1.（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME .ABCD 是正方形，∴ E 是BD 的中点.∵M 是SD 的中点，∴ME 是DSB ∆的中位线.∴//ME SB . 又∵ME ⊂平面ACM ， -------------------------------3分 又SB ⊄平面ACM ，∴SB //平面ACM . --------------------------------4分（Ⅱ）解：取AD 中点F ，则MF //SA .作FQ AC ⊥于Q ，连结MQ . -------------------------------------5分 ∵SA ⊥底面ABCD ，∴MF ⊥底面ABCD . ∴FQ 为MQ 在平面ABCD 内的射影. ∵FQ AC ⊥,∴MQ ⊥AC .∴FQM ∠为二面角D AC M --的平面角. 7分 设SA AB a ==，在Rt MFQ ∆中，11,2224a MF SA FQ DE a ====，∴tan aFQM ==∴ 二面角D AC M --的大小为. ------------------------------------------------------------9分（III ）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ，∴.AM DC ⊥ ---------------------------------------10分 又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥ ∴AM ⊥平面.SDC----------------------------------------11分 ∴.SC AM ⊥由已知,SC MN ⊥ ∴SC ⊥平面.AMN又SC ⊂平面,SAC ∴平面SAC ⊥平面.AMN 方法二：解：（Ⅱ）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -， ---------------------------------------------5分由SA AB =故设1AB AD AS ===，则11(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(,0,)22A B C D S M SA ⊥底面ABCD ，∴AS 是平面ABCD 的法向量，AS (0,0,1)=． 设平面ACM 的法向量为(,,)x y z =n ,11(1,1,0),(,0,)22AC AM ==,---------------------------------7分则0,0.AC AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即00,1100.22x y x z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ ∴ ,.y x z x =-⎧⎨=-⎩ 令1x =,则(1,1,1)=--n .∴cos ,3||||AS AS AS ⋅<>===-⋅n n n , ∴二面角D ACM --的大小为．9分 （III ）11,0,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()1,1,1CS =--，11022AM CS ∴⋅=-+=AM CS ∴⊥ 12分又SC AN ⊥且AN AM A =SC AMN ∴⊥平面. 又SC ⊂平面,SAC∴平面SAC ⊥平面AMN . 14分 2．2.（Ⅰ）证明：连结1BC ，设1BC 与1B C 的交点为E ，连结DE . D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点，1 //.DE AC ∴ ………….. 3分111 DE CDB AC CDB ⊂⊄平面， 平面， 11 //.AC CDB ∴平面 ………….. 4分（Ⅱ）解： 设点B 到1CDB 平面的距离为.h 在三棱锥1B BCD -中，11 B BCD B B CD V V --=，且1 B B BCD ⊥平面，11 BCD B CD S B B S h ∆∆∴⋅=⋅.易求得1111 2BCD B CD S S CD B D ∆∆==⋅=，，11 BCD B CD S B B h S ∆∆⋅∴==即点B 到1CDB 平面….. 