概率论-2-01,2

1.2.3 概率的几何定义
对于几何概型，若事件A是Ω 中的某一区域，且A可 以度量，则事件A的概率为
A的几何度量 P ( A) = Ω的几何度量
其中，如果Ω 是一维、二维或三维的区域，则Ω 的 几何度量分别是长度、面积和体积．
1.2.3 概率的几何定义
【例1.3】（相遇问题）甲乙两艘轮船驶向一个不 可能同时停泊两艘轮船的码头，假设它们是在一昼 夜的时间段中随机到达．若甲乙两艘轮船停泊的时 间都是6小时，求它们相遇的概率是多少？
r n
Байду номын сангаас
r r r n 易知 An = Cn r! ， Cn = Cn −r ．
： n个元素是由r个a种元素和(n-r)个b种元素组 成，则这n个元素的不同排列数共有 个
4. 不同球占位 n个不同的球，r个房间，将球依次投入到房间 中（每个房间中可有任意多个球），则此种排列 数共有 个. 5.相同球占位 n 个相同的球，r个房间，将球依次投入到房间 中（每个房间中可有任意多个球），则此种排列 数共有 个. 把球在房间中的占位问题转化为若干个0和1 的排列问题
兴趣拓展
解答下面问题并利用计算机进行计算: 解答下面问题并利用计算机进行计算: 个人生日各不相同的概率 生日问题 (1) n个人生日各不相同的概率(n≤365). 个人生日各不相同的概率( ≤365).
n P365 365 × 364 × L × ( 365 − n + 1) ( 答案 : p = ). = n n 365 365
6. n个相同球，r个房间， 不空的占位有 种。
，则每个房间都
1.2.2 概率的古典定义
古典概型
具有以下两个特点的试验称为古典概型： (1) 有限性：试验的样本空间只含有限个样本点； (2) 等可能性：试验中每个基本事件发生的可能 性相同． 对于古典概型，若样本空间中共有n个样本点， 事件A包含k个样本点，则事件A的概率为

（1）要研究随机试验的全部结果，而不是孤立 的研究随机试验中的某一个或几个随机事件；
（2）除了初等数学的方法，还要引入高等数学 的方法来研究随机试验。
例1 一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不
出的报纸退回. 设X为报童每天卖出的报纸份数，
X1
pk 95
100
0
5 100
2பைடு நூலகம்二项分布
在贝努利试验中，事件A在n次试验中恰好出现k 次的概率：
Pn (k) Cnk pk (1 p)nk , 0 k n. 其中：p P(A), 1 p P(A).
设X为事件A在n次试验中出现的次数，则：
P{ X

k}

C
k n
pk (1
例3 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过, 设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率 为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通 过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?
解
设1000 辆车通过,
出事故的次数为 X , 则
X ~ B(1000, 0.0001),
实例1 抛掷骰子,观察出现的点数. 则有
S={1，2，3，4，5，6} 样本点本身就是数量 X (e) e 恒等变换
X (1) 1, X (2) 2, X (3) 3, X (4) 4, X (5) 5, X (6) 6,
且有
P{ X i} 1 , (i 1,2,3,4,5,6). 6
二、随机变量的概念
1.定义 根据随机试验的结果而确定取某一个数
值的变量，称为一维随机变量。
由两个一维随机变量所确定的有序数组， 称为二维随机变量。

独立事件的概率计算公式
若事件A和B独立，则$P(A cap B) = P(A)P(B)$。
独立事件的概率性质
若事件A和B独立，则$P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)$。
独立事件的概率计算实例
在掷骰子游戏中，若事件A为掷出偶数点，事件B为掷出3 点，由于A和B是独立的，所以$P(A cap B) = P(A)P(B) = frac{1}{2} times frac{1}{6} = frac{1}{12}$。
贝叶斯公式则是在已知某些其他事件发生的条件 下，重新评估某个事件发生的概率。
全概率公式用于计算一个事件发生的概率，考虑 了所有可能的情况和它们发生的概率。
全概率公式和贝叶斯公式在应用上有所不同，全 概率公式更适用于对整个事件进行分类和计算， 而贝叶斯公式则更适用于在已知某些条件下对事 件进行预测和推断。
完备事件组中的所有事件的概率之和 为1。
完备事件组中的任意两个事件都是互 斥的。
利用完备事件组计算概率
利用完备事件组计算概率的基本思想
将复杂事件分解为若干个互斥事件的并集，然后利用概率的加法公式计算复杂事 件的概率。
利用完备事件组计算概率的方法
首先确定完备事件组，然后确定所求事件的概率，最后利用概率的加法公式计算 出所求事件的概率。
差运算的应用
在概率论中，差运算常用于计算某个事件发生的概率减去其他事件 同时发生的概率。
03
条件概率与贝叶斯公式
条件概率的定义与性质
条件概率的定义
在概率论中，条件概率是指在某 个事件B已经发生的情况下，另一 个事件A发生的概率，记作P(A|B) 。
条件概率的性质
条件概率具有一些重要的性质， 包括非负性、规范性、可加性等 ，这些性质在概率论和统计中有 着广泛的应用。

对于连续型随机变量，其取值充满某 一个区间，不能以列举的方式表示其 所有可能取值，因此引入密度函数的 概念。
密度函数是描述连续型随机变量取值 规律的工具，通常用大写字母f(x)表示 ，f(x)在x处的函数值表示随机变量在x 点附近取值的“概率密度”。
性质与定理
非负性
密度函数f(x)在整个实数范围 内都是非负的，即f(x)≥0。
正态分布
又称高斯分布，是一种连续概率分布。正态分布 是自然界中最常见的分布之一，许多自然现象和 社会现象都服从或近似服从正态分布。其密度函 数呈钟形曲线，关于均值对称。
指数分布
常用于描述某些随机事件发生之间的时间间隔， 如无线电通信中的信号到达间隔等，其密度函数 呈指数形式衰减。
其他分布
除了上述三种分布外，还有许多其他类型的连续 型随机变量分布，如t分布、F分布、贝塔分布等 。这些分布在实际问题中也有广泛的应用。
03 概率计算与应用
概率计算公式及方法
概率密度函数
常用的概率分布
对于连续型随机变量，其概率通过概率 密度函数进行描述，该函数表示随机变 量在某个取值点附近的概率分布情况。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如正态分布、均匀分布、指数分布等，这些 分布具有特定的概率密度函数和累积分布函 数形式，可用于描述不同类型的随机现象。
累积分布函数
性质
多维随机变量具有一维随机变量的一些基本性质，如分布函数性质、独立性等。此外， 多维随机变量还具有一些特殊的性质，如多维随机变量的每一个分量都是一维随机变量。
联合密度函数概念及性质
要点一
概念
对于多维连续型随机变量(X1, X2, ..., Xn)，如果存在非负可积 函数f(x1, x2, ..., xn)，使得对Rn中的任意区域D，有P{(X1, X2, ..., Xn) ∈ D} = ∫∫...∫f(x1, x2, ..., xn)dx1dx2...dxn，则 称f(x1, x2, ..., xn)为(X1, X2, ..., Xn)的联合密度函数。