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计算方法简介一、计算方法1.现代科学技术的一般过程工程问题数学化（数学建模）（什么语言，能否计算机实现，连续型、离散型、随机型）数学问题数值化（算法与分析）数值问题机器化（程序设计）科学实验实际问题→数学模型→数学问题→数学问题的解→实际问题的解算法→计算方法→程序→数学问题的数值解→实际问题的近似解2.计算方法：研究用计算机求解各类数学问题的数值方法、理论及具体实现的相关问题。
1）算法：由基本运算及其规定了运算顺序而构成的完整的解题步骤（计算数学的根本任务）2）算法分析可实现性----具体编程计算算法复杂性-----时间复杂性----计算时间的长短—能否满足实际要求-----空间复杂性----存储量的大小---现有的机器能否满足收敛性---数值解是否收敛于精确饥解误差估计---能否达到要求，误差有多大稳定性----算法稳定性：当定解条件有微小变化时，解得变化也很小。
----数值稳定性：舍入误差对算法的影响大小3）计算法发建立的好的算法应具有第一，面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法，即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的。
第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。
第三，要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。
第四，要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。
二、具体内容与要求1.内容1）误差分析2）线性代数方程组求解（直接接法、迭代解法）3）非线性方程求解4）矩阵特征值、特征向量的求法5）函数逼近（函数插值、数据拟合）6）数值微分、数值积分7）微分方程的数值解法8）实际问题建模、求解举例（优化方法）2.要求1）初步掌握实际问题的建模方法、步骤；2）掌握基本算法，对一些实际问题能够建立其算法，并能用计算机求解（构造、实现）；3）能用误差分析方法对结果进行误差分析，保证结果的可靠性。
高性能计算中的容错机制与恢复策略引言：随着科技的发展，高性能计算系统在众多领域中发挥着重要的作用。
然而，由于计算过程中存在的硬件故障和软件错误，高性能计算系统往往会遭受到严重的损失。
为了保障系统的可靠性和稳定性，研究人员开发了各种容错机制和恢复策略。
本文将阐述高性能计算中的容错机制与恢复策略，并探讨其应用与挑战。
一、硬件容错技术1. 冗余技术冗余技术是一种常用的硬件容错技术，主要包括硬件冗余和软件冗余。
硬件冗余通过备份和镜像技术实现，一旦主要硬件出现故障，备用硬件会自动接管工作，确保系统的连续性。
软件冗余则通过数据备份和检验技术来实现，确保数据的完整性和准确性。
2. 容错码技术容错码技术是一种通过编码和解码算法实现数据纠错的技术。
在高性能计算中，常用的容错码技术包括海明码、纠错码等，可以通过添加冗余信息来纠正或恢复因传输过程中产生的错误。
这类技术不仅可以提高数据传输的可靠性，还可以避免因错误数据导致的系统崩溃。
二、软件容错技术1. 检查点技术检查点技术是一种基于快照原理的软件容错技术，通过定期记录系统的状态和进程数据，以便在系统故障发生时进行恢复。
检查点技术可以分为断点和恢复两个过程，断点过程即记录系统状态，恢复过程则是根据记录的断点信息重新启动系统。
2. 静态与动态重调度技术重调度技术是指在检测到系统故障时，重新规划任务的执行顺序和资源分配。
静态重调度技术是在系统启动前事先规划好任务执行顺序，当系统发生故障时可以根据预先设置的规则进行恢复。
动态重调度技术则是实时监测系统状态，并根据监测结果进行任务调度和资源分配，以提高系统的可用性和性能。
三、容错机制的应用与挑战1. 应用领域高性能计算的容错机制在很多领域得到了广泛的应用，如航空航天、天气预报、医学仿真等。
特别是在航空航天领域，容错机制的稳定性和可靠性对保障乘客的生命安全至关重要。
2. 挑战与改进虽然容错机制在高性能计算中扮演着重要角色，但其应用和改进仍面临着不少挑战。
第1章 误差一、考核知识点：误差的来源，绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限，有效数字，准确数位，误差传播。
二、考核要求：1．知道误差的主要来源，误差传播。
2．了解绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限、掌握其确定方法。
3．掌握有效数字，准确数位的求法。
4．误差传播（一元函数的、二元函数、多元函数误差传播公式） 4．数值计算中应注意的一些问题（算法设计的几个原则）。
三、典型例题分析1．近似值0.45的误差限为（ ）。
A ． 0.5 B. 0.05 C ． 0.005 D. 0.0005.解 因 210450.00.45⨯=，它为具有3位有效数字的近似数，其误差限为 1231021101021--⨯=⨯⨯=ε。
或2,3m n ==，m-n=-1，其误差限为 13210211021--⨯=⨯=ε 所以 答案为B. 2．已知 4142135.12==*x ，求414.1=x 的误差限和相对误差限。
类似地，还可估计e的近似值的有效数字位数。
解：（绝对）误差限：0005.00003.00002135.0241.1<<=-=∆ x 所以（绝对）误差限为0003.0=ε，也可以取0005.0=ε。
一般地，我们取误差限为某位数的半个单位，即取 0005.0=ε。
相对误差限：rx x x x εδ=<=-=-=*0002.000015.0414.14142135.1414.1)(所以，相对误差限0002.0=r ε3．已知 ,1415926.3*==πx 求近似值142.3=x 的误差限，准确数字 或有效数字。
解 由,00041.01415926.3142.3<-= x ∆ 误差限为31021-⨯=ε因为1,3,4m n m n ==--=，所以由定义知x 是具有4位有效数字的近似值，准确到310-位的近似数。
注意：当只给出近似数x 时，则x 必为四舍五入得到的有效数字，则可直接求出误差限和有效数字。
第1章 误差一、考核知识点：误差的来源，绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限，有效数字，准确数位，误差传播。
二、考核要求：1．知道误差的主要来源，误差传播。
2．了解绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限、掌握其判别方法。
3．掌握有效数字，准确数位的求法。
三、重、难点分析例1. 近似值0.45的误差限为（ ）。
A ． 0.5 B. 0.05C ． 0.005 D. 0.0005.解 因 210450.00.45⨯=，它为具有3位有效数字的近似数，其误差限为 1231021101021--⨯=⨯⨯=ε。
或3,2==p m ，其误差限为 132********--⨯=⨯=ε 所以 答案为B.例2.. 已知 4142135.12==*x ，求414.1=x 的误差限和相对误差限。
解：（绝对）误差限：0005.00003.00002135.0241.1<<=-=∆ x 所以（绝对）误差限为0003.0=ε，也可以取0005.0=ε。
一般地，我们取误差限为某位数的半个单位，即取 0005.0=ε。
相对误差限： rx x x x εδ=<=-=-=*0002.000015.0414.14142135.1414.1)(所以，相对误差限0002.0=r ε例3 .已知 ,1415926.3* ==πx 求近似值142.3=x 的误差限，准确数字 或有效数字。
解 由,00041.01415926.3142.3<-= x ∆ 误差限为31021-⨯=ε因为4,3,1=--==p m p m ，所以由定义知x 是具有4位有效数字的近似值，准确到310-位的近似数。
注意：当只给出近似数x 时，则x 必为四舍五入得到的有效数，则可直接求出误差限和有效数字。
例4. 已知近似数,635.0,2864.1==b a 求b a b -,2的误差限和准确数位。
解 因41021-⨯=）（a ε，31021-⨯=）（b ε()()2310211021635.022--⨯<⨯⨯⨯<≤+=b b b b b b bb ∆∆∆∆ 所以 (),102122-⨯=b ε 2b 准确到 210-位。
