浙江省瑞安市上海新纪元高级中学2021-2022高一技术下学期学考模拟测试试题

万全综合高中2021学年第二学期期中考测试卷高一（普高）数学一、单选题：（每小题3分，共24分）1．已知角α终边上一点M的坐标为，则sinα等于（）A ．12-B ．12C．D2．已知(3,2)a = ，(,1)b m =- ，若a b ⊥，则m =（）A ．32B ．32-C ．23D ．23-3．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若60A =，a =ABC 外接圆半径等于（）A ．2BCD ．14．已知复数z 满足()1i 2i z -=+，则z 的共轭复数为（）A ．33i22+B ．13i22-C ．33i22-D ．13i22+5已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，O 为△ABC 的外心，则异面直线AC 1与OB 所成角的大小为（）A ．30°B ．60°C ．45°D ．90°6.空间中有三条线段AB ，BC ，CD ，且∠ABC ＝∠BCD ，那么直线AB 与CD 位置关系是()A ．平行B ．异面C ．相交或平行D ．平行或异面或相交均有可能7．正方体的表面积与其外接球的表面积的比为()A ．3∶πB ．2∶πC ．1∶2πD ．1∶3π8．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A ­CD ­B 的余弦为()A ．12B ．13C ．33D ．23二．多选题（每小题4分，共16分）9.以下关于正弦定理或其变形正确的有（）A ．在△ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sinB ：sinC B ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sinB 都成立D ．在△ABC 中，10.已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是DD 1的中点，则下列选项中正确的是（）ABCDA ．AC ⊥B 1EB ．B 1C ∥平面A 1BDC ．三棱锥C 1﹣B 1CE 的体积为D ．异面直线B 1C 与BD 所成的角为45°11.如图，圆柱的轴截面是四边形ABCD ，E 是底面圆周上异于A ，B 的一点，则下列结论中正确的是()A ．AE ⊥CEB ．BE ⊥DEC ．DE ⊥平面CEBD ．平面ADE ⊥平面BCE12.如图，在四棱锥P­ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是()A ．在棱AD 上存在点M ，使AD ⊥平面PMB B ．异面直线AD 与PB 所成的角为90°C ．二面角P­BC­A 的大小为45°D ．BD ⊥平面PAC三、填空题：（每题5分，共30分）13.已知(1,2),(1,),(3,4)A B x C -三点共线，则x =____.14．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若===B c a ,2,3365π，则b ＝．15.圆锥的底面周长为4π，高为3，则圆锥的体积为．16.若大圆的面积为16π，则球的体积为_________．17.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1与BD 所成的角为______.18.在正四面体中，设PA=a，则如意两个面所成二面角的余弦值为__________.四、解答题：（共50分）19.（本题满分6分）已知()2,2m =-a ，()1,1m =+b ．（1）若2m =，求a 与b 的夹角的余弦值；（2）若()()+⊥-a b a b ，求实数m 的值．20.（本题满分6分）已知复数z 满足()()1314z i i =-+--.求复数z 的共轭复数；21.（本题满分7分）在ABC中，已知∠A=450,b=22，c=6,求a的值及ABC 的面积。

=
在△AME与△AMN中， ∠ = ∠ ，
=
∴△AME≌△AMN(SAS)，
∴ME=MN．
∴BM+MN=BM+ME≥BE．
∵BM+MN有最小值．
当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，
又AB=4 ，∠BAC=45°，此时，△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=4，
解得：a≤-


，
．
故答案为a≤-


．
14.如图，在锐角△ABC中，AB=4 2 ，∠BAC=45°，∠BAC
的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则
BM+MN的最小值是 ____
4 ．
【解析】解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE．
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠EAM=∠NAM，
2
2
2
∵PE +AE =PA =36，
2
2
=36-PE
∴AE
，
2
2
2
∵PE +EB =PB =64，
2
2
∴PE =64-EB ，
2
2
2
∵PF +FC =PC =100，
2
2
∴FC =100-PF ，