9分 （Ⅲ）解：在平面ABC 内作DF BC ⊥于点F ， 过点F 作1FG B C ⊥于点G ，连结.DG 易证明 11DF BCC B ⊥平面，从而GF 是DG 在平面11BCC B 内的射影，根据三垂线定理得1.B C GD ⊥DGF ∴∠是二面角1B B C D --的平面角 易求得112DF AC ==，12GF BE ==在Rt DFG ∆中， tan DFDGF GF==，∴ 二面角1B B C D --的大小是-------------------------------------------14分解法二： 在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC ===， AC BC ⊥，1 AC BC CC ∴、、两两垂直 .如图，以C 为原点，直线1CA CB CC ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则1(0 0 0)(2 0 0)(0 2 0)(0 0 2)C A B C ，，，，，，，，，，，，(1 1 0).D ，， （Ⅰ）证明：设1BC 与1B C 的交点为E ，则(0 1 1).E ，，1111(1 0 1)(2 0 2) //.2DE AC DE AC DE AC =-=-∴=∴，，， ，，， ， ABCDA 1B 1C 1EF G111 DE CDB AC CDB ⊂⊄平面， 平面，11 //.AC CDB ∴平面（Ⅱ）解：设点B 到1CDB 平面的距离为.h 在三棱锥1B BCD -中，11 B BCD B B CD V V --=，且 1 B B BCD ⊥平面，11 BCD B CD S B B S h ∆∆∴⋅=⋅易求得1111 2BCD B CDS S CD B D ∆∆==⋅=， ，11 BCD B CD S B B h S ∆∆⋅∴==即点B 到1CDB 平面…….. 9分 （Ⅲ）解：在平面ABC 内作DF BC ⊥于点F ， 过点F 作1FG B C ⊥于点G ，连结.DG 易证明 11DF BCC B ⊥平面， 从而GF 是DG 在平面11BCC B 内的射影，根据三垂线定理得 1.B C GD ⊥DGF ∴∠是二面角1B B C D --的平面角.易知11(0 1 0)0 22F G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，11 2222GF GD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110，，-，1，，-， cos GF GDGF GD GF GD∴〈〉==，3∴ 二面角1B B C D --的大小是arccos 33． 解法一：（Ⅰ）证明：∵底面ABCD 为正方形，∴AB BC ⊥，又PB BC ⊥，∴⊥BC 平面PAB ， ∴PA BC ⊥. ………………2分 同理PA CD ⊥， ………………4分∴⊥PA 平面ABCD ． ………5分（Ⅱ）解：设M 为AD 中点，连结EM ，又E 为PD 中点，可得PA EM //，从而⊥EM 底面ABCD ．过 M 作AC 的垂线MN ，垂足为N ,连结EN ．由三垂线定理有AC EN ⊥，∴E N M ∠为二面角D AC E --的平面角.………………7分 在EMN Rt ∆中，可求得,22,1==MN EM ∴2tan ==MNEMENM ．………………9分 ∴ 二面角D AC E --的大小为2arctan ．（Ⅲ）解：由E 为PD 中点可知,要使得点E 到平面PAF 的距离为552，即要点D 到平面PAF 的距离为554. 过 D 作AF 的垂线DG ，垂足为G ,∵⊥PA 平面ABCD ，∴平面⊥PAF 平面ABCD ，∴⊥DG 平面PAF ，即DG 为点D 到平面PAF 的距离. ∴554=DG ， ∴552=AG ．……12分 设x BF =，由ABF ∆与DGA ∆相似可得GA DG BF AB =，∴22=x，即1=x ． ∴在线段BC 上存在点F ，且F 为BC 中点，使得点E 到平面PAF 的距离为552． 解法二：（Ⅰ）证明：同解法一．（Ⅱ）解：建立如图的空间直角坐标xyz A -， 则，，，)000(A ，，，)022(C )110(，，E . 设m ),,(z y x =为平面AEC 的一个法向量，则m ⊥，m ⊥．又),1,1,0(=AE ),0,2,2(=AC ⎩⎨⎧=+=+∴.022,0y x z y 令,1=x 则,1,1=-=z y得m )1,1,1(-=．………………8分又)2,0,0(=是平面ACD 的一个法向量，设二面角D AC E --的大小为 θ，则33232,cos cos =⋅=>=<=m θ． ∴ 二面角D AC E --的大小为33arccos． （Ⅲ）解：设),20()02(≤≤t t F ，，n ),,(c b a =为平面PAF 的一个法向量，则n ⊥，n ⊥．又)2,0,0(=，),0,,2(t =⎩⎨⎧=+=∴.02,02tb a c 令,t a =则,0,2=-=c b 得n )0,2,(-=t ． …………12分又),1,1,0(=∴点E 到平面PAF的距离422+==t ，∴=+422t 552， 解得1=t ，即 )012(，，F .