线性代数课件同济大学第五版

• 想搞软件工程，好，3D游戏的数学基础就 是以图形的矩阵运算为基础；当然，如果 你只想玩3D游戏可以不必掌握线代；想搞 图像处理，大量的图像数据处理更离不开 矩阵这个强大的工具，《阿凡达》中大量 的后期电脑制作没有线代的数学工具简直 难以想象。
• 想搞经济研究。好，知道列昂惕夫（Wassily Leontief）吗？哈佛大学教授，1949年用计 算机计算出了由美国统计局的25万条经济数 据所组成的42个未知数的42个方程的方程组， 他打开了研究经济数学模型的新时代的大门。
这些模型通常都是线性的，也就是说，它们
是用线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫 “投入-产出”模型。列昂惕夫因此获得了 1973年的诺贝尔经济学奖。
• 相当领导，好，要会运筹学，运筹学的一 个重要议题是线性规划。许多重要的管理 决策是在线性规划模型的基础上做出的。 线性规划的知识就是线代的知识啊。比如， 航空运输业就使用线性规划来调度航班， 监视飞行及机场的维护运作等；又如，你 作为一个大商场的老板，线性规划可以帮 助你合理的安排各种商品的进货，以达到 最大利润。
§1 二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
由消元法，得
(a11a22 a a 12 21 ) x1 b1a22 a12b2
(a11a22 a a 12 21 ) x2 a11b2 b1a21
二、线性代数的课程特点
高度的抽象性和严密逻辑性,并缺乏直观 的思维模型.
开设时间为大一、大二年级. 线性代数课时短, 内容多. 理论多, 例题少.

正整数, f(x) = a0xm + a1xkB 相似, Am 与 Bm 相似, AT 与 BT 相似,
f(A) 与 f(B) 相似.
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三、矩阵的对角化
对于 n 阶方阵 A , 若存在可逆矩阵 P , 使 P-1AP = ( 为对角矩阵),则称 A 能对角化.
以这些向量为列构造矩阵 P = ( p1 , p2 , · , pn ), · · 则 P 可逆, 且 AP = P , 其中 =diag (1 , 2 , · , n ) , · · 即 推论 P-1AP = .
证毕
如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，
则A与对角阵相似．
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0 0 1 1 1 x , 问 x 为 何 值 时 ， 例11 设 A 1 0 0 矩 阵A能 对 角 化 ？
第 三 节
主要内容
相似矩阵
相似矩阵的概念 相似矩阵的性质 矩阵对角化的充要条件
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一、相似矩阵的概念
定义 7 设 A , B 为 n 阶方阵, 若有可逆矩阵P，
使 P-1AP = B , 则称矩阵 A 相似于矩阵 B. 对 A 进行运算
P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
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可. 推论 A与 阶方阵 A 与对角矩阵 由于 若 n B 相似, 所以, 必有可逆矩阵 P
由相似的定义和定理3，有下列 结论：
1. 若矩阵 A 与 矩阵 B 相似, 若矩阵 A
可逆, 则矩阵 B 也可逆, 且 A-1 与 B-1 相似.
2.若矩阵 A 与 B 相似, k 是常数, m 是
1 , 2 , · , n 的特征向量. · ·

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三、向量的坐标
定义 8 如果在向量空间 V 中取定一个基
a1 , a2 , ···, ar , 那么 V 中任一向量 x 可唯一地表 示为
x = 1a1 + 2a2 + ···+ rar , 数组 1 , 2 , ···, r 称为向量 x 在基 a1 , a2 , ···, ar
V 的一个基, r 称为向量空间 V 的维数,并称 V 为 r 维向量空间.
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例如： 由向量组 a1 , a2 , ···, am 所生成的向量空间
L ={ x = 1a1 + 2a2 + ···+ mam | 1, ···, m R }, 显然向量空间 L 与向量组 a1 , a2 , ···, am 等价, 所以向量组 a1 , a2 , ···, am 的最大无关组就是L 的 一个基, 向量组 a1 , a2 , ···, am 的秩就是 L 的维数.
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即基变换公式为
(b1 , b2 , b3) = (a1 , a2 , a3)P , 其中表示式的系数矩阵 P = A-1B 称为从旧基到
新基的过渡矩阵.
设向量 x 在旧基和新基中的坐标分别为
y1 , y2 , y3 和 z1 , z2 , z3 ，即
y1
z1
x (a1, a2 , a3 ) y2 , x (b1, b2 , b3 ) z2 ,源自例 20 齐次线性方程组的解集
S = { x | Ax = 0 }
因为由齐次线性方程组的解的性质1、2，
即知其解集 S 对向量的线性运算封闭.
S是一个向量空间，
称为齐次线性方程组的解空间.
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设 A 经初等列变换变为 B , 也有 R ( A ) R ( B ).
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设 A 经初等列变换变为
B,
则 A
T
经初等行变换变为
T T
B ,
T
R ( A ) R ( B ),
T T
且 R ( A ) R ( A ), R ( B ) R ( B ),

R ( A ) R ( B ).

