专题7 圆的综合

39第7章圆之三角形的内切圆一、单项选择题1．假设Rt ABC 的外接圆半径为R,内切圆半径为r ,那么其内切圆的面积与Rt ABC 的面积比为〔 〕 A ．22rr R π+B ．2rR r π+C ．42rR r π+D ．4rR r π+【答案】B【分析】画好符合题意的图形,由切线长定理可得：,,,CE CF r AE AG m BF BG n ======结合勾股定理可得：22,mn Rr r =+再求解直角三角形的面积()()21==22ACB S m r n r Rr r +++,从而可得直角三角形的内切圆的面积与直角三角形的面积之比． 【详解】解：如图,由题意得：902ACB AB R ∠=︒=，，111O E O F O G r ===,由切线长定理可得：,,,CE CF r AE AG BF BG ====设,,AE AG m BF BG n ====()()()222m r n r m n ∴+++=+,2,m n R += ()2mn m n r r ∴=++,22,mn Rr r ∴=+ 而()()()211=+22ACB S m r n r mn mr nr r ++=++()221=222Rr r Rr r +++ 2=2Rr r +122.22O ABC Sr r S Rr r R r ππ∴==++应选B ．【点评】此题考查的是三角形的内切圆与三角形的外接圆,切线长定理,勾股定理的应用,掌握以上知识是解题的关键．2．如图,⊙O 是等边△ABC 的内切圆,分别切AB ,BC ,AC 于点E ,F ,D ,P 是DF 上一点,那么∠EPF 的度数是〔 〕A ．65°B ．60°C ．58°D ．50°【答案】B【分析】连接OE,OF ．求出∠EOF 的度数即可解决问题．【详解】解：如图,连接OE,OF ．∵⊙O 是△ABC 的内切圆,E,F 是切点,∴OE ⊥AB,OF ⊥BC,∴∠OEB=∠OFB=90°,∵△ABC 是等边三角形,∴∠B=60°,∴∠EOF=120°,∴∠EPF=12∠EOF=60°, 应选：B ．【点评】此题考查三角形的内切圆与内心,切线的性质,圆周角定理等知识,解题的关键是熟练掌握根本知识,属于中考常考题型．3．如图,矩形ABCD 的周长为16,E 和F 分别为ABC ∆和ADC ∆的内切圆,连接AE ,CE ,AF ,CF ,EF ,假设37AECFABCD S S =四边形矩形,那么EF 的长为〔 〕A ．32．23．27．43【答案】B【分析】设AB=x,BC=y,内切圆半径为r,由矩形的对称性知ABCE ADCF S S =四边形四边形,结合直角三角形内切圆半径与三角形面积间的关系得到x 、y 、r 的关系式,再由37AECF ABCD S S =四边形矩形推导出x 、y 、r 的关系,从而分别求出r,xy 、22x y +的值,最后由勾股定理求得EF 值.【详解】 如图,设AB=x,BC=y,内切圆半径为r,那么∵矩形ABCD 的周长为16,∴x+y=8①∵E 和F 分别为ABC ∆和ADC ∆的内切圆,∴11(22ABC S xy x y r ∆==++② 由矩形的对称性知ABCE ADCF S S =四边形四边形, ∵37AECFABCD S S =四边形矩形, ∴247ABCE ABCD S S =四边形矩形, ∴112()4227xr yr xy +=, 即()47x y r xy +=③ 由①、②、③联立方程组,解得：r=1,xy=14,2236x y +=,作EH ⊥FH 于H,由勾股定理得：222EF EH FH =+22(2)(2)x y =-+-224()8x y x y =+-++=36-32+8=12,∴EF=23,应选：B.【点评】此题主要考查了矩形的性质、直角三角形内切圆性质、勾股定理等知识,熟练掌握三角形内切圆半径与面积、周长间的关系是解答的关键.4．如图,ABC ∆中,8AB =,6AC =,90A ∠=︒,点D 在ABC ∆内,且DB 平分ABC ∠,DC 平分ACB ∠,过点D 作直线PQ ,分别交AB 、AC 于点P 、Q ,假设APQ ∆与ABC ∆相似,那么线段PQ 的长为〔 〕A ．5B ．356C ．5或356D ．6 【答案】B【分析】分△APQ ∽△ABC,△APQ ∽△ACB 两种情况,结合相似三角形的性质和三角形内切圆求解即可.【详解】解：假设△APQ ∽△ABC,∴∠APQ=∠ABC,∴PQ ∥BC,AP AQ PQ AB AC BC==, ∴∠PDB=∠DBC,∵BD 平分∠ABC,∴∠PBD=∠CBD,∴∠PBD =∠PDB,∴PB=PD,同理,DQ=CQ,∵8AB =,6AC =,90A ∠=︒,∴,设AP=x,根据AP AQ AB AC=得43AP AB AQ AC ==, ∴AQ=34x , ∴PB=PD=8-x,CQ=DQ=6-34x , ∴PQ=PD+QD=7144x -, ∴AP PQ AB BC ,即7144810x x -=,解得：x=14 3,∴PQ=356；假设△APQ∽△ACB,那么AP AQ PQ AC AB BC==,由题意知：D为△ABC的内心,设△ABC的内切圆交AB于M,交AC于N, 可知四边形AMDN为正方形,∴∠A=∠AMD=∠AND=∠MDN=90°,∴AM∥DN,AN∥DM,∴∠MPD=∠NDQ,∠MDP=∠NQD,∴△MPD∽△NDQ,∴MP MD ND NQ=,∵AB=8,AC=6,BC=10,∴DM=DN=68102+-=2,∴AM=AN=2,设PM=x,那么22xNQ =,∴NQ=4 x ,∵AP AQAC AB=,即42268x x++=,解得：x=32或-2〔舍〕,∴AP=32+2=72,∴PQ=AP×BC÷AC=72×10÷6=356.综上：PQ的值为35 6.应选B.【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质,三角形内切圆,角平分线的定义,有一定难度,解题的关键是将三角形相似分两种情况讨论.532,那么这个多边形的内角和为〔〕A．720︒B．360︒C．240︒D．180︒【答案】A【分析】设AB是正多边形的一边,OC⊥AB,在直角△AOC中,利用三角函数求得∠AOC的度数,从而求得中央角的度数,然后利用360度除以中央角的度数,求出边数,根据内角和公式即可求出多边形的内角和.【详解】如图：∵32,∴32,设AB 是正多边形的一边,OC ⊥AB, 32OC OA OB k ===k ，,在直角△AOC 中,32OC cos AOC AO ∠==, ∴∠AOC=30°,∴∠AOB=60°, 那么正多边形边数是：360660︒︒=, ∴多边形的内角和为：()62180720-⨯︒=︒,应选：A ．【点评】此题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的水平,正多边形的计算一般是转化成半径,边心距、以及边长的一半这三条线段构成的直角三角形的计算．二、填空题6．如图,在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,8AC =,6BC =,⊙O 为ABC ∆的内切圆,OA ,OB 与⊙O 分别交于点D ,E ．那么劣弧DE 的长是_______．【答案】32π 【分析】先利用勾股定理计算出10AB =,再利用直角三角形内切圆半径的计算方法得到681022OD +-==,接着三角形角平分线的性质得到135AOB ∠=︒,然后根据弧长公式计算劣弧DE 的长．【详解】解：90C ∠=︒,8AC =,6BC =,226810AB ∴=+=,O 为ABC 的内切圆,681022OD +-∴==,OA 平分BAC ∠,OB 平分ABC ∠, 1190909013522AOB C ∴∠=︒+∠=︒+⨯︒=︒, ∴劣弧DE 的长135231802ππ⨯⨯==． 故答案为32π． 【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了直角三角形内切圆半径的计算方法和弧长公式．7．如图,ABC 的内切圆O 与BC,CA,AB 分别相切于点,,D E F ,且5,13AB BC ==,12CA =,那么阴影局部的面积为_______ (结果保存π)．【答案】262π-【分析】先根据勾股定理的逆定理得出ABC 是直角三角形,再设O 的半径为r,根据三角形的面积公式得出r 的值,然后根据正方形的判定与性质、扇形的面积公式、三角形的面积公式即可得．【详解】5,2,113AB BC CA ===222AB CA AB ∴+=∴ABC 是直角三角形,且90A ∠=︒设O 的半径为r,那么OD OE OF r ===内切圆O 与BC,CA,AB 分别相切于点,,D E F,,OD BC OE CA OF AB ∴⊥⊥⊥ABC OBC OAC OAB S S S S =++11112222AB AC BC OD CA OE AB OF ∴⋅=⋅+⋅+⋅ 即1111512131252222r r r ⨯⨯=⨯+⨯+⨯ 解得2r又,,90OE CA OF AB A ⊥⊥∠=︒∴四边形AEOF 是矩形,90EOF ∠=︒OE OF =∴矩形AEOF 是正方形那么ABC O AEOF EOF EOF S S S S S S =-+-+阴影扇形扇形222190902360360r r AB AC r OE OF πππ=⋅-+-⋅+ 22219029025122222360360πππ⨯⨯=⨯⨯-⨯+-⨯+ 262π=-故答案为：262π-．【点评】此题考查了勾股定理的逆定理、三角形内切圆的性质、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点,掌握三角形内切圆的性质与扇形的面积公式是解题关键．8．假设△ABC 的三边长为3、4、5,那么△ABC 的外接圆半径R 与内切圆半径r 的差为___．【答案】32【分析】先证实△ABC 为直角三角形,然后可知外接圆的半径为斜边的一半,然后求出内切圆的半径,即可得到答案．【详解】解：如下图：连接DF,EF ．∵32+42=52,∴△ABC 为直角三角形．∴它的外接圆的半径为：15522R =⨯=． ∵AB 是圆的切线,DF 是圆的半径,∴DF ⊥AB ．同理EF ⊥BC ．∴∠FDB=∠DBE=∠BEF=90°．∴四边形DBEF 是矩形．