高中数学人教A版选修4-1章末综合测评1 Word版含解析

图 10
A．1
2 B. 2
C. 3－1
D. 2
【解析】 如图，过点 B 作 BB′⊥MN，交⊙O 于点
B′，连接 AB′交 MN 于点 P′，即点 P 在点 P′处时， AP＋BP 最小．
易知 B 与 B′点关于 MN 对称，
依题意∠AON＝60°，
则∠B′ON＝∠BON＝30°，
所以∠AOB′＝90°， AB′＝ OA2＋OB′2＝ 2. 故 PA＋PB 的最小值为 2，故选 D.
B．4
C．6
D．8
【解析】 ∵AT 为⊙O 的切线，
∴AT2＝AD·AC.
∵AT＝6，AD＝4，∴AC＝9.
∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，
∴△EAD∽△CAB，
DE AE
DE·AC 2 × 9
即BC＝AC，∴BC＝ AE ＝ 3 ＝6.
【答案】 C
10．如图 9，圆内接△ABC 的外角∠ACH 的平分线与圆交于 D 点，
【答案】 A
6．如图 5，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙I 是△ABC 的内切圆，
∠A＝80°，则∠BIC 等于( )
A．80° C．120° 【解析】 ∵∠A＝80°，
图5 B．100° D．130°
∴∠ABC＋∠ACB＝100°.
1
1
∵∠IBC＝2∠ABC，∠ICB＝2∠ACB，
1 ∴∠IBC＋∠ICB＝2(∠ABC＋∠ACB)＝50°，
APD≌Rt△BHD，得 AP＝BH，③成立；对于④，不能判定 DH 是圆的切线， 故应选 .
【答案】 D 11.如图 10，在⊙O 中，MN 为直径，点 A 在⊙O 上，且∠AON＝60°，点 B 是 的中点，点 P 是直径 MN 上一动点，⊙O 的半径为 1，则 AP＋BP 的最 小值为( )

课堂导学三点剖析一、弦切角定理【例】如图、切⊙于、,∠°,则∠等于()图°°°°思路分析：连结,∠与∠分别处于两个三角形,它们之间的联系途径就是弦切角. 解:连结.∵是弦、切圆于、,∴∠∠,∠∠.∴∠∠.在△中,∠(°∠)°,∴∠∠°.答案二、弦切角定理综合运用【例】如图切⊙于是⊙的割线,在上截取,求证:∠∠.图证明：∵,∴∠∠.∵∠∠∠,∠∠∠,∴∠∠∠∠.又∵切⊙于为弦,∴∠∠.∴∠∠.三、本节数学思想选讲【例】如图,已知为⊙直径为延长线上一动点,过点作⊙的切线,设切点为.()请你连结,作∠的平分线,交于点,测量∠的度数.()当在延长线上运动时,∠的度数作何变化?请你猜想,并证明.图解析:()作图,并测量,∠°.()∠不随在延长线上的位置变化而变化,即∠°是一个定值.证明:连结交于,∵∠是△的外角,∴∠∠∠.同理,∠∠∠.但∠∠.又∵是弦与⊙切于,∴∠∠.∴∠∠.∴.∵是直径,∴∠°.∴△是等腰直角三角形.∴∠°.各个击破类题演练如图,△为⊙的内接三角形为直径为延长线上一点切⊙于点,∠°,则∠等于()图°°°°解析:∵是直径,∴∠°.∴∠∠°,∠∠°.∵是切线为弦,∴∠∠.∴∠∠°.答案类题演练如图⊥直径为⊙切线为切点,求证:∠∠.图证明:连结,∵是直径,∴∠°.∴∠∠°.∵⊥,∴∠°.∴∠∠°.∴∠∠.又∵切⊙于是弦,∴∠∠.∴∠∠.类题演练在△中,∠的平分线与△的外接圆相交于,过作圆的切线.求证∥.。

章末综合测评(四)框图(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．要描述一工厂某产品的生产工艺，应用()A．程序框图B．工序流程图C．知识结构图D．组织结构图【解析】这是设计生产过程，应为工序流程图，选B.【答案】 B2．在下面的图示中，是结构图的是()A.Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→得到一个明显成立的条件C.D.【解析】A是流程图；C是图表；D是图示；B是知识结构图．【答案】 BA．图象变换B．奇偶性C．对称性D．解析式【解析】函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等，故选B.【答案】 B4．阅读如图2所示的知识结构图：图2“求简单函数的导数”的“上位”要素有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【解析】 “上位”要素有“基本导数公式”“函数四则运算求导法则”“复合函数求导法则”共3个．【答案】 C5．