2020年浙江省台州市高考数学模拟试卷(4月份)(含答案解析)

2023年普通高等学校招生全国统一考试�新高考仿真模拟卷数学（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数1z =，则2z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集{62}U xx =-<<∣，集合{}2230A x x x =+-<∣，则U ðA=（）A ．()6,2-B ．()3,2-C ．()()6,31,2--⋃D ．][()6,31,2--⋃3．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中,B C 分别是上､下底面圆的圆心，且36AC AB ==，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（）A ．803πB ．703p C ．20πD ．563π4．已知一组数据：123,,x x x 的平均数是4，方差是2，则由12331,31,31x x x ---和11这四个数据组成的新数据组的方差是（）A ．27B ．272C ．12D ．115．若非零向量,a b 满足()22,2a b a b a ==-⊥ ，则向量a 与b 夹角的余弦值为（）A ．34B ．12C ．13D ．146．已知圆221:(2)(3)4O x y -+-=，圆222:2270O x y x y +++-=，则同时与圆1O 和圆2O 相切的直线有（）7．已知函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则函数()f x 在区间[]0,10π上的零点个数为（）A ．6B ．5C ．4D ．38．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆C 上，若离心率12PF e PF =，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A．()1-B．⎛ ⎝⎭C．2⎫⎪⎪⎣⎭D．)1,1-二、多选题9．若π1tan tan 231tan ααα-⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，则α的值可能为（）A ．π36B ．7π36C ．19π36D ．5π36-10．某校10月份举行校运动会，甲､乙､丙三位同学计划从长跑，跳绳，跳远中任选一项参加，每人选择各项目的概率均为13，且每人选择相互独立，则（）A ．三人都选择长跑的概率为127B ．三人都不选择长跑的概率为23C ．至少有两人选择跳绳的概率为427D ．在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为5711．设函数()()()1ln 1(0)f x x x x =++>，若()()11f x k x >--恒成立，则满足条件的正整数k 可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．412．已知三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面2,4,,3ABC PA BAC AB AC M π∠====是边BC 上一动点，则（）A ．点C 到平面PAB 的距离为2B ．直线AB 与PCC ．若M 是BC 中点，则平面PAM ⊥平面PBCD ．直线PM 与平面ABC三、填空题13．函数()()313xxk f x x k -=∈+⋅R 为奇函数，则实数k 的取值为__________.14．已知抛物线28y x =的焦点为F ，抛物线上一点P ，若5PF =，则POF ∆的面积为______________.15．由数字0,1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有__________个.16．已知0a >，函数()22ag x x x+=+-在[)3,+∞上的最小值为2，则实数=a __________.四、解答题17．第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激发了国人冰雪运动的热情.某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第x 天的滑雪人数y （单位：百人）的数据.天数代码x12345滑雪人数y （百人）911142620经过测算，若一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，请建立y 关于x 的回归方程，并预测该滑雪场开业的第几天开始盈利.参考公式：线性回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()121ˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x ==--==--∑∑ .18．如图，四边形ABCD 中，150,60,B D AB AD ABC ∠∠====的面积为(1)求AC ；(2)求ACD ∠.19．设数列{}n a 的前n 项和为()*,226n n n S S a n n =+-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列112n n n a a ++⎧⎫⎨⎩⎭的前m 项和127258m T =，求m 的值.20．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E 、P 分别是1DD 、11A C 的中点.(1)求证：BP ⊥平面11A EC ；(2)求直线1B C 与平面11A EC 所成角的正弦值.21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求双曲线C 的方程；(2)若双曲线C 的右顶点为A ，直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,M N 两点(,M N 不是左右顶点），且0AM AN ⋅=.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.22．已知函数()()e 4ln 2xf x x x =++-.(1)求函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线方程；(2)判断函数()f x 的零点个数，并说明理由.参考答案：1．C【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数2z ，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】解：因为1z =-，所以())2221122z ==-+=--，所以2z 在复平面内对应的点的坐标为(2,--位于第三象限.故选：C 2．D【分析】计算出集合B ，由补集的定义即可得出答案.【详解】因为{}}{223031A xx x x x =+-<=-<<∣，U ðA=][()6,31,2--⋃.故选：D.3．D【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案.【详解】已知底面圆的半径2r =，由36AC AB ==，则2,4AB BC ==，故该陀螺的体积2215633V BC r AB r πππ=⋅+⋅⋅=.故选：D.4．B【分析】根据方差和平均数的计算及可求解.【详解】因为一组数据1x ，2x ，3x 的平均数是4，方差是2，所以22212312311()4,[(4)(4)(4)]233x x x x x x ++=-+-+-=，所以22212312312,(4)(4)(4)6x x x x x x ++=-+-+-=，所以12331,31,31x x x ---，11的平均数为12312311(31)(31)(31)][113()3]1144x x x x x x +-+-+-=+++-=，所以12331,31,31x x x ---，11的方差为2222123111)(312)(312)(312)]4x x x -+-+-+-22212311279[(4)(4)(4)]96424x x x =⨯-+-+-=⨯⨯=故选：B 5．D【分析】求出1,2a b ==，根据()2a b a -⊥ 可得()20a b a -⋅=,代入化简求解夹角余弦值即可.【详解】设a 与b的夹角为θ，因为()22,2a b a b a ==-⊥ ，所以1,2a b==，()2a b a ∴-⋅22cos 0a a b θ=-= .21cos 42a a b θ∴== .故选：D.6．B【分析】根据圆的方程，明确圆心与半径，进而确定两圆的位置关系，可得答案.【详解】由圆()()221:234O x y -+-=，则圆心()12,3O ，半径12r =；由圆222:2270O x y x y +++-=，整理可得()()22119x y +++=，则圆心()21,1O --，半径23r =；由12125O O r r ===+，则两圆外切，同时与两圆相切的直线有3条.故选：B.7．B【分析】求出周期，方法1：画图分析零点个数；方法2：求()0f x =的根解不等式即可.【详解】由题意知，37π2π(3π433T =--=，解得：4πT =，22Tπ=，方法1：∴作出函数图象如图所示，∴()f x 在区间[0,10π]上的零点个数为5.方法2：∴()0f x =，解得：2π2π,Z 3x k k =-+∈，∴2π02π10π3k ≤-+≤，Z k ∈，解得：11633k ≤≤，Z k ∈，∴1,2,3,4,5k =，∴()f x 在区间[0,10π]上的零点个数共有5个.故选：B.8．D【分析】由题意可知12PF e PF =，结合椭圆的定义解得221aPF e =+，再由2a c PF a c -≤≤+求解.【详解】因为12PF e PF =，所以12PF e PF =，由椭圆的定义得：122PF PF a +=，解得221aPF e =+，因为2a c PF a c -≤≤+，所以21aa c a c e -≤≤++，两边同除以a 得2111e e e -≤≤++，解得1e ≥，因为01e <<11e ≤<，所以该离心率e的取值范围是1,1)故选：D.9．BCD【分析】根据题意可得：π1tan πtan(2tan()31tan 4αααα--==-+，然后利用正切函数的性质即可求解.【详解】因为πtantan 1tan π4tan()π1tan 41tan tan 4ααααα--==-++⋅，则ππtan(2)tan()34αα-=-，所以ππ2π,34k k αα-=+-∈Z ，解得：π7π,336k k α=+∈Z ，当0k =时，7π36α=；当1k =时，19π36α=；当1k =-时，5π36α-=；故选：BCD .10．AD【分析】根据相互独立事件概率计算公式计算即可.【详解】由已知三人选择长跑的概率为111133327⨯⨯=，故A 正确.三人都不选择长跑的概率为222833327⨯⨯=，故B 错误.至少有两人选择跳绳的概率为231111127C 33333327⨯⨯+⨯⨯=，故C 错误.记至少有两人选择跳远为事件A ，所以()231111127C 33333327P A =⨯⨯+⨯⨯=.记丙同学选择跳远为事件B ，所以()12111215C 3333327P AB ⎛⎫=⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭.所以在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为()()()57P AB P B A P B ==，故D 正确.故选：AD 11．ABC【分析】根据题意可得()()()()1ln 1110g x x x k x =++--+>，利用导数结合分类讨论解决恒成立问题.【详解】若()()11f x k x >--恒成立，则()()()()()111ln 1110f x k x x x k x --+=++--+>恒成立，构建()()()()1ln 111g x x x k x =++--+，则()()ln 12g x x k '=++-，∵0x >，故()ln 10x +>，则有：当20k -≥，即2k ≤时，则()0g x '>当0x >时恒成立，故()g x 在()0,∞+上单调递增，则()()010g x g >=>，即2k ≤符合题意，故满足条件的正整数k 为1或2；当20k -<，即2k >时，令()0g x '>，则2e 1k x ->-，故()g x 在()20,e1k --上单调递减，在()2e 1,k --+∞上单调递增，则()()22e 1e 0k k g x g k --≥-=->，构建()2ek G k k -=-，则()21e0k G k --'=<当2k >时恒成立，故()G x 在()2,+∞上单调递减，则()()210G k G <=>，∵()()233e 0,44e 0G G =->=-<，故满足()()02G k k >>的整数3k =；综上所述：符合条件的整数k 为1或2或3，A 、B 、C 正确，D 错误.故选：ABC.12．BCD【分析】对于A ，利用线面垂直判定定理，明确点到平面的距离，利用三角形的性质，可得答案；对于B ，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量，利用向量夹角公式，可得答案；对于C ，利用等腰三角形的性质，结合面面垂直判定定理，可得答案；对于D ，利用线面垂直性质定理，结合直角三角形的性质以及锐角正切的定义，可得答案.【详解】对于A ，在平面ABC 内，过C 作CD AB ⊥，如下图所示：PA ⊥ 平面ABC ，且CD ⊂平面ABC ，PA CD ∴⊥，CD AB ⊥ ，PA AB A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，CD \^平面PAB ，则C 到平面PAB 的距离为CD ，23BAC π∠= ，AB AC ==6ABC π∴∠=，在Rt BCD 中，sin sin 3CD CB CBA CBA =⋅∠=∠=，故A 错误；对于B ，在平面ABC 内，过A 作AE AB ⊥，且E BC ⊂，易知,,AB AE AP 两两垂直，如图建立空间直角坐标系：则()0,0,0A，()B，()C ，()0,0,4P ，得()AB =，()4PC =-，(6AB PC ⋅==-，AB =PC ==则cos ,14AB PC AB PC AB PC⋅==⋅ ，故B 正确；对于C，作图如下：在ABC 中，AB AC =，M 为BC 的中点，则AM BC ⊥，PA ⊥ 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，AM PA A = ，,AM PA ⊂平面AMP ，BC ∴⊥平面AMP ，BC ⊂ 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面AMP ，故C 正确，对于D，作图如下：PA ⊥ 平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，PA AM ∴⊥，则在Rt PAM 中，tan PAAMP AM∠=，当AM 取得最小值时，tan AMP ∠取得最大值，当M 为BC 的中点时，由C 可知，AM BC ⊥，AM 取得最小值为sin 6AB π⋅=则tan AMP ∠D 正确.故选：BCD.13．1【分析】由奇函数的定义求解即可.【详解】函数()()313xx k f x x k -=∈+⋅R 为奇函数，必有0k >，则()()3·31331331313x x x x x x x xk k k kf x f x k k k k -------===-=-=+⋅++⋅+⋅，于是得22223·31x x k k -=-恒成立，即21k =，解得：1k =.故答案为：1.14．【分析】先根据抛物线定义得P 点坐标，再根据三角形面积公式求解.【详解】因为5PF =，所以2253,24,||P P P P x x y y +=∴===因此POF ∆的面积为11||||=22P y OF ⨯【点睛】本题考查抛物线定义应用，考查基本分析转化与求解能力，属基础题.15．78【分析】能被5整除的三位数末位数字是5或0，分成末位数字是5和末位数字是0两种情况讨论.【详解】能被5整除的三位数说明末尾数字是5或0当末尾数字是5时，百位数字除了0有6种不同的选法，十位有6种不同的选法，根据分步乘法原理一共有6636⨯=种方法；当末尾数字是0时，百位数字有7种不同的选法，十位有6种不同的选法，根据分步乘法原理一共有7642⨯=种方法；则一共有364278+=种故答案为：7816．13≤3>讨论，得出()g x 在[)3,+∞上的最小值，由最小值为2求解a 的值即可得出答案.【详解】()22ag x x x+=+- ，()()(2222221x x x a a g x x x x-+-+=∴+'=-=，3≤时，即07a <≤时，则()0g x '>在()3,+∞上恒成立，则()g x 在[)3,+∞上单调递增，()g x ∴在[)3,+∞上的最小值为()5323ag +==，解得1a =，3>时，即7a >时，当x ∈⎡⎣时，()0g x '<，()g x 单调递减，当)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，()g x ∴在[)3,+∞上的最小值为22,2ga ===，舍去，综上所述：1a =，故答案为：1.17．ˆ 3.7 4.9yx =+；9.【分析】根据表中数据及平均数公式求出ˆˆ,ab ，从而求出回归方程，然后再根据一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利即可求解.【详解】由题意可知，1234535x ++++==，911142620165y ++++==，所以()()()()()()()()5113916231116331416iii x x yy =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-∑()()()()432616532016+-⨯-+-⨯-()()()()()27150211024=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯145010837=++++=()()()()()()5222222113233343534101410ii x x =-=-+-+-+-+-=++++=∑，所以()()()51521373.710iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑ ，ˆˆ16 3.73 4.9ay bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的回归方程为ˆ 3.7 4.9yx =+.因为天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，即3.7 4.935x +>，解得30.18.143.7x >≈,所以根据回归方程预测，该该滑雪场开业的第9天开始盈利.18．(1)(2)π4【分析】（1）在ABC 中，利用面积公式、余弦定理运算求解；（2）在ACD 中，利用正弦定理运算求解，注意大边对大角的运用.【详解】（1）在ABC 中，由ABC的面积111sin 222S AB BC B BC =⨯⨯∠=⨯⨯=可得4BC =，由余弦定理2222cos 121624522AC AB BC AB BC B ⎛⎫=+-⨯⨯∠=+-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，即AC =（2）在ACD 中，由正弦定理sin sin AC ADD ACD=∠∠，可得sin sin AD D ACD AC ∠∠==∵AD AC <，则60ACD D ∠<∠=︒，故π4ACD ∠=.19．(1)2n n a =(2)7【分析】（1）当2n ≥时，构造11228n n S a n --=+-，与条件中的式子，两式相减，得122n n a a -=-，转化为构造等比数列求通项公式；（2）由（1）可知()()1111222222n n n n n n n b a a ++++==++，利用分组求和法求解.【详解】（1）因为226n n S a n =+-，所以当1n =时，1124S a =-，解得14a =．当2n ≥时，11228n n S a n --=+-，则11222n n n n S S a a ---=-+，整理得122n n a a -=-，即()1222n n a a --=-．所以数列{}2n a -是首项为2，公比为2的等比数列，所以12222n n n a --=⨯=．所以22n n a =+.（2）令()()111112211222222222n n n n n n n n n b a a +++++⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，数列{}n b 的前m 项和1111111112+4661010142222m m m T +⎛⎫=-+-+-+- ⎪++⎝⎭ ，111112=2422222m m ++⎛⎫-=- ++⎝⎭，则112127222258m +-=+，则12222258m +=+，则122567m m +=⇒=.m 的值为7.20．(1)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明10EC BP ⋅= ，10EA BP ⋅=，即可得证；（2）利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：如图建立空间直角坐标系，则()0,0,2E ，()4,4,0B ，()14,4,4B ，()2,2,4P ，()10,4,4C ，()14,0,4A ，()0,4,0C ，所以()10,4,2EC = ，()14,0,2EA =，()2,2,4BP =-- ，所以10EC BP ⋅= ，10EA BP ⋅=，所以1EC BP ⊥，1EA BP ⊥，又11EC EA E = ，11,EC EA ⊂平面11A EC ，所以BP ⊥平面11A EC.（2）解：由（1）可知()2,2,4BP =-- 可以为平面11A EC 的法向量，又()14,0,4B C =--，设直线1B C 与平面11A EC 所成角为θ，则11sin 6B C BP B C BPθ⋅==⋅=，故直线1B C 与平面11A EC 21．(1)2214x y -=(2)证明过程见解析，定点坐标为10,03⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）由渐近线方程求出12b a =，根据焦点到渐近线距离列出方程，求出c =，从而求出2,1a b ==，得到双曲线方程；（2）:l y kx m =+与2214x y -=联立，求出两根之和，两根之积，由0AM AN ⋅= 列出方程，求出103m k =-或2m k =-，舍去不合要求的情况，求出直线过定点，定点坐标为10,03⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】（1）因为渐近线方程为20x y -=，所以12b a =，焦点坐标(),0c 到渐近线20x y -=1=，解得：c ，因为2225a b c +==，解得：2,1a b ==，所以双曲线C 的方程为2214x y -=；（2）由题意得：()2,0A ，:l y kx m =+与2214x y -=联立得：()222148440k x kmx m ----=，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222844,1414km m x x x x k k --+==--，()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，()()()11221212122,2,24AM AN x y x y x x x x y y ⋅=-⋅-=-+++()()()()()122222222124048142421441kx x km x km m k x mkm m k k++-++--++=+⋅+-⋅+-=-，化简得：22201630k km m ++=，解得：103m k =-或2m k =-，当103m k =-时，10:3l y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恒过点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，当2m k =-时，():2l y k x =-恒过点()2,0A ，此时,M N 中有一点与()2,0A 重合，不合题意，舍去，综上：直线l 过定点，定点为10,03⎛⎫⎪⎝⎭，【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ），（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到()00,x y ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“()k ⋅”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.22．(1)14ln 2=+y (2)有两个零点，理由见解析【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可；（2）令()0f x =转化为()()2=e <xt x x 与()()()4ln 22=---<g x x x x 图象交点的个数，利用导数得到()g x 单调性，结合两个函数的图象判断可得答案.【详解】（1）()()4e 122xf x x x =+-<-'，所以切线斜率为()00e 10204'=+-=-f ，()()00e 04ln 2014ln 2=++-=+f ，所以切点坐标为()0,14ln 2+，函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线方程为14ln 2=+y ；（2）有两个零点，理由如下，令()()e 4ln 20=++-=xf x x x ，可得()e 4ln 2=---x x x ，判断函数()f x 的零点个数即判断()()2=e <xt x x 与()()()4ln 22=---<g x x x x 图象交点的个数，因为()=e xt x 为单调递增函数，()0t x >，当x 无限接近于-∞时()t x 无限接近于0，且()22=e t ，由()421=022+'=-+=--x g x x x，得2x =-，当22x -<<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当<2x -时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()224ln40-=-<g ，()3333e 2e 24lne e 100--=+-=->g ，()110g =-<，43314ln ln 0222⎛⎫=--= ⎪⎝⎭g ，且当x 无限接近于2时()g x 无限接近于+∞，所以()=e xt x 与()()4ln 2=---g x x x 的图象在0x <时有一个交点，在02x <<时有一个交点，综上函数()f x 有2个零点.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解。

