对汽车牵引力问题的探讨

对汽车牵引力问题的探讨 . 前些日子，笔者发现有的坛友对车辆受的牵引力、摩擦力、阻力等一些概念不是十分清楚，这本不是中学物理要研究的问题（教科书中回避这类问题），但某些习题中又打擦边球地出现了，因此有的老师提出来讨论。看来有必要澄清一下。 这里从网上一位教师博客里转来一篇论文《对汽车牵引力问题的探讨》供坛友学习研讨。（建议中学生及非物理老师不必阅读，免得耽误时间）

对汽车牵引力问题的探讨 在物理教学中，常遇到有关牵引力问题.对"汽车牵引力问题",中学物理教科书中未做任何阐述，几种大型词典或未将"汽车牵引力"列为词条，或对"牵引力" 词条的解释也不尽一致.于是，各种刊物时有文章谈论"汽车牵引力问题"，有对汽车牵引力概念的研究，有关于牵引力做功与否的争论.有的文章看后很受启发， 但也有的文章不能自圆其说.本文探讨了汽车牵引力的本质，并讨论和解释了有关牵引力的几种现象，最后对词典中"牵引力"词条释义提出了修改建议. 1 研究模型的设定 为了便于研究，我们先讨论后轮为驱动轮的汽车在水平路面上向前运动并不计空气阻力的情况.

由于汽车左右两边的力学对称性，前后分别用一个轮子表示.设汽车质量为m，质心O到地面的距为h，总重按距离反比律分解在前、后轮轴心上方距离地面为h处（即分重心O1、O2）的力大小分别为G1(= m1g)和G2(=m2g)，前、后两轮受到的支持力分别是N1和N２，显然，N1 = G1、N２＝G2，N1＋N２＝G1＋G2＝G. 设前后两轮半径均为R，由于车轮和地面都不是刚体，受压时都发生形变，今忽略地面的形变，并设前、后两轮胎的形变角（形变部分的弧所对的圆心角）均为2θ，不考虑前后轮因充气量差异和汽车运动中加速度变化导致N1、N2变化而引起的形变角变化. 汽车静止时，汽车静止时，N1与G1，N２与G２分别作用在同一竖直直线上，这时前、后轮均不受摩擦力.汽车向前运动时，N1、N2作用点分别前移到P、Q点（如图），这时前轮受到一个向后的静摩擦力f1作用，后轮受到一个向前的摩擦力f2的作用.将汽车分成前、后两部分研究，前一部分受到后部分对它（相当于作用O1点）向前的推力F1，后部分则受到前部分对它（相当于作用O2）的反推力F2的作用.各个力的方向均与图示方向为正方向. 2 汽车运动的动力学方程 按照以上设定，如果汽车的加速为a，对汽车前部分，考虑到物体的转动，以P为支点，m1的转动惯量为I1= m1h2,分质心O1的瞬时角加速度为β＝a/h，由ΣM1=I1β1，得： F1h－m1gRsinθ＝m1ah （1） 考虑这部分的平动,由ΣF1=m1a得 F1－f1=m1a (2) 比较(1)、(2)式，可得：

对汽车后部分，设发动对后轮产生的驱动力矩为M，以Q为支点，仿上面，由ΣM2=I2β2和ΣF2=m2a得： M－F2h－m2gRsinθ＝m2ah （4） f2－F2=m2a (5) 比较(4)、(5),得：

（6） 如果将汽车整体研究，分别由(1)+(4)

和(2)+(5)得: M－mgRsinθ＝mah （7） f2－f1=ma (8) 以上（7）、（8）两式即为汽车运动的动力学方程. 从（7）式看出，发动机产生的驱动力矩M对汽车的运动起动力作用，而由于汽车前、后轮的形变，车身对前后两轮转轴的向下的压力产生的力矩mgRsinθ，对汽车的运动起阻碍作用，这两个力矩共同作用，使车轮加速转动.而（8）式则反映了外力f1、f2对汽车的平动的"贡献"，f2阻止了驱动轮的滑动，使汽车在驱动力矩作用下向前运动的，f1使导向轮产生滚动，f1虽然比滑动摩擦力小得多，但对汽车的运动还是起阻碍作用，f1与f2共同作用使汽车产生平动加速度． 3 汽车牵引力概念 我们能否从方程（8）断言汽车运动的牵引力就是驱动轮受到的摩擦力f2呢？ 实际上，对无滑滚动的车轮来说，f2是静摩擦力，我们知道，静摩擦力不是主动产生的，只有在车轮对地面有相对运动的趋势时才会发生. 从（6）

式 可以看出，在m2、R、θ、h 一定时，f2的大小与方向由M确定：M＞m2gRsinθ时，f2向前；当M＜m2gRsinθ时，f2向后；当M＝m2gRsinθ时，f2=0，这时，汽车发动机使车轮向前滚动，汽车也受到阻力作用，但驱动轮不受摩擦力．可见使汽车运动的真正动力是发动机的动力矩，而不是静摩擦力． 对（7）式稍加变形，得:

上式中，是由发动机传来的力矩决定的，相当于作用于质心O一个向前的力；是由于前、后轮形变产生的，相当于作用在O点一个向后的阻力.令Fk＝、f阻=，则有：

Fk－f阻＝ma (9)