(2015·湖南高考)执行如图3所示的程序框图，如果输入n ＝3，则输出的S ＝( )图3A.67B.37C.89 D.49【解析】第一次循环：S＝11×3，i＝2；第二次循环：S＝11×3＋13×5，i＝3；第三次循环：S＝11×3＋13×5＋15×7，i＝4，满足循环条件，结束循环．故输出S＝11×3＋13×5＋15×7＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＝37，故选B.【答案】 B6．学校教职成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师的结构图正确的是()【解析】由学校教职工组织结构易知选A.【答案】 A7．(2015·重庆高考)执行如图4所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )图4A ．s ≤34B ．s ≤56 C ．s ≤1112D ．s ≤2524【解析】 由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出k ＝8，所以应填s ≤1112.【答案】 C8．(2016·锦州高二检测)如图5是“向量的线性运算”知识结构图，如果要加入“三角形法则”和“平行四边形法则”，应该放在( )【导学号：19220067】A．“向量的加减法”中“运算法则”的下位B．“向量的加减法”中“运算律”的下位C．“向量的数乘”中“运算法则”的下位D．“向量的数乘”中“运算律”的下位【解析】因为“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，故应该放在“向量的加减法”中“运算法则”的下位．【答案】 A9．(2014·湖南高考)执行如图6所示的程序框图，如果输入的t∈[－2,2]，则输出的S属于()图6A．[－6，－2]B．[－5，－1]C．[－4,5]D．[－3,6]【解析】由程序框图知，当0≤t≤2时，输出S＝t－3，此时S∈[－3，－1]；当－2≤t<0时，执行t＝2t2＋1后1<t≤9，执行1<t≤9时，输出S＝t－3，此时S∈(－2，6]．综上，输出S的值属于[－3,6]．【答案】 D10．如图7所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是()图7A．设备安装B．土建设计C．厂房土建D．工程设计【解析】结合工序流程图可知，设备采购的下一道工序是设备安装．【答案】 A11．执行如图8所示的程序框图，若输入x＝9，则输出y＝()图8A.113B.49C.299D.43【解析】 x ＝9时，y ＝93＋2＝5，|y －x |＝|5－9|＝4＜1不成立；x ＝5，y ＝53＋2＝113，|y －x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪113－5＝43＜1不成立；x ＝113，y ＝119＋2＝299，|y －x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪299－113＝49＜1成立，输出y ＝299.【答案】 C12．阅读下面程序框图，如果输出的函数值在区间内⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，那么输入实数x 的取值范围是( )【导学号：19220068】图9A ．(－∞，－2]B ．[－2，－1]C ．[－1,2]D ．[2，＋∞)【解析】 若输出f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，则x ∈[－2，－1]．【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．) 13．在组织结构图中，一般采用________形结构绘制，它直观、容易理解，被应用于很多领域．【解析】 组织结构图一般采用“树”形结构． 【答案】 “树”14．如图10为有关函数的结构图，由图我们可以知道基本初等函数包括________．图10【解析】 基本初等函数包括指数函数、对数函数、幂函数三种． 【答案】 指数函数、对数函数、幂函数15．某工程由A ，B ，C ，D 四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A ，B 可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B ，C 完成后，D 可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C 需要的天数最大是________.