2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A＝{x∈Z|x2≤1}，B＝{x|x⋅ln(x+3)0}，则A∪B＝（）A.{−1, 0, 1}B.{−2, −1, 1}C.{−2, 0, 1}D.{−2, −1, 0, 1}2.设z是复数z的共轭复数，若z⋅i＝1+i，则z⋅z=()A.√2B.2C.1D.03.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A.y＝xsinxB.y＝xlnxC.y=x⋅e x−1e x+1D.y=xln(√x2+1−x)4.数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n>0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，则S3＝（）A.283B.12 C.383D.135.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.43B.2 C.83D.1036.已知函数f(x)＝2cos2x−cos(2x−π3)，则下列结论正确的个数是（）①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)在区间[0, π3]上单调递增；③函数f(x)在[0, π2]上的最大值为2；④函数f(x)的图象关于直线x=π3对称．A.1B.2C.3D.47.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC=π3，M、N分别为BC、AM 的中点，则CN→⋅AB→=（）A.−2B.−34C.−54D.548.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7:30，8:00，8:30开始放映，小明和同学大约在7:40至8:30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（）A.13B.12C.25D.349.已知函数f(x)=log12(x2−ax+a)在(12, +∞)上为减函数，则实数a的取值范围是（）A.(−∞, 1]B.[−12, 1]C.(−12, 1] D.(−12, +∞)10.若x，y满足约束条件{4x−3y−6≤02x−2y+1≥0x+2y−1≥0，则z＝|x−y+1|的最大值为（）A.2B.2411C.2811D.311.如图所示，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝2，点P在平面ABC内的投影D恰好落在AB上，且AD＝1，PD＝2，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为（）A.9πB.10πC.12πD.14π12.已知函数f(x)=x+aax−1(x>0)，若a=√1−x2>0，则f(x)的取值范围是（）A.[−√2−1, −1)B.(−2√2, −1)C.[−2√2, −1)D.(−√2, 0)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为________．14.已知函数f(x)＝x3−5x+a，直线2x+y+b＝0与函数f(x)的图象相切，a，b为正实数，则a+b的值为________．15.已知实数x，y满足y≥2x>0，则yx +9x2x+y的最小值为________．16.F1、F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点．过F2作直线l⊥x轴，交双曲线C于M、N两点，若∠MF1N为锐角，则双曲线C的离心率e 的取值范围是________+√2）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a2＝b2+bc，且sinC+tanBcosC＝1．（1）求角A；（2）b＝2，P为△ABC所在平面内一点，且满足AP→⋅CP→=0，求BP的最小值，并求BP取得最小值时△APC的面积S．18.双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：（1）作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：K2=n(ad−bc)2，n＝a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图①，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠ABC=π，E为CD中3点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P−ABCE．（1）求证：平面PAE ⊥平面PBE ； （2）求点B 到平面PEC 的距离．20.动圆P 过定点A(2, 0)，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4． （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l ′与曲线C 的交点S 、T 满足1|QS|2+1|QT|2为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)＝ax +1x ，g(x)=e x x−1．（1）讨论函数f(x)在(0, +∞)上的单调性；（2）若对任意的x ∈(0, +∞)，f(x)<g(x)恒成立，求实数a 的取值范围．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+cosθy =1+sinθ （θ为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，P 为直线l 上的任意一点 （1）Q 为曲线C 上任意一点，求P 、Q 两点间的最小距离；．（2）过点P 作曲线C 的两条切线，切点为A 、B ，曲线C 的对称中心为点C ，求四边形PACB 面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)=√|x+2|+|x−1|−a．（1）当a＝4时，求函数f(x)的定义域；+（2）若函数f(x)的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足12m+n2=s时，求3m+4n的最小值．m+3n。

所以目标函数 的最大值为 .
故答案为：
【点睛】本题考查简单的线性规划问题；考查运算求解能力和数形结合思想；根据图形，向下平移直线 找到使目标函数取得最大值的点是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
15.已知函数 ，点 和 是函数 图象上相邻的两个对称中心，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
1.若集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解分式不等式解得集合 ，再由集合并运算，即可求得结果.
【详解】因为 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查集合的并运算，涉及分式不等式的求解，属综合基础题.
2. 是虚数单位， ，则 （）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
方差 43.2，
所以选项C的说法是错误的.
故选：C.
【点睛】本题考查由茎叶图求中位数、平均数、方差以及众数，属综合基础题.
4.若双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，点 ，则 ( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出 与 坐标，表示出 ，结合离心率公式计算即可.
【分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数 的奇偶性排除选项 ；利用 排除选项A即可.
【详解】由题意知，函数 的定义域为 ，其定义域关于原点对称，
因为
又因为 ，
所以 ，即函数 为偶函数，故排除 ；
又因为 ，故排除A.
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.

浙江省2024年中职职教高考文化统考终极押题预测数学试卷姓名 准考证号本试卷共三大题，共4页。

满分150分，考试时间120分钟考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上相应的位置上规范答题，在本试卷上作答一律无效。

一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题3分，共50分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。

错涂、多涂或未涂均无分。

1.设全集U =R ，{|02}A x x =≤≤，{|11}B x x =-≤≤，则图中阴影部分表示的区间是（ ）A ．[]0,1B ．()(),12,-∞-+∞C ．[]1,2-D ．(,1][2,)-∞-+∞ 2.下列命题中正确的是（ ）A ．若a b >，则11a b< B ．若a b <，则22ac bc < C ．若22a b >，则a b >D ．若22a b c c>，则a b > 3.函数()121f x x =++的值域为（ ） A ．()(),11,-∞+∞B ．()(),22,-∞+∞C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()1,1- 4.若角α终边经过点()1,1-，则2sin 3cos cos 6cos 2sin ααααα++-的值为（ ） A ．54 B ．1 C ．34 D ．32- 5. “x 为整数”是“21x +为整数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知直线l 的倾斜角θ10y +-=的倾斜角互补，则θ=（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1507.已知数列{}n a 满足()*1111,21n n a a n a +==∈-N ，则5a 的值为（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．1-8.达-芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来引无数观赏者对其进行研究．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一段圆弧，并测得圆弧AC 所对的圆心角α为60 ，弦AC 的长为10cm ，根据测量得到的数据计算：《蒙娜丽莎》缩小影像作品中圆弧AC 的长为（ ）（单位：cm ）A ．600πB ．100π3C ．10π3D ．5π39.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线24y x x =-+（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米10.若点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则AB 的长为（ ）A ．10B ．5C ．8D ．611.已知向量()5,2a = ，()4,3b =-- ，若c 满足320a b c -+= ，则c = （ ）A ．()23,12--B ．()23,12C ．()7,0D ．()7,0-12.直线220x y ++=与420ax y +-=互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ）A ．()1,4-B ．()0,2-C ．()1,0-D ．0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭13.湖州市书画历史悠久，渊源深厚，自东晋六朝以来形成了浓郁深厚的书画遗风，孕育出了一代代书法与绘画大家。