∵PM=AE，MD=FC，PF=EB，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∴PD =PM +MD =AE +FC =36-PE +100-PF =36-(64-EB )+100-EB =362
原计划所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者的速度与步行者速度的比是(

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2022-2023学年上海市高一上期末考试数学模拟试卷一．填空题（共12小题）1．（2021•金山区二模）已知集合{1A =，2，3，4}，集合{2B =，3，}m ，若{2A B = ，3，4}，则m =．2．（2021春•萨尔图区校级期末）已知()f x 的定义域为[3-，3]，则2(1)f x -的定义域为．3．（2020秋•嘉定区期末）对于正数a 可以用有理数指数幂的形式表示为．4．（2020秋•虹口区校级期中）若α、β是一元二次方程2410x x ++=的两个实数根，则11αβ+=．5．已知对数函数2(1)()(1)log m f x m m x +=--，则(27)f =．6．（2021•菏泽一模）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(0)1f =，()(1)g x f x =-是奇函数，则(2021)f =，411()n i f i -==∑．7．（2019秋•黄浦区校级期末）正实数x ，y 满足：21x y +=，则21x y+的最小值为．8．（2014•安庆二模）已知函数1()||2f x m x x =-+有三个零点，则实数m 的取值范围为．9．（2021秋•浦东新区校级期中）不等式7|1|5x x +<-的解集为．10．（2020秋•长宁区期末）函数y =的定义域为．11．（2020秋•河南期末）若函数()||1x f x e a =--有两个零点，则实数a 的取值范围是．12．（2021春•钦州期末）设1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 是2、3、4、5、6、7的一个排列，则123456a a a a a a +的最小值为．二．选择题（共4小题）13．（2020秋•石家庄期末）下列函数中与函数y =()A ．4log y x=B ．2xy =C ．1y x=D ．221y x x =-+14．（2020+<()A >B +C ．假设D ．假设+<15．（2019秋•罗湖区期末）若3log 14a<，则实数a 的取值范围是()A ．304a <<B ．304a <<或1a >C ．314a <<D ．314a <<或1a >16．（2021•济南一模）设集合1{|0}x A x x-=<，{|10}B x x =+>，则“x A ∈”是“x B ∈”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件三．解答题（共5小题）17．（2019秋•溧阳市期中）已知全集U R =，集合2{|log 1}A x x = ，函数1()()(20)2x g x x =-<<的值域为集合B ．（1）求A B ；（2）已知[1C a =-，72]a -，若C B ⊆，求实数a 的取值范围．18．（2020秋•南昌期末）已知2a ≠，函数111()()1222ax f x lg x x +=-<<+是奇函数．（1）求函数()f x 的解析式；（2）讨论()f x 的单调性；19．（2021春•岳阳期末）某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润310()500xa -万元(0)a >，A 项目余下的工人每人每年创造利润提高0.2%x ．（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的50%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围．20．（2020秋•宣城期末）已知二次函数2()4g x x x a =-+在[1，2]上的最小值为0，设()()g x f x x=．（1）求a 的值；（2）当[3x ∈，9]时，求函数3(log )f x 的值域；（3）若函数()(|21|)(|21|)3(|21|)2x x x h x f k k =-⋅---+有三个零点，求实数k 的取值范围．21．（2020秋•九江期末）已知函数2()()1f x lgx lgx =--．（Ⅰ）求()f x 的最小值，并求此时x 的值；（Ⅱ）若a ，b 分别是()f x 的两个零点，求log log a b b a +的值．2022-2023学年上海市高一上期末考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一．填空题（共12小题）1．（2021•金山区二模）已知集合{1A =，2，3，4}，集合{2B =，3，}m ，若{2A B = ，3，4}，则m =4．【答案】4．【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；数学运算【分析】根据交集的定义及运算即可得出m 的值．【解答】解：{1A =，2，3，4}，{2B =，3，}m ，{2A B = ，3，4}，4m ∴=．故答案为：4．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（2021春•萨尔图区校级期末）已知()f x 的定义域为[3-，3]，则2(1)f x -的定义域为[2-，2]．