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圆的方程B组题

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5 圆的方程

B组

一、选择题

1．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b) ( )

A．在圆上 B．在圆外

C．在圆内 D．以上都有可能

答案 B

解析 由已知条件1a2＋b2<1，即a2＋b2>1.

因此点P(a，b)在圆外．

2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为( )

A．8 B．－4 C．6 D．无法确定

答案 C

解析 圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心－m2，0，

即－m2＋3＝0，∴m＝6.

3．已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是 ( )

A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0

C．x2＋y2－2x－3＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0

答案 A

解析 设圆心为C(m,0) (m>0)，因为所求圆与直线3x＋4y＋4＝0相切，所以|3m＋4×0＋4|32＋42＝2，整理得：|3m＋4|＝10，解得m＝2或m＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝22，即x2＋y2－4x＝0，故选A.

二、填空题

1．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．

答案 (－∞，1)

解析 圆的方程化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，

∴其圆心为(－1,2)，且5－a>0，即a<5.

又圆关于直线y＝2x＋b成轴对称，

∴2＝－2＋b，∴b＝4.∴a－b＝a－4<1.

2．若PQ是圆O：x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是____________．

答案 x＋2y－5＝0 解析 由圆的几何性质知kPQkOM＝－1.∵kOM＝2，∴kPQ＝－12，故直线PQ的方程为y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0.

3．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是__________．

答案 x＋y－1＝0

解析 过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，∵kCM＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.

三、解答题

1．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．

思维启迪：结合图形寻求点P和点M坐标的关系，用相关点法(代入法)解决．

解 如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为x2，y2，线段MN的中点坐标为x0－32，y0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，

故x2＝x0－32，y2＝y0＋42.从而 x0＝x＋3y0＝y－4.

N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.

因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，

但应除去两点－95，125和－215，285(点P在直线OM上时的情况)．

2．已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.

(1)求yx的最大值和最小值；

(2)求y－x的最大值和最小值．

思维启迪：根据代数式的几何意义，借助图形来求最值．

解 (1)原方程化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设yx＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.故yx的最大值为3，最小值为－3.

(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时|2－0＋b|2＝3，即b＝－2±6.故y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6. 3．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．

审题视角 (1)求圆心及半径，关键是求m.

(2)利用OP⊥OQ，建立关于m的方程求解．

(3)利用x1x2＋y1y2＝0和根与系数的关系或利用圆的几何性质．

规范解答

解 方法一 将x＝3－2y，

代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，

得5y2－20y＋12＋m＝0.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1、y2满足条件：

y1＋y2＝4，y1y2＝12＋m5.

∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0.

而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2.

∴x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2＝－27＋4m5.

故－27＋4m5＋12＋m5＝0，解得m＝3，

此时Δ>0，圆心坐标为－12，3，半径r＝52.

方法二 如图所示，设弦PQ中点为M，

∵O1M⊥PQ，∴kO1M＝2.

∴O1M的方程为y－3＝2x＋12，

即y＝2x＋4.

由方程组 y＝2x＋4x＋2y－3＝0.

解得M的坐标为(－1,2)．

则以PQ为直径的圆可设为(x＋1)2＋(y－2)2＝r2.

∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上．

∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r2，即r2＝5，|MQ|2＝r2.

在Rt△O1MQ中，|O1Q|2＝|O1M|2＋|MQ|2.

∴1＋－2－4m4＝－12＋12＋(3－2)2＋5.

∴m＝3.

∴半径为52，圆心为－12，3. 方法三 设过P、Q的圆系方程为

x2＋y2＋x－6y＋m＋λ(x＋2y－3)＝0.

由OP⊥OQ知，点O(0,0)在圆上．

∴m－3λ＝0，即m＝3λ.

∴圆系方程可化为

x2＋y2＋x－6y＋3λ＋λx＋2λy－3λ＝0.

即x2＋(1＋λ)x＋y2＋2(λ－3)y＝0.[6分]

∴圆心M－1＋λ2，－λ2，又圆心在PQ上．

∴－1＋λ2＋2(3－λ)－3＝0，

∴λ＝1，∴m＝3.

∴圆心为－12，3，半径为52.

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圆的方程题目

圆的方程题目

二【小试牛刀】

1. 判断下列方程是否为圆的方程？如果是，写出下列各圆的圆心坐标和半径

（1）x2 + (y + 3)2 = 2； （2）(x + 2)2 + (y – 1)2 = a2 (a≠0)

(3)x2+(y+3)2=0 （4）(x+a)2+y2=a2

2、写出下列各圆的方程：

(1)圆心在原点，半径是6 (2) 经过点P(6,3),圆心为C(2,-2)

三【合作、探究、展示】

例1:写出圆心为(2,3)A，半径长为 5 的圆的方程，并判断点12(5,7),(5,1)MM 是否在这个圆上.

【规律方法总结】

点M(x0,y0)与222()()xaybr的关系的判断方法：

⑴22200()()xaybr， 点在 ；

⑵ ，点在圆上； ⑶ ，点在圆内.

例 2: ABC三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8)ABC，求它的外接圆的方程.

四【达标训练】

1. 已知(2,4),(4,0)AB，则以AB为直径的圆的方程（ ）.