【导学号：19220069】【解析】由题意可画出工序流程图如图所示：∴2＋x＋4≤9，∴x≤3.【答案】 316．(2014·山东高考)执行如图11所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为________．图11【解析】由x2－4x＋3≤0，解得1≤x≤3.当x＝1时，满足1≤x≤3，所以x＝1＋1＝2，n＝0＋1＝1；当x＝2时，满足1≤x≤3，所以x＝2＋1＝3，n＝1＋1＝2；当x＝3时，满足1≤x≤3，所以x＝3＋1＝4，n＝2＋1＝3；当x＝4时，不满足1≤x≤3，所以输出n＝3.【答案】 3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)画出求平方值小于2 000的最大整数的程序框图．【解】如图：18．(本小题满分12分)某公司局域网设置如下：经理室、市场部、销售部、客户服务部、系统管理员通过服务器与外部连接．试画出该公司局域网设置的结构图．【解】该公司局域网设置的结构图如图所示．19．(本小题满分12分)写出《数学3(必修)》第2章“统计”的知识结构图．【解】20．(本小题满分12分)阅读如图12所示的结构图：图12试根据此结构图阐述“圆锥曲线与方程”知识的逻辑关系．【解】先由椭圆的实际背景引出椭圆的定义，用坐标法由定义推导出椭圆的标准方程和简单几何性质，然后是椭圆的简单应用．再由双曲线的实际背景引出双曲线的定义，用坐标法由定义推导出双曲线的标准方程和简单几何性质，然后是双曲线的简单应用．最后由抛物线的实际背景引出抛物线的定义，用坐标法由定义推导出抛物线的标准方程和简单几何性质，然后是抛物线的简单应用．21．(本小题满分12分)在选举过程中常用差额选举(候选人数多于当选人数)，某班选举班长，具体方法是：筹备选举，由班主任提名候选人，同学投票(同意，不同意，弃权)，验票统计．若有得票多者，则选为班长，若票数相同由班主任决定谁当选，请用流程图表示该选举过程．【解】选举过程流程图为：22．(本小题满分12分)某公司组织结构中的部门及关系有：股东大会为一切政策制订和计划实施的最终审批机构，其下有董事会为其负责，监事会为董事会提供顾问和决策建议，董事会下设总经理管理日常工作，总经理直接领导综合办公室的工作，由综合办公室再去管理其他各部门的工作，有职能管理部门，管理人力企划部、计财部、监察审计部，市场营销部门又下辖市场开拓部、采购部、集团客户部，工程部门负责工程部、后勤部、售后服务部的工作，技术研发部门管理产品开发部、技术支援部．根据以上信息，绘制出其组织结构图．【解】该公司组织结构图如下：。

章末综合测评(三)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图1，已知AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′，那么下列比例式成立的是( )图1A.OA ′OA ＝OC OC ′B.A ′B ′AB ＝B ′C ′BCC.A ′C ′AC ＝OC OC ′ D.AB A ′B ′＝OCCC ′【解析】 ∵AB ∥A ′B ′∴OA ′OA ＝OB ′OB .同理OC ′OC ＝OB ′OB ， ∴OA ′OA ＝OC ′OC ，∴A 不成立．A ′B ′AB ＝OB ′OB ＝B ′C ′BC ，∴A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ，∴B 成立． 由于OA ′OA ＝OC ′OC，∴AC ∥A ′C ′， ∴A ′C ′AC ＝OC ′OC ，∴C 不成立． AB A ′B ′＝OB OB ′＝OCOC ′，∴D 不成立．【答案】 B2．P AB 为过圆心O 的割线，且P A ＝OA ＝4，PCD 为⊙O 的另一条割线，且PC ＝CD ，则PC 长为( ) 【导学号：07370057】A ．4 B.6 C ．24D ．2 6【解析】 由题意知P A ·PB ＝PC ·PD ， 设PC ＝x ，则PD ＝2x ，∴2x ·x ＝4×12，∴x ＝26，即PC ＝2 6. 【答案】 D3．如图2，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ＝3，CD ＝2，则AC BC 的值为( )图2A.32 B.94 C.23D.49【解析】 由题意得，CD 2＝AD ·BD ， ∴BD ＝43.又AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ， 则AC 2BC 2＝AD BD ＝94，故AC BC ＝32. 【答案】 A4．如图3，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D ，E ，F .已知∠B ＝50°，∠C ＝60°，连接OE ，OF ，DE ，DF ，那么∠EDF 等于( )图3A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°【解析】 ∵∠B ＝50°，∠C ＝60°，∴∠A ＝70°，∴∠EOF ＝110°，∴∠EDF ＝55°.【答案】 B5．如图4，四边形BDEF 是平行四边形，如果CD ∶DB ＝2∶3，那么S ▱BDEF 是S △ABC 的( )图4A.49B.613C.619D.1225【解析】 因为DE ∥AB ，所以△CDE ∽△ABC ， 所以S △CDE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CD CB 2.又CD ∶DB ＝2∶3，所以CD ∶CB ＝2∶5， 所以S △CDE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CD CB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝425，所以S △CDE ＝425S △ABC .因为DE ∥AB ，所以CE CA ＝CD CB ＝25，所以AE AC ＝35. 同理，S △AFE ＝925S △ABC .所以S ▱BDEF ＝S △ABC －S △AFE －S △EDC ＝S △ABC －925S △ABC －425S △ABC ＝1225S △ABC . 【答案】 D6．如图5，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC，BC，AB＝10，tan∠BAC＝34，则阴影部分的面积为()图5A.252π B.252π－24C．24 D.25π2＋24【解析】∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.∵tan∠BAC＝34，∴sin∠BAC＝35.又∵sin∠BAC＝BCAB，AB＝10，∴BC＝35×10＝6，AC＝43×BC＝43×6＝8，∴S阴影＝S半圆－S△ABC＝12×π×52－12×8×6＝252π－24.【答案】 B7．如图6，用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为()图6A.12 B.33C.32D．非上述结论【解析】用平面截圆柱，椭圆截线的短轴长为圆柱截面圆的直径，且椭圆所在平面与底面成30°角，则离心率e＝sin 30°＝12.【答案】 A8．如图7，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，AD＝DC，∠ADB＝20°，则∠ACB，∠DBC分别为()图7A．15°与30°B．20°与35°C．20°与40°D．30°与35°【解析】∵∠ADB＝20°，∴∠ACB＝∠ADB＝20°.又∵BC为⊙O的直径，∴的度数为180°－40°＝140°.∵D为的中点，∴的度数为70°，∴∠DBC＝70°2＝35°.【答案】 B9．如图8，AB，CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的中垂线，已知AB＝6，CD＝25，则线段AC的长度为()图8A．5 B.35C.30 D．3 5【解析】连接BC，∵AB垂直平分CD，∴CP2＝AP·PB.设PB＝x，则AP＝6－x，∴x(6－x)＝5，∴x1＝1，x2＝5(由题图可知，不合题意，舍去)，即AP＝5.又CP＝25＝5，∴AC＝25＋5＝30.2【答案】 C10．如图9，E，C分别是∠A两边上的点，以CE为直径的⊙O交∠A的两边于点D，点B，若∠A＝45°，则△AEC与△ADB的面积比为()图9A．2∶1B．1∶2C.2∶1D.3∶1【解析】连接BE，求△AEC与△ABD的面积比，即求AE2∶AB2的值．设AB＝a，∵∠A＝45°，CE为⊙O的直径，∴∠CBE＝∠ABE＝90°，∴BE＝AB＝a，∴AE＝2a，∴AE2∶AB2＝2a2∶a2，即AE2∶AB2＝2∶1，∴S△AEC∶S△ABD＝2∶1.