R ( B ) 3,
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故 B 中必有
3 阶非零子式
. 且共有
4 个.
计算 B 的前三行构成的子式
3 2 3
2 0 2
5
3
2 0 0
5 5 11
5 2 6 6
2
2 6
5 11
16 0 .
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
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例4
1 2 设A 2 3
则 D r D r 0 , 也有 R ( B ) r .
若A经一次初等行变换变为 ，则 R( A ) R( B ). B
由于 B 也可经过一次初等行变 换变为 A ,
故也有 R( B ) R( A). 因此 R( A) R( B ).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
对于 A ， 显有 R ( A ) R ( A ).
T T
对 A m n，有 0 R （ A ） min m , n
0，则 R （ A ） s ；

列的逆序数决定.
-
7
第四节 对 换
一、 对换的定义 二、 对换与排列奇偶性的关系
-
8
小结：
1. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性．
2.行列式的三种表示方法
D 1 ta p 1 1 a p 2 2 a p n n
D 1 ta 1 p 1 a 2 p 2 a n np
2.k 1akA ik j Dij 0,当 ij;
n
D,当 ij,
k1aik A jkDij 0,当 ij;
其中ij 10,,当 当iijj， .
-
13
第七节 克拉默法则
一、克拉默法则 二、相关定理
-
14
克拉默法则:
如果线性方程组 ( n 个未知变量、 n 个方程）
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 a1a 12a 233 a1a 22a 331 a1a 32a 132
a 31 a 32 a 33
a1a 12a 332 a1a 22a 133 a1a 32a 23,1
-
3
第二节 全排列及其逆序数
一、概念的引入 二、全排列及其逆序数
-
4
小结：
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
b1 b2
an1 an2 ann bn
对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.
-
21
二、矩阵的定义
由 mn个数 a i j i 1 , 2 , ,m ; j 1 , 2 , ,n
排成的 m行 n列的数表
a11 a12 a1n
0 1

四、正交矩阵与正交变换
1. 正交矩阵 （1）定义：
若n阶方阵A满足 AT A E 即A1 AT , 则称A为 正交矩阵 .
（2）定理：
A 为正交矩阵 A的列（或行）向量都是单位向量且两两正
交． 注： 正交矩阵A的 n 个列（或行）向量构成向量空 间Rn 的一个规范正交基．
（3）性质：
5. 规范正交基 （1）定义 ：
设n维向量e1 , e2 , , er 是ห้องสมุดไป่ตู้量空间 V (V R n )的一个正交 基, 且都是单位向量, 则称e1 , e2 , , er 是 V 的一个规范正交基.
1 0, 如，1 0 2 0 0 0 0 1 0 , , 0 3 4 为R 4的一个规范正交基. 0 1 0 0 0 1
4. n维向量间的夹角
当 x 0, y
x, y 0时, 规定： arccos
x y
称为n维向量x与y的夹角。
如， 1, 2, 2,3， 3,1,5,1
则 与的夹角 arccos [ , ]

18 arccos 3 2 6 4
[b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 a 3 b1 b2 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ]
b1 1,1,1,1
b2 0, 2, 1,3
8 14 0,2,1,3 1,1,2,0 3,5,1,1 1,1,1,1 4 14 再单位化， 得规范正交向量组如下：
因为, 如果设x同时是A的属于特征值1 , 2的
Ax 2 x
则x 0,
与定义矛盾 .

