因式分解

15.4 因式分解 教学任务分析 教 学 目 标 知识与能力 使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系；能够利用乘法公式对简单的多项式进行因式分解． 过程与方法 通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养

学生的观察能力和语言概括能力．

情感与态度 通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系． 教学重点 理解因式分解的意义；识别分解因式与整式乘法的关系． 教学难点 运用乘法公式进行因式分解． 教学方法 创设情境—主体探究—合作交流—应用提高．

教学过程设计 一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容 复习与回顾：整式的乘法，计算下列各式： x(x+1)= ； (x+1)(x – 1)= ． 讨论：630能被哪些数整除? 在小学我们知道，要解决这个问题需要把630分解成质数乘积的形式： 75326302，类似地，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式． 问题1 把下列多项式写成两个整式的乘积的形式： （1）xx2＝______________； （2）12x＝___________． 学生活动设计 学生独立思考，发现由于x(1＋x)＝xx2、(x－1)(x＋1)＝12x，得到上述问题的答案：（1）xx2＝x(1＋x)；（2）12x＝(x－1)(x＋1)． 教师活动设计 让学生独立完成上述问题，在解决问题的过程中体会上述过程与整式乘法的关系，初步理解因式分解；进而引导学生观察上述等式从左到右的过程与整式乘法的联系，作以下归纳： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫做因式分解，也叫作分解因式． 问题2 谈谈你对整式乘法和因式分解的理解． 师生活动设计 在学生讨论的基础上，让学生作以下分析： 因式分解是把一个多项式化为了几个整式乘积的形式；而整式乘法是把几个整式乘积的形式化为多项式，所以因式分解与整式乘法是相反的变形． 练习：理解概念判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解? （1）x2－4y2=(x+2y)(x－2y)； （2）2x(x－3y)=2x2－6xy； （3）(5a－1)2=25a2－10a+1； （4）x2+4x+4=(x+2)2； （5）(a－3)(a+3)=a2－9； （6）m2－4=(m+2)(m－2)； （7）2πR+ 2πr= 2π(R+r)． 二、主体探究、合作交流，探究因式分解的方法 问题3 分解因式ma＋mb＋mc． 学生活动设计 学生根据对因式分解概念的理解以及因式分解和整式乘法的关系，自主探索上述问题的答案，从探索的过程中总结这种分解因式的方法——提公因式法． 学生分析： 多项式中的各项都含有因式m，因此可以把m提出来得到 ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)． 教师活动设计 适当提醒和启发，引导学生对这种因式分解的特点进行归纳，进而得到：多项式中各项都有的因式，叫做这个多项式的公因式；把多项式ma+mb+mc分解成m(a+b+c)的形式，其中m是各项的公因式，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc 除以m的商，像这种分解因式的方法，叫做提公因式法． 巩固练习：说出下列多项式各项的公因式 （1）ma + mb； （2）4kx－8ky； （3）5y3+20y2； （4）a2b－2ab2+ab． 提公因式的方法： （1）系数的最大公约数作为公因式的系数； （2）相同字母的最低次数作为公因式中的字母部分． 例1 分解因式把cabba323128． 分析：应先找出238ba与cab312的公因式，再提公因式进行分解． 例2 把2 a(b＋c)－3(b+c)分解因式． 分析：(b+c)是这两个式子的公因式，可以直接提出． )(3)(2cbcba解：)32)((acb

