第一章 随机事件与概率习题1.11． 写出下列随机试验的样本空间：（1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子；（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，放回后再取出一个； （5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，不放回后再取出一个． 解：（1）Ω = {(0, 0, 0)，(0, 0, 1)，(0, 1, 0)，(1, 0, 0)，(0, 1, 1)，(1, 0, 1)，(1, 1, 1)，(1, 1, 1)}，其中出现正面记为1，出现反面记为0； （2）Ω = {(x 1 , x 2 , x 3)：x 1 , x 2 , x 3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6}；（3）Ω = {(1)，(0, 1)，(0, 0, 1)，(0, 0, 0, 1)，…，(0, 0, …, 0, 1)，…}，其中出现正面记为1，出现反面记为0；（4）Ω = {BB ，BW ，BR ，WW ，WB ，WR ，RR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ； （5）Ω = {BW ，BR ，WB ，WR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ．2． 先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ），则再抛一枚硬币，试验停止．那么该试验的样本空间Ω是什么？ 解：Ω = {Z1，Z2，Z3，Z4，Z5，Z6，FZ ，FF}． 3． 设A , B , C 为三事件，试表示下列事件：（1）A , B , C 都发生或都不发生； （2）A , B , C 中不多于一个发生； （3）A , B , C 中不多于两个发生； （4）A , B , C 中至少有两个发生． 解：（1）C B A ABC U ；（2）C B A C B A C B A C B A U U U ；（3）ABC 或C B A C B A C B A C B A BC A C B A C AB U U U U U U ； （4）ABC BC A C B A C AB U U U ． 4． 指出下列事件等式成立的条件：（1）A ∪B = A ； （2）AB = A ． 解：（1）当A ⊃ B 时，A ∪B = A ；（2）当A ⊂ B 时，AB = A ．5． 设X 为随机变量，其样本空间为Ω = {0 ≤ X ≤ 2}，记事件A = {0.5 < X ≤ 1}，B = {0.25 ≤ X < 1.5}，写出下列各事件：（1）B A ； （2）B A U ；（3）AB ； （4）B A U ．解：（1）}5.11{}5.025.0{<<≤≤=X X B A U ；（2）Ω=≤≤=}20{X B A U ；（3）A X X AB =≤<≤≤=}21{}5.00{U ； （4）B X X B A =≤≤<≤=}25.1{}25.00{U U ．6． 检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X 为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点：A =“X = 1”，B =“X > 2”，C =“X = 0”，D =“X = 4”．解：A = {(1, 0, 0)，(0, 1, 0)，(0, 0, 1)}，B = {(1, 1, 1)}，C = {(0, 0, 0)}，D = ∅． 7． 试问下列命题是否成立？（1）A − (B − C ) = (A − B )∪C ；（2）若AB = ∅且C ⊂ A ，则BC = ∅； （3）(A ∪B ) − B = A ； （4）(A − B )∪B = A ．解：（1）不成立，C B A AC B A AC B A C B A C B A C B A C B A U U U U )()()()(−≠−====−=−−；（2）成立，因C ⊂ A ，有BC ⊂ AB = ∅，故BC = ∅；（3）不成立，因A B A B A B B B A B B A B B A ≠−====−U U U )()(； （4）不成立，因A B A B B B A B B A B B A ≠===−U U U U U ))(()(． 8． 若事件ABC = ∅，是否一定有AB = ∅？解：不能得出此结论，如当C = ∅时，无论AB 为任何事件，都有ABC = ∅． 9． 请叙述下列事件的对立事件：（1）A =“掷两枚硬币，皆为正面”； （2）B =“射击三次，皆命中目标”；（3）C =“加工四个零件，至少有一个合格品”． 解：（1）=A “掷两枚硬币，至少有一个反面”；（2）=B “射击三次，至少有一次没有命中目标”； （3）=C “加工四个零件，皆为不合格品”． 10．证明下列事件的运算公式：（1）B A AB A U =； （2）B A A B A U U =．证：（1）A A B B A B A AB =Ω==)(U U ；（2）B A B A B A A A B A A U U U U U =Ω==)())((． 11．设F 为一事件域，若A n ∈F ，n = 1, 2, …，试证：（1）∅ ∈F ；（2）有限并∈=U ni i A 1F ，n ≥ 1；（3）有限交∈=I ni i A 1F ，n ≥ 1；（4）可列交∈+∞=I 1i i A F ；（5）差运算A 1 − A 2 ∈ F ．证：（1）由事件域定义条件1，知 Ω ∈F ，再由定义条件2，可得∅∈Ω=F ；（2）在定义条件3中，取A n + 1 = A n + 2 = … = ∅，可得∈=∞==U U 11i i ni i A A F ；（3）由定义条件2，知∈n A A A ,,,21L F ，根据（2）小题结论，可得∈=U ni i A 1F ，再由定义条件2，知∈=U ni i A 1F ，即∈=I ni i A 1F ；（4）由定义条件2，知∈L L ,,,,21n A A A F ，根据定义条件3，可得∈∞=U 1i i A F ，再由定义条件2，知∈∞=U 1i i A F ，即∈∞=I 1i i A F ；（5）由定义条件2，知∈2A F ，根据（3）小题结论，可得∈21A A F ，即A 1 − A 2 ∈ F ．习题1.21． 对于组合数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n ，证明：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ； （2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n r n r n 111； （3）nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ； （4）12221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n L ； （5）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ，n = min{a , b }； （6）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ． 证：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−r n r r n n r n n r n n r n n !)!(!)]!([)!(!； （2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−+−−=−−−+−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−r n r n r n r n r r n r n r n r n r n r n r n r n )!(!!)]([)!(!)!1()!1(!)!1()!