高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程优化练习新人教A版必修

4.1.2 圆的一般方程

知识导图

学法指导

1.准确把握圆的一般方程的结构形式，理解各个字母的意义；把握圆的一般方程与标准方程的互化；体会待定系数法求圆的一般方程的步骤．

2．明确求动点的轨迹及轨迹方程的步骤，弄清楚轨迹与轨迹方程的区别．

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1.圆心坐标及半径长的确定或与直线方程的综合是考查的热点，多以选择题、填空题的形式出现，分值5分．

2．考查动点的轨迹(方程)，各种题型均有可能出现，分值4～6分.

知识点一 圆的一般方程

1．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，该方程叫作圆的一般方程．

2．圆的一般方程下的圆心和半径：

圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的圆的圆心为－D2，－E2，半径长为D2＋E2－4F2.

知识点二 求动点的轨迹方程的方法

求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标(x，y)所满足的关系式，并把这个方程化成最简形式，如果题目中没有坐标系，那么就要先建立适当的直角坐标系． 求轨迹方程的一般步骤为：

圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：

(1)x2，y2项的系数均为1；

(2)没有xy项；

(3)D2＋E2－4F>0.

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆．( )

(2)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆．( )

答案：(1)× (2)√

2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )

A．(2,3) B．(－2,3)

C．(－2，－3) D．(2，－3)

解析：D＝－4，E＝6，则圆心坐标为(2，－3)．

答案：D

- 1 - 第四章 圆与方程

检测试题

(时间:120分钟 满分:150分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)

1.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是( C )

(A)x+y+1=0 (B)x+y-1=0

(C)x-y+1=0 (D)x-y-1=0

解析:易知点C为(-1,0),因为直线x+y=0的斜率是-1,所以与直线x+y=0垂直直线的斜率为1,所以要求直线方程是y=x+1,即x-y+1=0.

2.空间直角坐标系Oxyz中的点P(1,2,3)在xOy平面内射影是Q,则点Q的坐标为( A )

(A)(1,2,0) (B)(0,0,3)

(C)(1,0,3) (D)(0,2,3)

解析:因为空间直角坐标系Oxyz中,点P(1,2,3)在xOy平面内射影是Q,所以点Q的坐标为(1,2,0).

3.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是( A )

(A)m< (B)m>

(C)m<0 (D)m≤

解析:由题意得1+1-4m>0,得m<.

4.圆O1:x2+y2-4x-6y+12=0与圆O2:x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是( D )

(A)相交 (B)相离 (C)内含 (D)内切

解析:把圆O1:x2+y2-4x-6y+12=0与圆O2:x2+y2-8x-6y+16=0分别化为标准式为(x-2)2+(y-3)2=1和(x-4)2+(y-3)2=9,两圆心间的距离d==2=|r1-r2|,所以两圆的位置关系为内切,故选D.

5.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则a的值为( C )

(A)-2或2 (B)或

(C)2或0 (D)-2或0

解析:圆x2+y2-2x-4y=0的圆心是(1,2).点(1,2)到直线x-y+a=0的距离是=,

所以|a-1|=1,

所以a=2或a=0.选C.

第四章 圆与方程

4.1 圆的方程

4．1.1 圆的标准方程

[目标] 1.明确圆的基本要素，能用定义推导圆的标准方程；2.会求圆的标准方程，能够判断点与圆的位置关系．

[重点] 求圆的标准方程．

[难点]

圆的标准方程及应用．

知识点一 圆的标准方程

[填一填]

1．圆的定义

(1)条件：平面内到定点的距离等于定长的点的集合．

(2)结论：定点是圆心，定长是半径．

2．圆的标准方程

(1)圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

(2)圆心在原点，半径长为r的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.

[答一答]

1．若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a吗？圆心坐标是(m，n)吗？

提示：圆的半径不一定是a，当a>0时，半径是a；当a<0时，半径是－a.圆心坐标不是(m，n)，应是(－m，－n)，因为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2化为标准结构是[x－(－m)]2＋[y－(－n)]2＝|a|2.

2．判一判．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( × )

(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．( √ )

(3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是2.( × )

知识点二 点与圆的位置关系

[填一填]

设点P到圆心的距离为d，半径为r，则点在圆内⇔dr.

[答一答]

3．判断点和圆的位置关系的依据是什么？

提示：判断点与圆的位置关系的依据是圆心到该点的距离和圆的半径的大小关系．

4．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是( B )

A.在圆上 B.在圆外

C.在圆内 D.以上都不对

类型一 求圆的标准方程

[例1] 已知圆过两点A(3,1)，B(－1,3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，求此圆的方程．

精选中小学试题、试卷、教案资料

第四章

4.14.1.2

A级基础巩固

一、选择题

1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是导学号09024937( D )

A．(2,3) B．(－2,3)

C．(－2，－3) D．(2，－3)

[解析]圆的一般程化成标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，可知圆心坐标为(2，－3)．

2．(2018·本溪市高一期中)若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为导学号09025184(

A )

A．12，－4 B．－12，4

C．12，4 D．－12，－4

[解析]由题意知直线y＝kx与2x＋y＋b＝0垂直，且直线2x＋y＋b＝0过圆心

∴错误!，解得错误!．

3．(2016～2017·长沙高一检测)已知圆C过点M(1,1)，N(5,1)，且圆心在直线y＝x－2上，则圆C的方程为导学号09024939( A )

A．x2＋y2－6x－2y＋6＝0B．x2＋y2＋6x－2y＋6＝0

C．x2＋y2＋6x＋2y＋6＝0D．x2＋y2－2x－6y＋6＝0

[解析]由条件知，圆心C在线段MN的中垂线x＝3上，又在直线y＝x－2上，∴圆心C(3,1)，半径r＝|MC|＝2．

方程为(x－3)2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－6x－2y＋6＝0．

故选A．

4．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0

A．在圆上 B．在圆外

C．在圆内 D．不确定

[解析]将原点坐标(0,0)代入圆的方程得(a－1)2

∵00，∴原点在圆外． 精选中小学试题、试卷、教案资料

5．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为22，则a的值为导学号09024941( C )

A．－2或2 B．12或32

C．2或0 D．－2或0

[解析]化圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，则由圆心(1,2)到直线x－y＋a＝0距离为22，得|1－2＋a|2＝22，∴a＝2或0．