【答案】 A11.如图10所示，球O与圆柱的上、下底面以及侧面均相切，用一平面去截圆柱和球，得到的截面图有可能是()图10A ．①②④B ．①②③C ．②③④D ．①②③④【解析】 如图所示，连接AB ，AB 为圆柱的轴，当平面与AB 垂直且过AB 中点时，截得图形是图①.当平面与AB 垂直不过AB 中点时，截得图形是两个同心圆，是图②.当平面经过轴AB 时，截得的图形是图③.当平面与轴AB 不垂直且平面与圆柱的侧面有交线时，截得的图形是图④.故有可能的图形是①②③④.【答案】 D12．如图11，已知△ABC 中，BD DC ＝23，AE EC ＝34，AD ，BE 交于F ，则AF FD ·BFFE 的值为( )图11A.73B.149C.3512D.5613【解析】 过D 作DG ∥BE 交AC 于G . ∵BD DC ＝23，∴DC BC ＝35，∴DG BE ＝DC BC ＝35， ∴DG ＝35BE .又EG EC ＝BD BC ＝25，∴EG ＝25EC . 又AE EC ＝34，∴EC ＝43AE ， ∴FE DG ＝AE AG ＝AE AE ＋25EC＝AE AE ＋25×43AE＝1523， ∴FE ＝1523DG ＝1523×35BE ＝923BE ， ∴BF FE ＝149，AF FD ＝AE EG ＝158， ∴AF FD ·BF FE ＝158×149＝3512. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)13．如图12，点E ，F 分别在AD ，BC 上，已知CD ＝2，EF ＝3，AB ＝5，若EF ∥CD ∥AB, 则CFFB 等于________．【导学号：07370058】图12【解析】 如图，过C 作CH ∥DA 交EF 于G ，交AB 于H ，则EG ＝AH ＝DC ＝2，GF ＝1，BH ＝3.∵GF∥HB，∴CFCB ＝GFHB＝13，∴CFFB＝12.【答案】1 214．(2016·重庆七校联盟联考)如图13，半径为4的圆O中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交圆O于点E，则线段DE的长为________．图13【解析】延长BO交圆O于点F，则DF＝6，BD＝2.由勾股定理得：AD ＝16＋4＝2 5.由相交弦定理得：AD·DE＝FD·DB，所以25·DE＝12⇒DE＝65＝655.【答案】65 515．一平面与半径为4的圆柱面相截，截面的Dandelin双球的球心距离为12，则截线椭圆的离心率e＝________.【解析】依题意，Dandelin双球球心距离即为圆柱母线长，∴2a＝12，∴a＝6.又b＝r＝4，∴c＝a2－b2＝62－42＝25，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝256＝53. 【答案】 5316．如图14，已知△ABC 中，边AC 上一点F 分AC 为AF FC ＝23，BF 上一点G 分BF 为BG GF ＝32，AG 的延长线与BC 交于点E ，则BE ∶EC ＝________.图14【解析】 过F 作FD ∥AE 交BC 于D ，如图所示， 则CD DE ＝CF AF ＝32，DE EB ＝FG GB ＝23，故CD ＝32DE ，BE ＝32DE ，EC ＝CD ＋DE ＝32DE ＋DE ＝52DE ，从而BE EC ＝35. 【答案】 3∶5三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2016·唐山二模)如图15所示，AC 为⊙O 的直径，D 为的中点，E 为BC 的中点．图15(1)求证：AB ∥DE ； (2)求证：2AD ·CD .＝AC ·BC . 【证明】 (1)连接BD ，因为D 为的中点，所以BD ＝DC .因为E 为BC 的中点，所以DE ⊥BC . 因为AC 为圆的直径，所以∠ABC ＝90°， 所以AB ∥DE . (2)因为D 为的中点，所以∠BAD ＝∠DAC ，又∠BAD ＝∠DCB ，则∠DAC ＝∠DCB.又因为AD ⊥DC ，DE ⊥CE ，所以△DAC ∽△ECD ， 所以AC CD ＝ADCE ，AD ·CD ＝AC ·CE,2AD ·CD ＝AC ·2CE ， 因此2AD ·CD ＝AC ·BC .18．(本小题满分12分)如图16，AB 为⊙O 的直径，AD ，BC 是⊙O 的切线，DC 切⊙O 于E ，并与AD ，BC 分别交于D ，C 两点，BD 与AC 交于点F ，求证：FE ∥AD .