【考点】33：函数的定义域及其求法【专题】11：计算题；33：函数思想；4A ：数学模型法；51：函数的性质及应用【分析】直接由21x -在函数()f x 的定义域范围内求得x 的范围得答案．【解答】解：()f x 的定义域为[3-，3]，∴由2313x --，得224x - ，即22x - ．2(1)f x ∴-的定义域为[2-，2]．故答案为：[2-，2]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．3．（2020秋•嘉定区期末）对于正数a 可以用有理数指数幂的形式表示为78a．【答案】78a ．【考点】有理数指数幂及根式【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据指数幂的运算法则即可求出．【解答】解：原式7111311317182222224242(())(())()()a a a a a a a a a =⋅==⋅==．故答案为：78a ．【点评】本题考查了指数幂的运算法则，属于基础题．4．（2020秋•虹口区校级期中）若α、β是一元二次方程2410x x ++=的两个实数根，则11αβ+=4-．【考点】&R ：根与系数的关系【专题】4O ：定义法；36：整体思想；51：函数的性质及应用；65：数学运算【分析】由根与系数的关系可得答案【解答】解：由根与系数的关系可得：4αβ+=-，1αβ=，所以114αβαβαβ++==-故答案为：4-．【点评】本题主要考查根与系数的关系，属于基础题．5．已知对数函数2(1)()(1)log m f x m m x +=--，则(27)f =3．【考点】3T ：函数的值；4N ：对数函数的图象与性质；4O ：对数函数的单调性与特殊点【专题】51：函数的性质及应用【分析】利用对数函数的解析式，求出m ，然后求解函数值即可．【解答】解：对数函数2(1)()(1)log m f x m m x +=--，可知211m m --=，解得2m =或1m =-，当1m =-时，10m +=，不满足对数函数的定义，舍去．对数函数3()log f x x =，3(27)log 273f ==．故答案为：3．【点评】本题考查对数函数的定义、解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力．6．（2021•菏泽一模）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(0)1f =，()(1)g x f x =-是奇函数，则(2021)f =0，411()n i f i -==∑．【答案】0，1-．【考点】函数奇偶性的性质与判断；抽象函数及其应用【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】对于第一空：根据题意，分析可得()f x 的图象关于点(1,0)-对称，结合()f x 为偶函数可得()(2)f x f x =--，变形可得(4)(2)()f x f x f x -=--=，即()f x 是周期为4的周期函数，由此可得第一空答案，对于第二空：由()(2)f x f x =--，利用特殊值法可得f （1）f +（3）0=，f （2）f +（4）0=，即可得[f （1）f +（2）f +（3）f +（4）]0=，据此可得411()[n i f i n f -==⨯∑（1）f+（2）f +（3）f +（4）](4)f n -，结合函数的周期性分析可得答案．【解答】解：根据题意，()(1)g x f x =-是奇函数，则()f x 的图象关于点(1,0)-对称，则有()(2)f x f x -=--+，且f （1）0=，又由()f x 是定义在R 上的偶函数，即()()f x f x -=，则有()(2)f x f x =--，变形可得(4)(2)()f x f x f x -=--=，即()f x 是周期为4的周期函数，(2021)(14505)f f f =+⨯=（1）0=，又由()(2)f x f x =--，即()(2)0f x f x +-=，则有f （1）f +（3）0=，f （2）f +（4）0=，故[f （1）f +（2）f +（3）f +（4）]0=，则411()[n i f i n f -==⨯∑（1）f +（2）f +（3）f +（4）](4)0(0)1f n f -=-=-，故答案为：0，1-．【点评】本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性、周期性的分析，属于基础题．7．（2019秋•黄浦区校级期末）正实数x ，y 满足：21x y +=，则21x y+的最小值为9．【考点】7F ：基本不等式及其应用【专题】36：整体思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用；62：逻辑推理【分析】利用“乘1法”求解即可．【解答】解：212122()(2)559y x x y x y x y x y+=++=+++ ，当且仅当13x y ==时取等号．故答案为：9．【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．8．（2014•安庆二模）已知函数1()||2f x m x x =-+有三个零点，则实数m 的取值范围为1m >．【考点】3A ：函数的图象与图象的变换；57：函数与方程的综合运用；52：函数零点的判定定理【专题】51：函数的性质及应用【分析】将求函数()f x 的零点问题转化为求两个函数的交点问题，画出函数的草图，求出即可．