2020高考仿真模拟卷(五)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |(2x －1)(x －3)<0}，B ＝{x |(x －1)(x －4)≤0}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．[1,3)B ．(－∞，1)∪[3，＋∞)C ．[3,4]D ．(－∞，3)∪(4，＋∞) 答案 C 解析 因为集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <3，B ＝{x |1≤x ≤4}， 所以∁U A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥3，所以(∁U A )∩B ＝{x |3≤x ≤4}． 2．在复平面内，复数z ＝4－7i2＋3i (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z －在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 因为z ＝4－7i 2＋3i ＝(4－7i )(2－3i )13＝－13－26i13＝－1－2i ，所以z 的共轭复数z －＝－1＋2i 在复平面内对应的点(－1,2)位于第二象限．3．在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD→＝12DA →，设CB →＝a ，CA →＝b ，则CD →＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b 答案 B解析 因为BD→＝12DA →，CB →＝a ，CA →＝b ，故CD →＝a ＋BD →＝a ＋13BA →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .4．(2019·济南模拟)在平面直角坐标系xOy 中，与双曲线x 24－y 23＝1有相同的渐近线，且位于x 轴上的焦点到渐近线的距离为3的双曲线的标准方程为( )A.x 29－y 24＝1B.x 28－y 29＝1 C.x 212－y 29＝1 D.x 216－y 212＝1 答案 C解析 与双曲线x 24－y 23＝1有相同的渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 23＝λ(λ≠0)，因为该双曲线的焦点在x 轴上，故λ>0.又焦点(7λ，0)到渐近线y ＝32x 的距离为3，所以21λ7＝3，解得λ＝3.所以所求双曲线的标准方程为x 212－y 29＝1.5．若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，则a 6－a 5的值是( ) A. 2 B ．－16 2 C ．2 D ．162 答案 D解析 因为a n a n ＋1＝22n(n ∈N *)，所以a n ＋1a n ＋2＝22n ＋2(n ∈N *)，两式作比可得a n ＋2an＝4(n ∈N *)，即q 2＝4，又a n >0，所以q ＝2，因为a 1a 2＝22＝4，所以2a 21＝4，所以a 1＝2，a 2＝22，所以a 6－a 5＝(a 2－a 1)q 4＝16 2.6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．4 3 B.1033 C ．2 3 D.833 答案 B解析 由三视图还原几何体如图所示，该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥H －EFG ，三角形ABC 的面积S ＝12×2×22－12＝ 3.∴该几何体的体积V ＝3×4－13×3×2＝1033.7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是59，则判断框中可填入的条件是( )A ．i <10?B ．i <9?C ．i >8?D ．i <8? 答案 B解析 由程序框图的功能可得S ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×…×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(i ＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1i ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1i ＋1＝12×32×23×43×…×ii ＋1×i ＋2i ＋1＝i ＋22i ＋2＝59，所以i ＝8，i ＋1＝9，故判断框中可填入i <9？.8．现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为( )A.16B.13C.56D.23 答案 C解析 设白球为A ，蓝球为B ，红球为C ，则不同的排列情况为ABCC ，ACBC ，ACCB ，BACC ，BCAC ，BCCA ，CABC ，CACB ，CBCA ，CBAC ，CCAB ，CCBA 共12种情况，其中红球都在中间的有ACCB ，BCCA 两种情况，所以红球都在中间的概率为212＝16，故中间两个小球不都是红球的概率为1－16＝56.9．(2019·东北三省三校一模)圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示．早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年．在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：从区间[－1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对(x ，y )，其中满足不等式y ＞ 1－x 2的数对(x ，y )共有11个，则用随机模拟的方法得到的π的近似值为( )A.7825B.7225C.257D.227 答案 A解析 在平面直角坐标系中作出边长为1的正方形和单位圆，则符合条件的数对表示的点在x 轴上方、正方形内且在圆外的区域，区域面积为2－π2，由几何概型概率公式可得2－π22×2≈11100，解得π≈7825.故选A.10．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.55C.56D.22 答案 B解析 解法一：(平行线法)如图1，取DB 1的中点O 和AB 的中点M ，连接OM ，DM ，则MO ∥AD 1，∠DOM 为异面直线AD 1与DB 1所成的角．依题意得DM 2＝DA 2＋AM 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝54.OD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12DB 12＝14×(1＋1＋3)＝54，OM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD 12＝14×(1＋3)＝1.∴cos ∠DOM ＝OD 2＋OM 2－DM 22·OD ·OM ＝54＋1－542×52×1＝15＝55.解法二：(割补法)如图2，在原长方体后面补一个全等的长方体CDEF －C 1D 1E 1F 1，连接DE 1，B 1E 1.∵DE 1∥AD 1，∴∠B 1DE 1就是异面直线AD 1与DB 1所成的角．DE 21＝AD 21＝4，DB 21＝12＋12＋(3)2＝5. B 1E 21＝A 1B 21＋A 1E 21＝1＋4＝5.∴在△B 1DE 1中，由余弦定理得cos ∠B 1DE 1＝DE 21＋DB 21－B 1E 212·DE 1·DB 1＝4＋5－52×2×5＝445＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55.11．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C 的方程为x 2＋4y 2＝4，其左、右焦点分别是F 1，F 2，直线l 与椭圆C切于点P ，且|PF 1|＝1，过点P 且与直线l 垂直的直线l ′与椭圆长轴交于点M ，则|F 1M |∶|F 2M |＝()A.2∶ 3 B ．1∶ 2 C ．1∶3 D ．1∶3 答案 C解析 由椭圆的光学性质可知，直线l ′平分∠F 1PF 2， 因为S △PF 1M S △PF 2M ＝|F 1M ||F 2M |，又S △PF 1M S △PF 2M ＝12|PF 1||PM |sin ∠F 1PM 12|PF 2||PM |sin ∠F 2PM ＝|PF 1||PF 2|，故|F 1M ||F 2M |＝|PF 1||PF 2|.由|PF 1|＝1，|PF 1|＋|PF 2|＝4，得|PF 2|＝3，故|F 1M |∶|F 2M |＝1∶3.12．设x 1，x 2分别是函数f (x )＝x －a －x 和g (x )＝x log a x －1的零点(其中a >1)，则x 1＋4x 2的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞) 答案 D解析 令f (x )＝x －a －x ＝0，则1x ＝a x ，所以x 1是指数函数y ＝a x (a >1)的图象与y ＝1x 的图象的交点A 的横坐标，且0<x 1<1，同理可知x 2是对数函数y ＝log a x (a >1)的图象与y ＝1x 的图象的交点B 的横坐标．由于y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，从而有x 1＝1x 2，所以x 1＋4x 2＝x 1＋4x 1.由y ＝x ＋4x 在(0,1)上单调递减，可知x 1＋4x 2>1＋41＝5，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设某总体是由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为________．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619...第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238 (2)答案 19解析 由题意，从随机数表第1行的第3列数字1开始，从左到右依次选取两个数字的结果为：18,07,17,16,09,19，…，故选出来的第6个个体编号为19.14．(2019·湖南师范大学附中模拟三)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ＞0,0＜φ＜π)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．答案3解析 由题意得2πω＝π，∴ω＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，∵0＜φ＜π，∴φ＝π6，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝ 3.15．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－2，点P 为抛物线上的一点，则点P 到直线y ＝x ＋3的距离的最小值为________．答案 22解析 由题设得抛物线方程为y 2＝8x ， 设P 点坐标为P (x ，y )， 则点P 到直线y ＝x ＋3的距离为 d ＝|x －y ＋3|2＝|8x －8y ＋24|82＝|y 2－8y ＋24|82＝|(y －4)2＋8|82≥22，当且仅当y ＝4时取最小值22.16．(2019·南宁摸底考试)在数列{a n }中，a 1＝－2，a n a n －1＝2a n －1－1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________，数列{b n }的前n 项和S n 的最小值为________．答案3n －13n －4－13 解析 由题意知，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴b n ＝1a n －1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1＝1＋1a n －1－1＝1＋b n －1，即b n －b n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)．又b 1＝1a 1－1＝－13，∴数列{b n }是以－13为首项，1为公差的等差数列，∴b n ＝n －43，即1a n －1＝n －43，∴a n ＝3n －13n －4.又b 1＝－13＜0，b 2＝23＞0，∴S n 的最小值为S 1＝b 1＝－13.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ≠π2，且3sin A cos B ＋12b sin2A ＝3sin C .(1)求a 的值；(2)若A ＝2π3，求△ABC 周长的最大值．解 (1)由3sin A cos B ＋12b sin2A ＝3sin C ，得3sin A cos B ＋b sin A cos A ＝3sin C ，由正弦定理，得3a cos B ＋ab cos A ＝3c ，由余弦定理，得3a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋ab ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3c ，整理得(b 2＋c 2－a 2)(a －3)＝0，因为A ≠π2，所以b 2＋c 2－a 2≠0，所以a ＝3.(另解：由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B 代入条件变形即可)6分 (2)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3，由余弦定理得，9＝b 2＋c 2＋bc ，因为b 2＋c 2＋bc ＝(b ＋c )2－bc ≥(b ＋c )2－⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝34(b ＋c )2，所以34(b ＋c )2≤9，即(b ＋c )2≤12，所以b ＋c ≤23，当且仅当b ＝c ＝3时，等号成立．故当b ＝c ＝3时，△ABC 周长的最大值为3＋2 3.12分18．(2019·黑龙江齐齐哈尔市二模)(本小题满分12分)某县共有户籍人口60万，经统计，该县60岁及以上、百岁以下的人口占比为13.8%，百岁及以上老人15人．现从该县60岁及以上、百岁以下的老人中随机抽取230人，得到如下频数分布表：解他们的生活状况，则80岁及以上老人应抽多少人？(2)从(1)中所抽取的80岁及以上老人中，再随机抽取2人，求抽到90岁及以上老人的概率；(3)该县按省委办公厅、省人民政府办公厅《关于加强新时期老年人优待服务工作的意见》精神，制定如下老年人生活补贴措施，由省、市、县三级财政分级拨款：①本县户籍60岁及以上居民，按城乡居民养老保险实施办法每月领取55元基本养老金；②本县户籍80岁及以上老年人额外享受高龄老人生活补贴． (a)百岁及以上老年人，每人每月发放345元的生活补贴；(b)90岁及以上、百岁以下老年人，每人每月发放200元的生活补贴； (c)80岁及以上、90岁以下老年人，每人每月发放100元的生活补贴． 试估计政府执行此项补贴措施的年度预算．解 (1)样本中70岁及以上老人共105人，其中80岁及以上老人30人，所以应抽取的21人中，80岁及以上老人应抽30×21105＝6人.3分(2)在(1)中所抽取的80岁及以上的6位老人中，90岁及以上老人1人，记为A ，其余5人分别记为B ，C ，D ，E ，F ，从中任取2人，基本事件共15个：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，这15个基本事件发生的可能性相等.6分记“抽到90岁及以上老人”为事件M ，则M 包含5个基本事件， 所以P (M )＝515＝13.8分(3)样本中230人的月预算为230×55＋25×100＋5×200＝16150(元)，10分 用样本估计总体，年预算为⎝ ⎛⎭⎪⎫16150×6×105×13.8%230＋400×15×12＝6984×104(元)．所以政府执行此项补贴措施的年度预算为6984万元.12分19．(2019·湖南长沙长郡中学一模)(本小题满分12分)如图，在多边形ABPCD 中(图1)，四边形ABCD 为长方形，△BPC 为正三角形，AB ＝3，BC ＝32，现以BC 为折痕将△BPC 折起，使点P 在平面ABCD 内的射影恰好在AD 上(图2)．(1)证明：PD ⊥平面P AB ；(2)若点E 在线段PB 上，且PE ＝13PB ，当点Q 在线段AD 上运动时，求三棱锥Q －EBC 的体积．解 (1)证明：过点P 作PO ⊥AD ，垂足为O . 由于点P 在平面ABCD 内的射影恰好在AD 上，∴PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥AB ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ⊥AD ，又AD ∩PO ＝O ，∴AB ⊥平面P AD ，2分∴AB ⊥PD ，AB ⊥P A ，又由AB ＝3，PB ＝32，可得P A ＝3，同理PD ＝3，又AD ＝32，∴P A 2＋PD 2＝AD 2， ∴P A ⊥PD ，且P A ∩AB ＝A ， ∴PD ⊥平面P AB .5分(2)设点E 到底面QBC 的距离为h ，则V Q －EBC ＝V E －QBC ＝13S △QBC ×h ，由PE ＝13PB ，可知BE BP ＝23，7分∴h PO ＝23，∵P A ⊥PD ，且P A ＝PD ＝3， ∴PO ＝P A ·PD AD ＝322，∴h ＝23×322＝2，9分 又S △QBC ＝12×BC ×AB ＝12×32×3＝922， ∴V Q －EBC ＝13S △QBC ×h ＝13×922×2＝3.12分20．(本小题满分12分)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若点T (－1,0)，且直线AT ，BT 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2为定值； (2)设A ，B 两点在抛物线的准线上的射影分别为P ，Q ，线段PQ 的中点为R ，求证：AR ∥FQ .证明 (1)设直线AB ：my ＝x －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ⎩⎨⎧ my ＝x －1，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4＝0，⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，3分 k 1＋k 2＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝y 1x 2＋y 2x 1＋(y 1＋y 2)(x 1＋1)(x 2＋1)＝y 1(my 2＋1)＋y 2(my 1＋1)＋(y 1＋y 2)(my 1＋1＋1)(my 2＋1＋1)＝2my 1y 2＋2(y 1＋y 2)(my 1＋2)(my 2＋2)＝2m (－4)＋2×4m(my 1＋2)(my 2＋2)＝0.6分(2)A (x 1，y 1)，P (－1，y 1)，Q (－1，y 2)，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，y 1＋y 22，F (1,0)， k AR ＝y 1＋y 22－y 1－1－x 1＝y 1－y 221＋x 1＝y 1－y 22(1＋x 1)，k QF ＝y 2－0－1－1＝－y 22，8分k AR －k QF ＝y 1－y 22(1＋x 1)＋y 22＝y 1－y 2＋y 2(1＋x 1)2(1＋x 1)＝y 1－y 2＋y 2(my 1＋2)2(1＋x 1)＝(y 1＋y 2)＋my 1y 22(1＋x 1)＝4m ＋m ×(－4)2(1＋x 1)＝0，即k AR ＝k QF ，所以直线AR 与直线FQ 平行.12分21．(2019·山东潍坊一模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ln x －(a ＋1)x ，g (x )＝f (x )－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x －1，a ∈R .(1)当x ＞1时，求f (x )的单调区间；(2)设F (x )＝e x ＋x 3＋x ，若x 1，x 2为函数g (x )的两个不同极值点，证明：F (x 1x 22)＞F (e 2)．解 (1)f ′(x )＝1＋ln x －a －1＝ln x －a ，若a ≤0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 若a ＞0，由ln x －a ＝0，解得x ＝e a ，2分 且x ∈(1，e a )，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， x ∈(e a ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．综上，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)；当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为()e a，＋∞，单调递减区间为(1，e a ).5分 (2)证明：F ′(x )＝e x ＋3x 2＋1＞0，故F (x )在R 上单调递增，即证x 1x 22＞e 2，也即证ln x 1＋2ln x 2＞2，又g (x )＝x ln x －ax －x －a 2x 2＋ax ＋a ＝x ln x －a2x 2－x ＋a ，g ′(x )＝1＋ln x －ax －1＝ln x －ax ，所以x 1，x 2为方程ln x ＝ax 的两根，即⎩⎨⎧ln x 1＝ax 1， ①ln x 2＝ax 2， ②即证ax 1＋2ax 2＞2，即a (x 1＋2x 2)＞2， 而①－②得a ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2，8分即证ln x 1－ln x 2x 1－x 2·(x 1＋2x 2)＞2，则证ln x 1x 2·x 1＋2x 2x 1－x 2＞2，变形得ln x 1x 2·x 1x 2＋2x 1x 2－1＞2，不妨设x 1＞x 2，t ＝x 1x 2＞1，即证ln t ·t ＋2t －1＞2，整理得ln t －2(t －1)t ＋2＞0，设h (t )＝ln t －2(t －1)t ＋2，则h ′(t )＝1t －6(t ＋2)2＝t 2－2t ＋4t (t ＋2)2＝(t －1)2＋3t (t ＋2)2＞0，∴h (t )在(1，＋∞)上单调递增，h (t )＞h (1)＝0，即结论成立.12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的方程为x 22＋y 2＝1，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，曲线C 3的方程为y ＝x tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，x >0，曲线C 3与曲线C 1，C 2分别交于P ，Q 两点．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程； (2)求|OP |2·|OQ |2的取值范围．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 1的极坐标方程为 ρ2cos 2θ2＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝21＋sin 2θ，2分由⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，消去φ， 即得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1， 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入化简， 可得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.5分 (2)曲线C 3的极坐标方程为θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ>0，0<α<π2.6分由(1)得|OP |2＝21＋sin 2α，|OQ |2＝4sin 2α， 即|OP |2·|OQ |2＝8sin 2α1＋sin 2α＝81sin 2α＋1，8分因为0<α<π2，所以0<sin α<1， 所以|OP |2·|OQ |2∈(0,4).10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －5|－|x ＋3|. (1)解关于x 的不等式f (x )≥x ＋1；(2)记函数f (x )的最大值为m ，若a >0，b >0，e a ·e 4b ＝e 2ab －m ，求ab 的最小值． 解 (1)当x ≤－3时，由5－x ＋x ＋3≥x ＋1，得x ≤7，所以x ≤－3；当－3<x <5时，由5－x －x －3≥x ＋1，得x ≤13，所以－3<x ≤13；当x ≥5时，由x －5－x －3≥x ＋1，得x ≤－9，无解.4分综上可知，x ≤13，即不等式f (x )≥x ＋1的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13.5分(2)因为|x －5|－|x ＋3|≤|x －5－x －3|＝8，所以函数f (x )的最大值m ＝8.6分 因为e a ·e 4b ＝e 2ab －8，所以a ＋4b ＝2ab －8.又a >0，b >0，所以a ＋4b ≥24ab ＝4ab ，当且仅当a ＝4b 时，等号成立，7分所以2ab －8－4ab ≥0，即ab －4－2ab ≥0. 所以有(ab －1)2≥5.8分又ab >0，所以ab ≥1＋5或ab ≤1－5(舍去)，ab≥6＋25，即ab的最小值为6＋2 5.10分。

A. B. C. D.
[答案]B
[解析]
[分析]过点 作 ，垂足为点 ，设线段 交抛物线 于点 ，求出点 的坐标，设点 ，则 ，由已知可得出 ，求出 的值，可得出点 的坐标，利用抛物线的定义可求得 的值.
[详解]过点 作 ，垂足为点 ，设线段 交抛物线 于点 ，易知点 ，
将 代入 ，可得 ，不妨取点 ，
C.当 时，圆锥 外接球表面积为
D.当 时，棱长为 的正四面体在圆锥 内可以任意转动
[答案]ACD
[解析]
[分析]根据圆锥的侧面积可得出 ，利用圆锥的侧面展开图与余弦定理可判断A选项；计算出过顶点 和两母线的截面三角形的最大面积，可判断B选项的正误；根据几何关系列等式求出圆锥 的外接球的半径，结合球体的表面积公式可判断C选项的正误；计算出圆锥 的内切球半径以及棱长为 的正四面体的外接球半径，可判断D选项的正误.
[详解]解： ，所以选项A正确；
当 时， 是增函数，所以当 时，函数的值域为 ，由于函数是偶函数，所以函数的值域为 .所以选项B正确；
当 时， 是增函数，又函数的周期是4，所以 在 上为增函数，所以选项C错误；
令 ，所以 ，由于函数的周期为4，所以 ， ，所以 在 上有6个零点,所以该选项错误.
故选：AB
所以，点 在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为 ，
因为 ，可得 .
对于A选项，蒙日圆圆心到直线 的距离为 ，
所以，直线 与蒙日圆相切，A对；
对于B选项， 的蒙日圆的方程为 ，B错；
对于C选项，由椭圆的定义可得 ，则 ，
所以， ，
因为 ，直线 的方程为 ，
点 到直线 的距离为 ，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立，C对；
A. B. C. D.