Fk就是"汽车理论"中所说的牵引力，也就是说汽车牵引力像"惯性力"一样，不属于"物体间相互作用力"，牵引力应定义为：由汽车发动机通过传动系统作用

于驱动轮的力矩产生的使汽车运动的力，其量值为Fk＝，其中M为作用于驱动轮的力矩，h为汽车质心到地面的距离. 4 牵引力做功问题 既然牵引力是由于发动机作用驱动轮的力矩产生的使汽车运动的力，而不是驱动轮受到的静摩擦力.那么牵引力做功就无疑了，牵引力做功的实质是力矩做功.下面研究牵引力做功与能量的转化. 如果汽车在水平路面匀速运动，a=0，Fk= f阻，则W牵＝W阻，牵引力做的功跟阻力做的功相等，这时汽车动能增量△Ek=0.功是能量变化的量度，那么，这一过程中能量是怎样转化的呢？牵引力做功，将发动的部分动能传给车轮，使车轮动能增大，牵引力做了多少功就有多少机械能传给车轮；与此同时，车轮要克服由于车胎的形变产生的阻力做功，使车轮动能减小，在W牵＝W阻的情况下，车轮匀速转动，汽车动能不变，机械能不变.那么阻力做功又将机械能传到何处呢？由于f1、f2均为静摩擦力，汽车运动中它们都不做功，机械能不会因克服摩擦力做功而转化为内能.实际上，车身压迫车轮不断发生形变的过程中对轮胎做了功，将部分机械能转化成车胎的内能，W阻量度了转化成内能的值.汽车行驶过程中车胎发热的现象有力地证实了这一观点的正确性. 如果汽车在水平路面上加速运动, W牵＞W阻，汽车的动能增量为△Ek=W牵－W阻，这时，牵引力做功将传动系统传来的有用机械能的一部分用来克服轮胎回复阻力做功转化为轮胎的内能，一部分用来增加汽车的动能. 5 牵引力大小的决定因素 前面谈到汽车牵引力由驱动力矩M和质心到地面的距离 h 决定，M又与什么有关，决定牵引力大小的真正因素又是什么呢？既然牵引力做功实质是驱动力矩做功，牵引力必然与汽车功率有关.

由 得，，于是可导出： （10） 式中，P为驱动轮得到有用功率，ω为驱动轮转动的角速度，P由发动机的输出功率P总和传动系统的效率η决定，P＝ηP总；ω发动机曲轴转速ω0和传

动比i决定：．可以证明，对气缸数为k，做功冲程平均压强为p，缸径为d，活塞行程为 l 的四冲程汽油机输出率为:

从而可推出牵引力大小决定公式为:

从 （12）式看出：在传动比一定（即汽车档位一定）时，"加油门"増加单位时间的耗油量，从而增大燃气的平均压强，使发动机功率变大，则汽车产生的牵引力变 大；在发动机功率一定时，换低速档使传动比变大，也可使牵引力变大.实际操作中，档位转换和油门控制两种操作是协调进行的，汽车在一定的档位上行驶有一定 的牵引力、角速度和输出功率值，三者关系满足（10）式，

即.此外，（10）式中ωh是汽车质心平动速度v,也就是说.这与中学物理中讨论的P=Fv相一致. 6 牵引力与摩擦力、阻力关系的补充说明

上文（3）式 中，f1是前轮受到的静摩擦力，车轮一旦滚动，其量值不变；是由于前轮的形变压力滞后于支持力产生起阻碍作用的力矩偶矩m1gRsinθ决定的，相当于作用于O1的水平阻力，记为f阻1，则（3）式可改写成: f1＝f阻1 （13） （6）式中，利用牵引力定义式 和令 ,则(6)式改写成: f2＝Fk －f阻2 （14） 从上述f阻1、 f阻2定义式可以看出（9）式中的f阻＝f阻1＋ f阻2.这样就知道：Fk≠f2，f 阻≠f1，从（8）、（9）两式比较可以得到： f2－f1= Fk－f阻 （15） 这正是有人将驱动轮受到的静摩擦力f2误认为是牵引力Fk的原因. 必须看到，f2与Fk确有割不断的关系.（14）式描述了f2与Fk变化的关系，发动机产生的牵引力Fk越大，静摩擦力f2就越大，这一规律适用于车轮做无滑滚动时的情况.因为f2的增大是有限的，如果增大到f2=μm2g，M再增大，车轮就会发生打滑现象，也就是说汽车有效牵引力的最大值为：

即：

利用（16）式可以成功地解释汽车轮胎为什么要选用摩擦系数较大的橡胶并制成凸凹不平的花纹.还可解释手扶拖拉机（机头牵引力产生机理跟汽车相同）打滑时可以用在驱动轮上加压的措施増大有用牵引力.

此外，从f阻＝ 知，θ越小，f阻越小，只要用不大的力，就能使车辆做匀速运动，这也是铁路运输中，列车轮用金属箍而不用充气轮胎的原因之一.对于刚体，θ＝0，f阻＝0，不大的力就能使车辆加速运动.然而汽车轮胎不是刚体，形变是不可避免的，故汽车匀速运动不是惯性运动，必须有牵引力与阻力相平衡.且在m、R、h 一定时，θ越大，f阻越大，所需的牵引力Fk也越大.由此可解释"自行车轮胎的气未打足时，为什么蹬起来比较费力"的问题. 7 对"牵引力"词条的修订 在对汽车牵引力问题的研究中，笔者查阅了几种词典，上面对"牵引力"