高中数学 2.1第15课时 指数函数及其性质的应用课件 新人教A版必修1

2．复合函数y＝af(x)单调性的确定： 当a>1时，单调区间与f(x)的单调区间相同； 当0<a<1时，f(x)的单调增区间是y的单调 减区间．f(x)的单调减 区间是y的单调增区间．
2021/3/6
研修班
2
1．复合函数y＝af(x)的单调性应注意哪些问题？ 【提示】 复合函数y＝af(x)单调性的判定需注意： (1)函数定义域； (2)底数a的大小． 2．解含参数的指数不等式应注意哪些问题？ 【提示】 解含参数的指数不等式应注意底数的分类讨论．
2021/3/6
研修班
13
解af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的 一般步骤为
2021/3/6
研修班
14
3.设 3－5x>31x＋6，则 x 的取值范围是什么？
【解析】 ∵3－5x>31x＋6， ∴135x>31x＋6， ∴5x<x＋6，
∴x<32.
∴x 的取值范围是{x|x<32}．
2021/3/6
研修班
12
如果a2x＋3≥ax－1(a>0且a≠1)，求x的取值范围． 【思路点拨】 讨论a的取值―→得关于x的不等式―→解不等式 求x范围． 【解析】 (1)当0<a<1时，∵a2x＋3≥ax－1， ∴2x＋3≤x－1，解得x≤－4， (2)当a>1时，∵a2x＋3≥ax－1， ∴2x＋3≥x－1，∴x≥－4. 综上所述， 当0<a<1时，x的取值范围是{x|x≤－4}， 当a>1时，x的取值范围是{x|x≥－4}．
2021/3/6
研修班
11
2.求函数y＝22x－x2的单调区间． 【解析】 由题意得，函数的定义域是R， 令u＝2x－x2，则y＝2u， ∵u＝2x－x2＝－(x－1)2＋1在(－∞，1]上是增函数， y＝2u在定义域上是增函数， ∴函数y＝22x－x2在(－∞，1]上是增函数； 又u＝－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数， y＝2u在定义域上是增函数， ∴y＝22x－x2在[1，＋∞)上是减函数， ∴函数y＝22x－x2的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[1，＋∞)．

函数 y＝(2a2－3a＋2)·x 是指数函数，求 a 的值． a
[解析] y ＝ (2a2 － 3a ＋ 2)·x 是 指 数 函 数 ， 则 有 a
2a2－3a＋2＝1， a>0且a≠1，
1 ∴a＝ . 2
2
利用指数函数的性质比较大小
学法指导：比较幂大小的方法 (1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可 以利用指数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利 用指数函数的图象的变化规律来判断． (3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通 过中间值来比较．
－
＋
(5)比较大小，用“<”或“>”连接下列每组中的两个数． ①3
－2
<3
＋1
－1
12 ②23
a＋2;
<
－
11 2 2
；
－2.8
③0.4a
> 0.4
④1.1a 3 > 1.1a
⑤0.2－4 > 0.4－4.
2 2 (6)已知3a>3b，则
1 1 (3)当a<0时，n并不能取任意实数，如n＝ 2 ， 4
时an
没有意义；
(4)当a＝0时，n取 零或负数 没有意义． (5)实数幂的运算性质：ar·s＝ar a
＋s
ar ar－s；(ab)r＝ ；as＝
arbr ；其中a>0，b>0，r、s∈R.
2．如果y＝f(x)在D上是增函数，则对任意x1，x2∈D且 x1<x2，有f(x1) < (填“>”、“<”或“＝”)f(x2)，y＝f(x)的图象从 左至右逐渐 上升 (填“上升”或“下降”)．

帮助做一个资金投资方案,使该经营者能获得最大纯利润,
并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结
果保留两位有效数字).
解:以投入额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中作出散
点图,如图所示(图①为 A 商品,图②为 B 商品).
①
②
由散点图可以看出,A 种商品所获纯利润 y 与投入额 x 之间的变化规
较为接近,
所以用 g(x)= ×( )x-3 作为模拟函数较好.
方法规律
选择函数模型的标准
函数模型的优劣,一般可用其他数据进行验证,若差
距较小,则说明选择正确,主要考查数学抽象、数学建模
的核心素养.
【跟踪训练】
4.某农产品从 5 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得
到该农产品种植成本 Q(单位:元/百千克)与上市时间 t(单
据如下表:
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y -0.99 0.01 0.98
则对 x,y 最适合的拟合函数是 (
A.y=2x
B.y=x2-1
C.y=2x-2
D.y=log2x
2.00
)
解析:将x=0.50,y=-0.99代入计算可以排除选项A.
将x=2.01,y=0.98代入计算可以排除选项B,C,故选D.
所以
x
g(x)= ×( ) -3.