()!1()!1(111； （3）由二项式展开定理nn n n y n n y x n x n y x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+−L 110)(，令x = y = 1，得 nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ； （4）当1 ≤ r ≤ n 时，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−⋅−−=−⋅−=−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)!()!1()!1()!()!1(!)!(!!r n n r n r n n r n r n r n r n rr n r ， 故12111101221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n n n n L L ； （5）因a ax a a x a a x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(，b b x b b x b b x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(， 两式相乘，其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0110b n a n b a n b a L ，另一方面ba b a b a x a b a x b a b a x x x ++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+=++L 10)1()1()1(， 其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+n b a ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ； （6）在（5）小题结论中，取a = b = n ，有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n 20110L ， 再由（1）小题结论，知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ． 2． 抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率．解：样本点总数n = 23 = 8，事件“至少出现一个正面”的对立事件为“三个都是反面”，其所含样本点个数为1， 即事件“至少出现一个正面”所含样本点个数为k = 8 − 1 = 7，故所求概率为87)(=A P ． 3． 任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率． 解：将所有正整数看作两个类“偶数”、“奇数”，样本点总数n = 22 = 4，事件“两个都是偶数”所含样本点个数为1，事件“两个都是奇数”所含样本点个数也为1， 即事件A =“它们的和为偶数”所含样本点个数k = 2，故所求概率为2142)(==A P ．4． 掷两枚骰子，求下列事件的概率：（1）点数之和为6； （2）点数之和不超过6； （3）至少有一个6点． 解：样本点总数n = 62 = 36．（1）事件A 1 =“点数之和为6”的样本点有 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)，即个数k 1 = 5，故所求概率为365)(1=A P ；（2）事件A 2 =“点数之和不超过6”的样本点有(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)， 即个数k 2 = 15，故所求概率为1253615)(2==A P ；（3）事件A 3 =“至少有一个6点”的样本点有(1, 6), (6, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)， 即个数k 3 = 11，故所求概率为3611)(3=A P ．5． 考虑一元二次方程x 2 + Bx + C = 0，其中B , C 分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q ． 解：样本点总数n = 62 = 36，事件A 1 =“该方程有实根”，即B 2 − 4C ≥ 0，样本点有(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)，即个数k 1 = 19，故36191==n k p ． 事件A 2 =“该方程有重根”，即B 2 − 4C = 0，样本点有(2, 1)，(4, 4)，即个数k 2 = 2，故1813622===n k q ． 6． 从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率：（1）全是黑桃； （2）同花；（3）没有两张同一花色； （4）同色．解：样本点总数270725123449505152452=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1 =“全是黑桃”所含样本点个数7151234101112134131=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ， 故所求概率为0026.0270725715)(1==A P ；（2）事件A 2 =“同花”所含样本点个数2860123410111213441342=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ， 故所求概率为0106.02707252860)(2==A P ；（3）事件A 3 =“没有两张同一花色”所含样本点个数k 3 = 13 × 13 × 13 × 13 = 28561，故所求概率为1055.027072528561)(3==A P ；（4）事件A 4 =“同色”所含样本点个数29900123423242526242624=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ， 故所求概率为1104.027072529900)(4==A P ．7． 设9件产品中有2件不合格品．从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品、仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？解：样本点总数36128929=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ， 事件A 1 =“全是合格品”所含样本点个数211267271=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1273621)(1==A P ； 事件A 2 =“仅有一个合格品”所含样本点个数142712171=×=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1873614)(2==A P ；事件A 3 =“没有合格品”所含样本点个数1223=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为361)(3=A P ． 8． 口袋中有7个白球、3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．解：样本点总数4512910210=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数24122312672327=××+××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ， 故所求概率为1584524)(==A P ． 9． 甲口袋有5个白球、3个黑球，乙口袋有4个白球、6个黑球．从两个口袋中各任取一球，求取到的两个球颜色相同的概率． 