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第十六讲(0) 中考数学二次函数性质应用

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用诚心、良心、爱心、专心做辅导！ 百度一下：卓尔教育 第1页 二次函数性质应用（讲义） 一、知识点睛 1．图象平移解题思路 ①口诀：_____________________；②_______________． 图象对称、旋转可转化为______________来处理． 2．方程的根可用__________求解，与两个函数图象的______相对应． 3．函数值的大小、最值、需结合______求解，常利用________． 4． a、b、c组合判断： ①判断a、b、c符号，对称轴，判别式等； ②找____________函数值； ③等式和不等式________． 二、精讲精练

1. 把抛物线2yxbxc的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，

所得图象的关系式为245yxx，则有（ ） A．b=-10，c=24 B．b=2，c=4 C．b=-10，c=28 D．b=2，c=0

2. 在平面直角坐标系中，将抛物线26yxx向上（下）或向左（右）平移了m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则||m的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．6

3. 在平面直角坐标系中，先将抛物线22yxx关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）

A．22yxx B．22yxx C．22yxx D．22yxx

4. 如图，二次函数2yaxbx与反比例函

数=kyx-的图象交于一点P，那么关于x的方程2++0kaxbxx的解为

_____________．若一元二次方程20axbxm有实数根，则m的取值范围为__________．

5. 已知二次函数2()1()yxmnxmnmn的图象交x轴于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且12xx，则实数x1，x2，m，n的大小关系为______________________．

6. 已知函数22(2)4 (5)=(8)4 (5)xxyxx，且使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6

7. 如图是二次函数2+yaxbxc的部分图象，由图象可知不等式

20axbxc的解集是（ ）

POx

y

-3-143用诚心、良心、爱心、专心做辅导！ 百度一下：卓尔教育

第2页 A．1<<5x B．>5x C．<1>5xx且 D．<1>5xx或

8. 已知二次函数215yxx，当自变量x取m时，对应的函数值大于0，当自变量x分别取m-1、m+1时，对应的函数值分别为1y、2y，则1y、

2y满足（ ）

A．10y，20y B．10y，20y C．10y，20y D．10y，20y 9. 函数2yxxm（m>0）的图象如图所示，如果xa时0y，那么1xa时，函数值（ ） A．0y B．0ym C．ym D．ym 10. A1(2)y，、B2(1)y，、C3(2)y，是抛物线2(1)yxa上的三点，

则1y、2y、3y的大小关系为（ ）

A．213yyy B．312yyy

C．321yyy D．312yyy

11. 已知二次函数y=x2-4x-3，若16x，则y的取值范围是 ，若-3≤ x <4，则y的取值范围是 ， 若-2

12. 已知二次函数2248yxmxm，若2x时，函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是_____________，若x ≤1时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是_______． 13. y=x2+(1-a)x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1 ≤ x ≤ 3时，y在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是（ ） A．a=5 B．a ≥ 5 C．a=3 D．a ≥ 3 14. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2a-b=0；③b2-4ac＞0；④a-b+c<0； ⑤9a+3b+c>0；⑥8a+c＞0；⑦2c>3b；⑧a+b＜m(am+b)（m为实数，且m≠1）．其中正确的是______________．

15. 已知二次函数20yaxbxca（）的图象与x轴交于(-2，0)、1(0)x，两点，且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在(02)，的下方．有下列结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③4a-2b+c=0；④a＜b＜0；⑤2a+c＞0；⑥2a-b+1＞0．其中正确的是__________________．

2yxO5x2x

1

yxO

yOx-1-2

x=1用诚心、良心、爱心、专心做辅导！ 百度一下：卓尔教育

第3页 16. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③a-b+c=2；④a+b＜m(am+b)（m为实数，且m≠1）；⑤(a+c)2＜b2；⑥b=1；⑦a＞1．其中正确的是_______________．

2

-11Ox

y

二次函数性质应用（随堂测试） 1．把抛物线2yxbxc的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，

所得图象的表达式为223yxx，则有（ ） A．b=2，c=6 B．b=2，c=-6 C．b=-6，c=14 D．b=-6，c=0 2．已知抛物线21233yxx，当26x时，y的取值范围为___________. 3．已知二次函数)0(2acbxaxy的图象如图所示，有下列结论：①0abc；②cab；③024cba； ④042acb；⑤2<3cb；⑥)(bammba（m为实数，且1m）．其中正确的结论是 . 二次函数性质应用（作业） 1. 抛物线y=(x+2)2-3可以由抛物线2yx平移得到，下列平移过程正确的是（ ） A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 2. 如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移2个