∵DF=EF,∴四边形DBEF 是正方形．∴DB=BE ．设圆F 的半径为r,那么4-r+3-r=5．解得：r=1．∴它的内切圆的半径为1． ∴53122-=． 故答案为：32． 【点评】此题主要考查的是三角形的内切圆、外接圆,利用切线长定理列出方程是解题的关键．9．如图,O 是四边形ABCD 的内切圆,连接OA 、OB 、OC 、OD ．假设108AOB ∠=︒,那么COD ∠的度数是____________．【答案】72︒【分析】如图,设四个切点分别为点,,,E F G H ,分别连接切点与圆心,可以得到4对全等三角形,进而得到12∠=∠,34∠=∠,56∠=∠,78∠=∠,根据这8个角和为360°,∠1+∠8=108AOB ∠=︒,即可求出COD ∠=∠5+∠4=72°．【详解】解：设四个切点分别为点,,,E F G H ,分别连接切点与圆心,那么OE AB ⊥,OF CB ⊥,OG CD ⊥,OH AD ⊥且OE OF OG OH ===,在Rt BEO ∆与Rt BFO ∆中OE OF OB OB=⎧⎨=⎩ ∴Rt BEO Rt BFO ∆∆≌,∴12∠=∠,同理可得：34∠=∠,56∠=∠,78∠=∠, 1145(3456)[360(1278)]22COD ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠ 11[3602(18)][3602108]7222=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒．故答案为：72︒【点评】此题考查了切线的性质,添加辅助线构造全等等知识点,一般情况下,直线为圆的切线,构造过切点的半径是常见辅助线做法．10．如图,将边长为8的正方形纸片ABCD 沿着EF 折叠,使点C 落在AB 边的中点M 处.点D 落在点D 处,MD '与AD 交于点G ,那么AMG 的内切圆半径的长为___________．【答案】43【分析】由勾股定理可求ME ＝5,BE ＝3,通过证实△AMG ∽△BEM,可得AG ＝163,GM ＝203,即可求解． 【详解】解：∵将边长为8的正方形纸片ABCD 沿着EF 折叠,使点C 落在AB 边的中点M 处,∴ME ＝CE ,MB ＝12AB ＝4＝AM ,E C D M ＝90°, 在Rt △MBE 中,ME 2＝MB 2 ＋BE 2,∴ME 2＝16＋〔8－ME 〕2,∴ME ＝5,∴BE ＝3,∵DA D ME B ＝90°＝∠B,∴∠EMB ＋∠BEM ＝90°,D EMB AM ＋＝90°,∴A B M M D E ,且GAM B ＝90°, ∴△AMG ∽△BEM, ∴AM AG GM BE MB ME==, ∴4345AG GM ==, ∴AG ＝163,GM ＝203, ∴△AMG 的内切圆半径的长＝+423AM GM AG =－故答案为：43【点评】此题考查三角形内切圆和内心、勾股定理、相似三角形的判定和性质,解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质求出AG 、GM 的长度．三、解做题11．：ABC ∆．问题一：请用圆规与直尺〔无刻度〕直接在ABC ∆内作内切圆,〔要求清楚地保存尺规作图的痕迹,不要求写画法〕问题二：假设ABC ∆的周长是24,ABC ∆的面积是24,,求ABC ∆的内切圆半径．【答案】〔1〕见解析；〔2〕r=2【分析】〔1〕先作∠B 和∠C 的平分线交于点O,再过点O 作OH ⊥AB 于H,然后以点O 为圆心,OH 为半径作圆即可； 〔2〕连结OA 、OB 、OC,作OD ⊥AB 于D,OE ⊥BC 于E,OF ⊥AC 于F,根据切线的性质得OD=OE=OF=r,那么利用S△ABC =S △AOB +S △OBC +S △OAC 得到12r AB+12r BC+12r AC=24,变形得到12r 〔AB+BC+AC 〕=24,然后把周长为24代入计算即可得到r 的值．【详解】解：〔1〕如图,O 为所求作的ABC ∆的内切圆；〔2〕解：如下列图,连结OA、OB、OC,作OD⊥AB于D,OE⊥BC于E,OF⊥AC于F, 设它的内切圆的半径为r,那么OD=OE=OF=r,∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC,∴12r AB+12r BC+12r AC=24,∴12r〔AB+BC+AC〕=24,∴12r24=24,∴r=2．即ABC的内切圆的半径为2．【点评】此题考查了如何作三角形的内切圆与求三角形内切圆的半径,在作内切圆的时先要明确如何确定三角形的内心,即三角形三个内角角平分线的交点,以及三角形的内心到三角形三边的距离是三角形内切圆的半径,掌握以上要点是完成作图的关键；三角形的内心到三角形三边的距离相等和切线的性质,是解答第〔2〕小题,建立等式的关键．12．：如图,△ABC三边BC=a,CA=b,AB=c,它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．【答案】S=12(a+b+c)r【分析】设△ABC与⊙O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF,根据S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC,即可求解【详解】如图,设△ABC与⊙O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．那么OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥BC．∵S△AOB=12AB•OD=12cr,同理,S△OBC=12ar,S△OAC=12br．∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC,即S=12cr+12ar+12br=12(a+b+c)r【点评】此题考查了三角形的内切圆的计算,正确作出辅助线,把△ABC的面积的计算分解成几个三角形的面积的计算是关键.13．：如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C=90°．(1)假设AC=12cm,BC=9cm,求⊙O的半径r；(2)假设AC=b,BC=a,AB=c,求⊙O的半径r．【答案】〔1〕r=3cm. (2) r=12〔a+b-c〕．【分析】首先设AC、AB、BC与⊙O的切点分别为D、E、F；易证得四边形OFCD是正方形；那么根据切线长定理可得：CD=CF=12〔AC+BC-AB〕,由此可求出r的长．【详解】〔1〕如图,连接OD,OF；在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12cm,BC=9cm；根据勾股定理AB=22AC BC=15cm；四边形OFCD中,OD=OF,∠ODC=∠OFC=∠C=90°；那么四边形OFCD是正方形；由切线长定理,得：AD=AE,CD=CF,BE=BF；那么CD=CF=12〔AC+BC-AB〕；即：r=12〔12+9-15〕=3cm．〔2〕当AC=b,BC=a,AB=c,由以上可得：CD=CF=12〔AC+BC-AB〕；即：r=12〔a+b-c〕．那么⊙O的半径r为：12〔a+b-c〕．【点评】此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法．利用切线长定理得出四边形OFCD是正方形是解题关键．14．〔特例感知〕〔1〕如图〔1〕,ABC ∠是O 的圆周角,BC 为直径,BD 平分ABC ∠交O 于点D ,3CD =,4BD =,求点D到直线AB 的距离． 〔类比迁移〕〔2〕如图〔2〕,ABC ∠是O 的圆周角,BC 为O 的弦,BD 平分ABC ∠交O 于点D ,过点D 作DE BC ⊥,垂足为点E ,探索线段AB ,BE ,BC 之间的数量关系,并说明理由．〔问题解决〕〔3〕如图〔3〕,四边形ABCD 为O 的内接四边形,90ABC ∠=︒,BD 平分ABC ∠,72BD =,6AB =,求ABC 的内心与外心之间的距离．【答案】〔1〕125；〔2〕2AB BC BE +=,理由见解析；〔35 【分析】〔1〕如图①中,作DF AB ⊥于F ,DE BC ⊥于E ．理由面积法求出DE ,再利用角平分线的性质定理可得DF DE =解决问题；〔2〕如图②中,结论：2AB BC BE +=．只要证实()DFA DEC ASA ∆≅∆,推出AF CE =,Rt BDF Rt BDE(HL)∆≅∆,推出AF BE =即可解决问题；〔3〕如图③,过点D 作DF ⊥BA,交BA 的延长线于点F ,DE ⊥BC,交BC 于点E ,连接AC ,作△ABC △ABC 的内切圆,圆心为M ,N 为切点,连接MN ,OM ．由〔1〕〔2〕可知,四边形BEDF 是正方形,BD 是对角线．由切线长定理可知：610842AN +-==,推出541ON =-=,由面积法可知内切圆半径为2,在Rt OMN ∆中,理由勾股定理即可解决问题；【详解】解：〔1〕如图①中,作DF AB ⊥于F ,DE BC ⊥于E ．图① BD 平分ABC ∠,DF AB ⊥,DE BC ⊥,DF DE ∴=, BC 是直径,90BDC ∴∠=︒, 2222435BC BD CD ∴=+=+=,1122BC DE BD DC =, 125DE ∴=, 125DF DE =∴=． 故答案为125 〔2〕如图②中,结论：2AB BC BE +=．图②理由：作DF BA ⊥于F ,连接AD ,DC ． BD 平分ABC ∠,DE BC ⊥,DF BA ⊥,DF DE ∴=,90DFB DEB ∠=∠=︒,180ABC ADC ∠+∠=︒,180ABC EDF ∠+∠=︒,ADC EDF ∴∠=∠,FDA CDE ∴∠=∠,90DFA DEC ∠=∠=︒,()DFA DEC ASA ∴∆≅∆,AF CE ∴=,BD BD =,DF DE =,Rt BDF Rt BDE(HL)∴∆≅∆,BF BE ∴=,2AB BC BF AF BE CE BE ∴+=-++=．〔3〕如图③,过点D 作DF ⊥BA,交BA 的延长线于点F ,DE ⊥BC,交BC 于点E ,连接AC ,作△ABC △ABC 的内切圆,圆心为M ,N 为切点,连接MN ,OM ．