∴在线段BC 上存在点F ，使得点E 到平面PAF 的距离为552，且F 为BC 中点． 4． 解法1：（Ⅰ）取A 1D ，则A 1D//B 1C 知，B 1C 与DE 所成角即为A 1D 与DE 所成角，连结A 1E.由正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，可设其棱长为a ，分则3.5102cos ,25,2121221111 =⋅⋅-+=∠∴===DE D A E A DE D A DE A a DE E A a D A（Ⅱ）取B1C 的中点F ，B1D 的中点G ，连结BF ，EG ，GF..,,.,1111111CD B BF C C B CD C B BF BF DC B BCC BF B BCC CD 平面又平面且平面⊥∴=⋂⊥⊥∴⊂⊥∵GF CD 21，BE 21CD ， ∴BEGF ，∴四边形BFGE 是平行四边形， ∴BF//GE..,.1111CD B D EB D EB GE CD B GE 平面平面平面平面⊥∴⊂⊥∴（Ⅲ）连结EF.分的余弦值为二面角中则在设正方体的棱长为的平面角是二面角平面又13.33.33cos ,23,21,,..,.,//,111111 D C B E EF GF EFG a EF a GF EFG a D C B E EFG C B EF CD B EG C B GF CD GF C B CD --∴==∠∴==∆--∠∴⊥∴⊥⊥∴⊥ 解法2：如图建立空间直角坐标系A —xyz .则A （0，0，0），B （2a ，0，0）,C(0，2a ，0) A 1（0，0，2a ），B （2a ，2，2a ），C 1（0，2a ，2a ） （Ⅰ）取AB 的中点H ，连结CH. )0,0,(),,0,(),,2,0(a H a a D a a EABCDE ABC DE ABC CH DE CH a a a a 面分平面而平面//4.,.//),0,2,(),0,2,(∴⊄⊂∴-=-=∴)8(.,.,,00)2()(,0)()2()()().0,,(),,,(),2,,().0,,(),0,2,0(),0,0,2()1(111111分平面 AEF F B F AF EF AF F B EF F B a a a a a AF F E a a a a a a B a a a a a a a a B a a F a C a B ⊥∴=⋂⊥⊥∴=⋅-+⋅+⋅-=⋅=-⋅-+-⋅+⋅-=⋅∴=--=--=∴（Ⅲ）设平面AB 1E 的一个法向量为),,(z y x m =,02,022),,2,0(),2,0,2(11=+=⋅=+=⋅==az ay m az ax AB m a a a a AB ).,21,(,.21.a a a m a z z y z x --==⎪⎩⎪⎨⎧-=-=∴则令由于平面AEF 的一个法向量为),2,,(1a a a F B --= 故设B 1与m 所成角为θ..61236221cos 2221-=⋅--==∴a a a a a θ由于平面AB 1E 与平面AEF 所成的二面角为锐二面角，F AE B --∴1二面角的平面角的余弦值.6151的正切值为二面角F AE B --∴.5． 解法一:（Ⅰ） 连结BD ．在ABC ∆中，90B ︒∠=.∵AB BC =，点D 为AC 的中点，∴BD AC ⊥． ∵,PB ABC ⊥面即BD 为PD 在平面ABC 内的射影， ∴PD AC ⊥．…………………………2分 ∵E F 、分别为AB BC 、的中点,∴//EF AC , ∴EF PD ⊥．…………4分（Ⅱ）∵,PB ABC ⊥平面∴EF PB ⊥．连结BD 交EF 于点O ，∵EF PB ⊥，EF PD ⊥ ∴PBD EF ⊥平面，∴FPO ∠为直线PF 与平面PBD 所成的EF PO ⊥.……………6分 ∵,PB ABC ⊥面∴PB AB ⊥，PB BC ⊥，又∵45PAB ︒∠=，∴2==AB PB .∵2241==AC OF ，∴522=+=BF PB PF ，∴在Rt △FPO 中，1010sin ==∠PF OF FPO ，∴1010arcsin =∠FPO ．……… 8分（Ⅲ）过点B 作BM PF ⊥于点F ，连结EM ，∵,,AB PB AB BC ⊥⊥∴,AB PBC ⊥平面即BM 为EM 在平面PBC 内的射影， ∴EM PF ⊥，∴EMB ∠为二面角E PF B --的平面角．………11分 ∵Rt P F B ∆中，PB BFPF BM ⋅==,∴tan 2EB EMB BM ∠==13分 解法二：建立空间直角坐标系B −xyz,如图，则(),0,0,0B (),0,0,2A ()0,2,0C ，()0,1,1D ，()0,0,1E ，()0,1,0F ，()2,0,0P .