数字图像边缘检测算法对比研究
周蕊1 , 于晓明2
(1陕西科技大学理学院，陕西西安，710021; 2陕西科技大学电气与信息工程学院，陕西西安710021)摘要：边缘检测是图像分析和模式识别的主要特征提取手段。为更精确地检测噪声较多的灰度图像，通过灰度形态学引入一种改进的灰度图像抗噪边缘检测
算子。通过Matlab实验验证，该算子能够克服经典算子抗噪性差的缺点，
并且易于检测出图像边缘信息，方便计算机识别。为图像识别和分析提供了
更加丰富完整的理论依据。
关键词：图像识别；边缘检测；算子；噪声；算法对比
0 引言
数字图像的边缘检测是指数字图像中具有特定模式的灰度变化的定位、定向和度量。边缘检测在图象识别和计算机分析中扮演着重要的角色，成为机器视觉研究领域最活跃的方向之一。因此，图像边缘检测具有及其重要的研究价值和应用前景。传统的边缘检测算子，因其算法简单，便于应用，被广泛的使用，但是这些传统的算子对噪声都很敏感，处理后的图像不是很清晰，因此如何保证算法的稳定性及处理后的可视性是解决图像边缘检测的关键问题。
本文在分析了经典算法的基础上，提出了一种基于形态学的改进抗噪边缘检测算法，能够较好的解决图像去噪过程中引起不稳定性的问题，保持边缘的连续性及准确性，并能非线性的增强图像细节信息，保持图像的边缘特征，改善图像的视觉效果。本文简要地介绍了几种经典算子的原理，分析了它们的特点，由于这些传统算子对噪声都很敏感，对于噪声较多的图像，用这些经典算子处理的效果较差。因此提出了基于形态学的改进抗噪边缘检测算法。改进的抗噪边缘检测算子构成基于数学形态学理论中的膨胀和腐蚀的概念结合开启和闭合运算，使得算子对正负脉冲的响应均为零，从而很好的滤除了噪声。论文中使用Matlab对图像进行边缘检测，分析这几种不同算子的优劣。实验结果表明改进后的形态学梯度边缘检测算法能够较好的抵抗噪声干扰，能够很好的检测出图像的边缘，保持图像边缘的连续性及准确性。同时，论文给出了这几种算法的优缺点比较及适用情况。
1 边缘检测算子原理
边缘一般是指图像中像素灰度有阶跃变化或屋顶状变化的那些像素的集合，可以粗略地分为阶跃边缘与屋顶边缘，它存在于目标与背景、目标与目标、区域与区域、基元与基元之间。边缘对与图像的识别和分析十分有用，它能勾画出目标物体轮廓，使观察者一目了然，包含了丰富的信息（如方向、阶跃性质、形状等），是图像识别中抽取的重要属性。从本质上来说，图像边缘是图像局部特性不连续性（灰度突变、颜色突变、纹理结构突变等）的反映，它标志着一个区域的终结和另一个区域的开始[1]。常用的方法有：基于一阶微分算子的罗伯特（Robert）算子、索贝尔（Sobel）算子、Prewitt算子、坎尼（Canny）算子方法和基于二阶微分算子的拉普拉斯（Laplacian）算子。
1.1 Robert 边缘检测算子
Robert 算子是一种利用局部差分算子去寻找边缘的算子，其采用2个2×2大小的掩模模板对图像的边缘进行检测。运算过程可用算式表达为：
{}12
22(,)g x y =+ （1）
(1)式中，(,)f x y 是具有整数像素坐标的输入图像，采用的算法是模2梯度幅度的计算方法，在此之所以采用了开平方根的运算，是由于这样的处理过程与人类的视觉系统的成像过程又许多类似的地方，能取得适合人眼的视觉效果。
1.2 Prewitt 边缘检测算子
Prewitt 边缘检测算子的核心是两个3x3的卷积核，通过两个小区域模板在图像中的移动，完成图像中的每个像素点同这两个卷积核的卷积运算，最终输出的边缘幅度结果可以检测出图像的边缘
1.3 Sobel 边缘检测算子
Sobel 边缘检测算子的掩模模板和Prewitt 边缘检测算子极为类似，也是3x3大小，只是在Prewitt 算子的基础上更强调中心像素的4-邻域像素对中心像素的影响，而使中心像素的4个对角近邻像素对其作用有所削弱，这一点可从图1所示的掩模模板所采用的元素值上看出。
1
01202101-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ 121000121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭
图1 Sobel 边缘检测算子卷积核
1.4 LoG 边缘检测算子
将拉普拉斯算子和2D 高斯脉冲响应组合成一个单一的LoG 算子卷积核：
2222
2222224611(,)22x v x v h x y e e y x σσπσπσπσ++--⎡⎤+-⎢
⎥∇=∇=-⎢⎥⎣⎦ （2） (2)式中σ是高斯分布的均方差，该函数是一个轴对称函数，根据旋转对称性，该算子具有各向同性的特点。函数图像在一个负的凹谷中有一个正向尖峰脉冲，高斯分布的均方差σ便是控制该中心峰的宽度的参数，同时也控制了曲面的平滑程度。可以证明：该算子的均值为零，所以用其对图像进行卷积并不会改变图像整体的动态范围。由于其使用了高斯低通滤波器，因此卷积结果会产生一定的模糊，模糊程度正比于σ。在该算子中σ的选择很重要，值比较小时位置精度可以很高，但会产生过多的边缘细节，而且该算子在噪声大的区域往往会产生过密的过零点。常用的一种LoG 算子卷积核是５×５大小的模板。
图4 LoG 算子卷积核
1.5 Canny 边缘检测算子
Canny 考核边缘检测算子的指标是：（1）低误判率，即尽可能地把边缘点误认为是非边缘点；（2）高定位精度，即准确地把边缘点定位在灰度变化最大的像素上；（3）抑制虚假边缘[1]。Canny 从这三项指标出发，推导出了最佳边缘检测算子-Canny 边缘算子。该算子的基本思想是：先对处理的图像选择一定的Gauss 滤波器进行平滑滤波，抑制图像噪声；然后采用一种称之为“非极值抑制”(Nonmaxima Suppression)的技术，细化平滑后的图像梯度幅值矩阵，寻找图像中的可能边缘点；最后利用双门限检测通过双阈值递归寻找图像边缘点，实现边缘提取。
Canny 方法也使用拉普拉斯算子，该方法与其它边缘检测方法的不同之处在于，它使用2种不同的阈值分别检测强边缘和弱边缘，并且仅当弱边缘与强边缘相连时才将弱边缘包含在输出图像中，因此这种方法较其它方法而言不容易被噪声“填充”，更容易检查出真正的弱边缘。
以上这几种经典算法在提取图像边缘是都具有一定的实时性，因而得到广泛的应用，但是这些方法对噪声敏感，抗噪性能较差［4］，并且常常会在检测边缘的同时加强噪声。对于噪声污染图像，一般的方法是先滤波，再用微分算子检测边缘。但是在滤波平滑图像的同时，图像边缘也不可避免地被模糊化了，检测效果受到影响，不利于图像特征提取等后续处理；同时处理环节的增多，延长了图像处理的时间，对实时性要求较高的场合不适用。一个好的边缘检测算法应满足检测精度高；抗噪能力强；计算速度快；便于并行实现
【5】等要求。应对这种要求，我们提出了基于数学形态学的边缘检测方法。
2 灰度数学形态学图像处理
数学形态学以集合论为基础，是近几年来发展迅速的一门建立在严格数学理论基础上的新兴学科，将其应用于图像处理与分析中具有视觉直观性及数学严谨性，为图像处理提供了一种一致而有力的分析工具。该运算是图像元素与结构元素之间的相互作用，将数学形态学膨胀、腐蚀、开运算、闭运算操作，应用于图像边缘检测中。为了提高边缘检测的抗噪性，在去掉图像中一些灰度值很小和一些灰度值很大的污染点的同时提取出图像的边缘，我们对数学形态学运算加以改进，构成抗噪的形态学梯度边缘检测算子。
2.1灰度图像形态学的基本运算
数学形态学是一种新型的数字图像处理方法和理论，它是建立在严格数学理论上的一门 新兴学科，数学形态学运算主要用于二值图像的处理，它的的应用几乎覆盖了图像处理的所有领域，膨胀和腐蚀是数学形态学中最基本的操作，是利用数学形态学对二值图像处理的运算。我们把二值形态学方法引申到灰度图像领域，灰度形态学处理的对象和结构元是灰度函数也即结构函数，这样我们就可以将图像的灰度信息考虑到图像处理过程中，更完整的描述出图像的特征来。
设U 是一个具有可加结构的评议不变交换群，通常的图像研究论域d R 或d Z （d 为大于等于1的整数）。设τ为一个完备格，()p U τ为U 上的格模糊集（简称模糊集）全体，即{}()/p U F U ττ=→，其中每个元素都代表一个灰度图像。设I 和C 分别是τ上满足伴随