由〔1〕〔2〕可知,四边形BEDF 是正方形,BD 是对角线．图③ 72BD =,∴正方形BEDF 的边长为7,由〔2〕可知：28BC BE AB =-=,10AC ∴=, 由切线长定理可知：610842AN +-==, 541ON ∴=-=,设内切圆的半径为r , 那么11111068682222r r r ⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯ 解得2r ,即2MN =,在Rt OMN ∆中,OM ===【点评】此题属于圆综合题,考查了角平分线的性质定理,全等三角形的判定和性质,勾股定理,解直角三角形,正方形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．15．如图1,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形OABC 的顶点B 在y 轴的正半轴上,O 为坐标原点,现将正方形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转,旋转角为θ〔045θ︒≤≤︒〕〔1〕当点A 落到y 轴正半轴上时,求边BC 在旋转过程中所扫过的面积；〔2〕假设线段AB 与y 轴的交点为M 〔如图2〕,线段BC 与直线y x =的交点为N ,当22.5θ=︒时,求此时BMN △内切圆的半径；〔3〕设MNB 的周长为l ,试判断在正方形OABC 旋转的过程中l 值是否发生变化,并说明理由．【答案】〔1〕8π；〔2〕322-〔3〕不发生变化,理由见详解. 【分析】〔1〕由题意当点A 落到y 轴正半轴上时,边BC 在旋转过程中所扫过的面积OCB OBC OBB OCC S S S S ∆'∆''=+--扇形扇形由此计算即可．〔2〕如图2中,在OA 取一点E ,使得EM EO =,首先证实AEM ∆是等腰直角三角形,推出AM AE =,设AE AM x ==,那么2EM EO x ==,可得21x x +=,解得21x =,推出1(21)22BM AB AM =-=-=同理可得22BN =,推出2222MN BM ==,设BMN ∆的内切圆的半径为r ,那么有11()22MN BM BN r BM BN ++=,由此求出r 即可解决问题． 〔3〕在正方形OABC 旋转的过程中l 值不发生变化．如图3中,延长BA 到E 使得AE CN =．只要证实OAE OCN ∆≅∆,推出OE ON =,AOE CON ∠=∠,再证实MOE MON ∆≅∆,推出EM MN =,推出BNM ∆的周长()()MN BM BN EM BM BN AM BM AE BN =++=++=+++()()22AM BM CN BN AB =+++==．【详解】解：〔1〕如图1中,由题意当点A 落到y 轴正半轴上时,边BC 在旋转过程中所扫过的面积OCB OBC OBB OCC S S S S ∆'∆''=+--扇形扇形 OBB OCC S S ''=-扇形扇形 2245(2)451360360ππ=- 8π=．〔2〕如图2中,在OA 取一点E ,使得EM EO =,22.5AOM ∠=︒,22.5EOM EMO ∴∠=∠=︒,45AEM EOM EMO ∴∠=∠+∠=︒,AEM ∴∆是等腰直角三角形,AM AE ∴=,设AE AM x ==,那么2EM EO x ==, 21x x ∴+=,21x ∴=-,1(21)22BM AB AM ∴=-=--=-,同理可得22BN =-,2222MN BM ∴==-,设BMN ∆的内切圆的半径为r ,那么有11()22MN BM BN r BM BN ++=, 2(22)3222222222BM BN r MN BM BN -∴===-++-+-+-． 〔3〕在正方形OABC 旋转的过程中l 值不发生变化．理由：如图3中,延长BA 到E 使得AE CN =．AE CN =,90OAE OCN ∠=∠=︒,OA OC =,OAE OCN ∴∆≅∆,OE ON ∴=,AOE CON ∠=∠,45MON ∠=︒,45MOA CON MOA AOE ∴∠+∠=∠+∠=︒,MOE MON ∴∠=∠,OM OM =,MOE MON ∴∆≅∆,EM MN ∴=,BNM ∴∆的周长MN BM BN EM BM BN =++=++()()()()22AM BM AE BN AM BM CN BN AB =+++=+++==,BNM ∴∆的周长为定值．【点评】此题考查圆综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内切圆、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．16．如下图,等腰ABC △,5AB AC ==,6BC =,求三角形的内切圆O 的半径R .【答案】32R = 【解析】作AD ⊥BC,根据等腰三角形的性质可得BD 的长,利用勾股定理可求出AD 的长,即可求出△ABC 的面积,设△ABC 的内切圆与△ABC 各边的切点为E 、F 、G,根据S △ABC =S △AOB +S △BOC +S △AOC 列方程即可求出R 的值,可得答案.【详解】在图〔1〕中,作AD BC ⊥,垂足为D∵5AB AC ==,6BC =,∴BD=CD=3,∴AD=22AB BD -=4,∴1122ABC S BC AD ∆=⋅= 在图〔2〕中,设ABC △的内切圆O 切点分别为E 、F 、G,连接 OA 、OE 、OB 、OG 、OC 、OF, ∴OE ⊥AB,OG ⊥BC,OF ⊥AC,∵()12ABC ABO BCO ACO S S S S AB BC AC R ∆∆∆=++=++⋅ ∴()1125562R =++⨯ ∴32R =【点评】此题考查了三角形的内切圆、等腰三角形的性质,熟练掌握面积法求三角形内切圆的半径方法是解题的关键..17．阅读材料：,如图〔1〕,在面积为S 的△ABC 中, BC=a ,AC=b , AB=c ,内切圆O 的半径为r 连接OA 、OB 、OC ,△ABC 被划分为三个小三角形．1111()2222OBC OAC OAB S S S S BC r AC r AB r a b c r ∆∆∆=++=⋅+⋅+⋅=++ ∴2=++S r a b c．〔1〕类比推理：假设面积为S 的四边形ABCD 存在内切圆〔与各边都相切的圆〕,如图〔2〕,各边长分别为AB=a ,BC=b ,CD=c ,AD=d ,求四边形的内切圆半径r ；〔2〕理解应用：如图(3),在等腰梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AB =21,CD =11,AD =13,⊙O 1与⊙O 2分别为△ABD 与△BCD 的内切圆,设它们的半径分别为r 1和r 2,求12r r 的值. 【答案】〔1〕2S r a b c d=+++〔2〕12149r r =. 【分析】〔1〕如图,连接OA 、OB 、OC 、OD,那么△AOB 、△BOC 、△COD 和△DOA 都是以点O 为顶点、高都是r 的三角形,根据AOB BOC COD AOD S S S S S ∆∆∆∆=+++即可求得四边形的内切圆半径r.〔2〕过点D 作DE ⊥AB 于点E,分别求得AE 的长,进而BE 的长,然后利用勾股定理求得BD 的长；然后根据11(132120)2ABD S r ∆=++,21(111320)2BCD S r ∆=++,两式相除,即可得到的值.【详解】解：〔1〕如图〔2〕,连接OA 、OB 、OC 、OD.∵11111()22222AOB BOC COD AOD S S S S S ar br cr dr a b c d r ∆∆∆∆=+++=+++=+++ ∴2S r a b c d=+++〔2〕如图〔3〕,过点D 作DE ⊥AB 于点E, ∵梯形ABCD 为等腰梯形, ∴11()(2111)522AE AB DC =-=-= ∴21516BE AB AE =-=-= 在Rt △AED 中,∵AD=13,AE=5,∴DE=12, ∴2222121620BD DE BE +=+=∵AB ∥DC,∴2111ABD BCD S AB S DC ∆∆==. 又∵1112221(132120)5427214422(111320)2ABDBCD r S r r S r r r ∆∆++===++, ∴1227212211r r =.即12149r r =.18．如下图,在Rt ABC △中,90,3,4C AC BC ∠=︒==〔1〕求BOA ∠.〔2〕求ABC △内切圆半径.【答案】〔1〕135BOA ∠=︒；〔2〕内切圆半径为1.【解析】〔1〕由三角形内角和可得∠CBA+∠CAB=90°,由O 为内切圆圆心可得OA 、OB 为∠CBA 和∠CAB 的角平分线,即可得出∠OAB+∠OBA=45°,根据三角形内角和求出∠BOA 的度数即可；〔2〕连接OD,OE 、OF,由切线性质可得OD ⊥BC,OE ⊥AC,OF ⊥AB,由∠C=90°,OD=OE 可证实四边形DCEO 是正方形,可得OD=CD,利用勾股定理可求出AB 的长,根据切线长定理可得CD=CE,AE=AF,BD=BF,设内切圆半径OD=r,根据AB=BF+AF 列方程即可求出r 的值,即可得答案.【详解】〔1〕∵∠C=90°, ∴∠CBA+∠CAB=90°,∵O 为内切圆圆心,∴OA 、OB 为∠CBA 和∠CAB 的角平分线,∴∠OAB+∠OBA=12∠CBA+12∠CAB=45°,∴∠BOA=180°-45°=135°.〔2〕连接OD,OE、OF,∵AB、AC、BC是切线,切点为D、E、F,∴OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,CD=CE,AE=AF,BD=BF,∵∠C=90°,OD=OE,∴四边形DCEO是正方形,∴CD=OD,设OD=r,∴AF=AE=3-r,BF=BD=4-r,∵AC=3,BC=4,∴AB=22=5,AC BC∴AB=BF+AF=3-r+4-r=5,△内切圆半径为1.解得r=1,即ABC【点评】此题考查了三角形的内切圆的性质、切线长定理、正方形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解题关键．。

