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初三数学解直角三角形的应用 知识精讲

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新课标第一网----免费课件、教案、试题下载 初三数学解直角三角形的应用 知识精讲

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

解直角三角形的应用

［学习目标］

1. 了解解直角三角形在测量及几何问题中的应用。

2. 掌握仰角、俯角、坡度等概念，并会解有关问题。

3. 会用直角三角形的有关知识解决某些简单实际问题。

二. 重点、难点：

1. 仰角、俯角

在进行测量时，视线与水平线所成角中，规定：视线在水平线上方的叫做仰角。

视线在水平线下方的叫做俯角。

2. 坡度

坡面的铅直高度h和水平宽度L的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i表示，即ihL。

如果把坡面与水平面的夹角记作（叫做坡角），那么ihLtan。

3. 直角三角形在实际问题中的应用

在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的作用。具体来说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形的边，角之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了。

［教学难点］

运用解直角三角形的知识，结合实际问题示意图，正确选择边角关系，解决实际问题。

【典型例题】

例1. “曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到∠A=30°，AC=40米，BC=25米，请你求出这块花圃的面积。

解：分两种情况计算

（1）如图1，过C作CD⊥AB于D，则

图1

CDADAC2030203，·°cos

DBCBCD2215，故 新课标第一网（）--中小学教学资源共享平台

新课标第一网----免费课件、教案、试题下载 SABCDABC△·×121220315202003150()()（米2）

（2）如图2，过C作CD⊥AB且交AB的延长线于D，

图2

由（1）可得CD=20，ADDB20315，，所以

SABCDABC△·122003150()（米2）

点拨：通过作高，把解某些斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题。

例2. 某片绿地的形状如图3所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长。（精确到1m，31732≈.）

图3

解：延长AD，交BC的延长线于点E，可构成两个直角三角形，

在Rt△ABE中，∠A=60°，AB=200m

∴·BEABAtan2003(m)

AEABmcos()6020012400°

在Rt△CDE中，∠CED=30°，CD=100m

∴·∠DECDCEDmcot()1003

CECDCEDmsin∠10012200

∴ADAEDEm4001003227≈()

BCBECEm2003200146≈() 新课标第一网（）--中小学教学资源共享平台

新课标第一网----免费课件、教案、试题下载 点拨：其他四边形，如平行四边形，梯形等，常通过作高实现多边形向直角三角形转化。

例3. 如图4所示，某电视塔AB和楼CD的水平距离为100米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高和楼高。

图4

（精确到0.1m，参考数据：214142317320..，）

解：在Rt△ADB中，

∵∠ADB=60°，DB=100m，

∴ABDBADBmtantan.()∠×°10060100317320

在△ACE中，∠ACE=45°

∴AE=CE=100

∴CDEBABAEm17320100732..()

答：电视塔高是173.2m，楼高是73.2m。

点拨：搞清仰角、俯角等概念，同时要找合适的直角三角形。

例4. 如图5，在比水面高2m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为

30°，它在水中的倒影B'C顶部B'的俯角是45°，求树高BC（结果保留根号）

图5

解：设树高BC=x(m)，过A作AE⊥BC于E，

在Rt△ABE中，

BExBAEBAEAEBE230，∠°，∠cot

∴AEBEBAExx·∠·cot()()2332

∵∠B'AE=45°，AE⊥BC 新课标第一网（）--中小学教学资源共享平台

新课标第一网----免费课件、教案、试题下载 ∴BEAEx'()32

又∵BEBCECBCADx''2

∴322()xx

∴xm()()423

答：树高BC为()423m

点拨：树与树的倒影长度相等，即BC=B'C，是此题的隐含条件。

例5. 为防水患，在漓江上游修筑防洪堤，其横截面为一梯形，如图6，堤的上底宽AD和堤高DF都是6米，其中∠B=∠CDF。

图6

（1）求证：△ABE∽△CDF；

（2）如果tanB=2，求堤的下底BC的长。

（1）证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC

∠B=∠CDF

∴△ABE∽△CDF

（2）解：在Rt△ABE中，tanBAEBE2，

∴BEAE23

在Rt△CDF中，tantan∠CDFCFDFB2

∴CF=2DF=12

∴BCBEEFCFm361221()