解：样本点总数n = 8 × 10 = 80，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数k = 5 × 4 + 3 × 6 = 38，故所求概率为40198038)(==A P ．10．从n 个数1, 2, …, n 中任取2个，问其中一个小于k （1 < k < n ），另一个大于k 的概率是多少？解：样本点总数)1(212−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ， 事件A = “其中一个小于k ，另一个大于k ”所含样本点个数K = (k − 1)(n − k )， 故所求概率为)1())(1(2)(−−−=n n k n k A P ．11．口袋中有10个球，分别标有号码1到10，现从中不返回地任取4个，记下取出球的号码，试求：（1）最小号码为5的概率； （2）最大号码为5的概率．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ， （1）事件A 1 =“最小号码为5”所含样本点个数10123345351=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ， 故所求概率为21121010)(1==A P ； （2）事件A 2 =“最大号码为5”所含样本点个数4123234342=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为10522104)(2==A P ． 12．掷三颗骰子，求以下事件的概率：（1）所得的最大点数小于等于5； （2）所得的最大点数等于5． 解：样本点总数n = 63 = 216，（1）事件A 1 =“所得的最大点数小于等于5”所含样本点个数k 1 = 53 = 125，故所求概率为216125)(1=A P ； （2）事件A 2 =“所得的最大点数等于5”所含样本点个数k 2 = 53 − 43 = 61，故所求概率为21661)(2=A P ．13．把10本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率． 解：样本点总数n = 10!，事件A =“其中指定的四本书放在一起”所含样本点个数k = 4! × 7!，故所求概率为30189101234!10!7!4)(=×××××=×=A P ． 14．n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲乙两人相邻而坐的概率． 解：样本点总数N = (n − 1)!，事件A =“甲乙两人相邻而坐”所含样本点个数k = 2! × (n − 2)!，故所求概率为12)!1()!2(!2)(−=−−×=n n n A P ． 15．同时掷5枚骰子，试证明：（1）P {每枚都不一样} = 0.0926； （2）P {一对} = 0.4630； （3）P {两对} = 0.2315；（4）P {三枚一样} = 0.1543（此题有误）； （5）P {四枚一样} = 0.0193； （6）P {五枚一样} = 0.0008． 解：样本点总数n = 65 = 7776，（1）事件“每枚都不一样”所含样本点个数72023456561=××××==A k ，故P {每枚都不一样}0926.07776720==； （2）事件“一对”所含样本点个数3600345124563525162=××××××=⋅⋅=A C A k ， 故P {一对}4630.077763600==； （3）事件“两对”所含样本点个数18004122312451256142325263=×××××××××=⋅⋅⋅=A C C C k ，故P {两对}2315.077761800==； （4）事件“三枚一样”所含样本点个数15005123345652235164=××××××=⋅⋅=C A k ，故P {三枚一样}1929.077761500==； 事件“三枚一样且另两枚不一样”所含样本点个数12004512334562535164=×××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {三枚一样且另两枚不一样}1543.077761200==； （5）事件“四枚一样”所含样本点个数15051234234561545165=××××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {四枚一样}0193.07776150==； （6）事件“五枚一样”所含样本点个数6161555166=×=⋅⋅=A C A k ，故P {五枚一样}0008.077766==． 16．一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾．然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接．求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率．解：在同一种六个头两两相接情况下，只需考虑六个尾两两相接的样本点总数n = 5 × 3 = 15，事件A =“放开手后六根草恰巧连成一个环”所含样本点个数k = 4 × 2 = 8，故所求概率为158)(=A P ．17．把n 个“0”与n 个“1”随机地排列，求没有两个“1”连在一起的概率．解：样本点总数!!)!2(2n n n n n N ⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=，事件A =“没有两个‘1’连在一起”所含样本点个数11+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=n n n k ， 故所求概率为)!2()!1(!)(n n n A P +⋅=．18．设10件产品中有2件不合格品，从中任取4件，设其中不合格品数为X ，求X 的概率分布．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ， 事件X = 0所含样本点个数7011234567802480=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ， 故所求概率为3121070}0{===X P ； 事件X = 1所含样本点个数112212367812381=×××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ， 故所求概率为158210112}1{===X P ； 事件X = 2所含样本点个数281127822282=×××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为15221028}2{===X P ． 19．n 个男孩，m 个女孩（m ≤ n + 1）随机地排成一排，试求任意两个女孩都不相邻的概率．解：样本点总数!!)!(m n m n n m n N ⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=，事件A =“任意两个女孩都不相邻”所含样本点个数)!1(!)!1(1m n m n m n k −+⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=， 故所求概率为)2()1)(()2()1()!1()!()!1(!)(+−++−+−=−+⋅++⋅=n m n m n m n n n m n m n n n A P L L ．20．将3个球随机放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数X 的概率分布． 解：样本点总数n = 43 = 64，事件X = 1所含样本点个数24234341=××==A k ，故所求概率为836424}1{===X P ； 事件X = 2所含样本点个数363341323142=××==A C A k ，故所求概率为1696436}2{===X P ； 事件X = 3所含样本点个数4143==A k ，故所求概率为161644}3{===X P ． 21．