单位后，其顶点在直线上的点A处，则平移后的抛物线解析式 是（ ） A．y=(x+1)2-1 B．y=(x+1)2+1 C．y=(x-1)2+1 D．y=(x-1)2-1

y

xO

A

x=1xO-1

y用诚心、良心、爱心、专心做辅导！ 百度一下：卓尔教育

第4页 3. 将抛物线221216yxx绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式

是（ ） A．221216yxx B．221216yxx

C．221219yxx D．221220yxx

4. 设一元二次方程(1)(2)(0)xxmm的两根分别为、，且



，则、满足（ ）

A．12 B．12 C．12 D．1且2 5. 坐标平面上，若移动二次函数y=2(x175)(x176)6的图象，使其与x轴

交于两点，且此两点的距离为1个单位，则移动方式可为（ ） A．向上移动3个单位 B．向下移动3个单位 C．向上移动6个单位 D．向下移动6个单位 6. 二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所

示，若|ax2+bx+c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞3 7. 如图，抛物线y=-x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），点A在点B的左侧．当x=x2-2时，y______0 （填“＞”、“=”或“＜”号）． BOAxy BOAxy 第7题图 第8题图 8. 如图，抛物线y=x2-2x+k（k＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2，当x=x1+2时，y_____0（填“＞”、“=”或“＜”号）． 9. 若A（1134y，），B（254y，），C（314y，）为二次函数245yxx图象上的三点，则1y，2y，3y的大小关系是（ ） A．123yyy B．213yyy C．312yyy D．132yyy 10. 已知二次函数2()1yxm，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是___________． -3

Ox

y

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中考重点二次函数的性质与应用

中考重点二次函数的性质与应用

中考重点二次函数的性质与应用中考重点：二次函数的性质与应用二次函数是初中数学中的重要内容之一，它在中考中的考查频率较高。

掌握二次函数的性质与应用，能够帮助我们解决与二次函数相关的问题，提高解题能力。

本文将重点讨论二次函数的性质和应用，探索其在数学中的作用。

一、二次函数的定义及一般式表示二次函数是形如y = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

其中，a决定了二次函数的开口方向，b决定了函数的对称轴位置，c表示函数与y轴的交点。

二次函数的一般式表示形式为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。

一般式可以转化为顶点式表示或者因式分解式表示，从而更方便地研究二次函数的性质。

二、二次函数的性质1. 对称性：二次函数的图像关于对称轴对称。

对称轴的表示为x = -b / (2a)，在二次函数图像上即为顶点的横坐标。

2. 开口方向：当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。

3. 极值点与最值：二次函数的极值点即顶点，其横坐标为-x / (2a)，纵坐标为f(-x /(2a))。

当a>0时，二次函数的最小值为f(-x / (2a))；当a<0时，二次函数的最大值为f(-x / (2a))。

4. 零点：二次函数与x轴的交点称为零点，可以通过求解二次方程ax² + bx + c = 0来确定。

二次函数有两个零点时称为有两个实根，有一个零点时称为有一个实根，没有实根时称为无实根。

三、二次函数的应用1. 求解问题：二次函数常常用于求解与平面图形有关的问题。

例如，已知抛物线y = ax² + bx + c与x轴交于A、B两点，求抛物线经过的最高点的坐标。

通过求解顶点坐标可以得到问题的解。

2. 最值问题：二次函数能够用于解决最值问题。

例如，已知二次函数y = ax² + bx + c，在一定范围内求函数的最值。

二次函数的性质及应用

二次函数的性质及应用

二次函数的性质及应用引言：二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。

本文将探讨二次函数的性质以及它在实际问题中的应用。

一、二次函数的定义和图像特点二次函数是指具有形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是常数且a ≠ 0。

二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由a的正负决定。

当a > 0时，抛物线开口向上，当a < 0时，抛物线开口向下。

二次函数的图像在抛物线的顶点处取得极值。

二、二次函数的性质1. 零点和因式分解二次函数的零点是指使得f(x) = 0的x值。

根据二次函数的定义，我们可以通过求解ax² + bx + c = 0的根来求得零点。

而对于因式分解，我们可以将二次函数表示为f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)的形式，其中x₁和x₂是二次函数的零点。

2. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是指抛物线的轴线，它垂直于x轴，并通过抛物线的顶点。