答：堤的下底BC的长是21m。

点拨：与堤坝有关的问题，首先要搞清坡度（坡比），坡角等概念，同时还要将四边形问题转化为解直角三角形。

例6. 如图7，水库的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡CD坡度i'=1：1，斜坡AB坡度i13：，求斜坡AB的长及坡角和坝底宽AD（精确到0.1m）。 新课标第一网（）--中小学教学资源共享平台

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图7

解：过B，C两点分别作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，

则ECF23m，

在Rt△ABE中，tani1333

∴°，∴30246ABBEm()

∵iBEAEAE132313，即，

∴AEm233()

在Rt△CFD中，iCFFD'11

∴FD=CF=23（m）

∴ADAEEFFD23362329233

≈×≈29231732688..()m

答：斜坡AB长4m，坡角α为30°，坝底宽AD约为68.8m。

点拨：求出近似值要符合题目要求。

例7. 如图8，某轮船沿正北方向航行，在A点处测得灯塔C在北偏西30°，船以每小时20海里的速度航行2小时到达B点后，测得灯塔C在北偏西75°，问当此船到达灯塔C的正东方时，船距灯塔C有多远？（结果保留两位有效数字）？

图8

解：在△ABC中，AB=20×2=40（海里），∠A=30°

∠°°°，BCA753045过B作BE⊥AC于E 新课标第一网（）--中小学教学资源共享平台

新课标第一网----免费课件、教案、试题下载 则AEABcos304032203°×（海里）

BEABsin30401220°×（海里）

∴ACAECEBE203203202031()（海里）

过C作CD⊥AB于D，

则CDCAsin().3010312732°≈（海里）

答：船到达灯塔正东时，它距灯塔27.32海里。

点拨：搞清方向角的概念，同时会找合适的直角三角形。

例8. 今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上，如图9，在以航标C为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？

图9

解：如图9，过点C作CD⊥AB，设垂足为D，

在Rt△ADC中，

ADCDCADCDCD·∠·°cotcot303

在Rt△BDC中，

BDCDCBDCDCD·∠·°cotcot45

∴ABADBDCDCDCDm331100()()

∴CDm1003150311365().()≈

∵136.5米＞120米，故没有危险。

答：若船继续前进没有被浅滩阻碍的危险。

点拨：熟记特殊三角函数值，注意所求结果符合实际情况，情景应用题。

例9. 如图10，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货。此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。 新课标第一网（）--中小学教学资源共享平台

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图10

（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由。

（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货？（214317≈，≈..）。

解：（1）过点B作BC⊥AC于D，

依题意，∠BAC=30°

在Rt△ABD中，

BDAB12122016160200××

∴B处会受到台风的影响。

（2）以点B为圆心，200海里为半径作圆交AC于E，F

由勾股定理，求得DEAD1201603，

∴AEADDE()1603120（海里）

∴t16031204038.（小时）

∴该船应在3.8小时内卸完货物。

点拨：不是纯数学化的“已知”，“求解”的模式，而是结合一种情景，一种实际需求，以解决一种实际问题为标志，旨在考查学生的数学应用能力。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一. 选择题：

1. 如果坡度的余弦值为31010，那么坡度比为（ ）

A. 110： B. 310：

C. 1：3 D. 3：1

2. 如果由点A测得点B在北偏东15°的方向，那么由点B测点A的方向为（ ）

A. 北偏东15° B. 北偏西75°

C. 南偏西15° D. 南偏东75°

3. 如图1，两建筑物的水平距离为a米，从A测得D点的俯角为，测得C点的俯角为，则较低建筑物CD的高为（ ）

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初中数学《解直角三角形》知识全解

初中数学《解直角三角形》知识全解

《解直角三角形》知识全解

课标要求

（1）理解直角三角形的五个元素。

（2）理解直角三角形边与角的关系，及锐角三角函数。

（3）会运用直角三角形的有关性质解决实际问题。

知识结构

（1）在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．

（2）解直角三角形过程中一般要用到：①三边之间的关系；②两锐角之间的关系；③边角之间的关系．

（3）直角三角形中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，求出其余三个元素．

（4）四个实际问题介绍了解直角三角形的理论在实际中的应用．第一个实际问题用到正弦函数；第二个问题用到余弦函数；第三个问题用到正切函数；第四个实际问题要反复利用正弦函数．