（Ⅰ）∵()0,1,1-=，()2,1,1-=， ∴110EF PD ⋅=-+= ∴EF PD ⊥.………4分（Ⅱ）由已知可得，()0,1,1-=为平面PBD 的法向量，()2,1,0-=,∴ cos ,10PF EF PF EF PF EF⋅<>===⋅，∴直线PF 与面PBD ∴直线PF 与面PBD 所成的角为1010arcsin. （Ⅲ）设平面PEF 的一个法向量为a (),,x y z =，∵()0,1,1-=，()2,1,0-=∴ a 0EF x y =-+=，a 20PF y z =-=，令1=z，∴ a ()2,2,1=由已知可得，向量()0,0,2=BA 为平面PBF 的一个法向量，∴ cos < a 42,323a BA BA a BA⋅>===⨯⋅， ∴tan < a 5,BA >=.∴ 二面角E PF B --的正切值为25.………14分 6．（Ⅰ）证明：∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA BC ⊥．又AB ⊥BC ，PA AB A =，∴BC ⊥平面PAB ．又BC ⊂平面PCB ，∴平面PAB ⊥平面PCB ．（Ⅱ）∵PA ⊥底面ABCD ，∴AC 为PC 在平面ABCD 内的射影．又∵PC ⊥AD ，∴AC ⊥AD ．在梯形ABCD 中，由AB ⊥BC ，AB =BC ，得4BAC π∠=，∴4DCA BAC π∠=∠=．又AC ⊥AD ，故DAC ∆为等腰直角三角形．∴)2DC AB ==．连接BD ，交AC 于点M ，则 2.DM DCMB AB==在BPD ∆中，2PE DMEB MB==，∴//PD EM又PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ， ∴PD ∥平面EAC ．（Ⅲ）在等腰直角PAB ∆中，取PB 中点N ，连结AN ，则AN PB ⊥．∵平面PAB ⊥平面PCB ，且平面PAB平面PCB =PB ，∴AN PBC ⊥平面．在平面PBC 内，过N 作NH ⊥直线CE 于H ，连结AH ，由于NH 是AH 在平面CEB 内的射影，故AH CE ⊥．∴AHN ∠就是二面角A —CE —P 的平面角---------------------12分 在Rt PBC ∆中，设CB a =，则PB ==，13BE PB ==，16NE PB ==，CE ==，由NH CE ⊥，EB CB ⊥可知：NEH ∆∽CEB ∆， ∴.NH CBNE CE =代入解得：NH =．在Rt AHN ∆中，AN =，∴tan AN AHN NH== 即二面角A —CE —P的大小为 解法二：（Ⅱ）以A 为原点，,AB AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，如图建立空间直角坐标系． 设PA AB BC a ===，则()0,0,0A ，()0,,0B a ，(),,0C a a ()0,0,P a ，20,,33a a E ⎛⎫⎪⎝⎭.设(),,0D a y ，则()(),,,,,0CP a a a AD a y =--=，CP AD ⊥，∴20CP AD a ay ⋅=--=，解得：y a =-．2DC AB ∴=．连结BD ，交AC 于点M ， 则2DM DCMB AB==.---------------7分在BPD ∆中，2PE DMEB MB ==， ∴//PD EM ．又PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ， ∴PD ∥平面EAC ．（Ⅲ）设()1,,1x y =n 为平面EAC 的一个法向量，则11,AC AE ⊥⊥n n ，∴0,20.33ax ay ay a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：11,22x y ==-，∴111(,,1)22=-n ． 设()2',',1x y =n 为平面EBC 的一个法向量，则22,BC BE ⊥⊥n n ，又(),0,0BC a =，(0,,)33a a BE =-，∴'0,'0,33ax ay a =⎧⎪-⎨+=⎪⎩HACBD1A1C1BEF解得：'0,'1x y ==，∴()20,1,1=n ． 121212cos ,6⋅==n n n n n n ．13分 ∴二面角A —CE —P 的大小为arccos 6．14分7．解法一：（Ⅰ）在直三棱柱111ABC A B C -中,11A B //AB .∴BAC ∠是11A B 与AC 所成的角. 2分 在Rt ABC ∆中，,90AB BC ABC =∠=︒，45BAC ∴∠=︒. ∴11A B 与AC 所成角为45︒. （Ⅱ）取AC 中点E ，连结,DE BE ，D 是1A C 的中点，则1//DE AA .1AA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC . 则BE 是BD 在平面ABC 内的射影.AB BC =,BE AC ∴⊥.∴BD AC ⊥.同理可证1BD B C ⊥. 8分又1AC B C C =，BD ∴⊥平面1AB C .（III ）取1AB 中点F ，连结,CF BF ，1AB BB =,1BF AB ∴⊥1AC BC ==1.CF AB ∴⊥ 则BFC∠为二面角1C AB B --的平面角. 12分 在Rt BFC ∆中，1,902BF BC FBC ==∠=︒，则tan BFC =∴BFC ∠=. 14分即二面角1C AB B --的大小为arctan . 解法二： （Ⅰ）同法一.（Ⅱ）建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，(1,0,0)A ，(0,1,0),C 1(0,0,1)B ，1(1,0,1)A ， D （111,,)222.------------------6分则111(,,)222BD =，1(1,1,0),(1,0,1)AC AB =-=-.10,0BD AC BD AB ∴⋅=⋅=. ---------------8分1,BD AC BD AB ∴⊥⊥，且1ACAB A =. BD ∴⊥平面1AB C .---------------9分 （III ）11,,BC BB BC AB ABBB B ⊥⊥=,BC ∴⊥平面1ABB .(0,1,0)BC ∴=是平面1ABB 的法向量.由（Ⅱ）可知111(,,)222BD =是平面1AB C 的法向量.12cos ,3||||3BC BD BC BD BC BD ⋅<>===. 即二面角1C AB B --的大小为arccos 38．解法一：（Ⅰ）证明：平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB平面ABC AB =，且BC AB ⊥，BC PAB ∴⊥平面 .PA ⊂平面 PAB ， PA BC ∴⊥.又PA PB ⊥，∴ PA PBC ⊥平面 .（Ⅱ）解：作PO AB ⊥于点O ，OM AC ⊥于点M ，连结PM . ∵平面PAB ⊥平面ABC ，PO ABC ∴⊥平面 ，根据三垂线定理得 PM AC⊥，PMO ∴∠是二面角P AC B --的平面角.………….. 6分设PA PB ==PA PB ⊥，AB PO BO AO ∴====， 30OM AM MAO ⊥∠=︒，，sin 302AOOM AO ∴=⋅︒=，tan 2PO AOPMO OM OM∴===，即二面角P AC B --的大小是arctan 2.（Ⅲ）解：在底面ABC 内分别过A C 、作BC AB 、的平行线，交于点D ，连结OC OD PD ，，.则PCD ∠是异面直线AB 和PC 所成的角或其补角.30AB BC BAC ⊥∠=︒，，tan302BC AB ∴=⋅︒=， OCPC ∴=.易知底面ABCD 为矩形，从而OC OD =，.PC PD =在PCD ∆中，12cos CDPCD PC =∴异面直线AB 和PC 所成角的大小为. 解法二：作PO AB ⊥于点O ， 平面PAB ⊥平面ABC ， PO ∴⊥平面ABC .过点O 作BC 的平行线，交AC 于点D .如图，以O 为原点，直线OD OB OP ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 . ………….. 2分PA PB ==设.PA PB ⊥，AB PO BO AO ∴====， 30AB BC BAC ⊥∠=︒，， tan302BC AB ∴=⋅︒=.(0 0 0)(0 (0(2O A B C ∴，，，，，，，(0 0P ，(1 0 0).D ，，----------------------------------------------4分 （Ⅰ）证明：(0 33)(2 00)PA BC =--=，，， ，，， 0PA BC ∴=，PA BC ∴⊥. 又 PA PB ⊥，∴PA PBC ⊥平面 .（Ⅱ）解：作OM AC ⊥于点M ，连结PM .PO ⊥平面ABC ， 根据三垂线定理得 PM AC ⊥， PMO ∴∠是二面角P AC B --的平面角. 在Rt AMO ∆中， sin 3022AO OM AO =⋅︒==，3 04M ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，，从而333044MO MP ⎛⎫⎛=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝，，， ，5cos 5MO MP MOMP MO MP∴〈〉==，， 即二面角PAC B --的大小是arccos 5. （Ⅲ）解：()( 023023AB PC ==，，， ，，，30cos 10AB PCAB PC AB PC∴〈〉==，， ∴异面直线AB 和PC 所成角的大小为arccos10.9． 