考点测试5 函数的定义域和值域高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度 考纲研读会求一些简单函数的定义域和值域一、基础小题1．函数y ＝1log 2x －2的定义域为( )A ．(0，4)B ．(4，＋∞)C ．(0，4)∪(4，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 C解析 由条件可得log 2x －2≠0且x >0，解得x ∈(0，4)∪(4，＋∞)．故选C ． 2．函数y ＝x (3－x )＋x －1的定义域为( ) A ．[0，3] B ．[1，3] C ．[1，＋∞) D．[3，＋∞) 答案 B解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x (3－x )≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3．故选B ．3．函数f (x )＝－2x 2＋3x (0<x ≤2)的值域是( ) A ．－2，98 B ．－∞，98C ．0，98D ．98，＋∞答案 A解析 f (x )＝－2x －342＋98(x ∈(0，2])，所以f (x )的最小值是f (2)＝－2，f (x )的最大值是f 34＝98．故选A ．4．已知函数f (x )＝2＋log 3x ，x ∈181，9，则f (x )的最小值为( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．0 答案 A解析 由函数f (x )在其定义域内是增函数可知，当x ＝181时，函数f (x )取得最小值f 181＝2＋log 3 181＝2－4＝－2，故选A ．5．已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f x2＋f (x －1)的定义域为( )A ．(－2，0)B ．(－2，2)C ．(0，2)D ．－12，0答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2，∴0<x <2，∴函数g (x )＝f x2＋f (x－1)的定义域为(0，2)，故选C ．6．函数y ＝x ＋2－x 的值域为( ) A ．94，＋∞ B．94，＋∞ C ．－∞，94 D ．－∞，94答案 D解析 令t ＝2－x ≥0，则t 2＝2－x ，x ＝2－t 2，∴y ＝2－t 2＋t ＝－t －122＋94(t ≥0)，∴y ≤94，故选D ．7．已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f [f (x )]的定义域是( ) A ．{x |x ≠－1} B ．{x |x ≠－2}C ．{x |x ≠－1且x ≠－2}D ．{x |x ≠－1或x ≠－2} 答案 C解析 f [f (x )]＝1f (x )＋1＝11x ＋1＋1，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，11＋x＋1≠0，解得x ≠－1且x ≠－2．故选C ．8．若函数y ＝f (x )的值域是[1，3]，则函数F (x )＝1－f (x ＋3)的值域是( ) A ．[－8，－3] B ．[－5，－1] C ．[－2，0] D ．[1，3] 答案 C解析 ∵1≤f (x )≤3，∴－3≤－f (x ＋3)≤－1，∴－2≤1－f (x ＋3)≤0，即F (x )的值域为[－2，0]．故选C ．9．函数y ＝16－4x的值域是( )A ．[0，＋∞) B．[0，4] C ．[0，4) D ．(0，4) 答案 C解析 由已知得0≤16－4x<16，0≤ 16－4x<16＝4，即函数y ＝16－4x的值域是[0，4)．故选C ．10．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪(2，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 A解析 当x <1时，x －1<0，此时y ＝2x －1<0；当2≤x <5时，1≤x －1<4，此时14<1x －1≤1，12<2x －1≤2，即12<y ≤2，综上，函数的值域为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2．故选A ．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，－2≤x ≤0，1x，0<x ≤3，则函数f (x )的值域是________．答案 －14，＋∞解析 当－2≤x ≤0时，x 2＋x ＝x ＋122－14，其值域为－14，2；当0<x ≤3时，1x 的值域为13，＋∞，故函数f (x )的值域是－14，＋∞．12．函数f (x )＝x －1x ＋1的值域为________． 答案 [－1，1)解析 由题意得f (x )＝x －1x ＋1＝1－2x ＋1，∵x ≥0，∴0<2x ＋1≤2，∴－2≤－2x ＋1<0，∴－1≤1－2x ＋1<1，故所求函数的值域为[－1，1)．二、高考小题13．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x答案 D 解析 函数y ＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x的定义域均为R ，排除A ，C ；y ＝lg x 的值域为R ，排除B ．故选D ．14．(2018·江苏高考)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 答案 [2，＋∞)解析 由题意可得log 2x －1≥0，即log 2x ≥1，∴x ≥2．∴函数的定义域为[2，＋∞)． 15．(2016·江苏高考)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 答案 [－3，1]解析 若函数有意义，则需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1． 16．(2015·浙江高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f [f (－3)]＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3解析 由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f [f (－3)]＝0．又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3．17．(2015·山东高考)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．答案 －32解析 ①当a >1时，f (x )在[－1，0]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．②当0<a <1时，f (x )在[－1，0]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32．18．(2015·福建高考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，2]解析 当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈[4，＋∞)．当x >2时，若a ∈(0，1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a >1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1＜a ≤2．三、模拟小题19．(2018·广东珠海一中等六校第三次联考)函数f (x )＝12－x＋ln (x ＋1)的定义域为( )A ．(2，＋∞) B．(－1，2)∪(2，＋∞) C ．(－1，2) D ．(－1，2] 答案 C解析 函数的定义域应满足⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，1＋x >0，∴－1<x <2．故选C ．20．(2018·河南联考)已知函数f (x )＝x ＋2x－a (a >0)的最小值为2，则实数 a ＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 B解析 由2x－a ≥0得x ≥log 2a ，故函数的定义域为[log 2a ，＋∞)，易知函数f (x )在[log 2a ，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (log 2a )＝log 2a ＝2，解得a ＝4．故选B ．21．(2018·江西南昌三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2(x ≤1)，ln x (x >1)，那么函数f (x )的值域为( )A ．(－∞，－1)∪[0，＋∞) B．(－∞，－1]∪(0，＋∞)C ．[－1，0)D ．R 答案 B解析 函数y ＝x －2(x ≤1)的值域为(－∞，－1]，函数y ＝ln x (x >1)的值域为(0，＋∞)，故函数f (x )的值域为(－∞，－1]∪(0，＋∞)．故选B ．22．(2018·邵阳石齐中学月考)已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0，1]，那么满足条件的整数数对(a ，b )共有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．无数个 答案 C解析 ∵函数f (x )＝4|x |＋2－1的值域是[0，1]，∴1≤4|x |＋2≤2，∴0≤|x |≤2，∴－2≤x ≤2，∴[a ，b ]⊆[－2，2]．又由于仅当x ＝0时，f (x )＝1，当x ＝±2时，f (x )＝0，故在定义域中一定有0，且2，－2中必有其一，故满足条件的整数数对(a ，b )有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(－1，2)，(0，2)共5个．故选C ．23．(2019·汕头模拟)函数y ＝3|x |－1的定义域为[－1，2]，则函数的值域为________． 答案 [0，8]解析 当x ＝0时，y min ＝30－1＝0，当x ＝2时，y max ＝32－1＝8，故值域为[0，8]． 24．(2018·江苏常州期中)若函数f (x ＋1)的定义域是[－1，1]，则函数f (log 12x )的定义域为________．答案 14，1解析 ∵f (x ＋1)的定义域是[－1，1]，∴f (x )的定义域是[0，2]，则f (log 12x )的定义域为0≤log 12x ≤2，∴14≤x ≤1．一、高考大题1．(2016·浙江高考)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p >q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0，6]上的最大值M (a )． 解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )>0， 当x >1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以，使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为[2，2a ]． (2)设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2． ①f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2， 所以，由F (x )的定义知m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a >2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )≤f (x )≤max{f (0)，f (2)}＝2＝F (2)，当2≤x ≤6时，F (x )≤g (x )≤max{g (2)，g (6)}＝max{2，34－8a }＝max{F (2)，F (6)}．所以，M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a <4，2，a ≥4.二、模拟大题2．(2018·山东青岛月考)已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，试求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域．解 ∵f (x )＝2＋log 3x 的定义域为[1，9]，要使[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必有1≤x ≤9且1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为[1，3]． 又y ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝(log 3x ＋3)2－3． ∵x ∈[1，3]，∴log 3x ∈[0，1]，∴y max ＝(1＋3)2－3＝13，y min ＝(0＋3)2－3＝6． ∴函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域为[6，13]．3．(2019·山西太原一中月考)已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a >0)，且f (x )在[0，1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解 f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a，当a >1时，a －1a>0，此时f (x )在[0，1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a；当0<a <1时，a －1a<0，此时f (x )在[0，1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1．∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a，a ≥1，∴g (a )在(0，1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数， 又a ＝1时，有a ＝1a＝1，∴当a ＝1时，g (a )取得最大值1．4．(2018·陕西渭南尚德中学一模)已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3． (1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[1，3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3＝x ＋322－214，又x ∈[－2，3]，所以f (x )min ＝f －32＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，所以所求函数的值域为－214，15．(2)对称轴为x ＝－2a －12．①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，所以6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意；②当－2a －12≥3，即a ≤－52时，f (x )max ＝f (1)＝2a －3，所以2a －3＝1，即a ＝2，不满足题意； ③当1<－2a －12<3，即－52<a <－12时，此时，f (x )max 在端点处取得，令f (1)＝1＋2a －1－3＝1，得a ＝2(舍去)， 令f (3)＝9＋3(2a －1)－3＝1，得a ＝－13(舍去)．综上，可知a ＝－13．。

第1 页(共6页)2023 2024学年浙江省职教高考研究联合体第一次联合考试数学试卷参考答案一㊁单项选择题(本大题共20小题,1 10小题每小题2分,11 20小题每小题3分,共50分)1.D ʌ解析ɔȵA ɣB ={-1,0,1,3},ʑ2∉(A ɣB ).2.A ʌ解析ɔȵx =2,y =5,ʑx +y =7,反之不一定成立.3.D ʌ解析ɔ特殊值代入法或利用不等式的性质分析.4.C ʌ解析ɔȵA O ң=(0,0)-(2,0)=(-2,0),B O ң=(0,0)-(0,-1)=(0,1),ʑA O ң+B O ң=(-2,1).5.D ʌ解析ɔ由题意得4-x 2>0,x +1>0,{解得-1<x <2.6.C ʌ解析ɔ120ʎ-180ʎ=-60ʎ.7.D ʌ解析ɔP 44=24(种).8.C ʌ解析ɔ根据指数函数㊁对数函数的图像和性质进行比较.9.A ʌ解析ɔ画图或化为0ʎ~360ʎ范围内的角.10.B ʌ解析ɔ斜率k =-63-12+3=-33.11.D ʌ解析ɔ由题意得m +1ɤ0,解得m ɤ-1.12.C ʌ解析ɔȵ函数t (x )=c x 是减函数,ʑ0<c <1.令x =1,则g (1)=b >f (1)=a .ʑb >a >c .13.C ʌ解析ɔP =18.14.A ʌ解析ɔȵt a n α㊃s i n α=s i n αc o s α㊃s i n α=s i n 2αc o s α>0,且s i n 2α>0,ʑc o s α>0.15.C ʌ解析ɔȵT 4=C 36x 3(-2x )3=(-2)3C 36x 3㊃x -32,ʑ第4项的系数为-23C 36=-160.16.D ʌ解析ɔȵ点P (4,0),且|MP |=3,ʑ动点M 的轨迹方程为(x -4)2+y 2=9.17.D ʌ解析ɔȵf (1)=f (3)=0,ʑ对称轴方程为x =1+32,即x =2.又ȵ二次函数f (x )的图像开口向下,ʑf (6)<f (-1)<f (2).18.B ʌ解析ɔA 项中,A 1B 与B 1C 成60ʎ角;B 项中,A D 1与B 1C 是异面垂直关系,即成90ʎ角,正确;C 项中,A 1B 与底面A B C D 成45ʎ角;D 项中,连接A C (图略),A 1C 与底面A B C D 所成的角为øA C A 1ʂ30ʎ.故选B .19.B ʌ解析ɔȵa =|A F 1|=2,c =|O F 1|=1,ʑb 2=3,ʑ椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.第2 页(共6页)20.D ʌ解析ɔ由题意得2b =a +c ,c -a =2,c 2=a 2+b 2,ìîíïïïï解得a =3,b =4,c =5,ìîíïïïïʑ双曲线C 的标准方程为x 29-y 216=1.二㊁填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)21.-22 ʌ解析ɔȵx >0,ʑx +2x ȡ2x ㊃2x =22,ʑ-(x +2x)ɤ-22.当且仅当x =2x (x >0),即x =2时,等号成立.22.1 ʌ解析ɔȵf (-1)=-(-1)2+1=0,ʑf [f (-1)]=f (0)=0+1=1.23.1103 ʌ解析ɔS 10=(1+2+4+ +29)+(-1+1+3+ +17)=1ˑ(1-210)1-2+10ˑ(-1+17)2=1023+80=1103.24.4π3 ʌ解析ɔȵV 圆柱=πr 2h =πˑ22ˑ4=16π,V 圆锥=13πO A 2㊃O B =13πˑ22ˑ11=443π,ʑV 圆柱-V 圆锥=16π-44π3=4π3.25.20 ʌ解析ɔȵ抛物线y 2=16x 的焦点为F (4,0),代入直线方程得2ˑ4+0+m =0,解得m =-8,即y =8-2x .将其代入y 2=16x 得x 2-12x +16=0,由韦达定理得x 1+x 2=12.ʑ|A B |=(x 1+p 2)+(x 2+p 2)=x 1+x 2+p =12+8=20.26.31250 ʌ解析ɔȵs i n α=45,c o s α=-35,ʑs i n 2α=2s i n αc o s α=2ˑ45ˑ(-35)=-2425,c o s 2α=c o s 2α-s i n 2α=(-35)2-(45)2=-725,ʑs i n (2α+5π4)=s i n 2αc o s 5π4+c o s 2αs i n 5π4=(-2425)ˑ(-22)+(-725)ˑ(-22)=24250+7250=31250.27.(-ɕ,-2)ɣ(4,+ɕ) ʌ解析ɔ由题意得(m +2)(4-m )<0,ʑ(m +2)(m -4)>0,解得m <-2或m >4.三㊁解答题(本大题共8小题,共72分)(以下评分标准仅供参考,请酌情给分)28.(本题7分)解:原式=223ˑ32+l o g 225-l o g 334+1+C 19-4ˑ3ˑ2ˑ1=2+5-4+1+9-24每项正确各得1分,共6分 =-11.结果正确得1分29.(本题8分)解:(1)ȵs i n (π+α)=32,且αɪ(-π2,0),ʑα=-π3.1分第3 页(共6页)ʑf (x )=s i n (2x -π3)+c o s (2x +π3)+1=s i n 2x c o s π3-c o s 2x s i n π3+c o s 2x c o s π3-s i n 2x s i n π3+1=12s i n 2x -32c o s 2x +12c o s 2x -32s i n 2x +1=1-32s i n 2x +1-32c o s 2x +1=2-62s i n (2x +π4)+1,1分 ʑ函数f (x )的最小正周期T =2π2=π.1分 (2)当s i n (2x +π4)=1时,函数f (x )取最小值,最小值为2-6+22,2分 此时2x +π4=2k π+π2(k ɪZ ),解得x =k π+π8(k ɪZ ),2分 即函数f (x )取最小值时x 的集合为x x =k π+π8(k ɪZ ){}.1分 30.(本题9分)解:(1)联立x +y -5=0,2x -y -1=0,{解得x =2,y =3,{ʑ圆心Q (2,3).1分 又ȵ坐标原点(0,0)到直线y =2的距离d =2,ʑ半径r =2.1分 ʑ圆C 的标准方程为(x -2)2+(y -3)2=4.2分 (2)ȵM Q ʅMP ,ʑ直线MP 为圆C 的切线.1分①当直线MP 的斜率存在时,设直线MP 的方程为y -6=k (x -4),即k x -y +6-4k =0.由r =d 得|2k -3+6-4k |k 2+1=2,解得k =512,ʑ此时,直线MP 的方程为y -6=512(x -4),即5x -12y +52=0.2分 ②当直线MP 的斜率不存在时,直线MP 的方程为x -4=0.1分 综上所述,直线MP 的方程为5x -12y +52=0或x -4=0.1分 31.(本题9分)解:(1)在әA B C 中,由正弦定理得a s i n A =b s i n B ,即2s i n A =2s i n B,ʑs i n B =2s i n A .1分 又ȵc o s A =32,ʑøA 是әA B C 的一个内角,ʑøA =30ʎ.ʑs i n A =12,ʑs i n B =22.1分 ȵb >a ,ʑøB =45ʎ或135ʎ.1分第4 页(共6页)当øB =45ʎ时,øC =105ʎ,由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2a b c o s C =(2)2+22-2ˑ2ˑ2㊃c o s 105ʎ=6-42ˑ2-64=4+23,ʑc =3+1.1分 当øB =135ʎ时,øC =15ʎ,由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2a b c o s C =(2)2+22-2ˑ2ˑ2ˑ2+64=4-23,ʑc =3-1.1分 注:只要答案正确,用其他方法解答也可得分.(2)当øC =105ʎ时,S әA B C =12a b s i n C =12ˑ2ˑ2ˑ6+24=3+12;2分 当øC =15ʎ时,S әA B C =12a b s i n C =12ˑ2ˑ2ˑ6-24=3-12.2分 32.(本题9分)解:(1)ȵA C =1,A B =2,B C =3,ʑA B 2=A C 2+B C 2,ʑәA C B 是直角三角形,且øA C B =90ʎ.1分 ȵP A ʅ平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,ʑP A ʅB C ,又ȵB C ʅA C ,且P A 与A C 交于点A ,ʑB C ʅ平面P A C ,ʑP B 与平面P A C 所成的角为øB P C .1分ȵP A =A C =1,P B =P A 2+A B 2=5,ʑP C =2,ʑ在R t әP C B 中,c o s øB P C =P C P B =25=105,1分 ʑP B 与平面P A C 所成角的余弦值为105.1分 (2)由(1)得B C ʅP C ,又ȵA C ʅB C ,ʑøP C A 为二面角P B C A 的平面角.1分 ȵ在R t әP A C 中,A P =A C =1,P A ʅ平面A B C ,ʑøP C A =45ʎ,即二面角P B C A 的大小为45ʎ.2分(3)V C P A B =V P A B C =13S әA B C ㊃P A =13ˑ12ˑ1ˑ3ˑ1=36.2分 33.(本题10分)解:(1)ȵa 2和a 3是一元二次方程x 2-3x +2=0的两个实数根,且数列{a n }单调递增,ʑa 2=1,a 3=2,ʑ公差d =a 3-a 2=1,首项a 1=a 2-d =0,ʑa n =n -1.1分 又ȵb 1=l o g 2a 3=l o g 22=1,b 2=l o g 2a 5=l o g 24=2,1分 ʑ公比q =b 2b 1=2,ʑb n =b 1q n -1=2n -1.1分第5 页(共6页)(2)ȵc n =a n +1+1b n,ʑc n =n +21-n .1分 ʑT n =c 1+c 2+ +c n=(1+2+3+ +n )+(1+12+14+ +12n -1)=n (n +1)2+1-12n 1-121分=n 2+n 2+2-12n -1.1分 (3)ȵd n =(2+a n )b n =(n +1)㊃2n -1,1分 ʑM n =d 1+d 2+d 3+ +d n ,即M n =2ˑ20+3ˑ21+4ˑ22+ +(n +1)㊃2n -1①ʑ2M n =2ˑ21+3ˑ22+4ˑ23+ +(n +1)㊃2n ②由①-②得-M n =2ˑ20+21+22+ +2n -1-(n +1)㊃2n 1分 =2+2(1-2n -1)1-2-(n +1)㊃2n =-n ㊃2n ,1分 ʑM n =n ㊃2n .1分 34.(本题10分)解:(1)ȵәA B F 2的周长为|A F 1|+|A F 2|+|B F 1|+|B F 2|=4a =8,ʑa =2.1分 又ȵe =c a =12,ʑc =1,ʑb 2=a 2-c 2=22-12=3.1分 ʑ椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.1分 (2)ȵ椭圆C :x 24+y 23=1的右焦点为F 2(1,0),ʑ抛物线y 2=2p x 的焦点为(1,0),1分 ʑp =2,ʑ抛物线的标准方程y 2=4x .1分 ȵ直线l 的倾斜角为135ʎ,ʑ斜率k =t a n 135ʎ=-1,ʑ直线l 的方程为y =-x +1,联立y =-x +1,①y 2=4x ,②{将①代入②并消去y 得x 2-6x +1=0,ʑΔ=(-6)2-4ˑ1ˑ1=32,ʑ弦长|MN |=1+1ˑ321=8,1分第6 页(共6页)又ȵ坐标原点O 到直线y =-x +1的距离d =12=22,1分 ʑS әO MN =12|MN |㊃d =12ˑ8ˑ22=22.1分 (3)联立y =-x +1,①x 24+y 23=1,②ìîíïïïï将①代入②并消去y 得7x 2-8x -8=0,ʑΔ=(-8)2-4ˑ7ˑ(-8)=288,ʑ|P Q |=1+1ˑ2887=247,1分 ʑ247-8=-327<0,ʑ|P Q |<|MN |.1分 35.(本题10分)解:(1)设D C =2x ,则A B =2x ,D C ︵=A B ︵=πx ,1分 ʑA D =B C =l -(4x +2πx )2=l 2-(π+2)x ,2分 ʑS =S 矩形A B C D +πx 2=2x ˑ[l 2-(π+2)x ]+πx 21分=l x -2(π+2)x 2+πx 2=-(π+4)x 2+l x .2分 (2)由(1)得S =-(π+4)x 2+l x .由二次函数的性质得:当x =l 2(π+4)米时,S 取得最大值,S m a x =l 24(π+4)平方米.4分。