利用 f(x),g(x)对 2019 年的 CO2 浓度比 2015 年增加的
单位数作估算,
则其数值分别为 f(4)=10,g(4)=10.5.
因为|f(4)-12|>|g(4)-12|,
故 g(x)= ×( )x-3 作为模拟函数与 2019 年的实际数据

2.1.2指数函数及其性质课外拓展复合函数的概念及其性质一、复合函数的概念函数y=f（u)的概念域为集合B，函数u=g（x)的概念域为集合A，值域为集合D.若是D⊆B，那么关于A中每一个x值，通过中间变量u，y都有唯一的值与之对应.如此，y是x的函数，记作y=f（g（x)).那个函数是由y=f（u)，u=g（x)复合而成的函数，咱们把它叫做复合函数，其中y=f（u)叫做外层函数，u=g（x)叫做内层函数.例如，函数f(f)=3f2+2f+1是由函数f(f)=3f，f(f)=f2+2x+1复合而成的.其中，f(f)=3f是外层函数，f(f)=f2+2x+1是内层函数.注意：1.复合函数y=f（g（x))的第二种表示法是y=f（u)，u=g（x)；2.复合函数y=f（g（x))的概念域是使y=f（u)和u=g（x)同时都成心义的x值组成的集合；3.在复合函数y=f（g（x))中，外层函数的概念域确实是内层函数的值域,因为外层函数y=f（u)中u的取值不仅要使y=f（u)成心义，而且必需是内层函数u=g（x)的函数值.二、复合函数的概念域例1已知函数f（x)的概念域为（1，2］，求函数y=f（x+1)的概念域.分析：由已知函数的概念域，求复合函数的概念域，只需将所求式中括号内的式子看成已知式中的x，再解不等式，求其概念域.解：由1<x+1≤2，得0<x≤1.因此函数y=f（x+1)的概念域是{x|0<x≤1}.例2已知函数y=f（1-x)的概念域为（1，2］，求函数f（x)的概念域.分析：由复合函数的概念域求原先函数的概念域，只要依照x的范围确信复合函数中间变量的范围即可.解：设u=1-x，则由1<x≤2，得-2≤-x<-1，-1≤1-x<0，即-1≤u<0，因此函数f（x)的概念域是［-1，0).三、确信复合函数的值域求解复合函数y=f（g（x))的值域，第一要在函数的概念域上求出函数u=g（x)的值域，以确信函数y=f（x)的概念域，再求出函数y=f（x)的值域（关于双重以上的复合函数仍按此法依次进行).例3求函数f=3f2−2f的值域.解：设f=f2-2x，则f=3f，f=f2−2f=(f−1)2-1≥-1，，因此f=3f≥3−1=13因此函数f=3f2−2f的值域是 [1，+∞) .3四、复合函数的单调性设函数u=g（x)在区间M上有概念，又函数y=f（u)在区间N上有概念，且x∈M，g（x)∈N.1.若函数u=g（x)在区间M上是增函数，函数y=f（u)在区间N上是增函数，则y=f（g（x))在区间M上是增函数；2.若函数u=g（x)在区间M上是增函数，函数y=f（u)在区间N上是减函数，则y=f（g（x))在区间M上是减函数；3.若函数u=g（x)在区间M上是减函数，函数y=f（u)在区间N上是增函数，则y=f（g（x))在区间M上是减函数；4.若函数u=g（x)在区间M上是减函数，函数y=f（u)在区间N上是减函数，则y=f（g（x))在区间M上是增函数.规律：复合函数单调性依y=f（u)，u=g（x)的单调性决定.即“增增得增，减减得增，增减得减”，能够简化为“同增异减”.判定复合函数的单调性的步骤如下：（1)求复合函数的概念域；（2)将复合函数分解为若干个经常使用函数（一次函数、二次函数、指数函数等)；（3)判定每一个经常使用函数的单调性；（4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；（5)求出复合函数的单调性.例4求函数f=0.21−f2的单调区间.解：设f=1−f2，则f=0.2f，函数f=1−f2在区间（-∞，0］上为增函数，在［0，+∞)上为减函数，而函数f=0.2f在（-∞，+∞)上为减函数，依照复合函数单调性的判定规律：同增异减，可知，函数f=0.21−f2在区间（-∞，0］上为减函数，在［0，+∞)上为增函数.指数式大小比较四法一、单调性法例1比较90.2与(13)−1.1的大小.解：∵90.2=30.4，(13)−1.1=31.1，又<，且函数f=3f在（-∞，+∞)上是增函数，∴30.4<31.1，即90.2< (13)−1.1.二、中间量法例2比较1.80.5与0.83.2的大小.解：∵1.80.5>1.80=1，0.83.2<0.80=1，∴1.80.5>0.83.2.点评：中间量法是指利用性质不易比较时，运用0，1等中间量进行比较，从而使问题获解.三、分类讨论法例3比较f2f2+1与f f2+2（a>0，且a≠1)的大小.分析：解答此题既要讨论幂指数2f2+1与f2+2的大小关系，又要讨论底数a与1的大小关系.解：（1)令2f2+1>f2+2，得x>1或x<-1.当a>1时，若2f2+1>f2+2，从而有f2f2+1>f f2+2；当0<a<1时，则有f2f2+1<f f2+2.（2)令2f2+1=f2+2，得x=±1，则有f2f2+1=f f2+2.（3)令2f2+1<f2+2，得-1<x<1.当a>1时，若2f2+1<f2+2，从而有f2f2+1<f f2+2；当0<a<1时，则有f2f2+1>f f2+2.点评：分类讨论是一种重要的数学方式，运用分类讨论法时，第一要确信分类的标准，涉及指数函数问题时，通常将底数与1的大小关系作为分类标准.四、比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理别离为：①若A-B>0⇔A>B,A-B<0⇔A<B,A-B=0⇔A=B；②在两个式子均为正值的情形下，可用作商法，判定ff >1或ff<1即可.例4若0<b<a<1，c>0，试比较f ff与f ff的大小.解：∵0<b<a<1，∴f f>0，f f>0.∴f fff ff =(f ff f)f.又0<b<a<1，则f f>f f，f f>0，∴f ff f >f ff f= (ff)f>1.又c>0，∴ (f ff f )f>1，即f ff>f ff.。