【解答】解：函数()f x 有三个零点等价于方程1||2m x x =+有且仅有三个实根．11||||(2)2m x x x x m=⇔=++，作函数||(2)y x x =+的图象，如图所示．，，由图象可知m 应满足：101m<<，故答案为：1m >．【点评】本题考查了函数的零点问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．9．（2021秋•浦东新区校级期中）不等式7|1|5x x +<-的解集为1(2,)4--．【答案】1(2,)4--．【考点】绝对值不等式的解法【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】由绝对值不等式的解法求解即可．【解答】解： 不等式7|1|5x x +<-，∴不等式等价于225049(1)(5)x x x ->⎧⎨+<-⎩，解得5124x x <⎧⎪⎨-<<-⎪⎩，即124x -<<-，∴该不等式的解集为1(2,)4--．故答案为：1(2,4--．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．10．（2020秋•长宁区期末）函数y =的定义域为[1，)+∞．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则10x - ，即1x，故函数的定义域为[1，)+∞．故答案为：[1，)+∞．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据根式函数的性质是解决本题的关键，要求熟练掌握常见函数成立的条件．11．（2020秋•河南期末）若函数()||1x f x e a =--有两个零点，则实数a 的取值范围是(1,)+∞．【答案】(1,)+∞．【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用；数学抽象；数学运算【分析】根据()f x 的零点个数等价于曲线||x y e a =-与直线1y =的交点个数，作出函数图象即可求出a 的取值范围．【解答】解：()f x 的零点个数等价于曲线||x y e a =-与直线1y =的交点个数，作出函数图象如图所示，由题意可知1a >．故答案为：(1,)+∞．【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的思想和转化的能力，属于中档题．12．（2021春•钦州期末）设1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 是2、3、4、5、6、7的一个排列，则123456a a a a a a +的最小值为142．【答案】142．【考点】进行简单的合情推理【专题】转化思想；转化法；推理和证明；逻辑推理；数学运算【分析】利用基本不等式得到123456142a a a a a a +==> ，结合1427270346257=+=⨯⨯+⨯⨯，即可得到答案．【解答】解：因为1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 是2、3、4、5、6、7的一个排列，所以123456142a a a a a a +==> ，因为1427270346257=+=⨯⨯+⨯⨯，所以123456142a a a a a a + ，故123456a a a a a a +的最小值为142．故答案为：142．【点评】本题考查了最值问题的求解，主要考查了利用基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．二．选择题（共4小题）13．（2020秋•石家庄期末）下列函数中与函数y =()A ．4log y x =B ．2x y =C ．1y x=D ．221y x x =-+【答案】D【考点】函数的值域【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象【分析】分别求出函数的值域，进行对比即可．【解答】解：函数||0y x == ，即函数y =[0，)+∞，A ．函数的值域为R ，不满足条件．B ．函数的值域为(0,)+∞，不满足条件．C ．函数的值域为{|0}y y ≠，不满足条件．D ．2221(1)0y x x x =-+=-，值域是[0，)+∞．故选：D ．【点评】本题主要考查函数值域的求解，求出函数的值域是解决本题的关键，是基础题．14．（2020+<()A >B +C ．假设D ．假设+<【答案】B 【考点】反证法【专题】计算题；对应思想；反证法；推理和证明；逻辑推理【分析】用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，从而得出结论．【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，故用“反证法”证明不等式<故选：B ．【点评】本题考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．15．（2019秋•罗湖区期末）若3log 14a<，则实数a 的取值范围是()A ．304a <<B ．304a <<或1a >C ．314a <<D ．314a <<或1a >【答案】B【考点】指、对数不等式的解法【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数据分析【分析】由题意利用对数的性质，求得a 的范围．