解法一：（Ⅰ）证明：由直三棱柱性质，B 1B ⊥平面ABC ，∴B 1B ⊥AC ，又BA ⊥AC ，B 1B ∩BA=B ， ∴AC ⊥平面 ABB 1A 1，又AC ⊂平面B 1AC ， ∴平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1. …………4分 （Ⅱ）解：过A 1做A 1M ⊥B 1A 1，垂足为M ，连结CM ，∵平面B 1AC ⊥平面ABB 1A ，且平面B 1AC ∩平面ABB 1A 1=B 1A ，∴A 1M ⊥平面B 1AC. ∴∠A 1CM 为直线A 1C 与平面B 1AC 所成的角， ∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角，∴∠B 1CB=30°. 设AB=BB 1=a ，可得B 1C=2a ，BC=a AC a 2,3=，.66sin ,22,311111====C A M A CM A a M A a C A 又从而∴直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值为.66…………9分 （III ）解：过A 做AN ⊥BC ，垂足为N ，过N做NO ⊥B 1C ，垂足为O ，连结AO ， 由AN ⊥BC ，可得AN ⊥平面BCC 1B 1，由三垂线定理，可知AO ⊥B 1C ，∴∠AON 为二面角B —B 1C —A 的平面角，.36sin ,,3611==∴=⋅==⋅=AO AN AON a C B AC AB AO a BC AC AB AN ∴二面角B —B 1C —A 的大小为.36arcsin …………14分 解法二：（Ⅰ）证明：同解法一. …………4分（Ⅱ）解：建立如图的空间直角坐标系A —xyz ， ∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角， ∴∠B 1CB=30°. 设AB=B 1B=1，).1,1,0(),1,0,0(),0,0,2(),0,1,0(),0,0,0(.2,311B A C B A AC BC 则则==,6661||||,cos ),1,0,2(),1,1,0(,,11111111111==⋅>=<∴=-=C A B A A A A A AC B A B A 又的一个法向量易知连结∴直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值为.66…………9分 （III ）解：设),,(z y x n =为平面BCC 1B 1的一个法向量， .33232,cos cos ,,).0,2,1(,0,2,1,02,0),0,1,2(),1,0,0(,,1111111=⋅==<=--====⎩⎨⎧=-=∴-==⊥⊥B A n A C B B AC B A n z y x y x z BC BB n BB n θθ则的大小为设二面角的一个法向量是平面又得则令又则∴二面角B —B 1C —A 的大小为.33arccos …………14分ABCDPE FA BC DPxyz10． 解法一：（Ⅰ）∵PC ⊥平面ABC ，⊂AB 平面ABC ， ∴PC ⊥AB ．…………………………2分 ∵CD ⊥平面PAB ，⊂AB 平面PAB ， ∴CD ⊥AB ．…………………………4分 又C CD PC = ，∴AB ⊥平面PCB ． …………………………5分（Ⅱ）过点A 作AF//BC ，且AF=BC ，连结PF ，CF ．则 PA F ∠为异面直线PA 与BC 所成的角．由（Ⅰ）可得AB ⊥BC ， ∴CF ⊥AF ．由三垂线定理，得PF ⊥AF ．则AF=CF=2，PF=6 CF PC 22=+， 在PFA Rt ∆中，tan ∠PAF=26AFPF==3，∴异面直线PA 与BC 所成的角为3π． （III ）取AP 的中点E ，连结CE 、DE ．∵PC=AC=2，∴CE ⊥PA ，CE=2． ∵CD ⊥平面PAB ，由三垂线定理的逆定理，得 DE ⊥PA ． ∴CED ∠为二面角C-PA-B 的平面角．由（Ⅰ）AB ⊥平面PCB ，又∵AB=BC ，可求得BC=2．在PCB Rt ∆中， PB=6B C PC 22=+，32622PB BC PC CD =⨯=⋅=． 在CDE Rt ∆中，sin ∠CED=36232CECD==． ∴二面角C-PA-B 的大小为arcsin 36． 解法二： （Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由(I) AB ⊥平面PCB ，∵PC=AC=2，又∵AB=BC ，可求得BC=2．