专题七近代以来科学技术的辉煌一、选择题1．确认了物体宏观运动的规律，把地球上的物体运动和天体运动概括到同一个理论之中的物理学家是（）A．伽利略B．牛顿C．爱因斯坦D．普朗克2．伽利略指出：“科学的真理不应在古代圣人的蒙着灰尘的书上去找，而应该在实验中和以实验为基础的理论中去找。

”这说明了（）A．伽利略否定了古代圣人的研究成果B．伽利略论证了哥白尼的日心说C．伽利略重视实验在科学研究中的作用D．伽利略的成就为牛顿经典力学奠定了基础3．标志人类科学时代的开始，并且为法国启蒙运动和唯物主义哲学奠定科学基础的是（）A．哥白尼的“太阳中心说”B．伽利略开启的以实验事实为依据并具有严密逻辑体系的近代科学C．达尔文的《物种起源》D．牛顿力学4．第一次阐述四维时空和物质的分布相联系的重要思想的理论是（）A．牛顿力学B．量子力学C．广义相对论D．狭义相对论5．（改编题）普朗克曾这样评论某位科学家的成就：“这个原理在物理世界观上所引起的革命，只有哥白尼世界体系的引入才能与之相提并论。

”文中的“这个原理”是（）A．日心说B．相对论C．量子假说D．万有引力定律6．给人类思想史的发展带来根本性变革的是（）A．牛顿力学B．量子理论C．物质波理论D．相对论7．1945年美国向日本的广岛和长崎投下原子弹，平民伤亡惨重。

爱因斯坦认为“人类打开了这个潘多拉魔匣”。

打开这个“潘多拉魔匣”的钥匙是（）A．牛顿经典力学B．相对论C．进化论D．网络信息技术8．构成现代物理学基本理论框架的是（）A．量子理论和原子理论B．量子理论和相对论C．牛顿力学体系和相对论D．量子理论和牛顿力学体系二、非选择题9．近代科学技术的突飞猛进主要源于自然科学理论的创新和突破，而近现代物理学的革命又源于两大科学巨人的贡献。

请回答：（1）推动近现代物理学革命的两大巨人是谁？他们的主要贡献是什么？（2）简要分析相对论提出所起的承前启后的作用及意义。

（3）通过对牛顿和爱因斯坦主要事迹的学习，你从中得到哪些成才的启示？5．B解析：本题用排除法。

电场中的力电综合问题基础打磨1.(2019年安徽省1号卷)(多选)如图,一个带正电的小球穿在一根足够长的绝缘粗糙直杆上,直杆与水平方向的夹角为θ,整个空间存在着沿直杆向下的匀强电场。

小球以120 J 的初动能从A 点开始沿直杆向上滑行,第一次经过B 点时,它的动能比A 点的减少了80 J,重力势能比A 点增加了40 J,小球从A 点到B 点的运动过程中,克服电场力做功为20 J,则小球从A 点开始上滑到再次回到A 点的过程中( )。

A .小球在最高点的电势能最大B .小球克服摩擦力做功为40 JC .小球再次回到A 点的动能为60 JD .小球的机械能减少量大于克服摩擦力所做功2.(原创)在平行极板A 、B (间距足够大)间加上如图所示周期性变化的电压,能使处于两板中央原来静止的电子从0时刻释放后最终可到达B 板的是( )。

3.(2019年四川攀枝花市高三第二次统一考试)如图所示,真空中三个质量相等的小球A 、B 、C ,带电荷量分别为Q A =6q ,Q B =3q ,Q C =8q 。

现用恰当大小的恒力F 拉C ,可使A 、B 、C 沿光滑水平面做匀加速直线运动,运动过程中 A 、B 、C 保持相对静止,且A 、B 间距离与B 、C 间距离相等。

不计电荷运动产生磁场的影响,小球可视为点电荷,则此过程中B 、C 之间的作用力大小为( )。

A .43FB .FC .23FD .13F4.(2019年湖南岳阳模拟)如图所示,两个带同种电荷的小球A 和B ,A 、B 的质量分别为m 和2m ,开始时将它们固定在绝缘的光滑水平面上保持静止, A 、B 相距为d 。

A 、B 间的相互作用力遵守牛顿第三定律。

现同时释放A 、B ,经过一段时间,B 的速度大小为v 。

则此时( )。

A .A 球的速度大小为v 2B.B球对A球做的功为mv2C.A球的动能为2mv2D.A球的动量大小为mv能力拔高5.(2019年重庆一中月考)(多选)在粗糙绝缘的水平面上固定一个带电荷量为Q的正点电荷。