对称轴的方程可以通过求解f(x) = ax² + bx + c = 0的x值来得到。

而抛物线的顶点则是对称轴上的点，它的x坐标由对称轴的方程给出，y坐标可以通过代入x的值计算得到。

3. 极值和最值二次函数的极值是指函数在定义域上取得的最大值或最小值。

根据二次函数的图像特点，当a > 0时，函数的极小值在顶点处取得；当a < 0时，函数的极大值在顶点处取得。

而最值则是函数在定义域上的最大值或最小值。

三、二次函数的应用1. 物理学中的抛体运动抛体运动是物理学中一个重要的概念，它描述了一个物体在重力作用下的运动轨迹。

当物体的运动轨迹为抛物线时，我们可以通过二次函数来描述其运动状态。

通过分析二次函数的性质，我们可以求解物体的最高点、最远点以及落地点等问题。

2. 经济学中的成本和收益在经济学中，成本和收益是一个重要的概念。

二次函数可以用来描述成本和收益之间的关系。

二次函数的性质与应用

二次函数的性质与应用

二次函数的性质与应用二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a ≠ 0。

二次函数是一种重要的函数类型，在数学和实际问题中具有广泛的应用。

本文将介绍二次函数的性质与应用。

一、二次函数的基本性质1. 解析式：二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c分别代表函数的系数。

a控制开口方向和开口程度，正值使函数开口向上，负值使函数开口向下；b决定了函数的对称轴位置，对称轴的横坐标为-x/b；c是函数的常数项，表示函数与y轴的交点y=c。

2. 零点：二次函数的零点是使f(x) = 0的横坐标值。

一般情况下，二次函数有两个零点，可以用求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)求得。

3. 顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点。

顶点的横坐标为-x/b，纵坐标为f(-b/2a)。

对于a > 0，函数的图像开口向上，顶点是最低点；对于a < 0，函数的图像开口向下，顶点是最高点。

二、二次函数的图像特征1. 开口方向：二次函数的开口方向由a的正负决定。

当a > 0时，函数图像开口向上；当a < 0时，函数图像开口向下。

2. 开口程度：a的绝对值越大，函数图像开口越窄；a的绝对值越小，函数图像开口越宽。

当|a| < 1时，函数图像会比较平缓；当|a| > 1时，函数图像则会比较陡峭。

三、二次函数的应用1. 最值问题：通过观察二次函数的开口方向和顶点，我们可以判断函数的最值。

对于开口向上的函数，最小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的函数，最大值为顶点的纵坐标。

这在实际问题中有很多应用，例如优化问题、成本最小化等。

2. 运动问题：二次函数可以用来描述某些运动的轨迹。

例如，一个物体从某个高度落下，忽略空气阻力的影响，可以用二次函数表示物体的高度随时间的变化。

通过求解函数的零点和顶点，可以确定物体的落地时间和最高高度。

二次函数的性质和应用

二次函数的性质和应用

二次函数的性质和应用二次函数是一种常见的函数形式，在数学中具有重要的地位。

本文将讨论二次函数的性质和应用，希望能帮助读者更好地理解这种函数形式。

一、二次函数的定义和基本性质二次函数的标准形式为f（x）=ax²+bx+c，其中a、b、c都是实数，且a ≠ 0。

它的图象是一个开口向上或向下的抛物线。

1. 对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的直线，它的方程式为x=-b/2a。

对称轴把图象分成两个对称的部分。

2. 零点：一个二次函数可以有两个、一个或零个零点。

其中，零点是函数的根，即f（x）=0的解。

3. 最值和顶点：当a>0时，f（x）的最小值为y=c-b²/4a，它位于对称轴上，称为抛物线的最小值。

当a<0时，f（x）的最大值为y=c-b²/4a，它位于对称轴上，称为抛物线的最大值。

最小值或最大值统称为顶点。

4. 函数的增减性：当a>0时，如果x₁<x₂，则f（x₁）<f（x₂）。

当a<0时，如果x₁<x₂，则f（x₁）>f（x₂）。

二、二次函数的应用1. 抛物线的运动学应用：抛物线可以描述物体的抛体运动轨迹，因此它在物理学中经常被使用。

例如，在高尔夫球运动中，运动员需要考虑到地面的摩擦力和空气的阻力等因素，以确定击球的位置和力度。

抛物线方程可以帮助运动员做出更精确的计算，从而提高得分率。

2. 光学应用：抛物线的形状与光的传播有关。

例如，抛物面反射镜常用于望远镜、卫星通信等光学领域中，因为它可以使光线以特定的角度集中在一个点上，从而使视野更宽广。

3. 非线性回归分析：在生物统计学、社会科学、经济学和金融学等领域中，二次函数经常被用于分析非线性回归方程。

非线性回归是指，回归方程中包含二次函数或更高次的函数。

例如，经济学家常用二次函数分析消费者的支出模式，这会帮助他们预测市场的需求变化。

4. 工程应用：二次函数也可以用于工程领域中的计算。