小学五年级奥数经典题
- 格式:doc
- 大小:854.50 KB
- 文档页数:32
几何竞赛题的特殊解法
几何形体知识是小学数学的重要内容,对常规的几何题学生比较容易解答,但是对有一定难度的竞赛题,指导学生解题时,要引导学生认真地观察图形的形状、位置,抓住图形的主要特征,选择适当的方法进行分析,思考,从而找出解决问题的途径。
一、等量代换法
例1 如图1,已知三角形ABC的面积为56平方厘米,是平行四边形DEFC的2倍。求阴影部分的面积。
分析从所给的条件来看,不知道△ADE任何一条边及其所对应的高,因此很难直接求出△ADE的面积。只能从已知面积的部分与所求图形面积之间的关系来着手分析。由题意可知四边形DEFC为平行四边形,所以连接E、C点,△DEC的面积为平行四边形面积的一半。根据同底等高的三角形面积相等,可知△AED与△DEC的面积相等,而△DEC的面积等于平行四边形面积的一半,因此,△ADE的面积也等于平行四边形面积的一半。问题即可解决。
列式:56÷2÷2=14(平方厘米)
二、转化法
例2 如图2,四边形ABCD为长方形,BC=15厘米,CD=8厘米,三角形AFB的面积比三角形DEF的面积大30平方厘米,求DE的长。
如图2,四边形ABCD为长方形,BC=15厘米,CD=8厘米,三角形AFB的面积比三角形D EF的面积大30平方厘米,求DE的长。
(第三届小学生数学报竞赛决赛题)
分析把三角形ABF和三角形DEF分别加上四边形BCDF,那么它们分别转化成长方形AB CD和三角形BCE。根据三角形ABF比三角形DEF的面积大30平方厘米,把它们分别加上四边形BCDF后,即转化成长方形ABCD比三角形BCF的面积大30平方厘米。先求出三角形BC E的面积,根据三角形的面积和BC的长度,求出CE的长度,DE的长度即可求出。列式:(1 5×8-30)×2÷15-8=4(平方厘米)
三、假设法
例3 图3中长方形的面积为35平方厘米,左边直角三角形的面积为5平方厘米,右上角三角形的面积为7平方厘米,那么中间三角形(阴影部分)的面积是____平方厘米。
(1996年小学数学奥林匹克竞赛初赛B卷题)
分析因为长方形的面积为35平方厘米,不妨假设AB=5厘米,AD=7厘米,因为S△ABE =5平方厘米,所以BE=5×2÷5=2厘米,EC=7-2=5厘米,同理:DF=7×2÷5=2厘米,CF=5-2=3厘米,那么S△ECF=5×3÷2=7.5厘米,阴影部分面积即可求出。列式:35-(7+5+7.5)= 15.5(平方厘米)
四、巧用性质
例4 如图4,三角形ABC是直角三角形,已知阴影(Ⅰ)的面积比阴影(Ⅱ)的面积小23平方厘米,BC的长度是多少?(π=3.14)
(北京市第三届迎春杯数学竞赛试题)
分析此题初看似乎无法解答,因为阴影部分(Ⅰ)、(Ⅱ)都是不规则图形,但仔细观察,不难看出,阴影(Ⅰ)是半圆的一部分,阴影(Ⅱ)是三角形ABC的一部分,根据“差不变的性质”可以把(Ⅰ)和(Ⅱ)分别加(Ⅲ),分别得到半圆和△ABC,它们的面积差不变,这样就可以求出三角
×
2÷20=18(厘米)
五、参数法
例5 将图5(a)中的三角形纸片沿着虚线折叠的粗实图形面积(图b)与原三角形的面积比为2∶3,已知图(b)中三个画阴影的三角形面积之和为1,那么重叠部分的面积为______。
(1988年北京市小学数学邀请赛复赛题)
分析图b中重叠部分是不规则的四边形,很难直接求出它的面积。从图b中可以观察阴影部分面积加上空白部分面积的2倍等于原三角形的面积,实线部分的面积应为空白部分面积加上1,根据这一等量关系可以列方程。设空白部分面积为x,(x+1)∶(2x+1)=2∶3,x= 1。
六、用比例解
例6 如图6,四边形ABCD被AC和BD分成甲、乙、丙、丁四部分,已知BE=60厘米,C E=40厘米,DE=30厘米,AE=80厘米。问丙、丁两个三角形的面积之和是甲、乙两个三角形的面积之和多少倍?(第三届华罗庚金杯赛决赛题)
分析从图中可以看出甲、丁都在△ADC中,所以两个三角形的高相等,乙和丁都在△AB C中,所以两个三角形的高也相等。根据高相等的两个三角形的面积比等于底边长之比,那么:
S甲∶S丁=AE∶EC=80∶40=2∶1S甲=2S丁
S乙∶S丁=BE∶DE=60∶30=2∶1S乙=2S丁
S甲+S乙=4S丁
S丙∶S甲=BE∶DE=60∶30=2∶1S丙=2S甲=4S丁
所以,(S丙+S丁)∶(S甲+S乙)
=(4S丁+S丁)∶(S甲+S乙)=5S丁÷4S丁
合理摘录巧妙推导
解答应用题要讲究方法,方法对头就能事半功倍。小学生抽象思维能力较差,往往不易弄清题中条件间的关系,条件与问题的联系,引导学生合理摘录题中数据进行分析,巧妙进行推导,就容易解决题中问题。
例1 把一些图书分给六年级一班的男同学,平均分给每个男同学若干本后,还剩14本,如果每人分9本,这样最后一个男同学只能得6本,六(1)班的男生有( )人。
分析我们将题中的条件和问题组成的主要数量关系用式子摘录如下:
为了书写简便,我们用题中的关键字“书”和“男”分别表示“图书总数”和“男同学人数”,用□表示不知道的量。
从上面的两个数量关系式中找不到解题的突破口。不妨将两式变化,如下:
从这两个式子得到:
□×男+14=9×男-3
(9-□)×男=17
“9-□”得到的是图书的本数,应该是整数,“男”也必须是整数,而且不能为“1”。而17=17×1,因此“男”只能为17。六(1)班的男生为17人。
例2 有人沿公路前进,对面来了一辆汽车,他问司机:“后面有自行车吗?”司机答道:“10分钟前我超过一辆自行车。”这个人继续走10分钟,遇到自行车。已知自行车速度是步行速度的3倍,问汽车速度是步行速度的( )倍。
分析这是一道行程问题,用线段图摘录题中条件,表示各数量间关系比较合适。摘录如下:
已知自行车的速度是步行的3倍,则在相同的时间里,自行车行的路程是步行的3倍。如果将步行10分钟的路程看作1倍的量,那么自行车10分钟行的路程为3倍的量。在线段图中标出这些倍数,观察线段图可知汽车10分钟行的路程为7倍的量。因此,汽车10分钟行的路程是步行路程的7倍,则汽车的速度是步行速度的7倍。
例3 一辆汽车从甲地开往乙地,如果把车速提高25%,可以比原定时
10分到达乙地。那么甲乙两地相距( )千米。
分析题中给的数量较多,而且数量间的关系不明显。我们根据“速度×时间=路程”这个关系式列表分析推导如下:
速度× 时间 = 路程
原来 1 1 1
变化一1+25% ① 1
根据表中变化一可求出①,即现在所用时间为原时间的1÷(1+25%)
而变化二实际只提前10分,相差(30-10=)20(分),这是“将速度
千米所用时间为:
原速度为:80÷80=1(千米)
甲乙两地相距为:1×120=120(千米)