2019届高考理科数学第一轮知识点专项题库47

第4讲 直线与圆的位置关系

一、填空题

1．若直线l：ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1有两个不同交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是________．

解析 由题意得圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离小于1，即d＝1a2＋b2＜1，所以有a2＋b2＞1，∴点P在圆外．

答案 在圆外

2．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为________．

解析 设圆心C(x，y)，由题意得x－02＋y－32＝y＋1(y＞0)，化简得x2＝8y－8.

答案 x2＝8y－8

3．若圆C：(x－h)2＋(y－1)2＝1在不等式x＋y＋1≥0所表示的平面区域内，则h的最小值为________．

解析 h取最小值时，直线x＋y＋1＝0与圆O：(x－h)2＋(y－1)2＝1相切且在直线x＋y＋1＝0向右上方，所以|h＋2|2＝1，h＝－2±2，所以hmin＝2－2.

答案 2－2

4．过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为________．

解析 将圆的方程化成标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r＝1.由弦长为2得，弦心距为22.设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，∴|2k－3|k2＋1＝22，化简得7k2－24k＋17＝0，∴k＝1或k＝177.

答案 1或177

5．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y

＝0相切，则实数λ的值为________．

解析 由题意，得直线2(x＋1)－y＋λ＝0，即2x－y＋2＋λ＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，所以|λ－2|5＝5，λ－2＝±5，所以λ＝－3或λ＝7.

答案 －3或7

6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．

解析 画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，该圆半径为2即圆心O(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离d＜1，即0＜|c|13＜1，∴－13＜c＜13.

答案 (－13,13)

7．从圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．

解析 圆的方程整理为(x－1)2＋(y－1)2＝1，C(1,1)，

∴sin∠APC＝15，则cos∠APB＝cos2∠APC

＝1－2×152＝35.

答案 35

8．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点C为(－2,3)， 则直线l的方程为________．

解析 圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a.

由圆的几何性质可知圆心(－1,2)与点C(－2,3)的连线必垂直于l，∴kAB＝－－1＋22－3＝1，

∴l的方程为x－y＋5＝0.

答案 x－y＋5＝0

9．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.

(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；

(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．

解析 (1)圆C圆心坐标为(0,0)、半径r＝23，l：4x＋3y－25＝0，由点到直线的距离公式得d＝|4×0＋3×0－25|42＋32＝5.

(2) 如图所示，当OM＝3时，AB︵上的点满足到直线l的距离小于2.由平面几何知识可求得∠AOB＝60°，故所求概率为AB︵的长度与圆周长之比，所以所求概率为16.

答案 (1)5 (2)16

10．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．

解析 如图所示，设直线上一点P，切点为Q ，

圆心为M，则|PQ|即为切线长，MQ为圆M的

半径，长度为1，

|PQ|＝|PM|2－|MQ|2＝|PM|2－1，

要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离，设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝|3－0＋1|12＋－12＝22，

∴|PM|的最小值为22，

∴|PQ|＝|PM|2－1≥222－1＝7.

答案 7

二、解答题

11．已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.

(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；

(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程．

解 将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.

(1)若直线l与圆C相切，

则有|4＋2a|a2＋1＝2.解得a＝－34.

(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，

得 CD＝|4＋2a|a2＋1，CD2＋DA2＝AC2＝22，DA＝12AB＝2.

解得a＝－7或a＝－1.

故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.

12. 如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)且被x轴分成的两段圆弧长之比为1∶2，过点H(0，t)的直线l与圆C相交于M、N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O.

(1)求圆C的方程；

(2)当t＝1时，求出直线l的方程；

(3)求直线OM的斜率k的取值范围．

解 (1)因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)，所以圆心C在直线y＝1上．

设圆C与x轴的交点分别为A、B.

由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，得∠ACB＝2π3.

所以CA＝CB＝2.圆心C的坐标为(－2,1)，

所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝4.

(2)当t＝1时，由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝mx＋1.

由 y＝mx＋1，x＋22＋y－12＝4，得 x＝0，y＝1或 x＝－4m2＋1，y＝m2－4m＋1m2＋1.

不妨令M－4m2＋1，m2－4m＋1m2＋1，N(0,1)．

因为以MN为直径的圆恰好经过O(0,0)，

所以OM→·ON→＝－4m2＋1，m2－4m＋1m2＋1·(0,1)

＝m2－4m＋1m2＋1＝0，解得m＝2±3.

所以所求直线l方程为y＝(2＋3)x＋1

或y＝(2－3)x＋1.

(3)设直线MO的方程为y＝kx.

由题意，知|－2k－1|1＋k2≤2，解得k≤34.

同理，得－1k≤34，解得k≤－43或k＞0.

由(2)知，k＝0也满足题意．

所以k的取值范围是－∞，－43∪0，34.

13．已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x－y－6＝0，A为直线l上一点．

(1)若AM⊥直线l，过A作圆M的两条切线，切点分别为P，Q，求∠PAQ的大小；

(2)若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，求点A横坐标的取值范围．

解 (1)圆M的圆心M(1,1)，半径r＝2，直线l的斜率为－1，而AM⊥l，

∴kAM＝1.

′∴直线AM的方程为y＝x.

由 y＝x，x＋y－6＝0

解得 x＝3，y＝3，

即A(3,3)．

如图，连结MP，

∵∠PAM＝12∠PAQ，

sin∠PAM＝PMAM

＝23－12＋3－12＝22，

∴∠PAM＝45°，∴∠PAQ＝90°.

(2)过A(a，b)作AD，AE，分别与圆M相切于D，E两点，因为∠DAE≥∠BAC，所以要使圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，只要做∠DAE≥60°.

∵AM平分∠DAE，

∴只要30°≤DAM<90°.

类似于第(1)题，只要12≤sin∠DAM<1，

即2a－12＋b－12≥12且a－12＋b－12≥12<1.

又a＋b－6＝0，解得1≤a≤5，

即a的取值范围是[1,5]．

14．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l1过定点A(1,0)．

(1)若l1与圆相切，求l1的方程；

(2)若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，判断AM·AN是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由．

解 (1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意．

②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，即|3k－4－k|k2＋1＝2，解得k＝34.所求直线方程是x＝1或3x－4y－3＝0.

(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.由 x＋2y＋2＝0，kx－y－k＝0，得N2k－22k＋1，－3k2k＋1.

又直线CM与l1垂直，由 y＝kx－k，y－4＝－1kx－3

得Mk2＋4k＋31＋k2，4k2＋2k1＋k2.

所以AM·AN＝ k2＋4k＋31＋k2－12＋4k2＋2k1＋k22·

2k－22k＋1－12＋－3k2k＋12＝2|2k＋1|1＋k21＋k2·31＋k2|2k＋1|＝6为定值，故AM·AN是定值，且为6.