内容解析

“解直角三角形”是在第一节“锐角三角函数”的基础上研究解直角三角形的方法及其在实际中的应用．通过设计的两个实际问题抽象成数学问题，从而引出解直角三角形的内容．教科书通过四个实际问题体现了正弦、余弦和正切这几个锐角三角函数在解决实际问题中的作用．我们采用将测量大坝的高度与测量山的高度相对比的方式，直观形象地介绍了“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的微积分的基本思想．

重点难点

本节内容的重点是理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；

难点是通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受．

教法导引

全等三角形的有关理论对理解本节内容有积极的作用．在研究解直角三角形时，教科书通过探索得到结论：事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就确定下来了，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素，这个结论的获得实际上利用了直角三角形全等的有关理论，因为对于两个直角三角形，如果已知两个元素对应相等，并且其中有一个元素是边，那么这两个直角三角形全等，也就是已知一个直角三角形的除直角外的两个元素，其中至少有一个是边，这个三角形就确定下来，因此就可以利用这两个元素求出其余的元素．因此，利用三角形全等的理论，有利于理解解直角三角形的相关内容．教学中要注意加强知识间的相互联系，使学生的学习形成正迁移．

数学人教版九年级下册解直角三角形及其应用——方位角

数学人教版九年级下册解直角三角形及其应用——方位角

解直角三角形及其应用

——方位角和坡度问题

在前面我们学习了直角三角形及其应用关于仰角和俯角的问题，我们在解决这类实际问题的时候，首先是要画出平面图形，然后转化为解直角三角形。那我们今天继续进行解直角三角形及其应用的学习。

现在请看问题1：

问题1：一艘轮船在大海上航行，当航行到 A 处时，观测到小岛 B 的方向是北偏西 35°，那么同时从 B 处观测到轮船在什么方向？若轮船从 A 处继续往正西方向航行到 C处，此时， C 处位于小岛 B 的南偏西 40°方向，你能确定 C 的位置吗？试画图说明．

1 当航行到 A 处时，观测到小岛 B 的方向是北偏西 35°。

由这句话知谁是坐标原点？怎样建立直角坐标系？

生：A是坐标原点。上北下南左西又东。

2 那么同时从 B 处观测到轮船在什么方向？

由这句话你想到什么呢？谁是坐标原点？B还需满足什么条件？在同一图形中怎样建立直角坐标系？

生：需另建立直角坐标系。以B是坐标原点。在A的北偏西 35°

3 若轮船从 A 处继续往正西方向航行到 C处，此时， C 处位于小岛 B 的南偏西

40°方向，

师： 由这句话知轮船现在的航行路线？你能确定C的方向吗？你能确定C的具体位置吗？你是怎样想到的？

生：往正西方向航行。B是坐标原点。正西方向与小岛B的南偏西40方向的交点，就是C点的位置。

我们经过这几个步骤，就把图形画出来了，也把这个问题解决了。

我们回过头来看看，从这个问题中我们学到了什么？

生：将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形，转化为解直角三角形的问题。

师：解决这个问题的关键就是能画出平面图形。平面图形一经画出，所有问题就迎刃而解了。如何画出这样的平面图形呢？

生：1 找准坐标原点。2 能准确地确定问题中提出的各个方位。

刚才同学们总结得很好，这就是今天我们要研究的第一个问题：解直角三角形的应用——方位角的问题。出示课题。

刚才同学们都表现得非常不错，那我们再来继续下一个问题，看能不能解决呢？

九年级解直角三角形知识点

九年级解直角三角形知识点

九年级解直角三角形知识点

直角三角形是初中数学中的重要概念之一，在解直角三角形的问题时，需要运用到多个知识点和技巧。本文将介绍一些九年级解直角三角形的常见知识点，并阐述其应用。

一、勾股定理

勾股定理是解直角三角形中最基本的定理之一，也是解决许多三角形问题的重要工具。勾股定理表达为：直角三角形的斜边的平方等于其他两边长度的平方和。即a² = b² + c²，其中a表示斜边的长度，b和c分别表示其他两条边的长度。