2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试(浙江卷)数学试题参考公式:若事件A,B 互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B) 若事件A,B 相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)若事件A 在一次试验中发生的概率是P,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=台体的体积公式()1213V S S h =+ 其中12,S S 分别表示台体的上､下底面积,h 表示台体的高 柱体的体积公式V=Sh.其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =.其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π= 球的体积343S R π=.其中R 表示球的半径 第I 卷选择题部分(共40分)一､选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合2{|14},{|}A x x B y y A =-≤≤=∈,则) (A B C A B ⋃⋂= A.[-1,0]∪[2,4]B.[-1,0)∪(2,4]C.[-2,-1]∪[2,4]D.[-2,-1)∪(2,4]2.设复数z 的共轭复数为z ,若2z+z =-3+2i(其中i 是虚数单位),则复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知二项式212nx ⎫⎪⎭的展开式中存在常数项0T ,则当正整数n 最小时,0.2A T =-0.2B T = 0.7C T =-0.7D T =4.设x,y ∈R 且满足约束条件2424 0x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩.则z=3x-yA.有最大值16,最小值83- B.有最大值16,最小值0 C.有最大值83最小值0D.有最大值83最小值43- 5.已知a ∈R ,则“sin()1223πα-=”是“1sin()33πα+=”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知F 是椭圆的左焦点,A,B,C 分别是其上､下和左顶点,设直线AC 与直线BF 交于点D,若O 为坐标原点,则A.|AD|·|CF|=|CD|·|OF|.|||||||B AD CF CD OF ⋅=⋅ C.|AD|·|CF|=2|CD|·|OF|.|||||||D AD CF CD OF ⋅=⋅7.已知随机变量ξ的分布列如下表,A.若a,b,c 依次成等比数列,则E(ξ)1-B.若a,b,c 依次成等比数列,则E(ξ)的最小值为1C.若a,b,c 依次成等差数列,则D(ξ)的最小值为19 D.若a,b,c 依次成等差数列,则D(ξ)的最小值为138.已知三棱柱11ABC A B C -的各棱长均相等,D 是棱BC 上的点(不包括端点),记直线1B D 与直线AC 所成的角为1,θ直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2,θ二面角111C A B D --的平面角为3,θ则213.A θθθ<<231.B θθθ<<123.C θθθ<<132.D θθθ<<9.已知函数f(x)与g(x)的定义域均为R ,且g(x)在R 上单调,若函数y=f(g(x))-x 恰有一个零点,则函数y=g(f(x))的解析式可能是2.3A y x x =--21.1B y x =- 2.4C y x =+D.y=cosx10.在数列{}n a 中,0n a >且*1121311121,,...4()21111n n n a a n n a a a a +≠=++++=+∈----N 记n S 为数列{}n a 的前n 项和,n T 为数列{}n a 的前n 项积,则对任意*,n ∈N 下列结论错误的是1.12n n A a a +<<<41.2232n B n S n -<≤- 213.04n n T C S n --<2410.ln 33n n D S T n +->+第II 卷:非选择题部分(共110分)二､填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分)11.我国古代数学著作《孙子算经》中记载:“今有三人共车,二车空;二人共车,九人步.问人与车共几何?”其大意是:“每车坐3人,有2辆车空出来;每车坐2人,多出9人步行.问人数和车辆数各是多少?”则在该问题中,车辆数是___,人数是_____.12.已知某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积是_____3.cm13.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,22(6)sin 22sin cos absinA ac B b A C +-=.则ac=_____,若b=ac,则△ABC 面积的最大值是____.14.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x)+f(x+2)=0,且当x ∈[0,1]时,2()log (),f x x a =+则实数a=___,若总存在b ∈R ,使得对任意2(,)36ππθ∈-，均有1(sin )2f b c θ+<成立,则实数c 的取值范围是____. 15.在新冠病毒疫情爆发期间,口罩成为了必需品.已知某药店有4种不同类型的口罩A,B,C,D,其中D 型口罩仅剩1只(其余3种库存足够),今甲､乙､丙､丁､戊5人先后在该药店各购买了1只口罩,统计发现他们恰好购买了3种不同类型的口罩,则所有可能的购买方 式共有____种.(用数字作答)16.设不垂直于坐标轴的直线l 与圆221x y +=和抛物线22(0)y px p =>均相切,分别记两个切点为M,N,则|MN|的最小值为_____，此时p 的值等于_____17.已知平面向量a ,b ,c ,d 满足1|||||1,0,|-⋅===⋅=⋅=>⋅a ba b c a c b c a dc .d =0,记s =x a +y b (x,y>0且xy=1),则|s +2c |+|s -d |的最小值为____三､解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤) 18.(本小题满分14分) 已知函数()2sin sin()3f x x x π=+(I)设(0,),4πα∈若11(),10f α=求5tan()12πα+的值; (II)令g(x)=|f(x)|,求g(x)的单调递减区间.19.(本小题满分15分)如图,已知多面体EF-ABCD,其底面ABCD 为矩形,四边形BDEF 为平行四边形,平面FBC ⊥平面ABCD,FB=FC=BC=2,AB=3,G 是CF 的中点.(I)判断直线BG 与平面AEF 的位置关系,并说明理由; (II)求直线AE 与平面BDEF 所成角的余弦值.20.(本小题满分15分)已知正项等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足121,4,a b ==且2a 是11a b +和23b a -的等差中项,又是其等比中项.(I)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(II)记21,21,2n n n n nn k a a c a b n k +⎧=-⎪=⎨⎪-=⎩，其中k ∈Z ,求数列{}n c 的前2n 项和2.n S21.(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,,F F A 是椭圆上位于第一象限内的点,直线12,AF AF 与椭圆C 分别交于B,C 两点,延长1CF 交椭圆C 于点D,连结BD.若椭圆C 的内接矩形面积的取值范围为(0,43],且11||||||8.AF CF AC ++=(I)求椭圆C 的标准方程及离心率e;(II)记直线AC 与直线BD 所成的角为θ,求sinθ的取值范围.22.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=xlnx(x>0).(I)证明:21()1x xxe x x f x e ---≥+ (II)设函数()()1f xg x a x =-+的极小值点为0.x ①证明:014x >②若方程g(x)=a(a ∈R )有两个实数根1212,(),x x x x ≠证明:0012043.41x a x x x a x +<++<--。

