02级《信号与系统》期末试卷解答
一、基本题（第3小题5分，其余各小题每题4分，共25分） 1．⎰+∞
∞-=tdt t 0cos )(ωδ 1
⎰
∞
-=t
d ττωτδ0cos )( u (t )
0[]cos n n δω⋅= δ[n ] 0[]*cos n n δω= cos ω0n 2．已知系统函数)
2)(1(1
)(++=
s s s H ，起始条件为：2)0(,1)0(='=--y y ，则系统
的零输入响应y zi （t ）=243t t e e ---。
3．信号f （t ）如图１所示，求=)(ωj F F )]([t f ，并画出幅度谱)(ωj F 。
图１ 2()2Sa(),j F j e
ω
ωω-= ()2Sa()F j ωω=
4．周期矩形脉冲信号f （t ）的波形如图2所示，已知τ=0.5μs , T = 1.5μs ,则谱线间隔为
32
103
⨯kHz ,频谱图包络的第一个零值点坐标为
3
210⨯kHz 。
ω
2
2
t
图2
5．已知理想低通滤波器的系统函数为
ωπωπωω3
)]()([2)(j e u u j H ---+=
y (t )
x (t )
若x (t )=δ(t )
则y (t )=2Sa[(3)]
t π-
若x (t )=sin 2t +2sin 6t
则y (t)= 2sin 2（t -3）
6．已知[][1]2[]3[1],[]2[1][1]x n n n n h n n n δδδδδ=++--=++-，则
[][]x n h n *=
2[2]4[1]5[]2[1]3[2]n n n n n δδδδδ+++-+---。
二、（10分）一线性时不变系统的输入x 1（t ）与零状态响应)(1t y ZS 分别如图3(a)与(b)所示：
1．求系统的冲激响应h （t ），并画出h （t ）的波形；
2．当输入为图3(c)
所示的信号)(2t x 时，画出系统的零状态响应)(2t y ZS 的波形。
(a)
(b)
图3
解：1. 1()()()(1)h t x t u t u t ==-- 2.
211()()(1)x t x t x t =--
211()()(1)zs zs zs y t y t y t ∴=--
三、（10分）试用一个电阻R 和一个电容C 设计一个高通滤波器 1. 画出你所设计的高通滤波器的电路，并求出系统函数H (s )； 2. 画出所设计电路的幅频特性与相频特性曲线； 3. 为了使截止频率s rad c /1=ω ，求出R 与C 之间应满足的关系。
解：1. ()11R s
H s R s sC
RC
=
=
+
+ 2. ()1j H j j RC
ωωω=
+
3. 1/c rad s ω=，即：1/1,
1RC RC =∴=
四、（15分）已知某离散系统的系统函数为
25.0)
3)(2)(5.0()(<<---=
z z z z z
z H ，
1．判断系统的因果性与稳定性（说明理由）； 2．求系统的单位样值响应[]h n ；
3．若取)(z H 单位圆内的零、极点构成一个因果系统)(1z H ，写出)(1z H 的表达式，
注明收敛域，并画出)(1z H 的幅频特性曲线。
RC
RC
4590
C
x (t +
4．系统的单位样值响应[]h n 是否存在傅里叶变换？为什么？
解：1. 从收敛域判断出，h [n ]为双边序列，所以该系统为非因果系统。又因为收敛域包括单位圆，因此该系统稳定。
2. 4221535()0.520.523
z z z H z z z z z -=
++<<---
422
[](0.5)[][23](1)1535
n n n h n u n u n ∴=
⨯+⨯-⨯-- 3. 1
()0.50.5
z
H z z z =>-
，11()()0.5
j j j j e H e H e e Ω
Ω
ΩΩ
==
-
4. 因为收敛域包括单位圆，所以h [n ]存在傅里叶变换。
五、（13分）图4（a ）所示系统，已知当)()(t t x δ=时，全响应为)()(3
2
)(3t u e t t y t
-+=δ
1．求冲激响应)(t h 和阶跃响应)(t g ，并画出)(t g 的波形； 2．求系统的零输入响应()zi y t ；
3．若激励信号)(t x 如图4（b ）所示，求系统的零状态响应).(t y ZS
Ω
t
(a)
(b)
图4
解：1. 211()2333
()11123
s H s s s +-==+++
， 322()()()39t
h t t e u t δ-∴=- 2
13()()13
G s H s s s ==+ 32()()3
t
g t e u t -∴= 2. 3
11()()()()9
t
zi y t y t h t e u t -=-=
3．0
()()n x t t nT δ∞
==-∑
1
()30022()()()()39t nT zs n n y t h t nT t nT e u t nT δ∞
∞
--==⎡⎤∴=-=---⎢⎥⎣⎦
∑∑
六、（13分）已知两信号分别为：t t c t t g c c 21cos )(,cos 3.01)(ωω=+=，其中12c c ωω<< 1．粗略画出调幅信号)()()(t c t g t s =的波形；
2．若s rad s rad c c /1000,/121==ωω，分别画出=)(ωj G F )]([t g 和
=)(ωj S F )]([t s 的频谱图；
3．若s rad c /21=ω，现用∑∞
-∞
=-
=
n T n t t )3
()(π
δδ对)(t g 进行取样，即)()()(t t g t f T s δ=,
求=)(ωj F s F )]([t f s ，并画出)(ωj F s 的频谱图。