第4题 第5题 第6题第1题 第2题 第3题圆的培优专题1——与圆有关的角度计算一 运用辅助圆求角度1、如图，△ABC 内有一点D ，DA ＝DB ＝DC ，假设∠DAB ＝20︒，∠DAC ＝30︒， 那么∠BDC ＝ . 〔∠BDC ＝ 12∠BAC ＝100︒〕2、如图，AE ＝BE ＝DE ＝BC ＝DC ，假设∠C ＝100︒，那么∠BAD ＝ . 〔50︒〕3、如图，四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝20︒，∠BDC ＝30︒，那么 ∠BAD ＝ . 〔∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝40︒＋60︒＝100︒〕解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！ 4、如图，□ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，假设∠D ＝60︒， 那么∠AEC ＝ . 〔∠AEC ＝2∠B ＝2∠D ＝120︒〕5、如图，O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70︒， 那么∠DAO ＋∠DCO ＝ . 〔所求＝360︒－∠ADC －∠AOC ＝150︒〕6、如图，四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠ADB ＝90︒，∠ADC ＝25︒，那么∠ABC ＝ . 〔∠ABC ＝∠ADC ＝25︒〕解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD 共圆.第10题 第11题 第12题第7题 第8题 第9题 二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度7、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 的中点，D 为半圆AB 上一点，那么∠ADC ＝ . 8、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 过OA 的中点E 并垂直于OA ，那么∠ABC ＝ . 9、如图，AB 为⊙O 的直径，3BC AC =，那么∠ABC ＝ .答案：7、45︒； 8、30︒； 9、22.5︒； 10、40︒； 11、150︒； 12、110︒ 解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！10、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC ＝50︒，那么∠ADC ＝ . 11、如图，⊙O 的半径为1，弦AB 2，弦AC 3∠BOC ＝ . 12、如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 过圆心O ，假设AC CD =，∠P ＝30︒， 那么∠BDC ＝ . 〔设∠ADC ＝x ，即可展开解决问题〕解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！第1题 第2题 第3题圆的培优专题2——与垂径定理有关的计算1、如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上，假设∠BED ＝30︒，⊙O 的半径为4，那么弦AB 的长是 . 略解：∵OD ⊥AB ，∴AB ＝2AC ，且∠ACO ＝90︒， ∵∠BED ＝30︒，∴∠AOC ＝2∠BED ＝60︒∴∠OAC ＝30︒，OC ＝ 12 OA ＝2，那么AC ＝23AB ＝432、如图，弦AB 垂直于⊙O 的直径CD ，OA ＝5，AB ＝6，那么BC ＝ . 略解：∵直径CD ⊥弦AB ，∴AE ＝BE ＝12 AB=3∴OE 22534-=，那么CE ＝5＋4＝9 ∴BC ＝2293310+=3、如图，⊙O 的半径为25弦AB ⊥CD ，垂足为P ，AB ＝8，CD ＝6，那么OP ＝ . 略解：如图，过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，连接OB ，OD. 那么BE ＝12 AB ＝4，DF ＝12 CD ＝3，且OB ＝OD ＝25 OE 22(25)42-=，OF ＝22(25)311-= 又AB ⊥CD ，那么四边形OEPF 是矩形，那么OP 222(11)15+=4、如图，在⊙O 内，如果OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60︒，那么⊙O 的半径为 . 略解：如图，过点O 作OD ⊥AB ，连接OB ，那么AD ＝12 AB ＝4，因此，BD ＝8，OD ＝43∴OB 22(43)847+=.第4题 第5题 第6题5、如图，正△ABC 内接于⊙O ，D 是⊙O 上一点，∠DCA ＝15︒，CD ＝10，那么BC ＝ 略解：如图，连接OC ，OD ，那么∠ODC ＝∠OCD∵△ABC 为等边三角形，那么∠OCA ＝∠OCE ＝30︒，∴∠ODC ＝∠OCD ＝45︒ ∴△OCD 是等腰三角形，那么OC ＝2 过点O 作OE ⊥BC ，那么BC ＝2CE ＝566、如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为AB 的中点，E 为OB 上一点，∠AEC ＝60︒，CE 的延 长线交⊙O 于点D ，那么CD ＝ 略解：如图，连接OC ，那么OC ＝2∵C 为AB 的中点，那么OC ⊥AB ，又∠AEC ＝60︒，∴∠OCE ＝30︒ 如图，过点O 作OF ⊥CD ，那么OF ＝12 OC ＝1，CF ＝3，∴CD ＝2CF ＝237、如图，A 地测得台风中心在城正西方向300千米的B 处， 并以每小时10760︒的BF 方向移 动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域. 问：A 地是否受到这次台风的影响？假设受到影响，请求 出受影响的时间？解：如图，过点A 作AC ⊥BF 交于点C ，∵∠ABF ＝30︒，那么AC ＝12 AB ＝150<200，因此A 地会受到这次台风影响；如图，以A 为圆心200千米为半径作⊙A 交BF 于D 、E 两点，连接AD ， 那么DE ＝2CD ＝222001501007-= 所以受影响的时间为100710710=〔时〕圆的培优专题3——圆与全等三角形1、如图，⊙O 的直径AB ＝10，弦AC ＝6，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求CD 的长. 解：如图，连接AB ，BD ，在CB 的延长线上截取BE ＝AC ，连接DE ∵∠ACD ＝∠BCD ，∴AD ＝BD 又∠CAD ＝∠EBD ，AC ＝BE ∴△CAD ≌△EBD 〔SAS 〕 ∴CD ＝DE ，∠ADC ＝∠BDE∵AB 为⊙O 的直径，那么∠ACB ＝∠ADB ＝90︒∴BC 221068-=；∠ADC ＋∠CDB ＝∠CDB ＋∠BDE ＝90︒，即∠CDE ＝90︒ ∴△CDE 是等腰直角三角形且CE ＝14，∴CD ＝22、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是半圆的中点，M 、D 分别是CB 及AB 延长线上一点，且 MA ＝MD ，假设CM 2，求BD 的长.解：如图，连接AC ，那么AC ＝BC ，∠C ＝90︒，即△ABC 是等腰直角三角形 过点M 作MN ∥AD ，那么∠NMA ＝∠MAD那么△CMN 也是等腰直角三角形，那么MN 2CM ＝2 ∴∠ANC ＝∠MBD ＝135︒，又MA ＝MD ，∴∠D ＝∠NMA ＝∠MAD ∴△AMN ≌△BMD 〔AAS 〕 ∴BD ＝MN ＝23、如图，AB 为⊙O 的直径，点N 是半圆的中点，点C 为AN 上一点，NC 3 求BC －AC 的值.解：如图，连接AN ，BN ，那么△ABN 是等腰直角三角形 在BC 上截取BD ＝AC ，连接DN ∵AN ＝BN ，∠CAN ＝∠DBN ，AC ＝BD ∴△ACN ≌△BDN 〔SAS 〕∴CN ＝DN ，∠CNA ＝∠DNB ，∴∠CND ＝∠CNA ＋∠AND ＝∠ADN ＋∠DNB ＝90︒，即△CND 是等腰直角三角形 ∴CD 26，∴BC －AC ＝BC －BD ＝CD 64、如图，点A 、B 、C 为⊙O 上三点，AC BC =，点M 为BC 上一点，CE ⊥AM 于E ， AE ＝5，ME ＝3，求BM 的长.解：如图，在AM 上截取AN ＝BM ，连接CN ，CM. ∵AC BC =，∴AC ＝BC ，又∠A ＝∠B ∴△ACN ≌△BCM 〔SAS 〕 ∴CN ＝CM ，又CE ⊥AM ∴NE ＝ME ＝3， ∴BM ＝AN ＝AE －NE ＝25、如图，在⊙O 中，P 为BAC 的中点，PD ⊥CD ，CD 交⊙O 于A ，假设AC ＝3，AD ＝1， 求AB 的长.解：如图，连接BP 、CP ，那么BP ＝CP ，∠B ＝∠C 过点P 作PE ⊥AB 于点E ，又PD ⊥CD ∴∠BEP ＝∠CDP ∴△BEP ≌△CDP 〔AAS 〕 ∴BE ＝CD ＝3+1＝4，PE ＝PD连接AP ，那么Rt △AEP ≌Rt △ADP 〔HL 〕，那么AE ＝AD ＝1 ∴AB ＝AE+BE ＝56、如图，AB 是O 的直径，MN 是弦，AE ⊥MN 于E ，BF ⊥MN 于F ，AB ＝10，MN ＝8. 求BF －AE 的值.解：∵AE ⊥MN ，BF ⊥MN ，那么AE ∥BF ，∴∠A ＝∠ B如图，延长EO 交BF 于点G ， 那么∠AOE ＝∠BOG ，AO ＝BO∴△AOE ≌△BOG 〔AAS 〕，那么OE ＝OG 过点O 作OH ⊥MN ，FG ＝2OH ，HN ＝4连接ON ，那么ON ＝5，OH ＝22543-=，那么BG －AE ＝FG ＝6.圆的培优专题4——圆与勾股定理1、如图，⊙O 是△BCN 的外接圆，弦AC ⊥BC ，点N 是AB 的中点，∠BNC ＝60︒， 求BNBC的值. 解：如图，连接AB ，那么AB 为直径，∴∠BNA ＝90︒ 连接AN ，那么BN ＝AN ，那么△ABN 是等腰直角三角形∴BN ＝22AB ；又∠BAC ＝∠BNC ＝60︒， ∴BC ＝32AB ， ∴BN BC ＝63〔方法2，过点B 作BD ⊥CN ，即可求解〕2、如图，⊙O 的弦AC ⊥BD ，且AC ＝BD ，假设AD ＝22，求⊙O 半径. 