以B 为原点，如图建立坐标系．则Ａ（０，2，０），Ｂ（0，0，0），C （2，０，0），P （2，０，2）．),22,2(AP -=，)0,0,2(B C =．则22⨯=⋅+0+0=2．,cos >=<=2222⨯=21．∴异面直线AP 与BC 所成的角为3π． （III ）设平面PAB 的法向量为m = (x ，y ，z)．)0,2,0(AB -=，),22,2(AP -=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0.m ,0m 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-.02z y 2x 2,0y 2解得⎩⎨⎧-==z2x ,0y 令z = -1, 得 m = (2，0，-1)．设平面PAC 的法向量为n =('''z ,y ,x )．)0,-2,0(=，),02,2(-=， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0.n ,0n 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-.0y 2x 2,02z ''' 解得⎪⎩⎪⎨⎧=='''yx ,0z 令'x =1, 得 n = (1，1，0)．…………………12分n m n m n ,m cos ⋅>=<=33232=⨯． ∴二面角C-PA-B 的大小为arccos 33．………14分 11．ABCA B 1CEF 方法1：（Ⅰ）证明：依条件有CB ∥C 1B 1，又C 1B 1⊂平面A B 1C 1，CB ⊄平面A B 1C 1， 所以CB ∥平面A B 1C 1.…………………3分（Ⅱ）解：因为D 为AB 的中点，依条件可知C 1D ⊥A 1B 1. 所以111B C AD V -=111C D AB V -=13×C 1D 1×(12×A 1A×D 1B 1)= 13×12×(12×1×2)=24.……………7分（Ⅲ）解：因为D 1是A 1B 1上一动点， 所以当D 1与A 1重合时，二面角D 1-AC 1-C 的大小为π；当D 1与B 1重合时，如图，分别延长A 1C 1和AC 1，过B 1作B 1E ⊥A 1C 1延长于E ，依条件可知平面A 1B 1C 1⊥平面ACC 1A 1， 所以B 1E ⊥平面ACC 1A 1.过点E 作EF ⊥A 1C 1，垂直为F. 连结FB 1，所以FB 1⊥A 1C 1.所以∠B 1FE 是所求二面角的平面角.容易求出B 1E=2，FE=4. 所以tan ∠B 1FE=1B EFE.所以∠B 1.（或arccos7）所以二面角D 1-AC 1-C 的取值范围是，π]（或[arccos 7，π]）.……13分 方法2：（Ⅰ），（Ⅱ）略（Ⅲ）解：如图建立空间直角坐标系，则有A(1，0，0)，B 1(-12，1)，C 1(0，0，1).因为D 1是A 1B 1上一动点，所以当D 1与A 1重合时，二面角D 1-AC 1-C 的大小为π；当D 1与B 1重合时， 显然向量n 1=(0，1，1(D 1)0)是平面ACC 1A 1的一个法向量.因为1C A =(1，0，-1)， 11C B =(-121)，设平面C 1AB 1的法向量是n 2=(x ，y ，z )，由1C A ·n 2=0，11C B ·n 2=0，解得平面C 1AB 1的一个法向量n 2=(13，1).因为n 1·n 2=3，| n 1|=1，| n 2B 1-AC 1-C 的大小为β，所以cos β.即β.所以二面角D 1-AC 1-C 的取值范围是π]（或，π]）---------13分 12． 解法一:（Ⅰ）证明：∵ P A ⊥底面ABCD,BC ⊂平面ABCD,PA BC ∴⊥，∠ACB =90︒，BC AC ∴⊥.又PA AC A ⋂=，∴ BC ⊥平面PAC .4分（Ⅱ）∵AB // CD , 0120DAB ∴∠=. ∠ADC=600, 又AD =CD=1,ADC ∴∆为等边三角形,且 AC=1.取AC 的中点O ，则DO AC ⊥，∵P A ⊥底面ABCD ，,PA DO DO ∴⊥∴⊥面PAC过O 作OH PC ⊥，垂足为H ，连DH ，由三垂线定理知DH PC ⊥.DHO ∴∠为二面角D PC A --的平面角.由OH DO ==tan 2,arctan 2DODHO DHO OH∴==∴∠=. ∴二面角D PC A --的大小为arctan 2.（Ⅲ）设点B 到平面PCD 的距离的距离为d .∵AB //CD ,AB ⊄平面,PCD CD ⊂面PCD ,//AB ∴平面PCD .∴点B 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离., A PCD P ACD V V --==分,5d ∴=. 