x x x a 11 1 a 12 2 a 13 3 b 1, a x x x 21 1 a 22 2 a 23 3 b 2, a x x x 31 1 a 32 2 a 33 3 b 3;
a11
得
b1
a13 a23 , a33
D2 a21 b2 a31 b3
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线
a 11 副对角线 a 2 1
a 12 aa aa 1 12 2 1 22 1 a 22
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2
若令
b1 b2
例1
2x2 12 求解二元线性方程组 3x 1 2x1 x2 1
3 2 3 ( 4 ) 7 0 因为 D 2 1
解
12 2 D 12 ( 2 ) 14 1 1 1 3 12 D 3 24 21 2 2 1
D 14 1 所以 x1 2, D 7
D
a 12 a 22
a 11 a 21
a 12 a 22
(方程组的系数行列式)
D1
a 11 D2 a 21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
ba a b D 1 2 2 1 2 2 1 x 1 a a a a D 1 1 2 2 1 2 2 1
a b ba D 1 1 2 1 2 1 2 x 2 a a a a D 1 1 2 2 1 2 2 1
二阶行列式的对角线法则 并不适用！
称为三阶行列式.
a11
a12
a13

用 k 乘第 i 行： 用 k 乘第 i 列：
ri k ci k
“运算性质”
12 3
24 6
1 0 1 2 r1 1 1 0 1
2
01 1
01 1
推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到 行列式符号外面。
24 6 12 3 1 0 1 21 0 1 01 1 01 1
性质4：若行列式有两行（列）的对应元素成比 例，则行列式等于0 。
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a23 a33
结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示.
思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
对角线法则:
主对角线
a11 a12 a21 a22
副对角线
a11a22 a12a21
例. 解方程组
32x1x1 2
x2 x2
12 1
解： D 3
2 3 (4) 7 0
21
12 2
3 12
D1 1
14 1
D2 2
21 1
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 7
3
a11 0 0
a
D
21
a 22
0
a a11 22 ann
an1 an2 ann
(3) 对角行列式
a11
D
a22
a a11 22 ann
ann
(4) 副对角行列式

即 S 能由向量组 1 , 2 线性表示. 又因 1 , 2 的 四个分量显然不成比例，故 1 , 2 线性无关. 因 此根据最大无关组的等价定义，知1 , 2是 S 的 最大无关组，从而 RS = 2 .
四、定理的不同表现形式
设向量组 A : a1 , a2 , · , am 构成矩阵 · ·
例 9 设齐次线性方程组
x1 2 x2 x3 2 x4 0 , x4 0 , 2 x1 3 x2 x x 5x 7 x 0 2 3 4 1
的全体解向量构成的向量组为 S，求 S 的秩.
解
把系数矩阵A化为行最简形
1 A 2 1
矩阵 B = (a1 , a2 , · , am , b) 的秩. · ·
定理 1 向量 b 能由向量组 A 线性表示的
充要条件是
R (a1 , a2 , · , am) = R (a1 , a2 , · , am , b). · · · ·
注：记号R(a1 , a2 , · , am )既可理解为矩阵的秩，也 · · 可理解成向量组的秩．
B 的最大无关组依次为 A0：a1 , a2 , · , as 和 B0：b1 , b2 , · , bt . · · · · 由于 B0 组能由 B 组表示， B 组能由 A 组表示，
A 组能由 A0 组表示，因此 B0 组能由 A0 组表示,
根据定理3，
有 R(b1,b2, · ,bt) ≤ R(a1,a2, · ,as), · · · ·
1 0 2 (a 1 ,a 2 ,a 3 ) 1 2 4 , 由 R(a1,a2 , a3) =2 1 5 7
由R(a1 , a2) =2, R(a1 , a3) = 2,R(a2 , a3) = 2 可知 a1, a2 与a1, a3 及 a2 , a3 都是a1 , a2 , a3 的最大无关组.

矩阵 Km l ，使 (b1 , · , bl ) = (a1 , · , am )K， 也就 · · · · 组 A 线性表示, 则称向量组 B 能由向量组 A 线 是矩阵方程 性表示. 若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示, (a1 , a2 , · , am )X = (b1 , b2 , · , bl ) · · · · 则称这两个向量组等价. 可得 有解. 由上章 定理 6 矩阵方程 AX = B 有解的充要条
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2. 向量组的定义
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如
1 3 2 4 1 2 , 2 4 , 3 1 , 4 6 1 7 5 1
向量组 1, 2, · , n 称为矩阵 A 的列向量组. · ·
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类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 a m 2 a1 n a2n a in a mn
b11 b12 b1n b21 b22 b2 n （c1 , c2 , , cn ) （a1 , a2 , , al ) b kl 2 kl n l1
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1T 1T T T 2 2 同时，记 C , B ， 则C 的行向量组 T T m l 能由 B 的行向量组线性表示 A 为这一表示的系数 , 矩阵：
2. 向量能由向量组线性表示的充要条件
定理 1 向量 b 能由向量组 A 线性表示的充