将12只球随意地放入3个盒子中，试求第一个盒子中有3只球的概率． 解：样本点总数n = 312 = 531441，事件A =“第一个盒子中有3只球”所含样本点个数11264051212310111223129=×××××=×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ， 故所求概率为2120.0531441112640)(==A P ．22．将n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求：（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率； （2）恰好有m 个空盒的概率；（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率．解：样本点总数为N 取n 次的重复组合，即)!1(!)!1(1−⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=N n n N n n N M ， （1）事件A 1 =“某个指定的盒子中恰好有k 个球”所含样本点个数为N − 1取n − k 次的重复组合，即)!2()!()!2(21)(11−⋅−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−=N k n k n N k n k n N k n k n N K ， 故所求概率为)1()2)(1()1()1()1()!2()!()!1()!1(!)!2()(1−−+−+−+−⋅+−−=−⋅−⋅−+−⋅⋅−−+=k n N n N n N N k n n n N k n n N N n k n N A P L L ；（2）事件A 2 =“恰好有m 个空盒”所含样本点个数可分两步考虑：首先N 选m 次的组合，选出m 个空盒，而其余N − m 个盒中每一个都分别至少有一个球， 其次剩下的n − (N − m )个球任意放入这N − m 个盒中，即N − m 取n − (N − m )次的重复组合，则)!1()!()!(!)!1(!)(12−−⋅−+⋅−⋅−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m N N m n m N m n N m N n n m N K ，故所求概率为)!1()!1()!()!(!)!1(!)!1(!)(2−+⋅−−⋅−+⋅−⋅−⋅⋅−⋅=n N m N N m n m N m N n n N A P ；（3）事件A 3 =“某指定的m 个盒子中恰好有j 个球”所含样本点个数为m 取j 次的重复组合乘以N − m 取n − j 次的重复组合，则)!1()!()!1(!)!1()!1(1)()(13−−⋅−⋅−⋅−−−+⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=m N j n m j j m n N j m j n j n m N j j m K ， 故所求概率为)!1()!1()!()!1(!)!1(!)!1()!1()(3−+⋅−−⋅−⋅−⋅−⋅⋅−−−+⋅−+=n N m N j n m j N n j m n N j m A P ．23．在区间(0, 1)中随机地取两个数，求事件“两数之和小于7/5”的概率．解：设这两个数分别为x 和y ，有Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1}，得m (Ω) = 1，事件A =“两数之和小于7/5”，有A = {(x , y ) | 0 < x +y < 7/5}， 得504153211)(2=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−=A m ， 故所求概率为5041)()()(=Ω=m A m A P ． 24．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少？解：设甲乙两艘轮船到达码头的时间分别为x 和y 小时，有Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24}，得m (Ω) = 242 = 576， 事件A =“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”， 若甲先到，有x + 1 ≤ y ≤ 24；若乙先到，有y + 2 ≤ x ≤ 24；即A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24, x + 1 ≤ y ≤ 24或y + 2 ≤ x ≤ 24}，得2101322212321)(22=×+×=A m ， 故所求概率为11521013)()()(=Ω=m A m A P ． 25．在平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a , b , c （均小于d ）的三角形，求三角形与平行线相交的概率．解：不妨设a ≥ b ≥ c ，三角形的三个顶点分别为A , B , C ，其对边分别为a , b , c ，相应三个角也记为A , B , C ，设O 为BC 的中点，点O 与最近的一条平行线的距离为x ， 从点O 向三角形外作与平行线平行的射线OD ， 若B , C 中点C 更靠近某条平行线，则记α = ∠COD ，否则记α = −∠BOD ， 有π}π,20|),{(<<−≤≤=Ωααdx x ，得m (Ω) = π d ，事件E =“三角形与平行线相交”，当α ≥ 0时，如果C ≤ α < π，事件E 就是OC 与平行线相交； 如果0 ≤ α < C ，事件E 就是OC 或AC 与平行线相交； 当α < 0时，如果−π < α ≤ −B ，事件E 就是OB 与平行线相交；如果−B < α < 0，事件E 就是OB 或AB 与平行线相交．记}sin 2,|),{(1αααax C x E ≤≥=， )}sin(sin 2,0|),{(2αααα−+≤<≤=C b ax C x E ，}sin 2,|),{(3αααax B x E −≤−≤=，)}sin(sin 2,0|),{(4αααα++−≤<<−=B c ax B x E ，有E = E 1∪E 2∪E 3∪E 4，得∫∫−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=0π)sin(sin 2sin 2)(BB d B c a d a E m ααααα∫∫+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++π0sin 2)sin(sin 2C C d a d C b a ααααα∫∫∫∫+−++++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−−π0000πsin 2)sin()sin(sin 2ααααααααd a d C b d B c d a C B π0000πcos 2)cos()cos(cos 2ααααa C b B c aCB −−++−=−− 22cos cos 22a a C b b c B c a a +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=c b a a a c b a abc b a b ac b c a c c b a ++=−++=−+⋅−−+⋅−++=2222222222222，故所求概率为d cb a m E m E P π)()()(++=Ω=．