一、问题背景
随着生活水平的不断提高，肥胖症和减肥问题越来越引起人们的广泛关注。联合国世界卫生组织颁布的体重指数（简记BMI ）为体重（单位：kg ）除以身高（单位：m ）的平方，固定
BMI 在18.5至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖。据悉，我国有关机构针对东方人的特点，拟将上述规定中的25改为24,30改为29。在国人初步过上小康生活以后，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。目前各种减肥食品或药物数不胜数，各种减肥新法也纷纷登场。可是大量事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目标，或者即使能减肥一时，也难以维持下去。许多医生和专家意见是只有通过控制饮食和运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的。 模型分析 二、模型分析
1 体重变化由体内能量守恒破坏引起；
2 饮食（吸收热量）引起体重增加；
3 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少；
4 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标。
三、模型假设
1体重增加正比于吸收的热量————每8000千卡增加体重1千克；
2 代谢引起的体重减少正比于体重，每天每公斤体重消耗28.75千卡~45.71千卡（因人而异）；
3 运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；
4 为了安全与健康，每天体重减少不宜超0.2千克，每天吸收热量不要小于p 千卡(p 因体重而异)。
四、模型建立
k ：表示第几天 ω（k ）：表示第k 天的体重 C(k)：表示第k 天吸收的热量
α：表示热量转换系数[千卡）千克 /(80001=α] β:表示代谢消耗系数（因人而异）
则在不考虑运动的情况下体重变化的基本方程： )()1()()1(k w k c k w k w βα-++=+
一、以甲为例：
1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。第一阶段：每天减
肥0.1429千克，每天吸收热量逐渐减少，直至达到下限（1429
千卡）；第二阶段：每天吸收热量保持下限，减肥达到目标。 2）若要加快进程，第二阶段增加运动。 3）给出达到目标后维持体重的方案。
减肥计划的制定
1)首先应确定某甲的代谢系数β。根据他每天吸收c=2857kcal
热量，体重ω=100kg 不变，由（1）式得
βωαωω-c += ，00357.0100/8000/2857/c ===ωαβ
相当于每天每公斤体重消耗热量2857/100=28.57kcal 。从假
设2可以知道，某甲属于代谢消耗相当弱的人。 第一阶段
要求体重每天减少b=0.1429kg ，吸收热量减至下限
,1429min kcal c =即
bk k b k k -==+-)0()(,)1()(ωωωω
由基本模型（1）式可得
)
1()0(])([1)1(k b
w b k w k c βα
αββα+-=-=+
将b ,,βα的数值带入，并考虑下限m in c ，有
c (k+1)=1713.8-4.081k 1429≥
得70≤k 即第一阶段共70天 第二阶段
要求每天吸收热量保持下限m in c ，由基本模型（1）式可得 min )()1()1(ac k k +-=+ωβω （3）
为了得到体重减至75kg 所需的天数，将（3）式递推可得 ])1()1(1[)()1()(1--++-++-=+n m n C k w n k w ββαβ β
αβαβm
m n C C k w +-
-=])([)1( （4） 已知90)(=k ω，要求，）（75n k =+ω再以min c ，，βα的数值代入，（4）式给出
得到n=131，即每天
吸收热量保持下限
50
) 50 90
( 75 99643 . 0 + - =
n
1429kcal ，再有131天体重减至75kg 。 为了加快进程，第二阶段增加运动。
经调查资料得到以下各项运动每公斤体重消耗的热量(单位：
记表中热量消耗γ，每天运动时间t ，为利用基本模型（1）式， 只需将β改为t αγβ+，即
）（）（）（）（）（k t -1k ac k 1k ωαγβωω+++=+ （6） 若每天打一小时篮球，则t γ=5.90，t αγ=0.0007375则（4）式中的
β=0.00357应改成t αγβ+=0.0043,（5）式为
5407.41)5407.4190(9957.075+-=n （7） 得到n=86
若每天打羽毛球一小时，则t γ=4.50，t αγ=0.0005625则（4）式中的β=0.00357应改成t αγβ+=0.0041,（5）式为
2244.43)2244.4390(9959.075+-=n （7） 得到n=94
通过增加适当的运动，可以缩短第二段的减肥时间：
假如每天打篮球一小时，86天可以达到第二段减肥目标； 假如每天打羽毛球一小时，94天可以达到第二段减肥目标。 Matlab 程序： n=0:1:131;
w1=(0.99643.^n)*(90-50)+50;
w2=(0.9957.^n)*(90-41.5407)+41.5407; w3=(0.9959.^n)*(90-43.2244)+43.2244;
plot(n,w1,n,w2,n,w3)
第三阶段
最简单的是维持体重75kg 的方案，是寻求每天吸收热量保持某常数c ，使）（k ω不变。由（6）式得 ωαγβαωω）（t -c ++=
αωαγβ/t c ）（+= （8） 若不运动，容易得出c=2142kcal 若运动，容易得出c=2399kcal
二、以乙为例：
1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。第一阶段：每天减
肥0.05千克，每天吸收热量逐渐减少，直至达到下限（857.4千卡）；第二阶段：每天吸收热量保持下限，减肥达到目标。 2）若要加快进程，第二阶段增加运动。 3）给出达到目标后维持体重的方案。
减肥计划的制定
1)首先应确定某乙的代谢系数β。根据他每天吸收c=1300kcal
热量，体重ω=60kg 不变，由（1）式得
βωαωω-c += ，00271.060/8000/1300/c ===ωαβ
相当于每天每公斤体重消耗热量1300/60=21.67kcal 。 第一阶段
要求体重每天减少b=0.05kg ，吸收热量减至下限,4.857min kcal c =即
bk k b k k -==+-)0()(,)1()(ωωωω
由基本模型（1）式可得
)
1()0(])([1)1(k b
w b k w k c βα
αββα+-=-=+
将b ,,βα的数值带入，并考虑下限m in c ，有
