人教版九上数学之一元二次方程的应用—知识讲解(提高)

一元二次方程的应用—知识讲解（提高） 【学习目标】 1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一 般步骤； 2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.

【要点梳理】 要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性.

要点二、一元二次方程应用题的主要类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字 只能是 0、1、2、……、9 之中的数，而最高位上的数不能为 0.因此，任何一个多位数，都可用 其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位 数.如：一个三位数，个位上数为 a，十位上数为 b，百位上数为 c，则这个三位数可表示为： 100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差 1. 如：三个连续整数，设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差 2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x-2，x+2.

2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或 降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题：

平均增长率公式为 a(1 x)n  b (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 a(1 x)n  b (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.) ，

3.利息问题 (1)概念： 本金：顾客存入银行的钱叫本金. 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 本息和：本金和利息的和叫本息和. 期数：存入银行的时间叫期数. 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.

(2)公式: 利息=本金×利率×期数 利息税=利息×税率 本金×(1+利率×期数)=本息和 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)

4.利润(销售)问题 利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本) 总利润=每件的利润×总件数

5.形积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据 图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.

要点诠释： 列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程） 然后由数学问题的解决而获得对 实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.

【典型例题】 类型一、数字问题

1.（2015 春 兴化市校级期末）两个连续负奇数的积是 143，求这两个数． 【答案与解析】 解：设这两个连续奇数为 x，x+2， 根据题意 x（x+2）=143， 解得 x1=11（不合题意舍去），x2=﹣13，

则当 x=﹣13 时，x+2=﹣11． 答：这两个数是﹣13，﹣11． 故答案为：﹣13，﹣11． 【总结升华】得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到等量关系是解决本题的 关键．

类型二、平均变化率问题 2. （2016 衡阳）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进 入普通家庭，抽样调查显示，截止2015 年底某市汽车拥有量为 16.9 万辆．己知 2013 年底该市汽车拥有 量为 10 万辆，设 2013 年底至 2015 年底该市汽车拥有量的平均增长率为 x，根据题意列方程得（ ） A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9

【思路点拨】根据题意可得：2013 年底该市汽车拥有量×（1+增长率）2=2015 年底某市汽车拥有量，根

据等量关系列出方程即可． 【答案】A． 【解析】 解：设 2013 年底至 2015 年底该市汽车拥有量的平均增长率为 x， 根据题意，可列方程：10（1+x）2=16.9，

故选：A． 【总结升华】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变 化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1±x）2=b．

举一反三： 【变式】有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患 流感的人数是( ) A．1331 B．1210 C．1100 D．1000 【答案】 设每人每轮传染 x 人，则(1+x)2＝121，x1＝10，x2＝-12 舍去， 第三轮传染后患流感人数为 121(1+10)＝1331 人．

类型三、利润（销售）问题 3. 有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间， 但每天也会有一定数量的螃蟹死去，假设放养期间内螃蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按 市场价收购了这种活螃蟹 1000kg 放养在塘内，此时市场价为 30 元/kg．据测算此后每千克的活蟹的市 场价每天可上升 1 元，但是，放养一天各种费用支出 400 元，且平均每天还有 10 kg 的蟹死去，假定死 蟹均于当天全部售出，售价都是 20 元/kg，如果经销商将这批蟹出售后能获利 6250 元，那么他应放养 多少天后再一次性售出? 【答案与解析】 解：设经销商放养的活蟹时间定为 x 天较为合适． 根据题意，得 20×10x+(30+x)(1000-10x)-(400x+30×1000)＝6250， 整理，得 x2-50x+625＝0，∴ x1＝x2＝25． 答：经销商放养 25 天后，再一次性售出可获利 6250 元． 【总结升华】此题牵涉到的量比较多，找等量关系列方程有一定难度．我们可以把复杂问题转化成若干 个简单问题分别解决，最后用一根主线连在一起．这里放养的天数 x 与死蟹销售资金、x 天后 活蟹的价格、x 天后活蟹的剩余量及 x 天的开支情况等问题都有关系，通过这个“x”把上述几 个量联系在一起，列出了方程，使问题得以突破． 举一反三： 【高清 ID 号：388525 关联的位置名称（播放点名称）：销售问题---例 6】 【变式】（2015 东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元．为了尽快减 少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．据此规律计算：每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2100 元． 【答案】 解：∵降价 1 元，可多售出 2 件，降价 x 元，可多售出 2x 件，盈利的钱数=50﹣x， 由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100， 化简得：x2﹣35x+300=0， 解得：x

1=15，x2

=20，

∵该商场为了尽快减少库存， ∴降的越多，越吸引顾客， ∴选 x=20， 答:每件商品降价 20 元时，商场日盈利可达到 2100 元.

类型四、行程问题 【高清 ID 号：388525 关联的位置名称（播放点名称）：行程问题---例 8】

4. 一辆汽车以 20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹 车后又滑行 25m 后停车． （1）从刹车到停车用了多少时间？ （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ （3）刹车后汽车滑行到 15m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）？ 【答案与解析】 解：（1）已知刹车后滑行路程为25m，如果知道滑行的平均速度，则根据路程、速度、时间三者 的关系，可求出滑行时间．为使问题简化，不妨设车速从20m/s到0m/s是随时间均匀变化的．这

段时间内的平均车速等于最大速度与最小速度的平均值，即 20  0 2  10( m / s ) ，于是刹车到停车

的时间为“行驶路程  平均车速”， 即 25  10  2.5( s) ． （2）从刹车到停车平均每秒车速减少值为“（初速度  末速度）  车速变化时间”， 即 20  0  8(m / s2) ．

2.5

（3）设刹车后汽车行驶到 15m 用了 x s，由（2）可知，这时车速为(20  8 x )m / s ．这段路程内的

平均车速为 20  (20  8 x ) (m / s ) ，即 (20  4 x )m / s ． 2

由速度×时间=路程，得 (20  4 x ) x  15

．

解方程，得 x 

5  10

2 ．