解：如图，作直径AE ，连接DE ，那么∠ADE ＝90︒ 又AC ⊥BD ，那么∠ADB ＋∠DAC ＝∠ADB ＋∠EDB ＝90︒ ∴∠DAC ＝∠EDB ，那么CD BE =，∴DE BC =， ∵ AC ＝BD ，∴AC CD =，那么AD BC DE == ∴AD ＝DE ，即△ADE 是等腰直角三角形 ∴AE ＝2AD ＝4，即⊙O 的半径为23、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，D 为CB 延长线上一点，且∠CAD ＝45︒， CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F.〔1〕求证：CE ＝EF ；〔2〕假设DF ＝2，EF ＝4，求AC. 〔1〕证：∵ AB 为⊙O 的直径，∠CAD ＝45︒，那么△ACD 是等腰直角三角形，即AC ＝DC 又CE ⊥AB ，那么∠CAE ＝∠ECB如图，过点C 作CG 垂直DF 的延长线于点G又CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，那么四边形CEFG 是矩形，∠AEC ＝∠DGC ＝90︒ ∴EF ＝CG ，CE ∥DG ，那么∠ECB ＝∠CDG ＝∠CAE ∴△ACE ≌△DCG 〔AAS 〕，那么CE ＝CG ＝EF 〔2〕略解：AC ＝CD ＝2246213+=.4、如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点D ，CD 交AE 于点F ，AC CE =. 〔1〕求证：AF ＝CF ；〔2〕假设⊙O 的半径为5，AE ＝8，求EF 的长 〔1〕证：如图，延长CD 交⊙O 于点G ，连接AC ∵直径AB ⊥CG ，那么AG AC CE == ∴∠CAE ＝∠ACG ，那么AF ＝CF〔2〕解：如图，连接OC 交AE 于点H ，那么OC ⊥AE ，EH ＝AH ＝12 AE=4∴ OH ＝22543-=，那么CH ＝5－3＝2 设HF ＝x ，那么CF ＝AF ＝4－x 那么2222(4)x x +=-，∴32x =，即HF ＝32∴EF ＝1125、如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于E ，AM ⊥BC 于M ，交CD 于N ，连接AD. 〔1〕求证：AD ＝AN ；〔2〕假设AB ＝42，ON ＝1，求⊙O 的半径. 〔1〕证：∵CD ⊥AB ，AM ⊥BC∴∠C ＋∠CNM ＝∠C ＋∠B ＝90︒ ∴∠B ＝∠CNM ，又∠B ＝∠D ，∠AND ＝∠CNM ∴∠D ＝∠AND ，即AD ＝AN （2）解：∵直径CD ⊥弦AB ，那么AE ＝22 又AN ＝AD ，那么NE ＝ED如图，连接OA ，设OE ＝x ，那么NE ＝ED ＝1x + ∴OA ＝OD ＝21x +∴222(22)(21)x x +=+，那么1x = ∴⊙O 的半径OA ＝3圆的培优专题5——圆中两垂直弦的问题1、在⊙O中，弦AB⊥CD于E，求证：∠AOD＋∠BOC＝180︒.证：如图，连接AC，∵AB⊥CD，那么∠CAB＋∠ACD＝90︒又∠AOD＝2∠ACD，∠BOC＝2∠BAC∴∠AOD＋∠BOC＝180︒.2、在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，假设⊙O的半径为R，求证：AC2＋BD2＝4R2. 证：∵AB⊥CD，那么∠CAB＋∠ACD＝90︒如图，作直径AM，连接CM那么∠ACM＝∠ACD＋∠DCM＝90︒∴∠CAB＝∠DCM，=∴BC DM=，∴CM BD∴CM＝BD∵AC2＋CM2＝AM2∴AC2＋BD2＝4R2.3、在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，假设点M为AC的中点，求证ME⊥BD.证：如图，连接ME，并延长交BD于点F∵AB⊥CD，且点M为AC的中点∴ME为Rt△AEC斜边上的中线∴AM＝ME∴∠A＝∠AEM＝∠BEF又∠B＝∠C，∠A＋∠C＝90︒∴∠BEF＋∠B＝90︒，即∠BFE＝90︒∴ME⊥BD.4、在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，假设ON⊥BD于N，求证：ON ＝12 AC.证：如图，作直径BF，连接DF，那么DF⊥BD，又ON⊥BD，∴ON∥FD，又OB＝OF∴ON＝12DF连接AF，那么AF⊥AB，又CD⊥AB ∴AF∥CD∴AC FD=，那么AC＝FD∴ON＝12AC5、在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，假设AC＝BD，ON⊥BD于N，OM⊥AC于M. 〔1〕求证：ME//ON；〔2〕求证：四边形OMEN为菱形.证：〔1〕如图，延长ME交OD于点F∵OM⊥AC，那么点M为AC的中点∵AB⊥CD，那么ME为Rt△ACE的斜边上中线∴AM＝EM，∴∠A＝∠AEM＝∠BEF又∠B＝∠C，∠A＋∠C＝90︒∴∠B＋∠BEF＝90︒，那么∠BFE＝90︒∴MF⊥BD，又ON⊥BD∴MF∥ON〔2〕由〔1〕知MF∥ON，同理可证OM∥NE，∴四边形OMEN是平行四边形∵AC＝BD，∴OM＝ON∴四边形OMEN为菱形.圆的培优专题6——圆与内角〔外角〕平分线一 圆与内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的根本图形1、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CD 平分∠ACB ，∠ACB ＝90︒. 求证：CA ＋CB 2CD.证：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝BC ，连DE ，AD ，BD ∵CD 平分∠ACB ，∴AD ＝BD 又∠DAE ＝∠DBC ，AE ＝BC ∴△DAE ≌△DBC 〔SAS 〕 ∴CD ＝DE ，又∠ACD ＝45︒∴△CDE 是等腰直角三角形，那么CA ＋CB ＝CE 22、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CD 平分∠ACB ，∠ACB ＝120︒，求CA+CBCD 的值.解：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝BC ，连DE ，AD ，BD ∵CD 平分∠ACB ，∴AD ＝BD 又∠DAE ＝∠DBC ，AE ＝BC ∴△DAE ≌△DBC 〔SAS 〕 ∴CD ＝DE ，又∠ACD ＝60︒ ∴△CDE 是等边三角形∴CD ＝CE ＝CA ＋BC ，即CA+CBCD＝13、如图，过O 、M (1,1)的动圆⊙1O 交y 轴、x 轴于点A 、B ，求OA ＋OB 的值. 解：如图，过点M 作ME y ⊥轴，MF ⊥x 轴，连AM 、BM 由M 〔1，1〕知：四边形OFME 是正方形 ∴OE ＝OF ＝4，EM ＝FM ，又∠MBF ＝∠MAE ， ∴△AEM ≌△BFM 〔AAS 〕，那么AE ＝BF ∴OA ＋OB ＝AE ＋OE ＋OF －BF ＝8.二 圆中的外角问题往往与线段的差有关4、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CP 平分△ABC 的外角∠ACQ ，∠ACB ＝90︒. 求证：〔1〕PA PB =；〔2〕AC －BC ＝2PC. 证：〔1〕如图，连接AP ，那么∠PCQ ＝∠PAB 又∠PCQ ＝∠PCA ，那么∠PAB ＝∠PCA ∴PA PB =〔2〕连接BP ，由〔1〕得，PA ＝PB在AC 上截取AD ＝BC ，连PD ，又∠PAD ＝∠PBC ∴△PAD ≌△PBC 〔SAS 〕，那么PD ＝PC又∠PCD ＝45︒，那么∴PCD 是等腰直角三角形，∴AC －BC ＝CD ＝2PC. 5、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CP 平分△ABC 的外角∠ACQ ，∠ACB ＝120︒. 求BC －AC PC的值.解：如图，在BC 上截取BD ＝AC ，连AP 、BP 、DP ∵∠PCB ＝∠PCQ ＝∠PBA ∴AP ＝BP ，又∠CAP ＝∠DBP∴△CAP ≌△DBP 〔SAS 〕，那么CP ＝DP 又∠ACB ＝120︒，∴∠PCD ＝30︒， ∴BC －AC PC ＝ CD PC＝36、如图，A (4,0)，B (0,4)，⊙1O 经过A 、B 、O 三点，点 这P 为OA 上动点〔异于O 、A 〕. 求PB －PAPO的值.解：如图，在BP 上截取BC ＝AP∵A (4,0)，B (0,4)，那么OA ＝OB ＝4 又∠OAP ＝∠OBC ∴△OAP ≌△OBC 〔SAS 〕∴OC ＝OP ，且∠COP ＝∠AOB ＝90︒，那么PB －PA PO ＝ PCPO ＝2.第6题一 切线与一个圆 答案：1、70︒；2、20︒；3、80︒；4、120︒；5、130︒；6、45︒1、如图，AD 切⊙O 于A ，BC 为直径，假设∠ACB ＝20︒，那么∠CAD ＝ .2、如图，AP 切⊙O 于P ，PB 过圆心，B 在⊙O 上，假设∠ABP ＝35︒，那么∠APB ＝ .3、如图，PA 、PB 为⊙O 的切线，C 为ACB 上一点，假设∠BCA ＝50︒，那么∠APB ＝ .4、如图，PA 、PB 为⊙O 的切线，C 为AB 上一点， 假设∠BCA ＝150︒，那么∠APB ＝ .5、如图，点O 是△ABC 的内切圆的的圆心，假设 ∠BAC ＝80︒，那么∠BOC ＝ .6、如图，PA 切⊙O 于A ，假设PA ＝AB ，PD 平分∠APB 交AB 于D ，那么∠ADP ＝ . 〔设元，列方程〕二 切线与两个圆7、如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 、AC 分别切小圆于D 、E ，小圆的DE 的度数为110︒， 那么大圆的BC 的度数为 .8、如图，⊙O 1和⊙O 2交于A 、B 两点，且点O 1在⊙O 2上，假设∠D ＝110︒，那么∠C ＝ 9、如图，⊙O 1和⊙O 2外切于D ，AB 过点D ，假设∠AO 2D ＝100︒，C 为优弧BD 上任一点， 那么∠DCB ＝ . 答案：7、140︒；8、40︒；9、50︒〔过点D 作两圆的切线〕第1题 第2题 第3题 第4题第5题第7题 第8题 第9题1、如图，在⊙O 的内接△ACB 中，∠ABC ＝30︒，AC 的延长线与过点D 的切线BD 交于 点D ，假设⊙O 的半径为1，BD //OC ，那么CD ＝ . 