方法二：设事件A , B , C 分别表示“边长为a , b , c 三条边与平行线相交”，事件E 表示“三角形与平行线相交”， 由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交，即E = AB ∪AC ∪BC ，则由三个事件的加法公式得P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 2 P (ABC )， 因ABC 表示“三条边都与平行线相交”，有P (ABC ) = 0， 则P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC )，另一方面，由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交， 有A = AB ∪AC ，B = AB ∪BC ，C = AC ∪BC ，则P (A ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC ) = P (AB ) + P (AC )， P (B ) = P (AC ) + P (BC )，P (C ) = P (AC ) + P (BC )，可得P (A ) + P (B ) + P (C ) = [P (AB ) + P (AC )] + [P (AC ) + P (BC )] + [P (AC ) + P (BC )]= 2[P (AB ) + P (AC ) + P (BC )]，根据蒲丰投针问题知d a A P π2)(=，d b B P π2)(=，dc C P π2)(=， 故dcb a C P B P A P BC P AC P AB P E P π)]()()([21)()()()(++=++=++=．26．在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这区间的长度成比例，求任意画弦的长度大于R 的概率．1A解：设弦与垂直于弦的直径的交点与圆心的距离为x ，有Ω = {x | 0 ≤ x < R }，得m (Ω) = R ，事件A =“弦的长度大于R ”，有2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛>−R x R ，2243R x <，即}230|{R x x A <≤=，得R A m 23)(=，故所求概率为23)()()(=Ω=m A m A P ． 27．设一个质点落在xOy 平面上由x 轴、y 轴及直线x + y = 1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的概率与区域的面积成正比，试求此质点还满足y < 2x 的概率是多少？解：Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1}，得21)(=Ωm ， 事件A =“满足y < 2x ”，有A = {(x , y ) | 0 < y < 1, y /2 ≤ x ≤ 1 − y }，得3132121)(=××=A m ， 故所求概率为32)()()(=Ω=m A m A P ． 28．设a > 0，有任意两数x , y ，且0 < x < a ，0 < y < a ，试求xy < a 2/4的概率． 解：Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a }，得m (Ω) = a 2，事件A =“xy < a 2/4”，有A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a , xy < a 2/4}，即4ln 44ln 44)(22422422a a x a ax a dx x a a a A m aa aa +=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=∫， 故所求概率为5966.04ln 4141)()()(=+=Ω=m A m A P ． 29．用主观方法确定：大学生中戴眼镜的概率是多少？ （自己通过调查，作出主观判断）30．用主观方法确定：学生中考试作弊的概率是多少？ （自己通过调查，作出主观判断）x习题1.31． 设事件A 和B 互不相容，且P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.5，求以下事件的概率：（1）A 与B 中至少有一个发生； （2）A 和B 都发生； （3）A 发生但B 不发生． 解：（1）P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) = 0.3 + 0.5 = 0.8；（2）P (AB ) = 0；（3）P (A − B ) = P (A ) = 0.3．2． 设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？（1）A 和B 不相容； （2）A 和B 相容；（3）AB 是不可能事件；（4）AB 不一定是不可能事件； （5）P (A ) = 0或P (B ) = 0； （6）P (A − B ) = P (A )． 解：（1）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（2）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（3）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件； （4）正确，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件； （5）错误，当P (A ) > 0，P (B ) > 0时，只要A 和B 不相容，就有P (AB ) = 0； （6）正确，P (A − B ) = P (A ) − P (AB ) = P (A )．3． 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个，试求取到二级品的概率． 解：设A , B , C 分别表示“取到一、二、三级品”，有P (A ) + P (B ) + P (C ) = 1，P (A ) = 3P (B )，)(21)(B P C P =， 则1)(29)(21)()(3==++B P B P B P B P ，即92)(=B P ， 故取到二级品的概率92)(=B P ．4． 从0, 1, 2, …, 9等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：（1）A 1 = {三个数字中不含0和5}； （2）A 2 = {三个数字中不含0或5}； （3）A 3 = {三个数字中含0但不含5}．解：样本点总数1201238910310=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1所含样本点个数56123678381=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故15712056)(1==A P ； （2）事件=2A “三个数字中含0和5”所含样本点个数8182=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故1514120112)(1)(22==−=A P A P ； （3）事件A 3所含样本点个数281278283=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故30712028)(3==A P ．5． 某城市中共发行3种报纸A , B , C ．在这城市的居民中有45%订阅A 报、35%订阅B 报、25%订阅C 报，10%同时订阅A 报B 报、8%同时订阅A 报C 报、5%同时订阅B 报C 报、3%同时订阅A , B , C 报．求以下事件的概率： （1）只订阅A 报；（2）只订阅一种报纸的； （3）至少订阅一种报纸的； （4）不订阅任何一种报纸的．