【解答】解：若3log 14a <，则1a >或01304a a <<⎧⎪⎨<<⎪⎩，求得1a >或304a <<，故选：B ．【点评】本题主要考查对数的性质，属于基础题．16．（2021•济南一模）设集合1{|0}x A x x-=<，{|10}B x x =+>，则“x A ∈”是“x B ∈”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理；数学运算【分析】先根据分式不等式的解法求出集合A ，化简集合B ，从而可得集合A 与集合B 的关系，再根据充分条件与必要条件的定义进行判定即可．【解答】解：1{|0}{|(1)0}{|01}x A x x x x x x x-=<=-<=<<，{|10}{|1}B x x x x =+>=>-，所以A B Ü，“x A ∈”可以推出“x B ∈”，但“x B ∈”不能推出“x A ∈”，所以“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件．故选：B ．【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是掌握充分条件与必要条件的判断方法，属于基础题．三．解答题（共5小题）17．（2019秋•溧阳市期中）已知全集U R =，集合2{|log 1}A x x = ，函数1()()(20)2x g x x =-<<的值域为集合B ．（1）求A B ；（2）已知[1C a =-，72]a -，若C B ⊆，求实数a 的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算【专题】应用题；集合思想；综合法；集合；数学运算【分析】（1）求出集合A ，B ，再求交集；（2）根据集合C 与B 的关系，求出参数的范围．【解答】解：（1）[2A =，)+∞，(1,4)B =，所以[2A B = ，4)；（2）C B ⊆ ，可得172a a -<-，11a ->，724a -<，解得823a <<，a ∴的取值范围为8(2,3．【点评】考查集合的运算，集合与集合的关系，中档题．18．（2020秋•南昌期末）已知2a ≠，函数111()()1222ax f x lgx x +=-<<+是奇函数．（1）求函数()f x 的解析式；（2）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）1211()(1222x f x lg x x -=-<<+；（2）()f x 在11(,)22-上是减函数．【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】（1）根据()f x 是奇函数，利用奇函数的定义列出恒等式，求解即可得到答案；（2）直接利用函数单调性的定义进行判断即可．【解答】解：（1）因为函数111()()1222ax f x lg x x +=-<<+是奇函数，所以1111()()()012121212ax ax ax ax f x f x lglg lg x x x x -+-+-==+=⋅=-+-+，可得1111212ax ax x x -+⨯=-+对1122x -<<恒成立，整理可得22(4)0a x -=对1122x -<<恒成立，故240a -=，因为2a ≠，所以2a =-，所以1211()(1222x f x lg x x -=-<<+；（2）对于任意121122x x -<<<，得2101212x x <-<-，所以1201212x x <+<+，从而21212121211212(12)(12)()()101212(12)(12)x x x x f x f x lglg lg lg x x x x ---+-=-=<=+++-，所以21()()f x f x <，故()f x 在11(,22-上是减函数．【点评】本题考查了对数型函数的应用，涉及了函数奇偶性的应用、函数单调性的判断，解题的关键是熟练掌握函数的性质并能进行灵活的运用，属于中档题．19．（2021春•岳阳期末）某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润310()500x a -万元(0)a >，A 项目余下的工人每人每年创造利润提高0.2%x ．（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的50%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围．【答案】（1）最多调出500人参加B 项目从事售后服务工作；（2）05a <．【考点】根据实际问题选择函数类型【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算【分析】（1）设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作，由题意，列出关于x 的不等关系，求解即可；（2）求出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，得到不等式恒成立，然后利用参变量分离法以及基本不等式求解最值，即可得到答案．