【精准解析】湖北省武汉一中2020届高三下学期4月模拟考试数学(文)试题

2020年湖北省华大新高考联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|x 2−5x +6>0}，B ={x|x −1<0}，则A ∩B =( )A. (−2,1)B. (−∞,1)C. (−3,−1)D. (3,+∞)2. 若复数z =4−i ，则z−z=( )A. −1517+817iB. 1+817iC. 1517+817iD. 1517−817i3. 若α+β=3π4.则(1−tanα)(1−tanβ)= ______ ．A. 2B. 3C. 1D. −14. 在正方形内任取一点，则该点在正方形的内切圆内的概率为( )A. π12B. π4C. π3D. π25. 如果log 12x <log 12y <0，那么( ) A. y <x <1 B. x <y <1 C. y >x >1 D. x >y >16. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A. 3B. 4C. 5D. 67. 设e 是椭圆x 24+y 2k=1的离心率，且e =23 ，则实数k 的取值是( )A. 209B. 365C. 209或525D. 209或3658. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，若E 是DC 的中点，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗=( ) A. −32a⃗ +b ⃗ B. 32a⃗ −b ⃗ C. −12a⃗ +b ⃗ D. 12a⃗ −b ⃗ 9. 函数f(x)=e x +1x(e x −1)(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )A.B.C.D.10. 已知函数f(x)=sin(2x +π4)，则下列结论中正确的是( )A. 函数f(x)的最小正周期为2πB. 函数f(x)的图象关于点(π4,0)对称C. 由函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度可以得到函数y =sin2x 的图象D. 由函数f(x)的图象向左平移π8个单位长度可以得到函数y =cos2x 的图象11. 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2=a 2+c 2+2accosB ，则∠B =( )A. π2B. π3C. π6D. 2π312. 已知a =sin 45，b =43sin 34，c =43cos 34，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. b <c <aC. a <c <bD. b <a <c二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)={log 12x,x >0,3x ,x ≤0,，则f(f(2))的值为___________14. 从一副混合后的扑克牌(52张，去掉大、小王)中，随机抽取1张，事件A 为“抽到梅花K ”，事件B 为“抽到红桃”，则P(A ∪B)=______．15. 已知一张矩形白纸ABCD ，AB =10，AD =10√2，E ，F 分别为AD ，BC的中点，现分别将△ABE ，△CDF 沿BE ，DF 折起，使A ，C 重合于点P ，则三棱锥P—DEF 的外接球的表面积为____________． 16. F 1、F 2为双曲线C ：x 29−y 24=1的左、右焦点，点M 在双曲线上且∠F 1MF 2=60°，则S △F 1MF 2= ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某研究机构为了解某学校学生使用手机的情况，在该校随机抽取了60名学生(其中男、女生人数之比为2：1)进行问卷调查.进行统计后将这60名学生按男、女分为两组，再将每组学生每天使用手机的时间(单位：分钟)分为[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50]5组，得到如图所示的频率分布直方图(所抽取的学生每天使用手机的时间均不超过50分钟)．(1)求出女生组频率分布直方图中a的值；(2)求抽取的60名学生中每天使用手机时间不少于30分钟的学生人数．18.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a n>0，a1=23且−3a2，1a3，1a4成等差数列，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n⋅log3(1−S n+1)=1，求满足方程b1b2+b2b3+⋯+b n b n+1=5041009的正整数n的值。

2019年湖北省高三四月调考文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.若复数1,z i z =+为z 的共轭复数，则z z ⋅= 2 D.2i2.设集合(){}(){}(),|,,,|1,,|11y U x y x R y R A x y y x B x y x ⎧⎫=∈∈==+==⎨⎬+⎩⎭，则U A C B =IA.(){}1,0- B. {}1- C. {}1,0- D.∅3.设等比数列{}n a 中，若22462,14a a a a =++=，则公比q = A.3 B. 3±2±4.已知点()()1,0,1,0A B -为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右顶点，点M 在双曲线上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为120o ，则该双曲线的标准方程为A. 2214y x -=B. 2212y x -=C.221x y -=D.2212y x -= 5.已知tan 52x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1sin cos x x =A. 265B. 265-C. 265±D.526-6. 设,,a b c r r r均为非零向量，则a c =r r 是a c b c ⋅=⋅r r r r 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知圆22:4C x y +=，直线:l y x =，则圆C 上任取一点A 到直线l 的距离小于1的概率为 A.34 B. 23 C. 12 D.138. 已知函数()()cos 0,,2xx f x a R a e ωϕπωϕ+⎛⎫=><∈ ⎪⋅⎝⎭在区间[]3,3-上的图象如图所示，则a ω可取 A. 4π B. 2π C.