2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(二)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知集合2{|430}A x x x =+->，{|21}x B y y ==+，则A ∩B =（ ）A ．(1，2)B ．(1，4)C ．(2，4)D ．(1，+∞) 2．已知复数z 满足i z =|2−i|+i(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知向量a =(3，-1)，b =(-1，2)，若|a -λb |=5，则实数λ=（ ）A ．1或-3B ．1C ．-3D ．24．设随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，则函数2()24f x x x ξ=-+不存在零点的概率为（ ）A ．12B ．13C ．15D ．255．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 6．若函数()f x =sin(2x +φ)(|φ|<2π)的图象向左平移6π个单位长度后关于原点对称，则函数()f x在[0，2π]上的最小值为（） A ．-3 B ．12- C ．12D ．3 7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的所有表面中，面积最大的表面的面积是（ ）A ．52 B ．5 C ．352D ．58．已知实数x 、y 满足不等式组10302x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≥≤，若22x y +的最大值为m ，最小值为n ，则m n -=（ ） A ．252B ．172C ．8D ．99．已知抛物线Ω：22y px =(p >0)，斜率为2的直线l 与抛物线Ω交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，若点M 到抛物线Ω的焦点F 的最短距离为1，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．810．设n T 为等比数列{}n a 的前n 项之积，且16a =-，434a =-，则当n T 最大时，n 的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1011．在三棱锥S ABC -中，SB ⊥BC ，SA ⊥AC ，SB =BC ，SA =AC ，AB =12SC ，且三棱锥S ABC-93，则该三棱锥的外接球的半径为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．已知定义在(0，+∞)上的函数()f x 的导函数()f x '满足ln ()()x xf x f x x '+=，且()f e =1e，其中e 为自然对数的底数，则不等式()f x +e >x +1e的解集是（ ）A ．(0，e )B ．(0，1e )C ．(1e ，e ) D ．(e ，+∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知二项式5(1)ax -(a >0)的展开式的第四项的系数为-40，则1axdx -⎰的值为 ．14．已知各项均不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211m m m a a a -++=(m ≥2，m ∈N *)，21m S -=218，则m = ．15．已知函数||()||x f x e x =+．若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．16．已知抛物线C ：22y px =(p >0)，A (异于原点O 为抛物线上一点，过焦点F 作平行于直线OA 的直线，交抛物线C 于P ，Q 两点．若过F 且垂直于x 轴的直线交直线OA 于点B ，则|FP |·|FQ |-|OA |·|OB |= ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知向量m x −cos x ，1)，n =(cos x ，12)，函数()f x =m ·n ． (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，a ，c =4，且()f A =1，求△ABC的面积．18．(本小题满分12分)一个袋中有大小、质地完全相同的4个红球和1个白球，共5个球，现从中每次随机取出2个球，若取出的有白球必须把白球放回去，红球不放回，然后取第二次，第三次，…，直到把红球取完只剩下1个白球为止．以ξ表示终止时取球的次数． (1)求 ξ=2的概率；(2)求 ξ的分布列及数学期望． 19．(本小题满分12分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AD ∥BC 且224AD BC AB ===，AB ⊥AD ，侧面11ABB A ⊥平面ABCD ，且四边形11ABB A 是菱形，∠1B BA=3π，M 为1A D 的中点．(1)证明：CM ∥平面11AA B B ； (2)求二面角1A CD A --的余弦值． 20．(本小题满分12分)已知椭圆22221x y a b+=(a >b >0)经过点M (2210)，且其右焦点为2F (1，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若点P 在圆222x y b +=上，且在第一象限，过P 作圆222x y b +=的切线交椭圆于A ，B 两点，问：2AF B ∆的周长是否为定值?如果是，求出该定值；如果不是，说明理由． 21．(本小题满分12分)已知函数2()ln f x ax bx x =-+，a ，b ∈R ． (1)当b =2a +1时，讨论函数()f x 的单调性；(2)当a =1，b >3时，记函数()f x 的导函数()f x '的两个零点分别是1x 和2x (1x <2x )，求证：12()()f x f x ->34−ln 2． 选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 3sin x t y t ϕϕ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数，φ∈[0，3π])，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心C 的极坐标为(2，3π)，半径为2，直线l 与圆C 交于M ，N 两点． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)当φ变化时，求弦长|MN |的取值范围．23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知函数()|3|f x x =-，()|4|g x x m =-++． (1)已知常数a <2，解关于x 的不等式()2f x a +->0；(2)若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求实数m 的取值范围．2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(二)答案1．B 【解析】解不等式2430x x +->，可得{|14}A x x =-<<，由函数21x y =+的值域可得{|1}B y y =>，故A ∩B ={x |1<x <4}，故选B ．2．D 【解析】解法一 由i z =|2−i|+i 得z =ii=1，所以复数z 在复平面内对应的点为(1，)，位于第四象限，故选D ．解法二 设z =a +b i(a ，b ∈R )，由i z =|2−i|+i 可得−b +a ，所以a =1，b =，即z =1，所以复数z 在复平面内对应的点为(1，，位于第四象限，故选D ． 3．A 【解析】解法一 因为a =(3，-1)，b =(-1，2)，所以a -λb =(3+λ，-1-2λ)，又|a -λb |=5，所以(3+λ)2+(-1-2λ)2=25， 解得λ=1或λ=-3．解法二 由已知得|a | b a ·b =-5，所以|a -λb 5==，解得λ=1或λ=-3．4．A 【解析】由函数2()24f x x x ξ=-+不存在零点，令()0f x =得Δ=16-8ξ<0，解得ξ>2，又随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，∴P (ξ>2)=12，即函数2()24f x x x ξ=-+不存在零点的概率为12，故选A ．5．B 【解析】依题意，循环时S ，n 的值依次为S =3，n =2；S =8，n =3；S =19，n =4；S =42，n =5；S =89，n =6；S =184>100，此时不再计算n ，而是直接输出n 的值6．故选B ． 6．A 【解析】函数()f x =sin(2x +φ)的图象向左平移6π个单位长度得()g x =sin[2(x +6π)+φ]= sin(2x +3π+φ)的图象，又()g x 为奇函数，则3π+φ=k π，k ∈Z ，解得φ=k π-3π，k ∈Z ．又|φ|<2π，令k =0，得φ=-3π，∴()g x =sin2x ，()f x =sin(2x -3π)．又x ∈[0，2π]，∴2x -3π∈[-3π，23π]，故当x =0时，()f x min =-，故选A ．7．C 【解析】由三视图还原直观图(如图)可以看出，三棱锥的所有表面中，面积最大的三角形的一边长为3，这条边上的高为22125+=，所以面积1353522S =⨯⨯=．8．B 【解析】先作出满足约束条件的平面区域，然后根据22x y +的几何意义求解．作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，22x y +表示平面区域内的点与原点的距离的平方，观察图形可知，原点到直线x +y -3=0的距离|OD |的平方等于n ，|OA |2=m ，经过计算可得m =13，n =92，则m n -=172，故选B ．9．B 【解析】设直线l ：12x y b =+，代入抛物线方程，得220y py pb --=，Δ=2p +8pb >0，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M x y ，则12y y p +=，所以1222y y p y +==．把2py =代入抛物线方程，得08p x =，故点M 的轨迹方程为2p y =(x >8p)，故点M 到抛物线的焦点F 的最短距离为2p=1，所以p =2．10．A 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵16a =-，434a =-，∴3364q -=-，解得12q =，∴116()2n n a -=-⨯．∴n T =012(1)1(6)()2nn +++⋅⋅⋅+--⨯=(1)21(6)()2n n n--⨯，当n 为奇数时，n T <0，当n 为偶数时，n T >0，故当n 为偶数时，n T 才有可能取得最大值．(21)2136()2k k k k T -=⨯．1(1)(21)4122(21)2136()1236()1236()2k k k k k k k k kT T +++++-⨯==⨯⨯，当k =1时，42918T T =>；当k ≥2时，2221k kT T +<． ∴2T <4T ，4T >6T >8T >⋅⋅⋅，则当n T 最大时，n 的值为4． 11．C 【解析】如图，取SC 的中点O ，连接OB ，OA ，因为SB ⊥BC ，SA ⊥AC ，SB =BC ，SA =AC ，所以OB ⊥SC ，OA ⊥SC ，OB =12SC ，OA =12SC ，所以SC ⊥平面OAB ，O 为外接球的球心，SC为球O 的直径，设球O 的半径为R ，则AB =12SC =R ，所以△AOB 为正三角形，所以∠BOA =60°，所以V S-ABC =V S-OAB +V C-OAB =2×12R 2sin 60°×13×R 93，解得R =3，故选C ．12．A 【解析】令()g x =x ()f x ，则()f x =()g x x，ln ()x g x x '=，∴22()()ln ()()g x x g x x g x f x x x '⋅--'==， 令()ln ()h x x g x =-，则11ln ()()xh x g x x x -''=-=，当0<x <e 时，()h x '>0，当x >e 时，()h x '<0，∴()()1()1()0h x h e g e ef e =-=-=≤，∴()f x '≤0． 令()()x f x x ϕ=-，则()()1x f x ϕ''=-≤-1<0，∴()x ϕ为减函数，又不等式()f x +e >x +1e可化为()x ϕ>()e ϕ，∴0<x <e ，故选A ．13．32【解析】二项式5(1)ax -(a >0)的展开式的第四项为3232245C ()(1)10T ax a x =⨯-=-，其系数为2210a x -=-40，又a >0，∴a =2，1a xdx -⎰=221213122xdx x -==-⎰． 14．55【解析】根据等差数列的性质，有211m m m a a a -++==2m a ，因为m a ≠0，所以m a =2．依题意21m S -=1a +2a +…+22m a -+21m a -=12(1a +21m a -)(2m −1)=(2m −1)m a =2(2m −1)=218，所以m =55．15．(1，+∞)【解析】易知函数||()||x f x e x =+为偶函数，故只需求函数()f x 在(0，+∞)上的图象与直线y k =有唯一交点时k 的取值范围．当x ∈(0，+∞)时，()x f x e x =+，此时()10x f x e '=+>，所以函数()f x 在(0，+∞)上单调递增，从而当x >0时，()x f x e x =+>(0)f =1，所以要使函数()f x 在(0，+∞)上的图象与直线y k =有唯一交点，只需k >1，故所求实数k 的取值范围是(1，+∞)．16．0【解析】由题意得直线OA 的斜率存在且不为0，设直线OA 的斜率为k (k ≠0)，则直线OA 的方程为y kx =，由22y kx y px=⎧⎨⎩解得A 222(,)p p k k ，易知B (,22p kp)，直线PQ 的方程为()2p y k x =-，联立方程得2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去x 得，2022ky kp y p --=， 设P (1x ，1y )，Q (2x ，2y )，由根与系数的关系得，212y y p =-，根据弦长公式得， |FP |·|FQ|=212122211||(1)||(1)y y y y p k k =+=+， 而|OA |·|OB|=221(1)p k=+， 所以|FP |·|FQ |-|OA |·|OB |=0．17．【解析】(1)()f x =m ·nx cos x −2cos x +12=1cos 21sin 2222x x +-+=12cos 2sin(2)26x x x π-=- 由222262k x k πππππ--+≤≤，k ∈Z ，得63k x k ππππ-+≤≤，k ∈Z ，故函数()f x 的单调递增区间为[k π−6π，k π+3π](k ∈Z)．（5分） (2)由题意得()f A =sin(2A −6π)=1， ∵A ∈(0，π)，∴2A −6π∈(−6π，116π)，∴2A −6π=2π，得A =3π．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得12=2b +16−2×4b ×12，即2b −4b +4=0，∴b =2．∴△ABC 的面积11sin 2422S bc A ==⨯⨯⨯sin 3π（12分）【备注】三角函数与解三角形类解答题的主要考查方式有三个：一是考查三角函数的图象和性质，三角恒等变换是主要工具；二是考查三角形中的三角恒等变换，正、余弦定理和三角函数的性质是主要工具；三是考查解三角形的实际应用，正、余弦定理是解决问题的主要工具．考生在备考时要注意这几个命题点．18．【解析】(1)∵随机变量ξ=2表示从袋中随机取球2次且每次取的都是红球，∴P (ξ=2)=22422253C C 1C C 5⨯=，即ξ=2的概率为15．（4分） (2)由题意知随机变量ξ的所有可能取值为2，3，4，由(1)知P (ξ=2)=15．又P (ξ=4)=111111113141211122225432C C C C C C C C 2C C C C 15⨯⨯⨯=，∴P (ξ=3)=102153=， ∴ξ的分布列为Eξ=2×15+3×23+4×215=4415．（12分）【备注】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映了随机变量取值的平均水平．求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后根据数学期望的计算公式求解．19．【解析】(1)解法一 如图，取AD 的中点N ，连接MN ，CN ．在1ADA ∆中，AN ND =，1A M MD =， 所以MN ∥1A A ．（2分）在直角梯形ABCD 中，BC ∥AD ，且BC =12AD =AN ， 所以四边形ABCN 是平行四边形， 所以AB ∥CN ．（4分）又AB ∩1AA =A ，CN ∩MN =N ， 所以平面11AA B B ∥平面CMN ．又CM ⊂平面CMN ，所以CM ∥平面11AA B B ．（5分）解法二 如图，取1AA 的中点E ，连接BE ，ME ．在1ADA ∆中，AE =1EA ，1A M =MD ， 所以EM ∥AD 且EM =12AD ．（2分） 在直角梯形ABCD 中，BC ∥AD ，且BC =12AD ， 所以EM ∥BC ，且EM =BC ， 所以四边形BCME 是平行四边形， 所以MC ∥EB ．（4分）又MC ⊄平面11AA B B ，EB ⊂平面11AA B B ，所以MC ∥平面11AA B B ．（5分）解法三 如图，在梯形ABCD 中，延长DC ，AB 交于点F ，连接1A F ．在梯形ABCD 中，BC ∥AD 且BC =12AD ， 所以DC =CF ． 又DM =1MA ， 所以MC ∥1A F ．又MC ⊄平面11AA B B ，1A F ⊂平面11AA B B ， 所以MC ∥平面11AA B B ．（5分） (2)取11A B 的中点P ，连接AP ，1AB ． 因为在菱形11AA B B 中，∠1B BA =3π， 所以AB =1AA =1AB =11A B ， 所以AP ⊥11A B ． 又AB ∥11A B ， 所以AP ⊥AB ．（7分）又侧面11ABB A ⊥平面ABCD ，侧面11ABB A ∩平面ABCD =AB ， 所以AP ⊥平面ABCD ， 又AB ⊥AD ，故以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A -xyz (如图所示)．则A (0，0，0)，D (0，4，0)，C (2，2，0)，P (0，03)，1A (−1，03，CD uuu r=(−2，2，0)，1CA u u u r=(−3，−23．因为AP ⊥平面ABCD ，（8分）所以AP u u u r=(0，03)为平面ABCD 的一个法向量． 设平面1A CD 的法向量为n =(x ，y ，z )，由1CD CA ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u ru u u r n n ，可得12203230CD x y CA x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩u u u r u u u r n n ， 即03230x y x y z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩， 令x =1，则y =1，z =53，所以n =(1，153)为平面1A CD 的一个法向量， 所以cos<AP u u u r ，n >=222533531331|||53311()3AP AP |⋅==⋅⨯++u u u ru u u u r nn ． 设二面角1A CD A --的大小为θ，由图可知θ∈(0，2π)， 所以cos θ=cos<AP u u u r ，n 531（12分）【备注】解决此类问题的关键是根据几何体的结构特征合理建立空间直角坐标系，空间平行与垂直的证明也可转化为空间向量的坐标运算；空间角的求解主要是直线的方向向量与平面的法向量的相关运算，转化为向量夹角即可，要注意向量夹角与所求角之间的关系，正确进行转化．20．【解析】(1)解法一 由题意，得2222144019a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2298a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆的方程为22198x y +=．（4分）解法二 设椭圆的左焦点为1F ，∵右焦点为2F (1，0)，∴c =1，1F (−1，0)， 又点M (2)在椭圆上， ∴2a = |MF 1|+|MF 2|= 6=， ∴a =3，b，∴椭圆的方程为22198x y +=．（4分）(2) 解法一 由题意，设AB 的方程为y kx m =+(k <0，m >0)， ∵直线AB 与圆22x y +=8相切，=，即m =，由22198y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(8+92k )2x +18kmx +92m −72=0，设A (1x ，1y )(0<1x 3)，B (2x ，2y )(0<2x 3)，则1x +2x =21889kmk-+，1x ·2x =2297289m k -+，（7分） ∴|AB1x −2x2689kmk-=+．（9分） 又22||AF =(1x −1)2+21y =(1x −1)2+8(1−219x )=19(1x −9)2，∴|AF 2|=13(9−1x )=3−131x ，同理|BF 2|=13(9−2x )=3−132x ．∴|AF 2|+|BF 2|=6−13(1x +2x )=6+2689kmk +，∴|AF 2|+|BF 2|+|AB |=6+2689km k +−2689kmk+=6，即2AF B ∆的周长为定值6．（12分） 解法二 设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，则2211198x y +==1(0<1x 3)，∴|AF 2=13(9−1x )=3−131x ，（7分）连接OP ，OA ，由相切条件，得|AP ==131x ，（10分）∴|AF 2|+|AP |=3−131x +131x =3， 同理|BF 2|+|BP |=3−132x +132x =3，∴|AF 2|+|BF 2|+|AB |=3+3=6，即2AF B ∆的周长为定值6．（12分）【备注】解析几何是高考的重点、难点和热点，对考生的解题能力要求较高，突出考查考生的分析、推理、转化等数学能力，因此在解决圆锥曲线问题时，如何避免繁杂、冗长的计算成为处理这类问题的难点与关键，解析几何题目常用的简化运算的技巧有：利用圆锥曲线的概念将条件等价转化、数形结合、设而不求．21．【解析】(1)因为b =2a +1，所以()f x =2(21)ln ax a x x -++，从而()f x '=12(21)ax a x-++=22(21)1(21)(1)ax a x ax x x x -++--=，x >0．（2分）当a 0时，由()f x '>0得0<x <1，由()f x '<0得x >1，所以()f x 在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减．当0<a <12时，由()f x '>0得0<x <1或x >12a ，由()f x '<0得1<x <12a， 所以()f x 在区间(0，1)和区间(12a，+∞)上单调递增，在区间(1，12a )上单调递减．（3分）当a =12时，因为()f x ' 0(当且仅当x =1时取等号)，所以()f x 在区间(0，+∞)上单调递增．（4分）当a >12时，由()f x '>0得0<x <12a 或x >1，由()f x '<0得12a<x <1，（5分）所以()f x 在区间(0，12a )和区间(1，+∞)上单调递增，在区间(12a ，1)上单调递减．综上，当a 0时，()f x 在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减； 当0<a <12时，()f x 在区间(0，1)和区间(12a ，+∞)上单调递增，在区间(1，12a)上单调递减；当a =12时，()f x 在区间(0，+∞)上单调递增，无单调递减区间；当a >12时，()f x 在区间(0，12a )和区间(1，+∞)上单调递增，在区间(12a ，1)上单调递减．（6分）(2)解法一 因为a =1，所以()f x =2ln x bx x -+(x >0)，从而()f x '=221x bx x-+ ，由题意知1x ，2x 是方程221x bx -+=0的两个根，故1212x x =．（8分） 记()g x =221x bx -+，因为b >3，所以1()2g =32b-<0，(1)g =3−b <0，所以1x ∈(0，12)，2x ∈(1，+∞)，且b 1x =221x +1，b 2x =222x +1，（9分）12()()f x f x -=(21x −22x )− (b 1x −b 2x )+12lnx x =− (21x −22x )+12ln x x ， 因为1x 2x =12，所以12()()f x f x -=22x −2214x −ln(222x )，2x ∈(1，+∞)．令t =222x ∈(2，+∞)，()t ϕ=12()()f x f x -=1ln 22t t t--．因为当t >2时，()t ϕ'=22(1)2t t ->0，所以()t ϕ在区间(2，+∞)上单调递增，所以()t ϕ>(2)ϕ=34−ln 2，即12()()f x f x ->34−ln 2．（12分） 解法二 因为a =1，所以()f x =2ln x bx x -+(x >0)，从而()f x '=221x bx x-+，由题意知1x ，2x 是方程221x bx -+=0的两个根，故1212x x =．（8分） 记()g x =221x bx -+，因为b >3，所以1()2g =32b-<0，(1)g =3−b <0，所以1x ∈(0，12)，2x ∈(1，+∞)，且()f x 在(1x ，2x )上是减函数，所以12()()f x f x ->1()(1)2f f -)=(11ln 422b -+)−(1−b )=−34+2b−ln 2，因为b >3，所以12()()f x f x ->−34+2b −ln 2>34−ln 2．（12分）22．【解析】(1)由已知，得圆心C 的直角坐标为(1)，半径为2，∴圆C 的直角坐标方程为22(1)(4x y -+-=，即2220x y x +--=，∵x =ρcos θ，y =ρsin θ，∴ρ2-2ρcos θ−ρsin θ=0， 故圆C 的极坐标方程为ρ=4cos(3π−θ)．（5分）(2)由(1)知，圆C 的直角坐标方程为2220x y x +--=， 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，(2+t cos φ)2t sin φ)2−2(2+t cos φ) −t sin φ)=0， 整理得，t 2+2t cos φ−3=0，设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则1t +2t =−2cos φ，1t ·2t =−3，∴|MN |=|1t −2t |==，∵φ∈[0，3π]，∴cos φ∈[12，1]，∴|MN |∈4]．（10分）【备注】在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x ，y 的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性；将极坐标方程化为直角坐标方程时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验． 23．【解析】(1)由()2f x a +->0得|x −3|>2−a ，∴x −3>2−a 或x −3<a −2． ∴x >5−a 或x <a +1，故不等式的解集为(−∞，a +1)∪(5−a ，+∞)．（5分）(2)∵函数()g x图象的上方，f x的图象恒在函数()∴()g x恒成立，f x>()则m<|x−3|+|x+4|恒成立，∵|x−3|+|x+4| |(x−3)−(x+4)|=7，∴m的取值范围为(−∞，7)．（10分）。