解：设A , B , C 分别表示“订阅报纸A , B , C ”，则P (A ) = 0.45，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.30，P (AB ) = 0.10，P (AC ) = 0.08，P (BC ) = 0.05，P (ABC ) = 0.03，（1）)()()()()()())(()(ABC P AC P AB P A P AC AB P A P C B A P C B A P +−−=−=−=U U= 0.45 − 0.10 − 0.08 + 0.03 = 0.30；（2）)()()()(B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P ++=U U ，因)()()()()()())(()(ABC P BC P AB P B P BC AB P B P C A B P C B A P +−−=−=−=U U= 0.35 − 0.10 − 0.05 + 0.03 = 0.23，)()()()()()())(()(ABC P BC P AC P C P BC AC P C P B A C P C B A P +−−=−=−=U U= 0.30 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.20，故73.020.023.030.0)()()()(=++=++=C B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P U U ； （3）P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )= 0.45 + 0.35 + 0.30 − 0.10 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.90；（4）10.090.01)(1(=−=−=C B A P C B A P U U ．6． 某工厂一个班组共有男工9人、女工5人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？解：样本点总数364123121314314=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件=A “选的3个代表中没有女工”所含样本点个数8412378939=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故所求概率为1310364280364841)(1)(==−=−=A P A P ． 7． 一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的，你认为如何？ 解：“掷一颗骰子4次”的样本点总数n 1 = 64 = 1296，事件=1A “没有出现6点”所含样本点个数为625541==A k ，则5177.0129667112966251)(1)(11==−=−=A P A P ； “掷两颗骰子24次”的样本点总数n 2 = (62 )24 = 36 24，事件=2A “没有出现双6点”所含样本点个数为2424235)16(2=−=A k ，则4914.036353636351)(1)(242424242422=−=−=−=A P A P ；故掷一颗骰子4次至少出现一次6点的机会比掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会更大． 8． 从数字1, 2, …, 9中可重复地任取n 次，求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率． 解：样本点总数N = 9 n ，因事件A =“n 次所取数字的乘积能被10整除”就是“至少取到一次数字5并且至少取到一次偶数”， 则事件=A “没有取到数字5或没有取到偶数”， 设事件B =“没有取到数字5”，C =“没有取到偶数”，则事件B 所含样本点个数为K B = 8 n ，事件C 所含样本点个数为K C = 5 n ， 且事件BC =“没有取到数字5和偶数”所含样本点个数为K BC = 4 n ，故nnn n n n n n n n n BC P C P B P C B P A P A P 945899495981)()()(1)(1)(1)(+−−=+−−=+−−=−=−=U ． 9． 口袋中有n − 1个黑球和1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球．问第k 次摸球时，摸到黑球的概率是多少？ 解：样本点总数N = n k ，事件=A “第k 次摸球时摸到白球”，此时前n − 1次摸球时都必须是摸到黑球，则A 中所含样本点个数1)1(−−=k A n K ，故所求概率为kk nn A P A P 1)1(1)(1)(−−−=−=． 10．若P(A ) = 1，证明：对任一事件B ，有P (AB ) = P (B )．证：因P (A ) = 1，且A B A ⊂，有0)(1)()(=−=≤A P A P B A P ，则0)()()()(=−=−=AB P B P A B P A P ，故P (AB ) = P (B )．11．掷2n + 1次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率． 解：设A =“出现的正面数多于反面数”，因掷奇数次硬币，出现的正面数与反面数不可能相等，事件=A “出现的反面数多于正面数”，由于掷一枚硬币出现正面与出现反面的可能性相同，则“出现的正面数多于反面数”与“出现的反面数多于正面数” 的可能性相同， 可得)()(A P A P =，又1()(=+A P A P ，故P (A ) = 0.5．12．有三个人，每个人都以同样的概率1/5被分配到5个房间中的任一间中，试求：（1）三个人都分配到同一个房间的概率； （2）三个人分配到不同房间的概率． 解：样本点总数n = 53 = 125，（1）事件A 1 =“三个人都分配到同一个房间”所含样本点个数为k 1 = 5，故所求概率为2511255)(1==A P ； （2）事件A 2 =“三个人分配到不同房间”所含样本点个数为60345352=××==A k ，故所求概率为251212560)(2==A P ． 13．一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有2个人生日在同一个月份的概率．解：首先假设一个人的生日在每一个月份的可能性相同，样本点总数n = 125，事件=A “每个人生日都在不同月份”所含样本点个数为512A k A =， 故所求概率为6181.014489121)(1)(5512==−=−=A A P A P ． 14．某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率．解：设A i =“第i 个战士拿到自己的枪”，n i ,,2,1L =，有==i ni A 1U “至少有1人拿到自己的枪”，因)()1()()()()(2111111n n nk j i kjinj i jini i i ni A A A P A A A P A A P A P A P L L U ⋅−+++−=−≤<<≤≤<≤==∑∑∑，且n n n A P i 1!)!1()(=−=，)1(1!)!2()(−=−=n n n n A A P j i ，)2)(1(1)(−−=n n n A A A P k j i ，……， 故!)1(!31!211!1)1()2)(1(1)1(11)(11321n n C n n n C n n C n n A P n nn n n n i ni −−=−+−+−=⋅−+−−−⋅+−⋅−×=L L U ． 15．设A , B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.8，问： （1）在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：（1）因P (AB ) ≤ min{P (A ), P (B )} = P (A ) = 0.6，故当P (AB ) = P (A ) 时，P (AB )取到最大值0.6；（2）因P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1 = 0.4，故当P (A ∪B ) = 1时，P (AB )取到最小值0.4． 注：若A ⊂ B ，有AB = A ，可得P (AB ) = P (A )，但不能反过来，由P (AB ) = P (A )，得出A ⊂ B ；若A ∪B = Ω，可得P (A ∪B ) = 1，但不能反过来，由P (A ∪B ) = 1，得出A ∪B = Ω． 16．