中高三一轮复习——直线参数方程t 的几何意义专题研究
一、求直线上点的坐标
例1．一个小虫从P （1，2）出发，已知它在 x 轴方向的分速度是−3，在y 轴方向的分速度是4，问小虫3s 后的位置Q 。
分析：考虑t 的实际意义，可用直线的参数方程⎩⎨⎧x = x 0 +at ，y = y 0 +bt
(t 是参数)。 解：由题意知则直线PQ 的方程是⎩⎨⎧x = 1 − 3 t ，y = 2 + 4 t
，其中时间t 是参数，将t =3s 代入得Q （−8，12）。
例2．求点A （−1，−2）关于直线l ：2x −3y +1 =0的对称点A ' 的坐标。
解：由条件，设直线AA ' 的参数方程为 ⎩
⎨⎧x = −1 − 213 t ，y = −2 + 313 t (t 是参数)， ∵A 到直线l 的距离d =
513， ∴ t = AA ' = 1013，代入直线的参数方程得A ' (− 3313，413
)。 二、求解中点问题
例3．已知双曲线 x 2 − y 2
2
= 1，过点P （2，1）的直线交双曲线于P 1，P 2，求线段P 1P 2的中点M 的轨迹方程。
分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t 1 +t 2=0。
解：设M (x 0，y 0)为轨迹上任一点，则直线P 1P 2的方程是⎩⎨⎧x = x 0 +t cos θ，y = y 0 +t sin θ
(t 是参数)，代入双曲线方程得：(2cos 2θ −sin 2θ) t 2 +2(2x 0cos θ −y 0sin θ)t + (2x 02 −y 02 −2) = 0， 由题意t 1 +t 2=0，即2x 0cos θ −y 0sin θ =0，得tan θ = 2x 0y 0
。 又直线P 1P 2的斜率 k = tan θ = y −y 0x −x 0
，点P （2，1）在直线P 1P 2上，
∴1 −y 02 −x 0 = 2x 0y 0
，即2x 2 −y 2 −4x +y = 0为所求的轨迹的方程。 三、求定点到动点的距离
例4．直线l 过点P (1，2)，其参数方程为⎩⎨⎧x =1 −t ，y =2 +t
(t 是参数)，直线l 与直线 2x +y −2 =0 交于点Q ，求PQ 。
解：将直线l 的方程化为标准形式⎩⎨⎧x =1 −22t '，y =2 + 22t '
，代入 2x +y −2 =0得 t ' = 322， ∴ PQ = | t '| = 322
。 例5．经过点P (−1，2)，倾斜角为 π4
的直线 l 与圆 x 2 +y 2 = 9相交于A ，B 两点，求P A +PB 和P A · PB 的值。
解：直线l 的方程可写成⎩⎨⎧x = −1 + 22 t ，y =2 + 22 t ，代入圆的方程整理得：t 2 +2t −4=0，设
点A ，B 对应的参数分别是t 1 ，t 2，则t 1 +t 2 = −2，t 1 ·t 2 = −4，由t 1 与t 2的符号相反知P A +PB = |t 1| +|t 2| = | t 1 −t 2| = (t 1 +t 2)2−4 t 1 ·t 2 = 32，P A · PB =| t 1 · t 2 | = 4。
点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。
四、求直线与曲线相交弦的长
例6．已知抛物线y 2 = 2px ，过焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A ，B 两点，求证：AB = 2p sin 2 θ
。 分析：弦长AB = |t 1 −t 2|。
解：由条件可设AB 的方程为⎩⎨⎧x = p 2 +t cos θ，y = t sin θ
(t 是参数)，代入抛物线方程，得 t 2 sin 2
θ −2pt cos θ −p 2 = 0，由韦达定理：⎩
⎨⎧t 1 +t 2 = 2p cos θsin 2 θ ，t 1·t 2 = − p 2
sin 2 θ，∴ AB = |t 1 −t 2| = (t 1 −t 2)2 −4 t 1· t 2 = 4p 2cos 2θsin 4θ +4p 2sin 2θ = 2p sin 2θ
。 例7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，过椭圆左焦点F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于A ，B 两点，若F A =2FB ，求则椭圆的离心率。
分析：F A =2FB 转化成直线参数方程中的 t 1= −2t 2或|t 1| =2|t 2|。
解：设椭圆方程为 x 2a 2 + y 2
b
2 = 1，左焦点F 1（c ，0），直线AB 的方程为⎩⎨⎧x = −c + 12 t ，y = 32
t ，代入椭圆整理可得：(14b 2 +34a 2)t 2 − b 2ct −b 4 = 0，由于t 1= −2t 2，则 ⎩⎨⎧t 1 +t 2 = b 2c 14b 2 +34a 2 = − t 2 ①，t 1·t 2 = −−b 414b 2 +34
a 2 = −2 t 22 ②，①2×2+②得：2c 2 = 14
b 2 +34 a 2，将b 2 =a 2 −
c 2代入， 8 c 2 = 3 a 2 + a 2 −c 2，得 e 2 = c 2a 2 =49，故e = 23。 在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时，往往要正确写出直线的参数方程，利用 t 的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量 t 来表示，可以将二元问题转化为一元问题来求解，体现了等价转化和数形结合的数学思想。