2020年浙江省台州市高考物理模拟试卷(4月份)一、单选题（本大题共13小题，共39.0分）1.关于磁场，以下说法正确的是[]A. 电流在磁场中某点不受磁场力作用，则该点的磁感强度一定为零B. 磁场中某点的磁感强度，根据公式B=F/I·l，它跟F，I，l都有关C. 磁场中某点的磁感强度的方向垂直于该点的磁场方向D. 磁场中任一点的磁感强度等于磁通密度，即垂直于磁感强度方向的单位面积的磁通量2.如图所示，两根通电直导线垂直于纸面平行放置，电流分别为I1和I2，且I1=I2，电流方向如图所示，O点位于两导线连线的中点，则()A. O点磁感应强度方向向下B. O点磁感应强度方向向上C. 两根通电导线之间相互吸引D. 两根通电导线之间无相互作用力3.下列关于惯性的说法，正确的是()A. 静止的物体没有惯性B. 受力大的物体状态容易改变，说明受力大的物体惯性小C. 根据牛顿第一定律可知，力是改变物体惯性的原因D. 物体惯性大小与物体运动状态无关4.绳子的一端拴一重物，用手握住另一端，使重物在光滑的水平面内做匀速圆周运动，下列判断正确的是()A. 每秒转数相同，绳短时易断B. 线速度大小一定，绳短时易断C. 运动周期一定，绳短时易断D. 线速度大小一定，绳长时易断5.如图所示，水平传送带以v=2m/s的速率匀速运行，上方漏斗每秒将40kg的煤粉竖直放到传送带上，然后一起随传送带匀速运动。

如果要使传送带保持原来的速率匀速运行，则电动机应增加的功率为()A. 80WB. 160WC. 400WD. 800W6.一战斗机进行投弹训练，战斗机以恒定速度沿水平方向飞行，先后释放甲、乙两颗炸弹，分别击中竖悬崖壁上的P点和Q点．释放两颗炸弹的时间为t，击中P、Q的时间间隔为t′，不计空气阻力，以下对t和t′的判断正确的是()A. t′=0B. 0<t′<tC. t′=tD. t′>t7.如图所示，带正电的导体A固定在绝缘支架上，当带负电的导体B靠近A时，下列说法中正确的是()A. A带的电荷量增加B. A带的电荷量减少C. A受到的库仑力增大D. A受到的库仑力减小8.下列关于α粒子散射实验的说法中，正确的是()A. 绝大多数α粒子穿过金箔后发生了较大角度的偏转B. 使α粒子发生明显偏转的力来自带负电的核外电子C. 实验表明：原子中心有一个极小的核，它占有原子体积的极小部分D. 实验表明：原子中心的核带有原子的全部正电荷及全部质量9.如图所示，厚度为h，宽度为d的金属导体，通有向右的电流I，磁场方向与导体前表面垂直，在导体上下表面会产生电势差，这种现象称为霍尔效应。

2020-2021学年⾼三数学（理科）第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境！@绝密★启⽤前试卷类型：A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和⾮选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。