【解答】解：（1）设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作，由题意可得，10(1000)(10.2%)101000x x -+⨯ ，即25000x x - ，又0x >，所以0500x <，故最多调出500人参加B 项目从事售后服务工作；（2）由题意可知，0500x <，从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500x a x -万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元，则3110()10(1000)(1)500500x a x x x --+ 对0500x < 恒成立，即210001500x a x++ 对0500x < 恒成立，又21000115500x x +++= ，当且仅当500x =时取等号，所以5a，又0a >，故实数a 的取值范围为05a <．【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，一元二次不等式的解法，基本不等式求解最值的应用，不等式恒成立问题的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20．（2020秋•宣城期末）已知二次函数2()4g x x x a =-+在[1，2]上的最小值为0，设()()g x f x x=．（1）求a 的值；（2）当[3x ∈，9]时，求函数3(log )f x 的值域；（3）若函数()(|21|)(|21|)3(|21|)2x x x h x f k k =-⋅---+有三个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）4a =；（2）[0，1]；（3）(1,)+∞．【考点】二次函数的性质与图象；函数的零点与方程根的关系【专题】函数思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算【分析】（1）利用二次函数的性质，写为定点式后求出函数()g x 的最小值，得到关于a 的方程，求解即可得到a 的值；（2）求出()f x 的解析式，然后令3log t x =，转化为对勾函数，利用对勾函数的单调性求出()f t 最值，即可得到值域；（3）令|21|x m -=，将问题转化为2(34)(42)0m k m k -+++=的两个根1m ，2m 进行研究，利用根的分布，通过判别式、对称轴、区间端点的函数值列出不等关系，求解即可得到答案．【解答】解：（1）2()(2)4g x x a =-+-，故当2x =时，()g x 取最小值0，则2()(2)(22)40min g x g a ==-+-=，解得4a =．（2）()4()4g x f x x x x==+-，令3log t x =，[3x ∈，9]，则[1t ∈，2]，则34(log )()4f x f t t t==+-在[1t ∈，2]上单调递减，则()min f t f =（2）0=，()max f t f =（1）1=，所以值域为[0，1]．（3）设|21|x m -=，则2()()32(34)(42)h m mf m km k m k m k =-+=-+++，令2(34)(42)0m k m k -+++=，由题意知，关于m 的一元二次方程有两个根1m ，2m 满足如下条件：当10m =时，代入方程解得2k =-，此时22m =-方程()0h x =仅有1个解，不符合题意．当11m =时，代入方程解得1k =，此时方程2760m m -+=，解得26m =，所以函数()h x 有两个零点，不符合题意．当1201m m <<<时，函数()h x 有三个零点，则0(0)0(1)0h h >⎧⎪>⎨⎪<⎩，即160921k k k k ⎧><-⎪⎪>-⎨⎪>⎪⎩或，解得1k >，故实数k 的取值范围为(1,)+∞．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了二次函数最值的应用、对勾函数以及对数函数的应用，解决函数零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题．21．（2020秋•九江期末）已知函数2()()1f x lgx lgx =--．（Ⅰ）求()f x 的最小值，并求此时x 的值；（Ⅱ）若a ，b 分别是()f x 的两个零点，求log log a b b a +的值．【答案】（Ⅰ）当x =时，5()4min f x =-；（Ⅱ）3-．【考点】对数的运算性质；函数的零点与方程根的关系【专题】方程思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算【分析】（Ⅰ）根据条件，令t lgx =，t R ∈，则215()()24g t t =--，求出()g t 的最小值，可得到()f x 的最小值和取最小值时x 的值；（Ⅱ）根据条件可知，lga ，lgb 是方程210t t --=的两个实数根，利用韦达定理得到1lga lgb +=，1lga lgb ⋅=-，再求出log log a b b a +的值．【解答】解：（Ⅰ）令t lgx =，t R ∈，则215()()24g t t =--，∴当12t =时，5()4min g t =-，即当x =5()4min f x =-．（Ⅱ）依题意，得lga ，lgb 是方程210t t --=的两个实数根，由韦达定理，得1lga lgb +=，1lga lgb ⋅=-，∴原式2()2lgb lga lga lgb lgalgb lga lgb lgalgb+-=+=212(1)31-⨯-==--．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，一元二次函数的性质和韦达定理，考查了方程思想和转化思想，属中档题．。