〔CD ＝33〕2、如图△ABC 内接于⊙O ，AB ＝BC ，过点A 的切线与OC 的延长线交于D ，∠BAC ＝75︒， CD ＝3，那么AD ＝ . 〔AD ＝3〕3、如图，⊙O 为△BCD 的外接圆，过点C 的切线交BD 的延长线于A ，∠ACB ＝75︒，∠ABC ＝45︒，那么 CD DB 的值为 . 〔CDDB ＝2〕4、如图，AB 为⊙O 的直径，弦DC 交AB 于E ，过C 作⊙O 的切线交DB 的延长线于M ， 假设AB ＝4，∠ADC ＝45︒，∠M ＝75︒，那么CD ＝ . 〔CD ＝23〕5、如图，等边△ABC 内接于⊙O ，BD 切⊙O 于B ，AD ⊥BD 于D ，AD 交⊙O 于E ，⊙O 的半径为1，那么AE ＝ . 〔AE ＝1〕6、如图，△ABC 中，∠C ＝90︒，BC ＝5，⊙O 与ABC 的三边相切于D 、E 、F ，假设⊙O 的半径为2，那么△ABC 的周长为 . 〔C ＝30〕7、如图，△ABC 中，∠C ＝90︒，AC ＝12，BC ＝16，点O 在AB 上，⊙O 与BC 相切于D ， 连接AD ，那么BD ＝ . 〔示：过D 作DE ⊥AB ，设CD ＝DE ＝x ，BD ＝10〕第1题 第2题 第3题 第4题第5题 第6题第7题解题策略：连半径，有垂直；寻找特殊三角形；设元，构建勾股定理列方程.圆的培优专题9——圆的切线与垂径定理1、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AE 的中点，CD ⊥BE 于D. 〔1〕判断DC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； 〔2〕假设DC ＝3，⊙O 的半径为5，求DE 的长. 解：〔1〕DC 是⊙O 的切线，理由如下：如图，连接OC ，BC ，那么∠ABC ＝∠CBD ＝∠OCB ∴OC ∥BD ，又CD ⊥BE ∴OC ⊥CD ，又OC 为⊙O 的半径 ∴DC 是⊙O 的切线〔2〕如图，过O 作OF ⊥BD ，那么四边形OFDC 是矩形，且BE ＝EF ∴OF ＝CD ＝3，DF ＝OC ＝5，∴EF ＝BF ＝22534-=，∴DE ＝DF －EF ＝12、如图，AB 为⊙O 的直径，D 是BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，⊙O 的切线 BF 交AD 的延长线于点F. 〔1〕求证：DE 为⊙O 的切线；〔2〕假设DE ＝3，⊙O 的半径为5，求DF 的长. 〔1〕证：显然，∠CAD ＝∠OAD ＝∠ODA ∴OD ∥AE ，又DE ⊥AC ， ∴OD ⊥DE ，又OD 为⊙O 半径 ∴DE 为⊙O 的切线〔2〕解：如图，过点O 作OG ⊥AC ，那么OGDE 是矩形，即OG ＝DE ＝3，DE ＝OD ＝5 ∴AG ＝22534-=，那么AE ＝5＋4＝9，∴2293310+= 连接BD ，那么BD ⊥AD ，∴BD ＝2210(310)10-=设DF ＝x ，那么22(10)x +＝BF ＝22(310)10x +-，∴DF ＝103x =. 3、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE ⊥CD 于E ，DA 平分∠BDE. 〔1〕求证：AE 是⊙O 的切线； 〔2〕假设AE ＝2，DE ＝1，求CD 的长.〔1〕证：如图，连接OA ，那么∠ADE ＝∠ADO ＝∠OAD ∴OA ∥CD ，又AE ⊥CD ∴OA ⊥AE ，又OA 为⊙O 的半径 ∴AE 是⊙O 的切线〔2〕解：如图，过点O 作OF ⊥CD ，那么CD ＝2DF ，且四边形OFEA 是矩形 ∴EF ＝OA ＝OD ，OF ＝AE ＝2 设DF ＝x ，那么OD ＝EF ＝1x + ∴2222(1)x x +=+，∴ 1.5x = ∴CD ＝2CF ＝23x =4、如图，AE 是⊙O 的直径，DF 切⊙O 于B ，AD ⊥DF 于D ，EF ⊥DF 于F. 〔1〕求证：EF ＋AD ＝AE ；〔2〕假设EF ＝1，DF ＝4，求四边形ADFE 的周长. 〔1〕证：如图，连接CE ，那么四边形CDFE 是矩形 连接OB 交CE 于点G ， ∵DF 是⊙O 的切线 ∴OB ⊥DF ，OB ⊥CE∴BG ＝CD ＝EF ，OG ∥AC ，又AO ＝OE ∴AC ＝2OG∴EF ＋AD ＝AC ＋CD ＋EF ＝2OG ＋2BG ＝2OB ＝AE. 〔2〕解：显然CE ＝DF ＝4，CD ＝EF ＝1设AC ＝x ，那么AD ＝1x +，AE ＝2x +∴2224(2)x x +=+，那么3x =，那么AC ＝3，AD ＝4，AE ＝5 ∴四边形CDFE 的周长为14.圆的培优专题10——圆的切线与勾股定理1、如图，点A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于点B ，OC ＝BC ， AC ＝12OB. 〔1〕求证：AB 是⊙O 的切线；〔2〕假设∠ACD ＝45︒，OC ＝2，求弦CD 的长. 〔1〕证：∵OC ＝OB ，∴AC 为OAB 的OB 边上的中线，又AC ＝12OB ∴△OAB 是直角三角形，且∠OAB ＝90︒，又OA 为⊙O 的半径 ∴AB 是⊙O 的切线〔2〕解：显然，OA ＝OC ＝AC ，即△OAC 是等边三角形 ∴∠AOC ＝60︒，∴∠D ＝30︒ 如图，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，∵∠ACD ＝45︒，∴△AEC 是等腰直角三角形，∴AE ＝CE ＝22AC ＝22OC 2DE 3AE ＝6 ∴CD 622、如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，点M 在PB 上，且OM //AP ，MN ⊥AP 于N. 〔1〕求证：OM ＝AN ；〔2〕假设⊙O 的半径3r =，PA ＝9，求OM 的长. 〔1〕证：如图，连接OA ，∵PA 为⊙O 的切线， ∴OA ⊥AP ，又MN ⊥AP ∴OA ∥MN ，又OM //AP ，∴四边形OANM 是矩形，即OM ＝AN 〔2〕解：如图，连接OB ，∵PB 、PA 为⊙O 的切线 ∴∠OBM ＝∠MNP ＝90︒，PB ＝PA ＝9∵OM //AP ，∴∠OMB ＝∠P ，又OB ＝OA ＝MN ，∴△OBM ≌△MNP 〔AAS 〕 ∴OM ＝PM ，那么32＋OM 2＝〔9－OM 〕2，∴OM ＝53、如图，AB 为⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，D 为AB 延长线上一点，过D 作⊙O 的切线， E 为切点，连接CE 交AB 于F.〔1〕求证：DE ＝DF ；〔2〕连接AE ，假设OF ＝1，BF ＝3，求DE 的长. 〔1〕证：如图，连接OE ∵PE 为⊙O 的切线， ∴OE ⊥DE ，又OC ⊥AB∴∠C ＋∠CFO ＝∠OEF ＋∠DEF ＝90︒ 又∠C ＝∠OCF ，∠CFO ＝∠DFE ∴∠DEF ＝∠DFE ，∴DE ＝DF 〔2〕解：显然，OE ＝OB ＝OF ＋BF ＝4设BD ＝x ，那么DE ＝DF ＝3x +，OD ＝4x + ∴222(3)4(4)x x ++=+，∴x =4.5 ∴DE ＝7.54、如图，正方形ABCO 的顶点分别在y 轴、x 轴上，以AB 为弦的⊙M 与x 轴相切于F ， A (0,8)，求圆心M 的坐标.解：如图，连接FM 交延长交AB 于点E ∵⊙M 与x 轴相切，即OC 是⊙M 的切线∴EF ⊥OC ，又四边形ABCO 是正方形 ∴EF ⊥AB ，又A 〔0，8〕即AB ＝EM ＝OA ＝8 ∴ AE ＝4设MF ＝AM ＝x ，那么EM ＝8－x∴2224(8)x x +-=，∴5x =，即MF ＝5 ∴点M 的坐标为〔－4，5〕圆的培优专题11——圆的切线与全等三角形1、如图，BD 为⊙O 的直径，A 为BC 的中点，AD 交BC 于E ，过D 作⊙O 的切线，交BC 的延长线于F. 〔1〕求证：DF ＝EF ；〔2〕假设AE ＝2，DE ＝4，求DB 的长. 〔1〕证：如图，连接AB∵BD 为⊙O 的直径，DF 为⊙O 的切线 ∴∠BAD ＝∠BDF ＝90︒∴∠ABC ＋∠AEB ＝∠ADB ＋∠FDE ＝90︒ 又∠ABC ＝∠ADB ，∠AEB ＝∠DEF ∴∠DFE ＝∠DEF ，∴DE ＝EF〔2〕解：如图，过点F 作FG ⊥ED ，那么EG ＝GD ＝2＝AE ， 又∠BAE ＝∠FGE ＝90︒，∠AEB ＝∠GEF ， ∴△ABE ≌△GFE 〔ASA 〕，∴BE ＝EF ，即DE 为R △BDF 的斜边上中线 ∴DF ＝EF ＝DE ＝4，BF ＝8，那么BD ＝432、如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 的一点，OC ⊥AD ，CF ⊥DB 于F. 〔1〕求证：CF 为⊙O 的切线；〔2〕假设BF ＝1，DB ＝3，求⊙O 的半径. 〔1〕证：∵AB 为⊙O 的直径 ∴DF ⊥AD ，又OC ⊥AD ∴OC ∥DF ，又CF ⊥DB ∴OC ⊥CF ，又OC 为⊙O 的半径 ∴CF 为⊙O 的切线〔2〕解：如图，过点C 作CE ⊥BD 于点E ， 那么BE ＝DE ＝1.5，EF ＝2.5 又OC ⊥CF ，CF ⊥EF∴四边形OCFE 是矩形 ∴⊙O 有半径OC ＝EF ＝2.53、如图，以⊙O 的弦AB 为边向圆外作正方形ABCD. 〔1〕求证：OC ＝OD ； 〔2〕过D 作DM 切⊙O 于M ，假设AB ＝2，DM ＝22O 的半径. 〔1〕证：如图，连接OA 、OB ，那么OA ＝OB ∴∠OAB ＝∠OBA ∵四边形ABCD 是正方形∴AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ＝90︒ ∴∠OAD ＝∠OBC ∴△OAD ≌△OBC 〔SAS 〕 ∴OC ＝OD〔2〕解：如图，连接OM 、BD ，那么OM ⊥DM ，且BD 2＝2＝DM 又OM ＝OB ，OD ＝OD ，△ODM ≌△ODB 〔SSS 〕 ∴OB ⊥BD ，又∠ABD ＝45︒∴∠OAB ＝45︒，即△OAB 是等腰直角三角形 ∴OA ＝22AB 24、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90︒，以BC 为直径的⊙O 交AB 于D. 〔1〕求证：AD ＝BD ；〔2〕弦CE 交BD 于M ，假设3ABCBCM S S=，求BD CE. 