x x x n n +++≤++++≤+ 恒成立.当1n =时，22122810x x +=+=，不等式成立；当2n ≥时，2231(1)(2)(1)(2)1042(1)101082(1)22n n n n n x n x n ++++-+-++⨯-<+<+⨯+- ，即得2122232441046n n n n n x x +++<+++<+ ，不等式成立综上可得，222222123124446n n n x x x x n n +++≤++++≤+ 得证.【点睛】思路点睛：本题主要考查数列与向量运算的知识交汇运用，属于难题.解题思路是结合图形，将向量用坐标表示，运用公式，运算律计算化简求得关系式；利用此关系式进行变形放缩，累加得到214282n n x n ++<<+，再运用等差数列求和公式即可..。