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随堂小测 问题4 你能将多项式x2－16和多项式m2－4n2因式分解吗？这两个多项式有着什么共同特点？ 学生活动设计 学生观察上述两个多项式的特点，可以发现上述两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式，而整式乘法公式中的平方差公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2，反过来就是 a2－b2＝(a＋b)(a－b)， 这样的变形就是因式分解，从而可以对上述多项式因式分解． x2－16＝x2－42＝(x－4)(x＋4)， m 2－4n2＝m 2－(2n)2＝(m－2n)(m＋2n)． 教师活动设计 经过学生的自主探索，引导学生进行归纳： 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即 a2－b2＝(a＋b)(a－b)． 例3 分解因式 （1）4x2－9； （2）(x+p)2－(x+q)2． 分析：在（1）中，4x2 = (2x)2，9=32，4x2－9 = (2x )2－32，即可用平方差公式分解因式． 解：（1）4x2－9= (2x)2－32 = (2x+3)(2x－3)； （2）(x+p)2－(x+q)2 = [(x+p)+(x+q)] [(x+p)－(x+q)] =(2x+p+q)(p－q)． 例4 分解因式 （1）x4－y4； （2）a3b－ab． 分析：（1）x4－y4可以写成(x2)2－(y2)2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解． （2）a3b－ab有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解． 解：（1）x4－y4= (x2+y2)(x2－y2)= (x2+y2)(x+y)(x－y)； （2）a3b－ab = ab(a2－1)= ab(a+1)(a－1)． 巩固练习 思维延伸 1．观察下列各式：32－12=8=8×1；52－32=16=8×2；72－52=24=8×3；…… 把你发现的规律用含n的等式表示出来． 2．对于任意的自然数n，(n+7)2－(n－5)2能被24整除吗?为什么? 问题5 你能把多项式222baba和222baba分解因式吗？这两个多项式有什么特点？ 学生活动设计 观察上述多项式，与乘法公式中的完全平方公式作比较，容易得到 222)(2bababa．

教师活动设计 学生得到结果后，让学生归纳222)(2bababa，即 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 同时归纳完全平方式的定义：把形如222baba和222baba的式子叫作完全平方式． 例5 分解因式 （1）924162xx； （2）224yxyx． 学生活动设计 学生在独立思考的基础上进行讨论，在（1）中，16x2=(4x)2，9=32，24x=2×4x×3，所以924162xx是一个完全平方式，924162xx＝(4x＋3)2． 在（2）中，形式上不满足完全平方式的特点，但是224yxyx＝)4(22yxyx，变形后括号内的多项式是完全平方式，可以分解因式． 教师活动设计 在本问题的解决过程中，让学生进一步体会完全平方式的特点，能够灵活地用完全平方式分解因式． 例6 分解因式 （1）3ax2+6axy+3ay2； （2）(a+b)2－12(a+b)+36． 分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解． 解：（1）3ax2+6axy+3ay2 = 3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2； （2）(a+b)2－12(a+b)+36=(a+b)2－2·(a+b)·6+62=(a+b－6)2． 1．下列多项式是不是完全平方式？为什么？ （1）a2－4a+4； （2）1+4a2； （3）4b2+4b－1 ； （4）a2+ab+b2． 2．分解因式 （1）x2+12x+36； （2）－2xy－x2－y2； （3）a2+2a+1； （4）4x2－4x+1； （5）ax2+2a2x+a3； （6）－3x2+6xy－3y2． 三、应用提高、拓展创新，培养学生的应用能力和创新意识 问题6 把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？ （1）44yx； （2）33abba； （3）22363ayaxyax； （4）22)()(qxpx； （5）36)(12)(2baba． 学生活动设计： 观察上述多项式的形式，发现（1）可以把x4、y4看作(x2)2、(y2)2，可以利用平方差公式，得到44yx＝(22yx)(22yx)而22yx还可以利用平方差公式进行分解得到44yx＝(22yx)(22yx)＝(x－y)(x＋y)(22yx)． （2）（3）中不能用公式，但是各项存在公因式，于是可以先提公因式，然后进行分解，得到 （2）))(()(2233babaabbaababba； （3）22222)(3)2(3363yxayxyxaayaxyax； （4）中若把(x＋p)和(x＋q)看作一个整体，可以利用平方差公式分解． （5）把(a＋b)看作一个整体，恰好是完全平方式． 教师活动设计 让学生讨论如何进行分解因式，体会分解因式的一般步骤，归纳： （1） 先提公因式（有的话）； （2） 利用公式（可以的话）； （3） 分解因式时要分解到不能分解为止． 问题7 证明：连续两个奇数的平方差可以被8整除． 学生分析： 设连续两个奇数是x、x＋2，则有 x2－(x+2)2=(x－x－2)(x+x+2)=－2(2x+2)=－4(x+1)， 因为x是奇数，所以x＋1是偶数，所以－4(x+1)能被8整除． 四、归纳小结、布置作业 小结：因式分解的含义，灵活用提公因式法、公式法分解因式． 作业：习题15．4．