A．22(1)(2)52xy B．22(1)(2)52xy

C．22(1)(2)52xy D．22(1)(2)52xy

2.点(,5)Pm与圆的2224xy的位置关系是

A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定

3.圆心在直线2x上的圆 C 与 y 轴交于两点(0,4),(0,2)AB，则圆C 的方程为（ ）

A．22(2)(3)5xy B．22(2)(3)25xy

C．22(2)(3)5xy D．22(2)(3)25xy

拔高题

4： 已知圆C 经过点(1,1)A和(2,2)B,且圆心在直线:10lxy上,求此圆的标准方程.

圆的方程

圆的方程

[基础题组练]

1．圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1，2)的圆的方程是( )

A．x2＋(y－2)2＝1

B．x2＋(y＋2)2＝1

C．(x－1)2＋(y－3)2＝1

D．x2＋(y－3)2＝4

解析：选A.根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.

2．方程|x|－1＝1－（y－1）2所表示的曲线是( )

A．一个圆 B．两个圆

C．半个圆 D．两个半圆

解析：选D.由题意得（|x|－1）2＋（y－1）2＝1，|x|－1≥0，即（x－1）2＋（y－1）2＝1，x≥1或（x＋1）2＋（y－1）2＝1，x≤－1.

故原方程表示两个半圆．

3．(2019·湖南长沙模拟)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是( )

A．1＋2 B．2

C．1＋22 D．2＋22

解析：选A.将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝2＋1，选A.

4．(2019·河南六校联考(一))圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝33x对称的圆的方程是( )

A．(x－3)2＋(y－1)2＝4

B．(x－1)2＋(y－3)2＝4

C．x2＋(y－2)2＝4

D．(x－2)2＋(y－2)2＝4

解析：选B.设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心关于直线y＝33x对称的点的坐标为A(a，b)，则

ba－2·33＝－1，b2＝33·a＋22，所以a＝1，b＝3，所以A(1，3)，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝4.故选B.

5．(2019·山西太原模拟)已知方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0表示半径为2的圆，则实数F＝________．

高考数学考点专题：解析几何：圆的方程

高考数学考点专题：解析几何：圆的方程

圆的方程

【考点梳理】

1. 圆的定义和圆的方程

定义 平面内到定点的距离等于定长

的点的轨迹叫做圆

方程 标准式 (x－a)2＋(y－b)2

＝r2(r>0) 圆心C(a，b)

半径为r

一般式 x2＋y2＋Dx＋

Ey＋F＝0 充要条件：

D2＋E2－4F>0

圆心坐标：－D2，－E2

半径r＝12D2＋E2－4F

2. 点与圆的位置关系

平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：

(1)d>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；

(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；

(3)d

【教材改编】

1．(必修2 P121练习T2改编)圆(x－3)2＋(y＋2)2＝16的圆心坐标和半径分别为( )

A．(3，－2)，r＝16 B．(3，－2)，r＝4

C．(－3,2)，r＝16 D．(－3,2)，r＝4

[答案] B

[解析] 根据圆的标准方程知，圆心为(3，－2)，半径r＝4，故选B.

2．(必修2 P123练习T1(1)改编)圆x2＋y2－6x＝0的面积为( )

A．3π B．6π

C．9π D．12π

[答案] C

[解析] 法一：由x2＋y2－6x＝0得(x－3)2＋y2＝9.

∴r2＝9，r＝3，则圆面积为S＝πr2＝9π，故选C.

法二：∵r＝12D2＋E2－4F

＝12－62＋02－4×0＝3.

∴圆的面积为S＝πr2＝9π，故选C.

3．(必修2 P123练习T2(3)改编)若圆x2＋y2＋2ax－b2＝0的半径为2，则点(a，b)到原点的距离为( )

A．1

B．2

C.2 D．4

[答案] B

[解析] 由r＝12D2＋E2－4F＝124a2＋4b2＝2得

a2＋b2＝2.

∴点(a，b)到原点的距离d＝a2＋b2＝2，故选B.

2022年高考数学总复习考点培优——圆的方程

2022年高考数学总复习考点培优——圆的方程

第三节 圆的方程

【教材回扣】

1．圆的定义及方程

定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

标准

方程 ____________

(r＞0) 圆心为__________，

半径为__________

一般

方程 ______________

(D2＋E2－4F＞0) 圆心为______________，

半径为______________

2.点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系：

(1)若M(x0，y0)在圆外，则______________________.

(2)若M(x0，y0)在圆上，则______________________.

(3)若M(x0，y0)在圆内，则______________________.

【题组练透】

题组一 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

1．确定圆的几何要素是圆心与半径．( )

2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为（－a2，－a），半径为12 －3a2－4a＋4的圆．( )

3．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( )

4．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.( )

题组二 教材改编

1．圆心为C(8，－3)，且过点A(5,1)的圆的方程是( )

A．(x－8)2＋(y＋3)2＝5 B．(x＋8)2＋(y－3)2＝5

C．(x＋8)2＋(y－3)2＝25 D．(x－8)2＋(y＋3)2＝25

2．圆C的圆心在x轴上，并且过A(－1,1)和B(1,3)两点，则圆C的方程是( )

A．(x－2)2＋y2＝10 B．(x－2)2＋y2＝100

C．(x＋2)2＋y2＝10 D．(x＋2)2＋y2＝100