树和二叉树的基本知
识
树和二叉树的基本知识
树是一种非线性的数据结构，用它能很好地描述有分支和层次特性的数
据集合。树型结构在现实世界中广泛存在，如把一个家族看作为一棵树，树中的结点为家族成员的姓名及相关信息，树中的关系为父子关系，即父亲是儿子的前驱，儿子是父亲的后继；把一个国家或一个地区的各级行政区划分看作为一棵树，树中的结点为行政区的名称及相关信息，树中的关系为上下级关系，如一个城市包含有若干个区，每个区又包含有若干个街道，每个街道又包含有若干个居委会；把一本书的结构看作是一棵树，树中的结点为书、章、节的名称及相关信息，树中的关系为包含关系。树在计算机领域中也有广泛应用，如在编译系统中，用树表示源程序的语法结构；在数据库系统中，树型结构是数据库层次模型的基础，也是各种索引和目录的主要组织形式。在许多算法中，常用树型结构描述问题的求解过程、所有解的状态和求解的对策等。
在树型结构中，二叉树是最常用的结构，它的分支个数确定，又可以为
空，具有良好的递归特性，特别适宜于程序设计，因此我们常常将一般树型结构转换成二叉树进行处理。
第一节 树
一、树的定义
一棵树（tree ）是由n （n>0）个元素组成的有限集合，其中：
1．每个元素称为结点(node)；
2．有一个特定的结点，称为根结点或树根（root ）；
3．除根结点外，其余结点被分成m （m>=0）个互不相交的有限集合
T 0,T 1,T 2,……T m-1，而每一个子集T i 又都是一棵树（称为原树的子树
subtree ）。
图1
图1就是一棵典型的树结构。从树的定义可以看出：
1．树是递归定义的，这就决定了树的操作和应用大都是采用递归思想来解决；
2．一棵树中至少有1个结点，这个结点就是根结点，如上图中的结点1；
3．只有根结点没有前趋结点，其余每个结点都有唯一的一个前趋结点；
4．所有结点都可以有0或多个后继结点；
二、树的基本概念
下面以图1为例给出树结构中的一些基本概念：
1．一个结点的子树个数，称为这个结点的度（degree），如结点1的度为3，结点3的度为0。度为0的结点称为叶结点（又称树叶leaf，如结点3、5、6、8、9）。度不为0的结点称为分支结点（如结点1、2、4、7）。根结点以外的分支结点又称为内部结点（如结点2、4、7）。树中各结点的度的最大值称为这棵树的度（又称宽度），图1所示这棵树的（宽）度为3。
2．在用上述图形表示的树结构中，对两个用线段（称为树枝）连接的相关联的结点，称上端的结点为下端结点的父结点，称下端的结点为上端结点的子结点，称同一个父结点的多个子结点为兄弟结点。如结点1是结点2、3、4的父结点，结点 2、3、4都是结点1的子结点，它们又是兄弟结点，同时结点2又是结点5、6的父结点。称从根结点到某个子结点所经过的所有结点为这个子结点的祖先。如结点1、4、7是结点8的祖先。称以某个结点为根的子树中的任一结点都是该结点的子孙。如结点7、8、9都是结点4的子孙。
3．定义一棵树的根结点的层次（level）为1，其它结点的层次等于它的父结点的层次数加1。如结点2、3、4的层次为2，结点5、6、7的层次为3，结点8、9的层次为4。一棵树中所有结点的层次的最大值称为树的深度（depth），图1所示这棵树的深度为4。
4．若树中各结点的子树是按照一定的次序从左向右安排的，它们之间的次序不能互换，这样的树称之为有序树，否则称之为无序树。所以，树虽然是非线性结构，但也是有序结构。例如，对于下面图2中的两棵树，若看作为无序树，则是相同的；若看作为有序树，则是不同的，因为根结点A的两棵子树的次序不同。又如对于一棵反映了父子关系的家族树，兄弟结点之间是按照排行大小而有序排列的，所以它是一棵有序树。因为任何无序树都可以当作具有任一次序的有序树来处理，所以下面如果不特别指明，均认为树是有序的。
图2
5.对于一棵子树中的任意两个不同的结点，如果从一个结点出发，按层次自上而下沿着一个个树枝能到达另一结点，称它们之间存在着一条路径。可用路径所经过的结点序列表示路径，路径的长度等于路径上的结点个数减1。如图1中，结点1和结点8之间存在着一条路径，并可用（1、4、7、8）表示这条路径，该条路径的长度为3。从根结点出发，到树中的其余结点一定存在着一条路径。注意，不同子树上的结点之间不存在路径。但是，如果把树看成是一个图的话(可以把树理解为是图的一个子类)，那么我们就可以继承图的路径的定义，认为不同子树上的两个结点应该是有路径的（图论意义上的路径）。
6．森林（forest）是m(m>=0)棵互不相交的树的集合。
三、树的表示方法和存储结构
树的表示方法有多种，如图1采用的就是一种形象的树形表示法；另外还有一种常用的表示方法“括号表示法”，它的表示方法归纳如下：先将整棵树的根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树由左至右放入括号中，同层子树用圆括号括在一起（同层子树之间用逗号隔开），而对子树也采用同样的方法处理，直到所有的子树都只有一个根结点为止。用括号表示法表示图1的步骤如下：
=（T）
=（1（T1，T2 ，T3 ）） {A是根结点，有3棵子树，用逗号隔开}
=（1（2（T11，T12），3，4（T31））） {分别对3棵子树做同样的操作}
=（1（2（5，6），3，4（7（T311，T312））））
=（1（2（5，6），3，4（7（8，9））））
实际上，以上方法是按照树的层次逐步展开，直到所有结点都已列出。
树的存储结构也有多种形式，其中使用较多的采是链式存储结构，下面给出几种常见的存储树的数据结构。
1．父亲表示法：定义一个数组，每个数组元素为一个记录，除了存放一个结点的数据信息外，还存放该结点的父结点编号。数据结构定义如下：Const m=10； {树的结点数}
Type node=Record
data:Integer； {数据域}
parent:Integer； {指针域}
End；
Var tree:Array[1..m] Of node；