〔1〕略证：连接CD ，那么CD ⊥AB又AC ＝BC ，∠ACB ＝90︒，∴AD ＝BD 〔2〕解：如图，连接BE ，过A 作AN ⊥CE 于N ， ∵3ABCBCMSS=，∴2ACMBCMSS=∴AN ＝2BE∵∠CAN ＝∠BCE ，AC ＝BC ，∠ANC ＝∠CEB ∴△ANC ≌△CEB 〔AAS 〕 ∴BE ＝CN ，CE ＝AN设CN ＝BE ＝x ，那么CE ＝AN ＝BE ＝2x ， ∴BC 5x ，∴AB 210x ，即BD ＝102x∴BD CE ＝104. 圆的培优专题12——圆的切线与等腰三角形1、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC 交于D ，与边AC 交于E ， 过D 作DF ⊥AC 于F.〔1〕求证：DF 为⊙O 的切线；〔2〕假设DE ＝5，AB ＝5，求AE 的长. 〔1〕证：如图，连接AD ，OD ， ∵AB 为⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，又AB ＝AC ，OA ＝OB ∴∠EAD ＝∠DAB ＝∠ADO ∴OD ∥AC ，又DF ⊥AC ∴OD ⊥DF ，又OD 为⊙O 的直径 ∴DF 为⊙O 的切线〔2〕解：∵∠EAD ＝∠DAB ，∴BD ＝DE ＝5，又AB ＝5，∴AD ＝225(5)25-= ∵DF ×AC ＝AD ×CD ，∴DF ＝2，CF ＝EF ＝52(5)21-=，∴AE ＝5－2＝3 2、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以边AB 为直径作⊙O ，交BC 于D ，过D 作DE ⊥AE. 〔1〕求证：DE 是⊙O 的切线；〔2〕连接OC ，假设∠CAB ＝120︒，求 DEOC的值. 〔1〕证：如图，连接AD ，OD ，那么AD ⊥BC 又AB ＝AC ，∴CD ＝BD ，又AO ＝OB ∴OD ∥AC ，又DE ⊥AE∴OD ⊥DF ，∴DE 是⊙O 的切线；〔2〕解：如图，过点O 作OF ⊥BD 于F ，那么BD ＝2BF ∵AB ＝AC ，∠CAB ＝120︒，∴∠B ＝30︒ 设OF ＝x ，那么BF ＝3x ，OB ＝2x ，∴AC ＝AB ＝4x ，CD ＝BD ＝23x ，那么CF ＝33x由勾股定理，得OC ＝7x ，由面积法，得DE 3x ，∴DEOC＝2114. 3、如图，AB ＝AC ，点O 在AB 上，⊙O 过点B ，分别交BC 于D 、AB 于E ，DF ⊥AC. 〔1〕证：DF 为⊙O 的切线；〔2〕假设AC 切⊙O 于G ，⊙O 的半径为3，CF ＝1，求AC. 〔1〕证：如图，连接OD ，∵ AB ＝AC ，OB ＝OD ∴∠B ＝∠C ＝∠ODB ∴OD ∥AC ，又DF ⊥AC ∴OD ⊥DF ，又OD 为⊙O 的半径 ∴DF 为⊙O 的切线〔2〕解：如图，连接OG ，∵AC 为⊙O 的切线∴OG ⊥AC ，又OD ⊥DF ，DF ⊥AC ，OG ＝OD ∴四边形ODFG 是正方形，即OB ＝OG ＝GF ＝3 设AG ＝x ，那么AB ＝AC ＝4x +，那么AO ＝1x + ∴2323(1)x x +=+，∴4x =，那么AC ＝84、如图，CD 是⊙O 的弦，A 为CD 的中点，E 为CD 延长线上一点，EG 切⊙O 于G. 〔1〕求证：KG ＝GE ；〔2〕假设AC //EG ，DK CK ＝ 35 ，AK ＝210，求⊙O 的半径.〔1〕证：如图，连接OG ，OA 交CD 于点F ∵A 为CD 的中点，EG 是⊙O 的切线 ∴OA ⊥CD ，OG ⊥GE∴∠OAG ＋∠AKF ＝∠OGA ＋∠EGK 又∠OAG ＝∠OGA ，∠AKF ＝∠EKG ∴∠EGK ＝∠EKG ∴KG ＝GE〔2〕解：∵AC ∥EG ，∴∠CAK ＝∠EGK ，又∠EGK ＝∠EKG ＝∠CKA ∴∠CAK ＝∠CKA ，∴CA ＝CK设CK ＝CA ＝5x ，那么DK ＝3x ，∴CD ＝8x ，CF ＝4x ，EG ＝x ∴AF ＝22(5)(4)3x x x -=在Rt △AFK 中，222(3)(210)x x +=，∴2x =∴CE ＝8，AE ＝6，设⊙O 的半径为R ，那么R 2＝82＋〔R －6〕2，∴R ＝253圆的培优专题13——圆与三角形的内心1、如图，AB 是⊙O 的直径，AC CE =，点M 为BC 上一点，且CM ＝AC.〔1〕求证：M 为△ABE 的内心；〔2〕假设⊙O 的半径为5，AE ＝8，求△BEM 的面积. 〔1〕证：如图，连接CE ，那么AC ＝CE ＝CM ∴∠CME ＝∠CEM ，∠CEA ＝∠CBE ∴∠CBE ＋∠BEM ＝∠CEA ＋∠AEM ∴∠AEM ＝∠BEM ，又∠ABC ＝∠CBE ∴点M 为△ABE 的内心.〔2〕解：如图，过点M 作MN ⊥BE 于点N ，那么MN 为△ABE 的内切圆的半径. ∵AB ＝10，AE ＝8，那么BE 221086-=∴MN ＝681022+-=， ★★ MN ＝2a b c +-＝aba b c++＝2 ∴BME 的面积为12×6×2＝6.2、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为直径，AD 平分∠BAC 点M 是△ABC 的内心. 〔1〕求证：BC 2DM ；〔2〕假设DM ＝52AB ＝8，求OM 的长. 〔1〕证：如图，连接BD ，CD ， ∵BC 为直径，AD 平分∠BAC ∴BD ＝CD ，∠BDC ＝90︒， ∴BC 2 连接CM ，那么∠ACM ＝∠BCM ，∠DAC ＝∠BCD∴∠DMC ＝∠ACM ＋∠DAC ＝∠BCM ＋∠BCD ＝∠DCM ， ∴DM ＝CD ，即BC 2（2）解：显然，BC 2＝10，AB ＝8，那么AC ＝6，且∠MAE ＝45︒如图，过M 作ME ⊥BC 于点N ，作MF ⊥AC 于点F ，那么ME ＝MF ＝AF ＝2∴ CF ＝CE ＝4，那么OE ＝1 ∴OM ＝22215+=.3、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，I 是△ABD 的内心，DI 的延长线交⊙O 于N.〔1〕求证：DE 是⊙O 的切线；〔2〕假设DE ＝4，CE ＝2，求⊙O 的半径和IN 的长. 〔1〕证：∵D 是BC 的中点，OA ＝OD ∴∠CAD ＝∠DAO ＝∠ADO ∴OD ∥AE ，又DE ⊥AB ∴OD ⊥DE ，又OD 为⊙O 的半径 ∴DE 是⊙O 的切线.〔2〕解：如图，过点O 作OF ⊥AC ，那么AF ＝CF ∵DE ⊥AB ，OD ⊥DE∴四边形ODEF 是矩形，那么OF ＝DE ＝4设⊙O 的半径为R ，那么OA ＝OD ＝EF ＝R ，AF ＝CF ＝R －2 ∴〔R －2〕2＋42 ＝R 2，∴R ＝5，∴AB ＝10，如图，连接BI ，AN ，BN ，那么IN ＝BN ＝AN ＝52 ★4、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，I 是△ABC 的内心，⊙O 交AB 于E ，BE 为⊙O 的直径. 〔1〕求证：AI 与⊙O 相切；〔2〕假设BC ＝6，AB ＝5，求⊙O 的半径. 〔1〕证：如图，延长AI 交BC 于点D ，那么AD ⊥BC ， 连接OI ，那么∠OIB ＝∠OBI ＝∠OBD ∴OI ∥BC ，又AD ⊥BC ∴AD ⊥OI ，又OI 为⊙O 的半径 ∴AI 与⊙O 相切〔2〕显然BD ＝3，AB ＝5，那么AD ＝4如图，过点I 作IF ⊥AB 于点F ，那么BF ＝BD ＝3，AF ＝2，IF ＝ID ，设IF ＝ID ＝x ，那么AI ＝4x -，∴2222(4)x x +=-，那么IF ＝32x =设O 的半径为R ，那么OF ＝3－R ，∴〔3－R 〕2＋〔32 〕2 ＝R 2，∴R ＝158圆的培优专题14——圆中动态问题1、如图，点P 是等边△ABC 外接圆BC 上的一个动点，求证PA ＝PB ＋PC. 证：如图，在AP 上截取PD ＝PC ，连接CD∵△ABC 是等边三角形，∠ABC ＝∠ACB ＝60︒ ∴∠DPC ＝∠ABC ＝60︒∴△PCD 是等边三角形，即CD ＝PC ∵∠ACD ＋∠BCD ＝∠BCP ＋∠BCD ＝60︒ ∴∠ACD ＝∠BCP ，又AC ＝BC ∴△ACD ≌△BCP 〔SAS 〕 ∴AD ＝BP∴PA ＝AD ＋DP ＝PB ＋PC.2、弦AD ⊥BD ，且AB ＝2，点C 在圆上，CD ＝1，直线AD 、BC 交于点E. 〔1〕如图1，假设点E 在⊙O 外，求∠AEB 的度数； 〔2〕如图2，假设C 、D 两点在⊙O 上运动，CD 的 长度不变，点E 在⊙O 内，求∠AEB 的度数. 解：〔1〕如图－1，连接OC ，OD ∵AD ⊥BD∴AB 为⊙O 的直径，且AB ＝2∴CD ＝OC ＝OD ＝1，即△OCD 是等边三角形 ∴∠COD ＝60︒∴∠CBD ＝12 ∠COD=30︒∴∠AEB ＝60︒ 〔2〕如图－2，连接OC ，OD图－1同理可得：∠ACD ＝60︒， ∴∠CBD ＝12 ∠COD=30︒又∠ADB ＝90︒，∴∠AED ＝120︒3、直线l 经过⊙O 的圆心O ，且交⊙O 于A 、B ，点C 在⊙O 上，且∠AOC ＝30︒，点 P 是直线l 上一个动点〔与O 不重合〕，直线CP 与⊙O 交于Q ，且QP ＝QO. 〔1〕如图1，当点P 在线段AO 上时，求∠OCP 的度数； 〔2〕如图2，当点P 在线段OA 的延长线上时，求∠OCP 的度数； 〔3〕如图3，当点P 在线段OB 的延长上时，求∠OCP 的度数. 解：〔1〕如图－1，设∠OCP ＝x ∵OC ＝OQ ，那么∠OQP ＝x 又∠AOC ＝30︒，QP ＝QO ∴∠QOP ＝∠QPO ＝30x +︒ ∴2(30)180x x +︒+=︒ ∴∠OCP ＝40x =︒〔2〕如图－2，设∠COQ ＝x ， 又∠AOC ＝30︒，QP ＝QO ∴∠QOP ＝∠QPO ＝30x +︒ 又OC ＝OQ∴∠OQP ＝∠OCQ ＝60x +︒ ∴(60)2(30)180x x +︒++︒=︒ ∴∠COQ ＝20x =︒ ∴∠OCP ＝100︒ 〔3〕如图－3，设∠QPO ＝x∴QP ＝PO ，那么∠QOP ＝∠QPO ＝x ∴OC ＝OQ∴∠OCQ ＝∠OQC ＝2x图－1图－2图－3∴230x x +=︒ ∴∠QPO ＝x ＝10︒ ∴∠OCP ＝20︒圆的培优专题15——聚焦圆中无图多解题圆是中考数学考查的一个热点，题型较全，选择、填空、作图、计算与证明经常出现，常与三角形、四边形、相似形、二次函数等知识一起考查。