π D.2π 9.执行如图所示的程序框图，若输出的值为5y =，则满足条件的实数x 的个数为 A. 4 B. 3 C. 2D. 110.网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 22D. 221+11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F,设过抛物线上一点P 处的切线为1l ，过点F且垂直于PF 的直线为2l ，则1l 与2l 交点Q 的横坐标为A. 34-B. 1-C. 43- D.不能确定 12. 已知实数,x y 满足()2221x y +-=223x y+的取值范围是A. 3,2⎤⎦B. []1,2C. (]0,2D. 3⎤⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正六棱锥S ABCDEF -的底面边长和高均为1，则异面直线SC 与DE 所成角的大小为为 .14. 已知函数()2143ln 2f x x x x =-+-在(),1t t +上存在极值点，则实数t 的取值范围是 . 15. 某单位植树节计划种杨树x 棵，柳树y 棵，若实数,x y 满足约束条件2527x y x y x ->⎧⎪-<⎨⎪<⎩，则该单位集合栽种这两种树的棵树最多为 .16. 已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且0,0n n a b >>，记数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n S ，若()()111,131nn a b S n n N *===-⋅+∈，则数列25n n a b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的最大项为第 项.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且cos .a C b= （1）求B ；（2）设CM 是角C 的平分线，且31,4CM a ==，求b .18.（本题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1BB 上，两条直线,MA MC 与平面ABCD 所成角均为θ，AC 与BD 交于点O.（1）求证：AC OM ⊥； （2）当1112AB BM BB ===时，求点1D 到平面AMC 的距离.19.（本题满分12分）在某小学体育素质达标运动会上，对10名男生和10名女生在一分钟跳绳的次数进行统计，得到如下所示茎叶图:（1）已知男生组中数据的中位数为125，女生组数据的平均数为124，求,x y 的值；（2）从一分钟内跳绳次数不低于110次且不高于120次的学生中任取两名，求两名学生中至少有一名男生的概率.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的长轴AB 为的长为6，离心率为1.3（1）求椭圆E 方程；（2）过椭圆E 的右焦点F 的直线与椭圆E 交于M,N 两点，记AMB ∆的面积为1S ，ANB ∆的面积为2S ，当12S S -取得最大值时，求12S S +的值.21.（本题满分12分）已知函数()214ln .xf x x-=（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意的121,,x x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，且12x x ≠，不等式()()12221212f x f x kx x x x -≤-⋅恒成立，求实数k 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

武汉市2024届高中毕业生四月调研考试数学试卷参考答案及评分标准填空题：12. 1213.14.解答题：15.（13分）解： （1）由题意，cos cos sin 3sin sin C A C B A=−，得：3sin cos sin cos cos sin B C A C A C −=.所以3sin cos sin cos cos sin sin()B C A C A C A C =+=+.又sin()sin()sin A C B B π+=−=，且sin 0B ≠，所以1cos 3C =.由sin 0C >，故sin C ==. …………6分（2）1sin 2S ab C ==15ab =.由余弦定理，222222cos 10c a b ab C a b =+−=+−. 又22226()6()180c a b a b =−=+−.联立得：2234a b +=，c =8a b +==.所以ABC ∆的周长为8a b c ++=+.…………13分16.（15分）解：（1）1a =−时，2()ln f x x x x =++，1'()12f x x x=++.'(1)4f =，(1)2f =.所求切线方程为4(1)2y x =−+，整理得：42y x =−.…………5分（2）2121'()2x ax f x a x x x−+=−+=. 因为0x >，故0a ≤时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上递增.当0a >时，对于221y x ax =−+，28a ∆=−.若0a <≤0∆≤，此时'()0f x ≥，()f x 在(0,)+∞上递增.若a >2210x ax −+=，得0x =>.0x <<时，'()0f x >，()f x 递增；x >'()0f x >，()f x 递增；x <<'()0f x <，()f x 递减；综上所述：a ≤()f x 在(0,)+∞上递增；a >()f x 在上递增，在上递减，在)+∞上递增， …………15分17.（15分）解：（1）连接,DA EA ，11DA =，12AA =，160DA A ∠=︒，2212212cos 603DE =+−⋅⋅⋅︒=.满足22211DA DA AA +=，所以1DA DA ⊥，即DA AB ⊥.平面11ABB A ⊥平面ABC ，且交线为AB ，由DA AB ⊥，得DA ⊥平面ABC . 由BC ⊂平面ABC ，得DA BC ⊥，又DE BC ⊥，且DA DE D =，所以BC ⊥平面DAE .由AE ⊂平面DAE ，得BC AE ⊥.设,3BE t CE t ==，有2222(3)BA t AC t −=−，解得：1t =.所以4BC =，满足222BA AC BC +=，即AC AB ⊥，所以AC ⊥平面11ABB A . 由1BB ⊂平面11ABB A ，得1AC BB ⊥.