2．选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。

3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。

4．考⽣必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀.选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是（）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（）@学⽆⽌境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ?∈R ，”，则?p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ?∈++的否定是：“210x x x ?∈++D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为（） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖，这6名学⽣要排成⼀排合影，则同校学⽣排在⼀起的概率是（）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执⾏如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某⼏何体的三视图(单位：cm )如图所⽰，则该⼏何体的体积（）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（） A ．8 9 C ．10 D. 11 11．=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （）A ．?60B ．C ．?150D ．?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其⽣动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值，则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆.填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题 5分，共20分.13．⼀个长⽅体⾼为5，底⾯长⽅形对⾓线长为12，则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯⼝直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ，则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本⼤题共5⼩题，每题12分共60分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17．（本⼩题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．设集合(){}2log 11A x x =-≤，1122x B x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．(],2-∞B ．[]1,2C ．(]1,2D ．(]1,3【答案】C【分析】解指数不等式和对数不等式得集合,A B ，然后由交集定义计算．【详解】由题意(){}2log 11{13}A x x x =-≤=<≤，112{|2}2x B x x x -⎧⎫=≥=≤⎨⎬⎩⎭，所以{|12}A B x x =<≤．故选：C ．2． i 是虚数单位，复数z 与复平面内的点()2,1Z 对应，设0i1iz z +=+，则0z =（ ） A ．1i - B ．1 C ．2 D 2 【答案】D【分析】依题意可得2i z =+，再根据复数代数形式的除法运算化简0z ，即可求出其模； 【详解】解：由题设可得：2i z =+，2i z =-，∴()()()021i i 2i i 21i 1i 1i 1i 1i 1i z z -+-+=====-++++-， ∴0112z =+ D.3．足球起源于中国东周时期的齐国，当时把足球称为“蹴鞠”.汉代蹴鞠是训练士兵的手段，制定了较为完备的体制.如专门设置了球场，规定为东西方向的长方形，两端各设六个对称的“鞠域”，也称“鞠室”，各由一人把守.比赛分为两队，互有攻守，以踢进对方鞠室的次数决定胜负.1970年以前的世界杯用球多数由举办国自己设计，所以每一次球的外观都不同，拼块的数目如同掷骰子一样没准.自1970年起，世界杯官方用球选择了三十二面体形状的足球，2022年新高考数学模拟卷（一）沿用至今.如图Ⅰ，三十二面体足球的面由边长相等的12块正五边形和20块正六边形拼接而成，形成一个近似的球体.现用边长为4.5cm 的上述正五边形和正六边形所围成的三十二面体的外接球作为足球，其大圆圆周展开图可近似看成是由4个正六边形与4个正五边形以及2条正六边形的边所构成的图形的对称轴截图形所得的线段AA '，如图Ⅱ，则该足球的体积约为（ ）参考数据：tan 72 3.1︒≈3 1.7≈，3π≈，222.5506.25=，322.511390.62=.A ．35695.31cmB ．32847.66cmC ．31518.75cmD ．31488.85cm【答案】A【详解】设正五边形的边长为a ，则 4.5a =，如下图，在正五边形中，内角为108，边长为4.5，Rt ABC 中，180108108722ACB -∠=-=，tan 72tan 722a AB BC =⋅=，因为在正六边形中，内角为120，边长为4.53a ，所以大圆的周长为()434tan 7224 1.72 3.12 4.567.52aa a +⋅+=⨯+⨯+⨯=，设球的半径为R ，则267.5R π=，可得67.52R π=， 所以，该足球的体积为333334467.522.511390.625695.31cm 33822V R πππ==⋅⋅=≈=.故选：A. 4．若函数()()sin 2f x x ϕ=-在区间(0,)2π上单调递减，则实数ϕ的值可以为（ ）A ．23π B ．2π C ．3π D ．4π 【答案】B【分析】将函数化为()()sin 2f x x ϕ-=-，求出2x ϕ-的范围，再根据正弦函数的单调性列出不等式组，即可得出答案.【详解】解：()()()s sin 22in f x x x ϕϕ=-=--，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2,x ϕϕπϕ-∈--，又因函数()()sin 2f x x ϕ=-在区间(0,)2π上单调递减，所以22,22k k Z k πϕπππϕπ⎧-≥-+⎪⎪∈⎨⎪-≤+⎪⎩，解得2,2k k Z πϕπ=+∈.当0k =时，2ϕπ=.故选：B. 5．已知椭圆2214x y +=，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]1,2 B ．2,3⎡⎣ C ．2,4⎡⎤⎣⎦D ．[]1,4【答案】D【分析】计算出12PF PF ⋅的取值范围，结合椭圆的定义可求得1211PF PF +的取值范围. 【详解】对于椭圆2214x y +=，2a =，1b =，3c =根据椭圆的定义可得1224PF PF a +==， 设1PF x =，则24PF x =-，且a c x a c -≤≤+，即2323x ≤≤ 则()()[]221244241,4PF PF x x x x x ⋅=-=-+=--+∈，所以，[]121212121141,4PF PF PF PF PF PF PF PF ++==∈⋅⋅.故选：D. 【点睛】本题考查利用椭圆的定义求解代数式的取值范围，考查计算能力，属于中等题. 6．已知,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且27cos sin 210αα+=，则2cos 1sin 2αα=+（ ） A ．1126B ．4936 C ．14D ．136【答案】B【分析】由条件可得212tan 71tan 10αα+=+，结合条件求出1tan 7α=-，将所求化为2222cos 1cos sin 2sin cos 1tan 2tan ααααααα=++++，从而可得答案.【详解】由27cos sin 210αα+=，即222cos 2sin cos 7cos sin 10ααααα+=+即212tan 71tan 10αα+=+，所以27tan 20tan 30αα--=，即()()7tan 1tan 30αα+-= 所以1tan 7α=-或tan 3α=，由,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以1tan 7α=-22222cos cos 1149121sin 2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 361497ααααααααα====++++++-故选：B7．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：3.1415926 3.1415927π<<，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为（ ） A ．720 B ．1440 C ．2280 D ．4080【答案】C【分析】以间接法去求解这个排列问题简单快捷. 【详解】一共有7个数字，且其中有两个相同的数字1.这7个数字按题意随机排列，可以得到77222520A A =个不同的数字.当前两位数字为11或12时，得到的数字不大于3.14当前两位数字为11或12时，共可以得到552240A =个不同的数字，则大于3.14的不同数字的个数为25202402280-=故选：C 8．若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ） A ．ln a b < B ．ln b a < C ．ln b a < D ．ln a b <【答案】D【分析】设切点坐标为00(,)x y ，由切点坐标求出切线方程，代入坐标(,)a b ，关于0x 的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数（构造新函数）图象有两个交点，由导数确定函数的性质后可得．【详解】设切点坐标为00(,)x y ，由于1y x'=， 因此切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，又切线过点(,)a b ，则000ln a x b x x --=，001ln a b x x +=+， 设()ln a f x x x =+，函数定义域是(0,)+∞，则直线1y b =+与曲线()ln af x x x=+有两个不同的交点，221()a x a f x x x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在定义域内单调递增，不合题意； 当0a >时，0x a <<时．()0f x '<，()f x 单调递减，x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以min ()()ln 1f x f a a ==+，由题意知1ln 1b a +>+，即ln b a >．故选：D ．二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2021·广东高三月考）若甲组样本数据1x ，2x ，…，n x （数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据13x a +，23x a +，…，3n x a +的平均数为4，则下列说法正确的是（ ） A ．a 的值为-2B ．乙组样本数据的方差为36C ．两组样本数据的样本中位数一定相同D ．两组样本数据的样本极差不同【答案】ABD【解析】由题意可知：324a ⨯+=，故2a =-，故A 正确；乙组样本数据方差为9436⨯=，故B 正确；设甲组样本数据的中位数为i x ，则乙组样本数据的中位数为32i x -，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C 错误；甲组数据的极差为max min x x -，则甲组数据的极差为()()()max min max min 32323x x x x ---=-，所以两组样本数据的样本极差不同，故D 正确；故选：ABD10．数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：ABC 的外心O ，重心G ，垂心H ，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线. 若4AB =，2AC =，则下列各式正确的是（ ）A ．20GO GH +=B ．4AG BC ⋅= C ．6AO BC ⋅=-D ．OH OA OB OC =++ 【答案】ACD【分析】根据欧拉线定理可判断A ；利用向量的加、减运算可判断B ；利用向量的数量积可判断C ；利用向量的加法运算以及欧拉线定理可判断D.【详解】A ，由题意可得12GO GH =-，即20GO GH +=，故A 正确；B ，由G 是ABC 的重心可得221111332233AG AM AB AC AB AC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭, 所以()()()2211433AG BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=-=-，故B 错误； C ，过ABC 的外心O 分别作,AB AC 的垂线，垂足为,D E ，如图，易知,D E 分别是,AB AC 的中点，则()AO BC AO AC AB AO AC AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅ cos cos AO AC OAE AO AB OAD =∠-∠2211622AE AC AD AB AC AB =-=-=-，故C 正确；D ，因为G 是ABC 的重心，所以0GA GB GC ++=，故()()()OA OB OC OG GA OG GB OG GC ++=+++++33OG GA GB GC OG =+++=， 由欧拉线定理可得3OH OG =,所以OH OA OB OC =++，故D 正确.故选：ACD11．已知点A 是圆C :()2211x y ++=上的动点，O 为坐标原点，OA AB ⊥，且||||OA AB =,O ，A ，B 三点顺时针排列，下列选项正确的是（ ）A ．点B 的轨迹方程为()()22112x y -+-= B ．||CB 的最大距离为12C ．CA CB ⋅21 D ．CA CB ⋅的最大值为2 【答案】BD【详解】如图，过O 点作//,OD AB OD AB =且则点()1,0C -，设点()00,A x y ，设xOA α∠=，则2xOD πα∠=-，设||OA a =，所以，0cos x a α=，0sin y a α=，所以，0cos sin 2D x a a y παα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，0sin cos 2D y a a x παα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，即点()00,D y x -，因为()0000,OB OA OD x y y x =+=+-，设点(),B x y ，可得0000x x y y y x =+⎧⎨=-⎩，解得0022x y x x y y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，因为点A 在圆()2211x y ++=上，所以()220011x y ++=， 将0022x y x x y y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩代入方程()220011x y ++=可得221122x y x y -+⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理可得()()22112x y ++-=，所以A 是错的，所以CB 的最大距离为12B 是对的， 设,090CAO θθ︒∠=≤≤，2o ()1||||cos(90)CA CB CA CA AB CA CA AB CA AB ⋅=⋅+=+⋅=+⋅-θ1|OA |sin 12cos sin 1sin 22=+=+=+≤θθθθ,所以CA CB ⋅的最大值为2，D 是对的.故选：BD10.在棱长为1的正方体中，点，分别足，，其中，，则（ ）A ．当时，三棱锥的体积为定值B ．当时，点，到平面的距离相等C ．当时，存在使得平面D ．当时， 【答案】ABD【解析】由即可判断A ；当时，点是的中点可判断B ；建立空间直角坐标系，计算可判断C ；设，求出所需各点坐标，计算可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：当时，，此时点位于点处，三棱锥，为定值，点到面的距离为是定值， 所以三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，故选项A 正确；1111ABCD A B C D -E F AE AB λ=BF BC μ=[]0,1λ=[]0,1μ∈1μ=11A B EF -12λ=A B 1B EF 12μ=λ1BD ⊥1B EF λμ=11A F C E ⊥111111A B EF A B EC C A B E V V V ---==12λ=E AB 110BD BF ⋅≠AE m =110A C E F ⋅=1μ=BF BC =F C 1111A B EF A B EC V V --=11C A B E V -=1111111111222A B ESA B AA =⨯⨯=⨯⨯=C 11A B E 1CB =11A B EC -11A B EF -对于B ：当时，点是的中点，所以点，到平面的距离相等，故选项B 正确；对于C ：当时，点是的中点，建立如图所示空间直角坐标系，则， ，，，可得，，所以，所以与不垂直，所以不存在使得平面，故选项C 不正确；对于D ：设，则，，，所以，，因为，所以，故选项D 正确；故选：ABD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数，若，则______．【答案】【分析】本题首先可根据得出，然后根据即可得出结果.【详解】因为，所以，，则，故答案为：.14．函数()2|ln |2f x x x =--+的最大值为___________. 【答案】1ln 2-【分析】由题去绝对值分情况讨论，分别求导求最值，即可求得最大值. 【详解】由题知当1≥x 时，()2ln 2f x x x =--+，∴1()20f x x'=--<∴()f x 在[1,)+∞为减函数，∴max ()(1)0f x f ==； 当01x <<时，()2ln 2f x x x =-++，∴121()2=x f x x x -+'=-+，∴当1(0,)2x ∈时，()0f x '>，当1(,1)2x ∈时，()0f x '<，∴max 1()()1ln 22f x f ==-，综上可知，max ()1ln 2f x =-.故答案为：1ln 2-.12λ=E AB A B 1B EF 12μ=F BC ()1,1,0B ()10,0,1D ()11,1,1B 1,1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭()11,1,0BD =--11,0,12B F ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()()()111110101022BD B F ⎛⎫⋅=-⨯-+⨯-+⨯-=≠ ⎪⎝⎭1BD 1B F λ1BD ⊥1B EF AE m =()1,,0E m ()1,1,0F m -()11,0,1A ()10,1,1C ()1,1,1A F m =--()11,1,1C E m =--11110A F C E m m ⋅=-+-+=11A F C E ⊥()3sin 1f x x x =++()2f a =()f a -=0()2f a =3sin 1a a +=()3sin 1f a a a -=--+()2f a =3sin 12a a ++=3sin 1a a +=()()()33sin 1sin 1110f a a a a a -=-+-+=--+=-+=015．如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．【答案】31+【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案；【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||3AC R =， 1(31)(||||)22R a AC BC -=-=，31==+c e a ．故答案为：31+ 16．九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷.长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家们用于教学研究的课题和例子.中国的末代皇帝溥仪(1906–1967)也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环(如图).现假设有n 个圆环，用n a 表示按某种规则解下n 个圆环所需的最小移动次数.已知数列{}n a 满足下列条件：11a =，22a =，122n n n a a --=+()3,n n N*≥∈，记{}na 的前项和为nS，则：（1）9a =________；（2）100S =________.【答案】34110221543-.【分析】分n 为偶数和n 为奇数两种情况，由题中条件，利用叠加法，由等比数列的求和公式，求出数列的通项，即可求出9a ；再由分组求和的方法，即可求出100S . 【详解】（1）当n 为偶数时，113135135324622222222222n n n n n n n n n n n n n a a a a a ------------=+=++=+++=⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅+()()13531221212222222123n n n n n ---+-=+++⋅⋅⋅++==--； 当n 为奇数时，113135135224612222222222n n n n n n n n n n n n n a a a a a ------------=+=++=+++=⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅+()11352121212222121123n n n n n +---+-=+++⋅⋅⋅++==-- ∴()9191213413a +=-= （2）()()100139924100S a a a a a a =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()()()()()24100351011121212122222233⎡⎤⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-+-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦⎣⎦ ()()1022345100101112154222222150333-=++++⋅⋅⋅+++-=.故答案为：341；10221543-. 【点睛】求解本题的关键在于根据题中条件，讨论n 为奇数和n 为偶数两种情况，利用叠加法（累加法）求出数列的通项即可；在求数列的和时，可利用分组求和的方法求解.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．在①cos cos a b A B =；②22tan tan a b A B=,这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， .（1）判断△ABC 的形状；（2）在（1）的条件下，若5cos A =b ＝10，AD 为BC 边上的中线，求AD 的长. 【答案】（1）选①，cos cos a b A B =，由正弦定理理sin sin cos cos A BA B=，即tan tan A B =，又,A B 是三角形ABC 内角，所以A B =，△ABC 是等腰三角形；选②，22tan tan a b A B =，由正弦定理得22sin sin tan tan A BA B =，所以sin cos sin cos A A B B =， sin 2sin 2A B =，又,A B 是锐角三角形内角，所以22A B =或22A B π+=，所以A B =或2A B π+=，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形；（2）选①，A B =，则10a b ==，5BD =，52cos 21045AB b A ==⨯= ABD △中，由余弦定理得：2222cos AD AB BD AB BD B=+-⋅225(45)5245565=+-⨯=，65AD =；选②，A B =时同选①得65AD2A B π+=时，5cos A =，则25sin A =tan 2A =，所以220BC AC ==，10CD =， 所以222AD AC CD =+=18．已知等差数列{}n a 为递增数列，且()2,14P a ，()4,14Q a 都在45y x x=+的图像上. (1)求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S(2)设()()11nnn a b n n -=+，求数列{}n b 的前n 项和nT，且1n T n λ<+，求λ取值范围.【答案】(1)2+1=n a n ，2+2n S n n =；(2)()11+1+1nn T n =--；()2-+∞，. 【分析】（1）由已知建立方程组，求得2459a a ==，，再利用等差数列的通项公式和求和公式可求得答案；（2）由（1）得()111+1n n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，分n 为奇数，n 为偶数两种情况，分别求得n T ，再将不等式等价于()()>11nn λ--+，令()()11nn c n =--+，由数列的单调性可求得答案. (1)解：由题意得224445+1445+14a a a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即24a a ，是方程4514x x +=的两个根， 即24a a ，是方程()()905x x --=的两个根， 又数列{}n a 为递增数列，解得2459a a ==，， 所以等差数列{}n a 的公差429524242a d a --===--，所以1523a =-=， 所以()3+212+1n a n n =-=，()2132+22n n n n S n n -=+⨯=； (2)解：由（1）得()()()()()()112+1111+111nnn n n a n b n n n n n n --⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭，当n 为奇数时，1111111+++++122334+1n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当n 为偶数时，1111111+++++1+22334+1n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()11+1+1nn T n =--. 由1n T n λ<+ ，即()11+1+11nn n λ--<+，得()()>11n n λ--+，令()()11nn c n =--+，当n 为奇数时，2n c n =--，且135>>>c c c ，当n 为偶数时，n c n =-，且246>>>c c c ，又13c =-，22>3c =--，所以>2λ-，故λ取值范围为()2-+∞，. 19．绿水青山就是金山银山，生态环境日益受大家重视．2021年广州市某公司为了动员职工积极参加植树造林，在3月12日植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每位植树者植树每满15棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满25棵获得一次乙箱内摸奖机会．每箱内各有10个球（这些球除颜色外全相同），甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中a 个红球、b 个黄球、5个黑球（*,a b N ∈），乙箱内有4个红球和6个黄球．每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金．（1）经统计，每人的植树棵数X 服从正态分布()20,25N ，现有100位植树者，请估计植树的棵数X 在区间()15,25内的人数（结果四舍五入取整数）；（2）某人植树50棵，有两种摸奖方法：方法一：三次甲箱内摸奖机会；方法二：两次乙箱内摸奖机会；请问：这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大？ 附参考数据：若()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈．【答案】（1）68人；（2）第二种方法所得奖金期望值大.【分析】（1）根据正态分布三段区间的概率值，求特殊区间概率，进而求得植树在()15,25内的人数.（2）由题设5a b +=，确定甲箱摸奖的概率，注意参数的取值范围求期望值的最值，再由乙箱摸奖的概率求期望值，比较它们的大小.【详解】（1）由题设，20,5μσ==，而(1525)()0.6827P X P X μσμσ<<=-<<+≈， ∴100位植树者中植树的棵数在()15,25内的人数为1000.682768⨯≈人. （2）摸甲箱：由题设知5a b +=，故中100元、50元、没中奖的概率分别为10a 、10b 、12； 摸乙箱：中100元、50元的概率分别为25、35，∴甲箱内一次摸奖，奖金可能值为{0,50,100}X =，且1(0)2P X ==，(50)10b P X ==，(100)10a P X ==，则1()05010051025521010b aE X b a a =⨯+⨯+⨯=+=+， ∴三次摸奖的期望为3()7515E X a =+，而a 可能取值为{1,2,3,4}，即3()135E X ≤. 两次乙箱内摸奖，所得奖金可能值为{100,150,200}X =，22239(100)()525P X C ===，122312(150)()()5525P X C ===，22224(200)()525P X C ===，此时，期望奖金为19124()100150200140252525E X =⨯+⨯+⨯=元. 综上，13()135()140E X E X ≤<=，故第二种方案摸奖期望值大.20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，13AB BC AA ===，AC 33=F 为棱1BB 上一点，1BF =，连接AF ，1C F ．(1)证明：平面1AC F ⊥平面11BCC B ；(2)求平面1AC F 与平面11AA B B 所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析 39【分析】（1）作出辅助线，由相似，余弦定理和勾股定理逆定理得到线线垂直，进而证明线面垂直，面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.(1)如图，延长1C F 和CB 的延长线相交于点E ，连接AE ，则AE 为平面1AC F 与底面ABC 的交线，由已知得，12B F BF =，11B C F BEF ∽△△，所以32BE =，由AB 、BC 的长都为3，AC 的长为33120ABC ∠=︒，所以60ABE ∠=︒， 在三角形ABE 中，由余弦定理，得22332cos602AE AB BE AB BE =+-⋅⋅︒， 所以222AB AE BE =+，所以AE BE ⊥，即AE CE ⊥，又111ABC A B C -是直三棱柱，故1CC ⊥平面ABC ，又AE ⊂平面ABC ，所以1CC AE ⊥，因为1CE CC C ⋂=，所以AE ⊥平面11BCC B ， 又AE ⊂平面1AC F ，所以平面1AC F ⊥平面11BCC B ；(2)以E 为坐标原点，EC ，EA 所在直线分别为x 轴、y 轴，平行于1BB 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0E ，33A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，19,0,32C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，33EA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，19,0,32EC ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 设平面1EAC 的法向量为(),,n p q r =，则1330,2930,2n EA n EC p r ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩即0,320,q p r =⎧⎨+=⎩不妨设()2,0,3n =-，由（1）得3,0,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，13,0,32B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，333,22BA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()10,0,3BB =， 设平面1ABB 的法向量为()1,,n x y z =，则1113330,2230,n BA x y n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩即30,0,x z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩不妨设()13,1,0n =，设平面1AC F 与平面11AA B B 所成锐二面角为θ，则1139cos 13n n n nθ⋅==⋅， 所以平面1AC F 与平面11AA B B 39 21．设点(1,0)F ，动圆经过点F 且和直线1x =-相切，记动圆的圆心P 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)过点F 的直线交曲线E 于A ，B 两点，另一条与直线AB 平行的直线交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，若NAB △是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，求点M 的横坐标．【答案】(1)24y x = (2)3(13)2- 【分析】（1）根据抛物线的定义可得抛物线方程；（2）可设直线AB 的方程为1x my =+，联立抛物线方程，得到AB 中点C 坐标以及||AB ，再根据条件可知NC AB ⊥，从而求得点N 坐标，利用1||||2NC AB =，结合直线MN 的方程即可求得结果.(1)由题意，点P 到点F 的距离等于到直线1x =-的距离，所以点P 的轨迹是以()1,0F 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线，2p = , 故曲线E 的方程是24y x =.(2)显然，直线AB 不与x 轴重合，设直线AB 的方程为1x my =+，与E 联立得：2440y my --= 设()()1122,,,A x y B x y ，则121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩ 则1222y y m +=，2121212y y m m ++=+， 即AB 中点C 坐标为()221,2m m +，()()()21212||11444AB x x m y y m =+++=++=+由题意△NAB 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，故NC AB ⊥，过C 与AB 垂直的直线，其方程为()2212y m x m m =---+，令0x =，得323y m m =+，故点N 坐标为()30,23m m +，又21||||222NC AB m ==+)22212122m m m ++=+， 21m t +=，则()22212t t t -=，由1t ≥，解得132t =，21312m +=，解得232m =又直线MN 的方程为3123y x m m m=++，令0y =，得到点M 横坐标为423(13)232M x m m -=--=. 22．已知函数()ln af x x x=+.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()()()12122f x f x x x ==≠，证明：212e a x x a <<.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)求出函数()f x 的导函数()f x '，再讨论()0f x '>或()0f x '<即可作答.(2)由(1)求出()0,e a ∈，把所证不等式分成两部分分别作等价变形，构造函数，利用导数探讨函数的单调性推理作答. (1)函数()ln a f x x x =+的定义域为()0,∞+，求导得：()2x af x x-'=， 当0a ≤时，()0f x '>恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递增，当0a >时，()0f x '<的解集为()0,a ，()0f x '>的解集为(),a +∞， 即()f x 的单调增区间为(),a +∞，单调减区间为()0,a ， 所以，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当0a >时，()f x 在(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减.(2)因为()()()12122f x f x x x ==≠，由(1)知，0a >，且()()min ln 12f x f a a ==+<，解得()0,e a ∈，设12x x <，则120x a x <<<，要证212x x a >，即证221a x a x >>，即证()221a f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 即证()211a f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，设()()()2()2ln 2ln ,0,a a xg x f x f x a x a x x a =-=+--∈，则()()222210x a a g x x x a ax --'=--=<，即()g x 在()0,a 上单调递减，有()()0g x g a >=， 即()()()20,a f x f x a x ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，则()211a f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭成立，因此212x x a >成立，要证12e x x a <，即证21e a a x x <<，即证()21e af x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即证()11e a f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即证()1112ln ln 1,0,ex x a x a <-++∈，而1111ln 2(2ln )a x a x x x +=⇔=-，即证()()1111ln 2ln ,0,ex x x a <+-∈， 令()()()ln 2ln ,0,e ex h x x x =+-∈，则()()112ln e h x x x '=-+-， 设()()()2ln ,0,e x x x x ϕ=-∈，求导得()1ln 0x x ϕ'=->，即()x ϕ在()0,e 上单调递增，则有()()0e e x ϕϕ<<=，即()0h x '<，()h x 在()0,e 上单调递减，而(0,)(0,e)a ⊆，当()0,x a ∈时，()()()e 1h x h a h >>=，则当()0,x a ∈时，()1ln 2ln exx <+-成立，故有12e x x a <成立，所以，212e a x x a <<。