已知事件A , B 满足)()(B A P AB P I =，记P (A ) = p ，试求P (B )．解：因)()()(1)(1)()()(AB P B P A P B A P B A P B A P AB P +−−=−===U U I ，有1 − P (A ) − P (B ) = 0，故P (B ) = 1 − P (A ) = 1 − p ．17．已知P (A ) = 0.7，P (A − B ) = 0.4，试求)(AB P ．解：因P (A − B ) = P (A ) − P (AB )，有P (AB ) = P (A ) − P (A − B ) = 0.7 − 0.4 = 0.3，故7.0)(1(=−=AB P AB P ． 18．设P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.4，试证)()(B A P AB P I =．证：)()(4.06.01)()()(1)(1)()(AB P AB P AB P B P A P B A P B A P B A P =+−−=+−−=−==U U I ． 19．对任意的事件A , B , C ，证明：（1）P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) ≤ P (A )；（2）P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1． 证：（1）因P (AB ∪AC ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC )，且 (AB ∪AC ) ⊂ A ，ABC ⊂ BC ，有P (AB ∪AC ) ≤ P (A )，P (ABC ) ≤ P (BC )，故P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) = P (AB ∪AC ) + P (ABC ) − P (BC ) ≤ P (AB ∪AC ) ≤ P (A )． （2）因P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )，故P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − P (A ∪B ∪C )≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − 1 ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1．20．设A , B , C 为三个事件，且P (A ) = a ，P (B ) = 2a ，P (C ) = 3a ，P (AB ) = P (AC ) = P (BC ) = b ，证明：a ≤ 1/4，b ≤ 1/4．证：因P (B ∪C ) = P (B ) + P (C ) − P (BC ) = 5a − b ，且a = P (A ) ≥ P (AB ) = b ，则P (B ∪C ) = 5a − b ≥ 4a ，即4a ≤ 1，故a ≤ 1/4且b ≤ a ≤ 1/4．21．设事件A , B , C 的概率都是1/2，且)()(C B A P ABC P I I =，证明：2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2．证：因)(1)()()(C B A P C B A P C B A P ABC P U U U U I I −==== 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) + P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − P (ABC )，故2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) + 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2． 22．证明：（1）P (AB ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)． 证：（1）因P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB )，故P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）用数学归纳法证明，当n = 2时，由（1）小题知结论成立，设当n = k 时，结论成立，即P (A 1 A 2 …A k ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1)， 则P (A 1 A 2 …A k A k + 1) ≥ P (A 1 A 2 …A k ) + P (A k + 1) − 1≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1) + P (A k + 1) − 1 = P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) + P (A k + 1) − k ，即当n = k + 1时，结论成立，故由数学归纳法知P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)． 23．证明：41|)()()(|≤−B P A P AB P ． 证：因)()()](1)[()]()()[()()()()(A P A P A P AB P B A P AB P A P AB P B P A P AB P −−=+−=−，且0 ≤ P (AB )[1 − P (A )] ≤ P (A )[1 − P (A )]，)](1)[(()()()(0A P A P A P A P B A P A P −=≤≤， 故)}()()],(1)[(max{|)()()](1)[(||)()()(|A P A P A P AB P B A P A P A P AB P B P A P AB P −≤−−=−4121)(41)]([)()](1)[(22≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−=−≤A P A P A P A P A P ．习题1.41． 某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门课都不及格的占3%．（1）已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？ （2）已知一学生语文不及格，他数学也不及格的概率是多少？ 解：设A =“数学不及格”，B =“语文不及格”，有P (A ) = 0.15，P (B ) = 0.05，P (AB ) = 0.03，（1）所求概率为2.015.003.0)()()|(===A P AB P A B P ； （2）所求概率为6.005.003.0)()()|(===B P AB P B A P ． 2． 设一批产品中一、二、三等品各占60%, 35%, 5%．从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率．解：设A , B , C 分别表示“取出一、二、三等品”，有P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.05，故所求概率为191205.016.0)(1)()()()|(=−=−==C P A P C P C A P C A P ． 3． 掷两颗骰子，以A 记事件“两颗点数之和为10”，以B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数”，试求条件概率P (A | B ) 和P (B | A )． 