…………8分（2）以A 为坐标原点，,,AB AC AD 为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系. (0,0,3)D ，33(,,0)22E ，1(1,0,3)A −，1(1,0,0)DA =−，135(,,3)22EA =−−.设平面1DEA 的法向量(,,)n x y z =，由1100n DA n EA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0353022x x y z −=⎧⎪⎨−−+=⎪⎩，取1z =，得到平面PBD 的一个法向量(0,2,1)n =.又11(1,0,3)BB AA ==−，设直线1与平面1所成角的大小为， 则11||315sin |cos ,|||||54n BB n BB n BB θ⋅=<>===⋅⋅所以直线1BB 与平面1DEA 所成角的正弦值为1510.…………15分18.（17分）解：（1）设1122(,),(,),(,)P P A x y B x y P x y . 由2y x =，得'2y x =，所以1l 方程为：1112()y x x x y =−+，整理得：2112y x x x =−. 同理，2l 方程为：2222y x x x =−.联立得：122P x x x +=，12P y x x =. 设直线AB 的方程为(1)2y k x =−+，与抛物线方程联立得：220x kx k −+−=故12x x k +=，122x x k =−，所以2P k x =，2P y k =−，有22P P y x =−.所以点P 在定直线22y x =−上. …………6分（2）在12,l l 的方程中，令0y =，得12(,0),(,0)22x xM N ， 所以PMN ∆面积121211|||||()|24P S MN y x x x x =⋅=−= 故221212()()32x x x x −=，带入可得：22(48)(44)32k k k k −+−+=.22[(2)8][(2)4]0k k −+−−=，解得：0k =或4k =.所以点P 的坐标为(0,2)−或(2,2).…………11分（3）抛物线焦点1(0,)4F ，由1(,0)2xM 得直线MF 斜率1112MF MPk x k =−=−，所以MF MP ⊥，同理NF NP ⊥，所以PF 是PMN ∆外接圆的直径. 若点T 也在该圆上，则TF TP ⊥. 由74TF k =，得直线TP 的方程为：4(1)27y x =−−+.又点P 在定直线22y x =−上，联立两直线方程，解得点P 的坐标为1614(,)99.…………17分19.（17分）解：（1）1()(1)k P X k p p −==−， 1211(1)[12(1)3(1)...(1)]nk n k k p p p p p n p −−=−=+−+−++−∑，记2112(1)3(1) (1)n n S p p n p −=+−+−++−，则21(1)(1)2(1)...(1)(1)(1)n n n p S p p n p n p −−=−+−++−−+−，相减得：211(1)(1)...(1)(1)n n n pS p p p n p −=+−+−++−−−1(1)1(1)(1)(1)1(1)n n n n p p n p n p p p−−−−=−−=−−−−由题意：1(1)1()lim()lim[(1)]nn n n n p E X pS n p p p→∞→∞−−==−−=.…………5分（2）（i ）2222(1)(1)2(1)(2)E p E p p p E =−⋅++⋅+−⋅+.解得：221pE p+=. …………8分 （ii ）期待在1n E −次试验后，首次出现连续(1)n −次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为1(1)n E −+；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是n E ，此时总的试验次数为1(1)n n E E −++.即11(1)(1)(1)n n n n E p E p E E −−=⋅++−⋅++.整理得：11(1)n n E E p−=+，即1111()11n n E E p p p −+=+−−.所以11111()11n n E E p pp −+=+−−. 由（1）知11E p=，代入得：1(1)nn np E p p−=−.…………17分。

湖北省武汉市2020-2021学年高三毕业生四月调研测试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知平面向量()4,2a →=，(),3b x →=，//a b →→，则实数x 的值等于（ ） A ．6B ．1C ．32D ．32-2．已知函数()sin(2)4f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4g x x π=+的图象，则ϕ的最小值为（ ） A ．4πB ．38π C ．2π D ．58π 3．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i4．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．y =C ．2y x =±D ．y =5．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π6．35(1)(2)x y --的展开式中，满足2m n +=的m n x y 的系数之和为（ ） A ．640B ．416C ．406D ．236-7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．1638．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥9．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1010．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位 11．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ） A ．33-B ．3C ．33- D ．3212．如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30的方向上，再开回C 处，由C 向西开26百海里到达D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则A 、B 两座岛屿间的距离为（ ）A ．3B ．32C ．4D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。