解法二:（Ⅰ）同解法一 -----------4分（Ⅱ）取CD 的中点E ，则,AE CD AE AB ⊥∴⊥.又P A ⊥底面ABCD,AE ⊂面ABCD ,PA AE ∴⊥ --------------5分建立空间直角坐标系，如图. 则()(110,0,0,,,0,,022A P C D ⎫⎫-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()31310,0,3,,,0,,,0,22AP AC PD ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭设()1111,,nx y z =为平面PAC 的一个法向量，()2222,,n x y z =为平面PDC 的一个法向量，则111111111002000n AC x y y z n AP ⎧⎧⋅=+==⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎪⎩=⎩ 可取()13,3,0n =-；22122222200012002y n DC y x z x y n DP =⎧⎧⋅==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=++=⋅=⎩⎪⎪⎩⎩，可取()22,0,1n =. ------------ 9分121212cos , 10n n n n n n ⋅∴=⋅==分故所求二面角的大小为arccos 5.（Ⅲ）又()(0,2,0,0,2,B PB =.由（Ⅱ）取平面PCD 的一个法向量()22,0,1n =,∴点B 到平面PCD 的距离的距离为2213n PB d n ⋅=分.==分13．（Ⅰ）解： AB ∥平面DEF . 在△ABC 中，∵ E 、F 分别是AC 、BC 上的点，且满足CE CF k CA CB ==，∴ AB ∥EF .∵ AB ⊄平面DEF ，EF ≠⊂平面DEF ，∴ AB ∥平面DEF . …………… 3分 （Ⅱ）过D 点作DG ⊥AC 于G ，连结BG ， ∵ AD ⊥CD , BD ⊥CD ,∴ ∠ADB 是二面角A -CD -B 的平面角. ∴ ∠ADB=90, 即BD ⊥AD . ∴ BD ⊥平面ADC . ∴ BD ⊥AC . ∴ AC ⊥平面BGD . ∴ BG ⊥AC .∴ ∠BGD 是二面角B -AC -D 的平面角. ……5分 在ADC 中，AD =a , , AC=2a ,∴3AD DC a DG AC ===.在Rt △BDG 中，tanBD BGD DG ∠==∴ BGD∠=.即二面角B -AC -D 的大小为…… 8分（Ⅲ）∵ AB ∥EF , ∴ ∠DEF (或其补角)是异面直线AB 与DE 所成的角.… 9分 ∵AB =，∴EF =.又, 2CE kCA ak ==， ∴DF DE =GABCD EF===∴222cos 22DE EF DF EF DEF DE EF DE +-∠===∴234a k +解得 12k =.…………………… 13分 14．（Ⅰ）解：∵直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，∴B 1B ⊥面ABC ，∴B 1B ⊥AB . 又∵AB ⊥BC ， ∴AB ⊥面BCC 1B 1. 连结BC 1，则∠AC 1B 为AC 1与平面B 1BCC 1所成角. 依题设知，BC 1=22，在Rt △ABC 1中，.22222tan 11===∠BC AB B AC …………5分 （Ⅱ）如图，连结DF ，在△ABC 1中， ∵D 、F 分别为AB 、BC 1的中点，∴DF ∥AC 1， 又∵DF ⊂平面B 1DC ，AC 1⊄平面B 1DC ， ∴AC 1∥平面B 1DC .……10分 （Ⅲ）PB 1=x ，.21=∆BCC S当点P 从E 点出发到A 1点，即]2,1[∈x 时， 由（Ⅰ）同理可证PB 1⊥面BB 1C 1C ，.3231111xPB s V BCC BCC P =⨯=∴∆- 当点P 从A 1点运动到A 点，即]22,2[∈x 时，343111=⨯=∆-AB S V BCC BCC P . ∴三棱锥P —BCC 1的体积表达式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=].22,2[34]2,1[32)(x x xx V…………14分15．（Ⅰ）证明： E 是AB 的中点，AB 21BE =∴，又EB //DC ,AB 21DC ,AB //CD ∴= 且EB DC =∴四边形DCBE 是平行四边形，BC //ED ∴ ⊄DE 面PBC ，⊂BC 面PBC ，//DE ∴平面PBC 。