解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中的样本点有 (4, 6), (5, 5), (6, 4)，即个数k A = 3，有363)(=A P ， 事件B 中所含样本点个数k B = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中的样本点有 (4, 6)，即个数k C = 1，有361)(=AB P ， 故1513615361)()()|(===B P AB P B A P ，31363361)()()|(===A P AB P A B P ．4． 以某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.5，问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？解：设A , B 分别表示“这种动物能活到10岁, 15岁”，有P (A ) = 0.8，P (B ) = 0.5，故所求概率为858.05.0)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P ．5． 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设A =“其中一件是不合格品”，B =“两件都是不合格品”，有AB = B ，样本点总数45210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ， 事件A 中所含样本点个数30624241614=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，得4530)(=A P ， 事件AB = B 中所含样本点个数624=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B k ，得456)()(==B P AB P ，故所求概率为2.04530456)()()|(===A P AB P A B P ． 6． 设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是合格品，求另一件也是合格品的概率．解：设A =“两件中至少有一件是合格品”，B =“两件都是合格品”，有AB = B ，样本点总数2)1(2−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ， 事件A 中所含样本点个数2)1)((2)1)(()(211−+−=−−−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m n m n m n m n m n m m n m n m k A ， 得)1()1)(()(−−+−=n n m n m n A P ，事件AB = B 中所含样本点个数2)1)((2−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=m n m n m n k B ， 得)1()1)(()()(−−−−==n n m n m n B P AB P ，故所求概率为11)1()1)(()1()1)(()()()|(−+−−=−−+−−−−−==m n m n n n m n m n n n m n m n A P AB P A B P ． 7． 掷一颗骰子两次，以x , y 分别表示先后掷出的点数，记A = {x + y < 10}，B = {x > y }，求P (B | A )，P (A | B )． 解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中所含样本点个数k A = 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30，有3630)(=A P ， 事件B 中所含样本点个数k B = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中所含样本点个数k AB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 3 = 13，有3613)(=AB P ，故301336303613)()()|(===A P AB P A B P ，151336153613)()()|(===B P AB P B A P ．8． 已知P (A ) = 1/3，P (B | A ) = 1/4，P (A | B ) = 1/6，求P (A ∪B )．解：因1214131)|()()(=×==A B P A P AB P ，2161121)|()()(===B A P AB P B P ， 故431212131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ． 9． 已知3.0)(=A P ，P (B ) = 0.4，5.0(=B A P ，求)|(B A B P U ． 解：因2.05.03.01)()(1)()()(=−−=−−=−=B A P A P B A P A P AB P ，且8.05.04.013.01()(1)(1)()()()(=−−+−=−−+−=−+=B A P B P A P B A P B P A P B A P U ， 故25.08.02.0)()()())(()|(====B A P AB P B A P B A B P B A B P U U U U ． 10．设A , B 为两事件，P (A ) = P (B ) = 1/3，P (A | B ) = 1/6，求|(B A P ． 解：因1816131)|()()(=×==B A P B P AB P ，有18111813131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ， 则18718111)(1)()(=−=−==B A P B A P B A P U U ，且32311)(1)(=−=−=B P B P ， 故12732187)()()|(===B P B A P B A P ． 11．口袋中有1个白球，1个黑球．从中任取1个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率．（1）取到第n 次，试验没有结束；（2）取到第n 次，试验恰好结束．解：设A k =“第k 次取出的是黑球”，k = 1, 2, ……（1）所求概率为P (A 1A 2…A n − 1A n ) = P (A 1A 2…A n − 1)P (A n | A 1A 2…A n − 1)1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ； （2）所求概率为)|()()(121121121−−−=n n n n n A A A A P A A A P A A A A P L L L)1(1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ． 12．一盒晶体管有8只合格品，2只不合格品．从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出的是合格品的概率．解：设A 1, A 2分别表示“第一次取出的是合格品、不合格品”，B 表示“第二次取出的是合格品”， 故所求概率为8.090729810297108)|()()|()()(2211==×+×=+=A B P A P A B P A P B P ． 13．甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球．（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率．解：（1）设A 0 , A 1分别表示“从甲口袋取出的是白球、黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) )1)(()1(111+++++=++×+++++×+=n m b a bn n a m n n b a b m n n b a a ； （2）设A 0 , A 1 , A 2分别表示“从甲口袋取出的是2个白球、1个白球1个黑球、2个黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) + P (A 2)P (B | A 2)。