图16【证明】 ∵AB 为⊙O 的直径，AD ，BC 是⊙O 的切线， ∴AD ⊥AB ，BC ⊥AB ， ∴AD ∥BC ，∴AD BC ＝AF FC .∵DC 与⊙O 切于E ，并与AD ，BC 分别交于D ，C 两点， ∴AD ＝DE ，BC ＝CE ， ∴DE CE ＝AFFC ，∴FE ∥AD .19．(本小题满分12分)如图17，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1＞r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．图17【证明】连接AO1，并延长分别交两圆于点E和点D，连接BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上．故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．从而∠ABD＝∠ACE＝π2，所以BD∥CE，于是ABAC ＝ADAE＝2r12r2＝r1r2，所以AB∶AC为定值．20．(本小题满分12分)如图18所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD∥EC；(2)若AD是⊙O2的切线，且P A＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．图18【解】(1)证明：连接AB，∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D ， 又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E ，∴AD ∥EC . (2)设BP ＝x ，PE ＝y ， ∵P A ＝6，PC ＝2，∴xy ＝12.① ∵AD ∥EC ，∴DP PE ＝AP PC ⇒9＋x y ＝62.②由①②得，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－1(舍去)，∴DE ＝9＋x ＋y ＝16. ∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16，∴AD ＝12.21．(本小题满分12分)如图19，已知⊙O 和⊙M 相交于A ，B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为中点，连接AG 分别交⊙O ，BD 于点E ，F ，连接CE .求证：(1)AG ·EF ＝CE ·GD ； (2)GF AG ＝EF 2CE 2.图19【证明】 (1)如图，连接AB ，AC ，∵AD 为⊙M 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴∠ABC ＝90°，∴AC 为⊙O 的直径， ∴∠CEF ＝∠AGD .∵∠DFG ＝∠CFE ，∴∠ECF ＝∠GDF . ∵G 为弧BD 的中点，∴∠DAG ＝∠GDF ， ∴∠DAG ＝∠ECF ，∴△CEF ∽△AGD ， ∴CE EF ＝AGGD ，∴AG ·EF ＝CE ·GD . (2)由(1)知∠DAG ＝∠GDF ，∠G ＝∠G ， ∴△DFG ∽△ADG ，∴DG 2＝AG ·GF ， 由(1)知EF 2CE 2＝GD 2AG 2，∴GF AG ＝EF 2CE 2.22．(本小题满分12分)如图20，已知AD 为圆O 的直径，直线BA 与圆O 相切于点A ，直线OB 与弦AC 垂直并相交于点G ，与弧AC 相交于M ，连接DC ，AB ＝10，AC ＝12.(1)求证：BA ·DC ＝GC ·AD ； (2)求BM .图20【解】 (1)证明：因为AC ⊥OB ，所以∠AGB ＝90°. 又AD 是圆O 的直径，所以∠DCA ＝90°，又因为∠BAG ＝∠ADC (弦切角等于同弧所对圆周角)， 所以△AGB ∽△DCA ，所以BA AD ＝AGDC . 又因为OG ⊥AC ，所以GC ＝AG ，所以BA AD ＝GCDC ，即BA ·DC ＝GC ·AD . (2)因为AC ＝12，所以AG ＝6. 因为AB ＝10，所以BG ＝AB 2－AG 2＝8，由(1)知，Rt △AGB ∽Rt △DCA ，所以AB AD ＝BG AC ， 所以AD ＝15，即圆的直径2r ＝15.又因为AB 2＝BM ·(BM ＋2r )，即BM 2＋15BM －100＝0， 解得BM ＝5.。