二、三角函数

与直角三角形相关的三角函数有正弦、余弦和正切。根据定义，正弦等于对边与斜边的比值，余弦等于邻边与斜边的比值，正切等于对边与邻边的比值。这些三角函数的计算可通过公式或查表完成。

三、解直角三角形的步骤

解直角三角形的一般步骤可以分为以下几个方面：

1. 已知条件：根据题目给出的已知条件，确定出直角三角形的相关长度或角度信息。

2. 选择适当的公式：根据已知条件，选择适用的定理或公式，如勾股定理、正弦定理、余弦定理等。

3. 计算并解决问题：根据所选公式，进行计算并求解问题。注意角度的单位要统一，一般使用弧度或度。

4. 检验答案：通过重新计算或其他方法，检验所得解的准确性。

四、实例分析

为了更好地理解解直角三角形的过程，我们来看一个实例。

已知一个直角三角形，其中直角边的长为3，斜边的长为5，求另外一个直角边的长度。

解：根据已知条件，我们可以使用勾股定理来解答。根据定理，斜边的平方等于两直角边的平方和，即5² = 3² + b²，得到25 = 9 +

b²，再经过计算可得b² = 16，最后得到b = 4。

通过这个实例，我们可以看出解直角三角形的过程并不复杂，只需要根据已知条件，灵活运用数学知识进行计算和推导即可获得答案。

五、解直角三角形的应用

解直角三角形的知识点在实际中有很多应用。例如，我们可以用正弦定理和余弦定理解决含有直角三角形的航海、测量、工程设计等实际问题。另外，解直角三角形的知识还与向量运算、复数等数学分支有着密切的联系。

初中数学《解直角三角形及其应用》说课稿

初中数学《解直角三角形及其应用》说课稿

初中数学《解直角三角形及其应用》说课稿

第一篇：初中数学《解直角三角形及其应用》说课稿

各位老师：大家好!

今天我说课的题目是《解直角三角形及其应用》的第一课时，源自湘教版数学九年级下册第4章第三节。下面我将从教材分析，教法与学法，教学过程及教学评价四个方面进行阐述。

一、教材分析

(一)、教材的地位与作用

本节是在掌握了勾股定理，直角三角形中两锐角互余，锐角三角函数等有关知识的基础上，能利用直角三角形中的这些关系解直角三角形。通过本小节的学习，主要应让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题。从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力。它既是前面所学知识的运用，也是高中继续解斜三角形的重要预备知识。它的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法(数学建模、转化化归)，在本节教学中有针对性的对学生进行这方面的能力培养。

(二)教学重点

本节先通过一个实例引出在直角三角形中，已知两边，如何求第三边，再引导学生如何求另外的两个锐角，这样一是为了巩固前面的知识，二是如何让学生正确利用直角三角形中的边角关系，逐步培养学生数形结合的意识，从而确定本节课的重点是：由直角三角形中的已经知道元素，正确利用边角关系解直角三角形。

(三)、教学难点

由于直角三角形的边角之间的关系较多，学生一下难以熟练运用，因此选择合适的关系式解直角三角形是本课的难点。

(四)、教学目标分析

1、知识与技能：本节课的目标是使学生理解解直角三角形的意义，能运用直角三角形的三个边角关系式解直角三角形，培养学生分析和解决问题能力。其依据是：新课标对学生数学学习的总体目标规定“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识”。

2、过程与方法：通过学生的探索讨论发现解直角三角形所需的最简条件，使学生了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决。其依据是新课标关于学生的学习观——“动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式”。